第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)第一七一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.在一般情況下，下列各組的兩個變量呈正相關(guān)的是(

)A.某商品的銷售價格與銷售量 B.汽車勻速行駛時的路程與時間

C.氣溫與冷飲的銷售量 D.人的年齡與視力2.C53?3!的值為A.10 B.30 C.60 D.1803.設(shè)函數(shù)fx=sinx的導(dǎo)函數(shù)為gx，則A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)4.袋中有5個形狀相同的乒乓球，其中3個黃色2個白色，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個球，則恰好有2個黃色乒乓球的概率是(

)A.110 B.310 C.155.下列函數(shù)中，在區(qū)間?1,0上的平均變化率最大的時(

)A.y=x2 B.y=x3 C.6.小明投籃三次，每次投中的概率為0.8，且每次投籃互不影響．若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為X，則(

)A.E(X)=4.8 B.E(X)=3.6 C.E(X)=2.4 D.E(X)=1.27.“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個重要成就，本身包含許多有趣的性質(zhì)，如圖：則第8行的第7個數(shù)是(

)A.8 B.21 C.28 D.568.已知函數(shù)fx=3x2A.f?3<fe<fπ B.fπ9.已知一批產(chǎn)品中，A項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為80%，B項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為90%，A、B兩項(xiàng)指標(biāo)都合格的比例為60%，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個產(chǎn)品，若A項(xiàng)指標(biāo)合格，則該產(chǎn)品的B項(xiàng)指標(biāo)也合格的概率是(

)A.37 B.23 C.3410.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將產(chǎn)品銷量為x件時的總收益稱為收益函數(shù)，記為Rx，相應(yīng)地把R′x稱為邊際收益函數(shù)，它可以幫助企業(yè)決定最優(yōu)的生產(chǎn)或銷售水平．假設(shè)一個企業(yè)的邊際收益函數(shù)R′(x)=1000?x(注：經(jīng)濟(jì)學(xué)中涉及的函數(shù)有時是離散型函數(shù)，但仍將其看成連續(xù)函數(shù)來分析).①當(dāng)銷量為1000件時，總收益最大；②若銷量為800件時，總收益為T，則當(dāng)銷量增加400件時，總收益仍為T；③當(dāng)銷量從500件增加到501件時，總收益改變量的近似值為500．其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知函數(shù)fx=e2x，則f′012.已知線性相關(guān)的兩個變量x和y的取值如下表，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.95x+a，則a=x0134y2.24.34.86.713.在x?1xn的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則n=_

_____；常數(shù)項(xiàng)為

.(用數(shù)字作答)14.袋中有編號為1，2，3，4，5的5個球，從中任取3個球，共有

種不同的取法；記X為取出的三個球的最小號碼，則PX=2=

.(用數(shù)字作答)三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.已知函數(shù)fx=?ln①當(dāng)a>0時，函數(shù)fx②若方程fx=a存在三個根，則③當(dāng)a<0時，函數(shù)fx④當(dāng)a=?23?12時，存在x1,其中所有正確結(jié)論的序號是

．16.A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.8(Ⅰ)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；(Ⅱ)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；(Ⅲ)再從A，B，C三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25(單位：小時).這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ117.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1(1)求證：MN/?/平面BCC(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：AB⊥MN；條件②：BM=MN．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．18.已知函數(shù)f(x)=2x3(1)求f(x)在區(qū)間[?2,1]上的最大值；(2)若過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；(3)問過點(diǎn)A(?1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？(只需寫出結(jié)論)19.已知A、B、C是橢圓W：x24+y(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積．(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．20.已知函數(shù)f(x)=ln(ax)(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的定義域；(2)若f(x)在區(qū)間(?∞,?1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(3)當(dāng)a=2e時，證明：若x1∈(0,1)，x2∈(1,+∞)，則f(21.已知無窮遞增數(shù)列an各項(xiàng)均為正整數(shù)，記數(shù)列aan為數(shù)列(1)若an=2n?1n∈N?(2)證明：ak+1(3)若數(shù)列aan與aan+1(i)證明：d1(ii)當(dāng)a1=1，d1=9時，求數(shù)列參考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.B

6.A

7.C

8.D

9.C

10.D

11.2

12.2.6

13.6；?20

14.10；315.②③④

16.(Ⅰ)由題意知，抽出的20名學(xué)生中，來自C班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法，C班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為100×8(Ⅱ)設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”，i=1，2，5...，事件為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”，j=1，2，...8，由題意可知，，；，．P(AiCj)=P(設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”.由題意知，．因此．(Ⅲ)．

17.解：(1)取BC中點(diǎn)D，連接B1D，DN，

在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1/?/AB，A1B1=AB．

因?yàn)镸，N，D分別為A1B1，AC，BC的中點(diǎn)，

所以B1M//AB，B1M=12AB，DN//AB，DN=12AB，

即B1M//DN且B1M=DN，

所以四邊形B1MND為平行四邊形，因此B1D//MN．

又MN?平面BCC1B1，B1D?平面BCC1B1，

所以MN//平面BCC1B1．

(2)選條件?①:

因?yàn)閭?cè)面BCC1B1為正方形，所以CB⊥BB1，

又因?yàn)槠矫鍮CC1B1⊥平面ABB1A1，

且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1，

所以CB⊥平面A

BB1A1，

而AB?平面ABB1A1，所以CB⊥AB．

由(1)得B1D//MN，又因?yàn)锳B⊥MN，所以AB⊥B1D，

而B1D∩CB=D，所以AB⊥平面BCC1B1，

又BB1?平面BCC1B1，故AB⊥BB1．

在三棱柱ABC?A1B1C1中，BA，BC，BB1兩兩垂直，

故分別以BC，BA，BB1為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=BC=BB1=2，則B(0,0,0)，N(1,1,0)，M(0,1,2)，A(0,2,0)，

所以BN=(1,1,0)，BM=(0,1,2)，AB=(0,?2,0)，

設(shè)平面BMN的法向量n=(x,y,z)，

由BN?n=0，BM?n=0，得x+y=0,y+2z=0,令x=2，得n=(2,?2,1)．

設(shè)直線AB與平面BMN所成角為θ，

則sinθ=|cosn,AB|=|n?AB||n|?|AB|=|4|3×2=23，

所以直線AB與平面BMN所成角的正弦值為23．

選條件?②:

因?yàn)閭?cè)面BCC1B1為正方形，所以CB⊥BB1，

又因?yàn)槠矫鍮CC1B1⊥平面ABB1A1，

且平面BCC18.由f(x)=2x3?3x得f′(x)=6x2?3，令?2<x<?因?yàn)閒(?2)=?10，f(?22)=所以f(x)在區(qū)間[?2,1]上的最大值為f(?(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(xy0=2x03因此t?y0=(6x設(shè)g(x)=4x3?6x2+t+3，則“過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“g(x)與g′x(?∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g+0?0+g(x)t+3t+1所以，t+3是g(x)的極大值，t+1是g(x)的極小值，當(dāng)t+1<0<t+3即?3<t<?1時，過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時，t的取值范圍是(?3,?1)．(3)過點(diǎn)A(?1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切；過點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切；過點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切．

19.解：(1)橢圓W：x24+y2因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．所以可設(shè)A(1,m)，代入橢圓方程得14+m所以菱形OABC的面積是12(2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下：假設(shè)四邊形OABC為菱形．因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y=kx+m(k≠0,m≠0)．由{消y并整理得(1+4k設(shè)A(x1,y1)，所以AC的中點(diǎn)為M?因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為?1因?yàn)閗·14k≠?1，所以AC所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，四邊形OABC不可能是菱形．20.(1)由題設(shè)f(x)=lnxx?1，則x>0(2)由x∈(?∞,?1]，則必有a<0，且f′(x)=1?由f(x)在區(qū)間(?∞,?1]上單調(diào)遞減，則1?1x?令g(x)=1?1x?ln(ax)在(?∞,?1]上g′(x)>0，則g(x)單調(diào)遞增，故g(x)≤g(?1)=2?ln所以a≤?e(3)當(dāng)a=2e，則f′(x)=1?設(shè)?(x)=1?1x?當(dāng)0<x<1，則?′(x)>0，當(dāng)x>1，則?′(x)<0，所以?(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<1，x(0,1(?(x)?0+f′(x)?0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增f(x當(dāng)x>1，?(2)=32?ln4=lnx(1,x(?(x)+0?f′(x)+0?f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由?(x0)=0?ln(綜上，f(x21.(1)因?yàn)閍所以數(shù)列an的自身子數(shù)列為a所以前4項(xiàng)為：a1即數(shù)列an的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)為1，5，9，13(2)因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均為正整數(shù)，