進階6解析幾何中的定直線問題定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產生的動點在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據其本身特點的獨特性采用一些特殊方法.解決定直線問題的核心在于確定定點的軌跡.主要方法有：(1)設點法：設點的軌跡，通過已知點軌跡，消去參數，從而得到軌跡方程.(2)待定系數法：設出含參數的直線方程，待定系數法求解出系數.(3)驗證法：通過特殊點位置求出直線方程，對一般位置再進行驗證.題型一點在定直線上例1在平面直角坐標系Oxy中，已知雙曲線C的中心為坐標原點，對稱軸是坐標軸，右支與x軸的交點坐標為(1，0)，其中一條漸近線的傾斜角為π3(1)求雙曲線C的標準方程；(2)過點T(2，0)作直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，在線段AB上取一點E滿足|AE|·|TB|=|EB|·|AT|，證明：點E在一條定直線上.思維升華證明點在定直線上的一般方法(1)聯立方程消去參數.(2)挖掘圖形的對稱性，解出動點橫坐標或縱坐標.(3)將橫、縱坐標分別用參數表示，再消去參數.(4)設點，對方程變形解得定直線.跟蹤訓練1如圖，在△ABC中，|BC|=23，|AB|+|AC|=4，若以BC所在直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.設動頂點A(x，y).(1)求頂點A的軌跡方程；(2)記第(1)問中所求軌跡為M，設D1(-2，0)，D2(2，0)，過點(1，0)作動直線l與曲線M交于P，Q兩點(點P在x軸下方).求證：直線D1P與直線D2Q的交點E在一條定直線上.題型二三角形內心(外心、重心、垂心)在定直線上例2已知R是圓M：(x+3)2+y2=8上的動點，點N(3，0)，直線NR與圓M的另一個交點為S，點L在直線MR上，MS∥NL，動點L的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若過點P(-2，0)的直線l與曲線C相交于A，B兩點，且A，B都在x軸上方，問：在x軸上是否存在定點Q，使得△QAB的內心在一條定直線上？請你給出結論并證明.思維升華三角形內切圓的圓心在三角形的角平分線上，角平分線是角的關系，因此找角與斜率的關系即可.跟蹤訓練2(2025·衡水模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，M(1，1)是橢圓C上一點，且點M到點F1，(1)求橢圓C的標準方程；(2)斜率為12的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則△MAB的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由答案精析例1(1)解根據題意，設雙曲線C的標準方程為x2a2-y2b2=1(a由題知a=1，ba=tanπ可得b=3所以雙曲線C的標準方程為x2-y23(2)證明易知T(2，0)為雙曲線的右焦點，如圖所示，由題知直線l的斜率存在，設斜率為k，則-3<k<3故直線l的方程為y=k(x-2)，代入雙曲線方程得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0，Δ>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數的關系得x1+x2=-4x1x2=-4且x1≤-1，1≤x2<2，設E(x0，y0)，點E在線段AB上，所以x1<x0<x2，由|AE|·|TB|=|EB|·|AT|可得1+k2(x0-x1)·1+k2(=1+k2(x2-x0)·1+k2(2-化簡得4x0-(2+x0)(x1+x2)+2x1x2=0，代入x1+x2和x1x2并化簡可得x0=1即存在點E滿足條件，并且點E在定直線x=12上跟蹤訓練1(1)解由|AB|+|AC|=4>|BC|=23可知點A的軌跡為以B，C為焦點的橢圓(去掉(-2，0)，(2，0)兩點)，且該橢圓的長軸長為2a=4，a=2，該橢圓的焦距為2c=23，c=即b=a2-故頂點A的軌跡方程為x24+y2=1(y≠0(2)證明直線l的方程可設為x=my+1，聯立x消去x可得(m2+4)y2+2my-3=0，Δ=4m2+12(m2+4)>0顯然成立，設Q(x1，y1)，P(x2，y2)，y1>0，y2<0，則y1+y2=-2y1y2=-3即2my1y2=3(y1+y2)，設直線D2Q：y=y1x1-2(直線D1P：y=y2x2+2(聯立上述兩方程，消去y可得y1x1-2(x-2)=y2y1x1-2x-y2y1=2y1(x2+2)+2y2(x1-2)，又x2=my2+1，x1=my1+1，則y1(my2+3)-y2(my1-1)x=2y1((3y1+y2)x=4my1y2+6y1-2y2，由4my1y2=6(y1+y2)，則(3y1+y2)x=6(y1+y2)+6y1-2y2=12y1+4y2，3y1+y2不恒為0，解得x=4，綜上所述，交點E在定直線x=4上.例2解(1)圓M的圓心坐標為M(-3，0)，半徑r=2因為MS∥NL，所以△MSR∽△LNR，又因為|MR|=|MS|，所以|LR|=|LN|，所以||LM|-|LN||=||LM|-|LR||=|MR|=r=22<23=|MN|，所以點L在以M，N為焦點，22為實軸長的雙曲線上，設雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a則2a=22，2c=23所以a=2，c=3，b又L不可能在x軸上，所以曲線C的方程為x22-y2=1(y≠0(2)在x軸上存在定點Q(-1，0)，使得△QAB的內心在一條定直線上.證明如下：由條件可設l：x=my-2.代入x22-y2得(m2-2)y2-4my+2=0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>2，|x2|>則m得m2≠2，所以y1+y2=4mmy1y2=2m2所以y1+y2=2my1y2，取Q(-1，0)，則kAQ+kBQ=y1x=y1m=2my又A，B都在x軸上方，所以∠AQB的平分線為定直線x=-1，所以在x軸上存在定點Q(-1，0)，使得△QAB的內心在定直線x=-1上.跟蹤訓練2解(1)由題意，得2a=2故橢圓C的標準方程為x23+y(2)△MAB的外心在定直線2x-y-1=0上.理由如下：由題意設直線l的方程為y=12x+t因為直線l不能過點M(1，1)，所以t≠1聯立y得3x2+4tx+4t2-6=0，所以Δ=16t2-12(4t2-6)>0，即-32<t<32，且t設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=-4t3，x1x若直線MA⊥x軸，則A(1，-1)，代入直線l：y=12x+t得t=-32，不符合題意，故x1≠同理可得x2≠1，所以直線MA，MB的斜率一定存在，則kMA+kMB=y1-1x12=x=4t2即直線MA與MB的斜率互為相反數.設直線MA的方程為y-1=k(x-1)，即y=kx+1-k.若k=0，則直線MA：y=1，此時A(-1，1)，代入直線l：y=12x+t則t=32，不符合題意，故k≠聯立x得(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-3=0，由Δ=4(2k+1)2>0得k≠-1則k≠-12且k≠0則x1+1=-4設線段MA的中點為N(x0，y0)，所以x0=x1