/山東省泰安市部分學校2023?2024學年高二下冊期末測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．2．關于x的不等式恰有2個整數解，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．某同學喜愛球類和游泳運動．在暑假期間，該同學上午去打球的概率為．若該同學上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（

）A． B． C． D．4．下列說法中，正確的個數為（

）①樣本相關系數的絕對值大小可以反映成對樣本數據之間線性相關的程度；②用不同的模型擬合同一組數據，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機變量服從正態分布，若，則；④隨機變量服從二項分布，若方差，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．已知，，，則（

）A． B． C． D．6．若一個四位數的各位數字之和為4，則稱該四位數為“F數”，這樣的“F數”有（

）A．17個 B．19個 C．20個 D．21個7．已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．8．設動直線與函數，的圖象分別交于點，已知，則的最小值與最大值之積為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知正實數，，，且，，，為自然數，則滿足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．11．設定義在上的函數的導函數分別為，若且為偶函數，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．的圖象關于對稱 D．函數為周期函數，且周期為4三、填空題（本大題共3小題）12．若函數f(x)=x3-3x在區間(a,6-a2)上有最小值,則實數a的取值范圍是.

13．設a、b、m為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為；已知，，則滿足條件的正整數b中，最小的兩位數是．14．切比雪夫不等式是19世紀俄國數學家切比雪夫（1821.5～1894.12）在研究統計規律時發現的，其內容是：對于任一隨機變量，若其數學期望和方差均存在，則對任意正實數，有.根據該不等式可以對事件的概率作出估計.在數字通信中，信號是由數字“0”和“1”組成的序列，現連續發射信號次，每次發射信號“0”和“1”是等可能的.記發射信號“1”的次數為隨機變量，為了至少有的把握使發射信號“1”的頻率在區間內，估計信號發射次數的值至少為.四、解答題（本大題共5小題）15．中華文化源遠流長，為了讓青少年更好地了解中國的傳統文化，某培訓中心計劃利用暑期開設“圍棋”、“武術”、“書法”、“剪紙”、“京劇”、“刺繡”六門體驗課程．(1)若體驗課連續開設六周，每周一門，求“京劇”和“剪紙”課程排在不相鄰的兩周的所有排法種數；(2)現有甲、乙、丙三名學生報名參加暑期的體驗課程，每人都選兩門課程，甲和乙有一門共同的課程，丙和甲、乙的課程都不同，求所有選課的種數；(3)計劃安排A、B、C、D、E五名教師教這六門課程，每門課程只由一名教師任教，每名教師至少任教一門課程，教師A不任教“圍棋”課程，教師B只能任教一門課程，求所有課程安排的種數．16．輕食是餐飲的一種形態、輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡約，保留食材本來的營養和味道，近年來隨著消費者健康意識的提升及美顏經濟的火熱，輕食行業迎來快速發展.某傳媒公司為了獲得輕食行業消費者行為數據，對中國輕食消費者進行抽樣調查.統計其中400名中國輕食消費者（表中4個年齡段的人數各100人）食用輕食的頻數與年齡得到如下的頻數分布表.使用頻數偶爾1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010(1)若把年齡在的消費者稱為青少年，年齡在的消費者稱為中老年，每周食用輕食的頻數不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據所給數據，完成列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為食用輕食頻率的高低與年齡有關；(2)從每天食用輕食1次及以上的樣本消費者中按照表中年齡段采用分層抽樣，從中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，，.求的分布列與期望；(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，，，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.參考公式：，.附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．二項分布是離散型隨機變量重要的概率模型，在生活中被廣泛應用．現在我們來研究二項分布的簡單性質，若隨機變量．(1)證明：（ⅰ）（，且），其中為組合數；（ⅱ）隨機變量的數學期望；(2)一盒中有形狀大小相同的4個白球和3個黑球，每次從中摸出一個球且不放回，直到摸到黑球為止，記事件A表示第二次摸球時首次摸到黑球，若將上述試驗重復進行10次，記隨機變量表示事件A發生的次數，試探求的值與隨機變量最有可能發生次數的大小關系．18．已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)設函數有兩個不同的零點，（i）求實數的取值范圍：（ⅱ）若滿足，求實數的最大值.19．某闖關游戲由兩道關卡組成，現有名選手依次闖關，每位選手成功闖過第一關和第二關的概率均為，兩道關卡能否過關相互獨立，每位選手的闖關過程相互獨立，具體規則如下：①每位選手先闖第一關，第一關闖關成功才有機會闖第二關.②闖關選手依次挑戰.第一位闖關選手開始第一輪挑戰.若第位選手在10分鐘內未闖過第一關，則認為第輪闖關失敗，由第位選手繼續挑戰.③若第位選手在10分鐘內闖過第一關，則該選手可繼續闖第二關.若該選手在10分鐘內未闖過第二關，則也認為第輪闖關失敗，由第位選手繼續挑戰.④闖關進行到第輪，則不管第位選手闖過第幾關，下一輪都不再安排選手闖關.令隨機變量表示名挑戰者在第輪結束闖關.(1)求隨機變量的分布列；(2)若把闖關規則①去掉，換成規則⑤：闖關的選手先闖第一關，若有選手在10分鐘內闖過第一關，以后闖關的選手不再闖第一關，直接從第二關開始闖關.令隨機變量表示名挑戰者在第輪結束闖關.（i）求隨機變量的分布列（ii）證明.

答案1．【正確答案】D【分析】根據交集、并集的定義求出、，再根據元素與集合的關系、集合與集合的關系判斷即可.【詳解】因為，，所以，，即，，.故選D.2．【正確答案】B【分析】由已知及一元二次不等式的性質可得，討論a結合原不等式整數解的個數求的范圍.【詳解】恰有2個整數解，即恰有2個整數解，所以，解得或，①當時，不等式解集為，因為，故2個整數解為1和2，則，即，解得；②當時，不等式解集為，因為，故2個整數解為，，則，即，解得，綜上所述，實數的取值范圍為或.故選B.3．【正確答案】C【分析】上午打球為事件A，下午游泳為事件B，利用全概率公式求出，再利用條件概率公式計算即得.【詳解】設上午打球為事件A，下午游泳為事件，則，于是，因此，所以上午打球的概率為.故選C.4．【正確答案】C【分析】根據相關系數的性質，二項分布的性質，擬合效果的衡量以及正態分布的性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】相關系數的絕對值越接近于1，成對樣本數據之間線性相關的程度越強，故①正確；用不同的模型擬合同一組數據，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；已知隨機變量服從正態分布，若，則，故③正確；若隨機變量服從二項分布，則方差，所以，所以，所以或，故④錯誤.故選C.5．【正確答案】A【分析】與運用作差法比大小，再把看作，可構造函數，求導并借助函數的單調性，可得到；與運用作差法比大小，再把看作，可構造函數，求導并借助函數的單調性，可得到.從而得到.【詳解】令，則，令，則，當時，，所以在上單調遞減，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即，所以，即；令，則，令，則，所以在上單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增，所以，即，所以，即；所以.故選A.【方法總結】利用指數函數、對數函數的性質比較大小的題目，常用的方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）利用函數的單調性（指數和對數經常化為同底）；（4）圖象法；（5）構造中間量法，比如和0，±1進行比較.6．【正確答案】C【分析】根據題意，得到，分五種情況討論，結合排列數、組合數的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，可得，當四位數為由構成時，共有1種情況；當四位數為由構成時，共有種情況；當四位數為由構成時，共有種情況；當四位數為由構成時，共有種情況；當四位數為由構成時，共有1種情況,由分類計數原理，可得共有個不同的“F數”.故選C.7．【正確答案】B【分析】等價于，令，求導分析單調性，可得等價于，進而可得，令，只需，利用導數求解最值即可得出答案．【詳解】等價于，令，則，所以是增函數，所以等價于，所以，所以，令，則，所以在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，所以，故，所以實數的取值范圍為．故選B．【方法總結】利用導數解決不等式問題：通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.8．【正確答案】D【分析】構造函數，由已知條件研究函數在上的最值即可.【詳解】設函數，所以，令，則，在，，所以函數在上單調遞減；在，，所以函數在上單調遞增；所以當時，，又當時，，時，，因為，所以，即，故的最小值與最大值之積為.故選D.9．【正確答案】BC【詳解】要滿足，只需滿足，其中正實數，，，且，，，為正數，，當且僅當，即時，等號成立，觀察各選項，故只需，故只需即可，A選項，，，時，，A錯誤；B選項，，，時，，B正確；C選項，，，時，，C正確；D選項，，，時，，D錯誤.故選：BC.10．【正確答案】BCD【分析】結合古典概型，條件概型的計算公式，分別求出有關事件的概率，再進行判斷.【詳解】對A，由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯誤；對B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對C，由，得，所以C正確；對D，由，得，所以D正確．故選BCD．11．【正確答案】AC【分析】對于A，根據為偶函數求出的表達式，然后給的表達式兩邊求導，再取特值求解；對于D，根據和為偶函數找到的關系，求出周期；對于B，根據的性質，取特值求解；對于C，根據已知推導出.【詳解】A：因為為偶函數，所以，所以，令，則，所以，故A正確；D：因為，所以，用代替原來的得，①又為偶函數，所以，用代替原來的得：，②由①②得，③又，用代替原來的得：，④由③④聯立得：，⑤用代替原來的得：，⑥⑥減去⑤得：，故為周期函數，且周期為，用代替原來的得：，⑦因為，用代替原來的得：，⑧因為，用代替原來的得：，⑨由⑦⑧⑨得：，用代替原來的得：，所以為周期函數，且周期為，故D錯誤；B：因為常函數為滿足題意的一組解，但，故B錯誤；C：由，則，即，又，則，即，故C正確.故選AC.12．【正確答案】[-2,1)【詳解】由題意可得f'(x)=3x2-3.令f'(x)=3x2-3=0,可得x=±1,∴f(x)在(-∞,-1)上單調遞增,在(-1,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.∵函數f(x)在區間(a,6-a2)上有最小值,則其最小值必為f(1),∴1∈(a,6-a2),即a<1<6-a2,①結合函數的性質可得f(a)=a3-3a≥f(1)=-2,②聯立①②解得-2≤a<1.13．【正確答案】13【分析】觀察題中給出的形式，結合組合數的計算公式，提出，可求出的值，進而得到的值.【詳解】根據組合數的計算公式有===103故.故13.14．【正確答案】1250【分析】由題意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可.【詳解】由題意知，所以，，若，則，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使發射信號“1”的頻率在區間內，則，解，所以估計信號發射次數n的最小值為1250.故1250.【關鍵點撥】此題考查二項分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的應用，解題的關鍵是將變形為.15．【正確答案】(1)480(2)360(3)1140【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空；（2）特殊的先排，再用分步乘法；（3）按甲所教科目的數量分類，然后由分類加法計數原理求解.【詳解】（1）第一步，先將另外四門課排好，有種情況；第二步，將“京劇”和“剪紙”課程分別插入5個空隙中，有種情況；所以“京劇”和“剪紙”課程排在不相鄰的兩周的排法有種；（2）第一步，先將甲和乙的不同課程排好，有種情況；第二步，將甲和乙的相同課程排好，有種情況；第三步，因為丙和甲、乙的課程都不同，所以丙的排法種情況；因此，所有選課種數為；（3）①當A只任教1科時：先排A任教科目，有種；再從剩下5科中排B的任教科目，有種；接下來剩余4科中必有2科為同一名老師任教，分三組全排列，共有種；所以當A只任教1科時，共有種；②當A任教2科時：先選A任教的2科有中，這樣6科分為4組共有種，所以，當A任教2科時，共有種，綜上，A不任教“圍棋”的課程安排方案有1140種．16．【正確答案】(1)列聯表見解析，有99%的把握認為食用輕食頻率的高低與年齡有關，理由見解析(2)分布列見解析，數學期望為(3)【分析】（1）數據分析，得到列聯表，計算出卡方，與6.635比較后得到結論；（2）先利用分層抽樣得到，，和的抽取人數，得到的可能取值和對應的概率，得到分布列和數學期望；（3）設出事件，結合全概率公式得到答案.【詳解】（1）列聯表如下：青少年中老年合計食用輕食頻率低12595220食用輕食頻率高75105180合計200200400故，故有99%的把握認為食用輕食頻率的高低與年齡有關；（2）每天食用輕食1次及以上的樣本消費者中按照表中年齡段采用分層抽樣，的抽取人數為，的抽取人數為，的抽取人數為，的抽取人數為，的可能取值為0，1，此時的取值為0，1，2，故的可能取值為0，1，2，其中包含兩種情況，即和，故，包含三種情況，，和，故，包含1種情況，即，故，故的分布列如下：012則數學期望為；（3）記小李早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件，則，，，小李晚餐選擇低卡甜品為事件，則，，，故，故小李晚餐選擇低卡甜品的概率為.17．【正確答案】(1)（i）證明見解析；（ii）證明見解析(2)數學期望小于最有可能發生的次數【分析】（1）（ⅰ）根據組合數公式分析證明；（ⅱ）根據二項分布結合二項式定理分析證明；（2）分析可知隨機變量，結合二項分布概率公式可得概率最大，進而與期望對比分析.【詳解】（1）（ⅰ）因為，且，所以；（ⅱ）因為，，可得，令，則；（2）由題意可知：，又因為隨機變量，所以，因為，假設時，其概率最大，則，解得，可知，所以其數學期望小于最有可能發生的次數．18．【正確答案】(1)答案見解析；(2)（i）；（ⅱ）.【分析】（1）求導，分類討論參數和時，函數的單調性即可.（2）（ⅰ）利用參數分離可得，令，利用導數研究函數的單調性，極值，數形結合即可；（ⅱ）由已知，設，可得，設，利用導數研究函數的單調性，可求額，再利用的單調性可求得，進而求得結果.【詳解】（1）函數的定義域為，求導得，當時，恒成立，函數在上單調遞增；當時，由，得，由，得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，的遞增區間是，無遞減區間；當時，的遞增區間是，遞減區間是.（2）（ⅰ）由，得，令，求導得，當時，，當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，，而當時，恒成立，且，由有兩個零點，即方程有兩個不等的正根，亦即直線與的圖象有兩個公共