專題1.1有理數與數軸【八大題型】

【人教版】

【題型I正數與負數的概念】....................................................................1

【題型2相反意義量的表示】....................................................................2

【題型3相反意義量的應用】...................................................................4

【題型4有理數的概念辨析】....................................................................6

【題型5有理數的分類】........................................................................8

【題型6數軸的畫法及應用】...................................................................10

【題型7數軸上的點所表示的數】...............................................................12

【題型8數軸中點的規律問題】.................................................................14

1;￡三

【知識點1正數和負數的概念】

大于0的數叫做正數,在正數前面加負號,叫做負數,一個數前面的號叫做它的符號.0

既不是正數也不是負數.o是正負數的分界點，正數是大于o的數，負數是小于o的數.

【題型1正數與負數的概念】

［例1］（2021秋?鹽池縣期末）在（），一:,0.3,2TT,-23%,2021這六個數中，非正數的有（）個.

A.2B.3C.4D.0

【分析】根據有理數的分類方法，可得：非正數包括負數和0,據此判斷出0,-i,0.3,2m-23%,

2021這六個數中，非正數有多少個即可.

【解答】解：在0，-發0.3,2n,-23%,2021這六個數中，非正數有3個：0,-最-23%.

故選:B.

1Q

【變式1-1］（2021秋?西城區校級期中）下列各數-5、+3、-0.2、-、。、-、-11、2.4中，負數有（）

25

個.

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據負數的定義，即負數為小于。的有理數，再判定負數的個數.

【解答】解：在-5、+3、-0.2.；、0、-

、-11、2.4中，負數有-5、-0.2、一5、-11,共4個

故選:B.

【變式1-2]（2021秋?渾源縣期中）-。是（）

A.負數B.正數

C.0D.正負無法確定

【分析】根據正數、。和負數的定義判斷.

【解答】解：當。＞0時，是負數；

當時，是正數，

當。=0時，?。=0,既不是正數，也不是負數,

-a正負無法確定.

故選：。.

【變式1-3]（2021秋?襄州區校級月考）下列判斷正確的個數是（）

①加正號的數是正數，加負號的數是負數；②任意一個正數，前面加上“-”，就是一個負數；③。是

最小的正數；④大于0的數是王數；⑤字母〃既是正數，乂是負數.

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據各小題中的說法，可以判斷各個小題中的說法是否正確，最后得出答案.

【解答】解：加正號的數不一定是正數，如+（-5）=-5是負數，加負號的數不一定是負數，如-（-

5）=5是正數，故①錯誤；

任意一個正數，前面加上“?”，就是一個負數，故②正確；

零既不是正數，也不是負數，故③錯誤；

大于0的數是正數，故④正確；

如果〃是正數，就必定不是負數，故⑤錯誤，

故選：C.

【知識點2具有相反意義的量】

一般地，對于具有相反意義的量,我們可以把其中一種意義的量規定為圓腦并用正數來表示,把與它意

義相反的量規定為魚的，并用魚戮來表示.

【題型2相反意義■的表示】

【例2】（2021春?保山期末）云南省統計局3月16日發布，2021年前兩個月，云南省外貿進出口總額545.80

億元,同比增長86.2%.其中，出口363.57億元,同比增長275.6%,進口182.27億元,同比下降7.1%.若

出口同比增長率記作+275.6%,則進口同比增長率記作（）

A.-7.1B.-7.1%C.182.27D.+7.1%

【分析】利用相反意義量的定義判斷即可.

【解答】解：若增長275.6%記作+275.6%,則下降7.1%記作?7.1%.

故選：B.

【變式2-1]（2021秋?深口區期末）如表是某微信用戶的零錢明細，按照這種表示方法，“+60”表示的是

（）

零錢明細（元）

掃二維碼付款-20

微信紅包收入+200

微信紅包發出-100

A.微信紅包發出60元

B.微信紅包收入60元

C.微信余額60元

D.微信掃描二維碼付款60元

【分析】此題主要用正負數來表示具有意義相反的兩種量：加分記為正，則扣分就記為負，直接得出結

論即可.

【解答】解：根據表格中的信念，“+60”表示的是收入60元，

故選：B.

【變式2-2]（2021秋?湖里區期末）小明積極配合小區進行垃圾分類，并把可回收物拿到廢品收購站回收

換錢，這樣既保護了環境，又可以為自己積攢一些零花錢.如表是他12月份的部分收支情況（單位：元）.

日期收入（+）或支出（)結余備注

1日4.517.5賣可回收物

5日-20-2.5買書，不足部分由媽媽代付

其中表格中“-2.5”表示的是（）

A,賣可回收物換回的錢數

B.買書的錢數

C.買書時媽媽代付的錢數

D.買書的錢與媽媽代付的錢數之和

【分析】根據題目給出的正數和負數的意義解答即可.

【解答】解：表格中“-2.5”表示買書時媽媽代付的錢數.

故選：C.

【變式2-3X2021秋?渾源縣期中）某食品廠生產我市特產黃花菜,規定每袋黃花的標準質量為1.5±0.005版,

廠質檢部門隨機選取了10袋黃花進行質量檢測，結果如表所示：

序號12345678910

質量1.5031.5021.4991.5041.4961.5041.501.5031.4881.499

(kg)

則不符合要求的有（）

A.1袋B.2袋C.3袋D.4袋

【分析】根據標準質量為1.5±0.005依，求出合格的質量的取值范圍，再從表格中逐個驗證得出答案.

【解答】解：因為每袋黃花的標準質袋為1.5±0.005依,即1.495依OWL505總，

故L488不符合要求，即不符合要求的有1袋.

故選：A.

【題型3相反意義■的應用】

【例3】（2021?南京）北京與莫斯科的時差為5小時，例如，北京時間13：00,同一時刻的莫斯科時間是

8：00.小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當地時間9：00-17：00之間選擇一個時刻開

始通話，這個時刻可以是北京時間（）

A.10：00B.12：00C.15：00D.18：00

【分析】根據北京時間比莫斯科時間早5小時解答即可.

【解答】解；由題意得，北京時間應該比莫斯科時間早5小時，

當莫斯科時間為9：00,則北京時間為14：00；當北京時間為17：00,則莫斯科時間為12：00；

所以這個時刻可以是14：00到17：00之間，

所以這個時刻可以是北京時間15：00.

故選：C.

【變式3-1］（2021秋?玄武區期末）北京與倫敦的時差為8小時，例如，北京時間13：00,同一時刻的倫

敦時間是5：（X）,小麗和小紅分別在北京和倫敦，她們相約在各自當地時間9：（X）?19：00之間選擇一

個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間（)

A.20：00B.18：00C.16：00D.15：00

【分析】根據北京時間比倫敦時間早8小時解答即可.

【解答】解：由題意得，北京時間應該比倫敦時間早8小時，

當倫敦時間為9：00,則北京時間為17：00：當北京時間為19：00,則倫敦時間為11：00；

所以這個時刻可以是北京時間17：00到19：00之間，

所以這個時刻可以是北京時間18：00.

故選:B.

【變式3-2]（2022秋?蒙自市期末）下面的五個時鐘顯示了同一時刻國外四個城市的時間和北京時間，若

下表給出的是國外四個城市與北京的時差，則這四個時鐘對應的國外城市從左到右依次是（）

紐約-13

悉尼+2

倫敦-8

羅馬-7

A.倫敦、紐約、羅馬、悉尼B.羅馬、悉尼、倫敦、紐約

C.紐約、悉尼、倫敦、羅馬D.羅馬、倫敦、悉尼、紐約

【分析】根據紐約、悉尼、倫敦、羅馬，與北京的時差，結合鐘表確定出對應的城市即可.

【解答】解：由題意可知，北京時間是4時或16時，

由表格可得，悉尼與北京時差為+2,悉尼時間為6時或18時，

紐約與北京時差為-13,紐約時間為15時或3時，

倫敦與北京時差為-8,倫敦時間為8時或20時，

羅馬與北京時差為-7,羅馬時間為9時或21時，

所以這四個時鐘對應的國外城市從左到右依次是紐約、悉尼、倫敦、羅馬.

故選：c.

【變式3-3】（2021秋?漳平市期中）下面的4個時鐘顯示了同一時刻國外三個城市時間和北京時間，根據

下表給出的國外三個城市與北京的時差，下列時鐘中表示悉尼時間的是（）時鐘.

城市倫敦悉尼紐約

時差?8+2-13

【分析】根據倫敦、悉尼、紐約與北京的時差，結合鐘表確定出對應的城市即可.

【解答】解：由表格可得，悉尼與北京時差為+2,所以北京時間是4時或16時，悉尼時叵為6時或18

時.

故選：

【知識點3有理數的概念】

正整數、零和負整數統稱整數:E分數和負分數統稱分數;整數和分數統稱有理數.

【題型4有理數的概念辨析】

[ft4]（2021秋?思明區校級期中）下列說法錯誤的是（）

A.正有理數和負有理數統稱有理數

B.負整數和負分數統稱為負有理數

C.。是整數，但不是分數

D.正整數、負整數和0統稱為整數

【分析】根據有理數相關定義逐一判斷即可.

【解答】解：兒正有理數，0和負有理數統稱有理數，故選項4符合題意；

B.負整數和負分數統稱為負有理數，故選項8不符合題意：

C.0是整數，但不是分數，故選項。不符合題意；

D.正整數、負整數和0統稱為整數，故選項。不符合題意.

故選：A.

【變式4-1]（2021秋?榆陽區校級月考）下列關于零的說法中，正確的個數是（）

①零是整數，也是有理數；

②零不是正數，也不是負數；

③零不是整數，但是有理數；

④零是整數，但不是自然數；

⑤零既不是整數，也不是分數.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據有理數的定義逐一判斷即可.

【解答】解：①零是整數，也是有理數；正確，符合題意；

②零不是正數，也不是負數；王確，符合題意；

③零是整數，是有理數：原說法錯誤，不符合題意；

④零是整數，是自然數：原說法錯誤，不符合題意；

⑤零是整數，不是分數.原說法錯誤，不符合題意；

故選：C.

【變式4-2]（2021秋?旌陽區校級月考）下面是關于有理數的敘述：①有理數分為正有理數和負有理數兩

部分；②有理數分為整數和分數兩部分；③有理數分為正數、負數和零三部分；④有理數分為正整數、

負整數和零三部分；⑤有理數分為正分數、負分數、正整數、負整數和零五部分，其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據有理數的定義逐一判斷即可.

【解答】解：①有理數分為正有理數，0,負有理數三部分，故原說法錯誤，①不符合題意；

②有理數分為整數和分數兩部分，正確，②符合題意；

③有理數分為正有理數、負有理數和零三部分，故原說法錯誤，③不符合題意；

④整數分為正整數、負整數和零三部分，故原說法錯誤，④不符合題意；

⑤有理數分為正分數、負分數、正整數、負整數和零五部分，正確，⑤符合題意；

其中正確的有2個，

故選：B.

【變式4-3]（2021秋?鼓樓區校級月考）下列說法中：①。是最小的整數：②有理數不是正數就是負數；

③正整數、負整數、正分數、負分數統稱為有理數；④非負數就是正數；⑤-冬不僅是有理數，而且是分

22

數；⑥y是無限不循環小數，所以不是有理數.其中錯誤的說法的個數為（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

【分析】根據有理數的分類標準解決此題.

【解答】解：①根據有理數的大小關系，-1V0,故0不是最小的整數，那么①錯誤.

②0是有理數，但0既不是正數，也不是負數，那么②錯誤.

③正整數、負整數、正分數、奐分數、。統稱為有理數，那么③錯誤.

④非負數包括0和正數，那么④錯誤.

⑤根據無理數的定義，-3是無理數，那么⑤錯誤.

22

⑥根據有理數的定義，3是有理數，那么⑥錯誤.

綜上：錯誤的有①②③④⑤⑥，共6個.

故選：A.

【知識點4有理數的分類】

①按整數和分數的關系分類；②按正有理數、零和負有理數的關系分類.

【題型5有理數的分類】

【例5】（2021秋?讓胡路區校級期末）把下列各數填入相應的集合中：

241

+6,0.75,-3,0,-I.2,+8,一，-小9%,n,-0.2020020002…（每相鄰兩個2之間0的個數逐次

加I）.

正分數集合：{???}:

正整數集合：{???}:

整數集合：{???}:

有理數集合：{…}.

【分析】直接根據有理數的分類進行解答即可.

【解答】解：正分數集合：{0.75,9%…）;

正整數集合：{+6,+8…};

整數集合：{+6,-3,0,+8…};

241

有理數集合:{+6,0.75,-3,0,-1.2,+8,一,一宗9%-）.

5

24241

故答案為：0.75,—，9%；+6,+8；+6,-3,0?+8；+6,0.75?-3,0>-1.2?+8,—,一不，9%.

【變式5-1]（2021秋?長汀縣校級月考）將下列各數填在相應的圓圈里:

【分析】根據有理數的分類進吁填空即可.

【解答】解：如圖：

【變式5-2](2021秋?牡丹區月考)把下列各數填在相應的大括號里:

1124

+a-6,0.54,7,0,3.14,20%,n,-竽，3.4365,一合，-2.543.

正整數集合｛…｝;

負整數集合｛___________________

分數集合｛???｝:

自然數集合｛________________

負有理數集合｛???):

正有理數集合｛…｝.

【分析[根據有理數的概念和分類可完成此題.

【解答】解：正整數集合｛7,…｝:

負整數集合｛-6,-芋…｝;

14

分數集合(十與0.54,3.14,20%,3.4365,-白，-2.543,???)；

乙JLJ

自然數集合｛7,0,…｝:

負有理數集合｛?6,一吊,$-2.543,???｝；

■JIO

正有理數集合｛+9,0.54,7,3.14,20%,3.4365,???｝.

1914

故答案為:7；-6,--+造0.54,3.14,20%,-3.4365,一千，-2.543；7,0；-6,

2.543；0.54,7,3,14,20%,3.4365.

【變式5-3］（2021秋?恩施市校級月考）把下列各數分別填入相應的大括號內：-7,3.5,-3.1415,兀，0,

4

13i-

濟0.03,-3*,10,-0.23,2

自然數集合｛J｝;

整數集合｛???_｝;

正分數集合｛…I：

非正數集合｛｝;

有理數集合｛_____________________________________________________

【分析】掌握各自的定義：自然數（大于零的整數）；整數（正整數、零和負整數）：有理數（整數和

分數的統稱）

【解答】解：自然數集合：｛0,10-（；

整數集合：｛-7,0,10,T…）;

13

正分數集合：｛3.5,—?0.03—）；

非正數集合：｛-7,-3.1415,0,-3-,-0.23,

2/

131A

有理數集合：｛-7,3.5,-3.1415,0,—?0.03,-3-，10,-0.23,遙…｝.

【知識點5數軸的概念與畫法】

數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.

數軸的畫法：①在直線上任取一個點表示數多這個點叫做原點,②通常規定直線上從原點向右為正方向,

從原點向左為負方向:③選取適當的長度為單位長度,直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點,

依次表示L2,3,……；從原點向左用類似的方法依次表示?1,?2,?3,…….

【題型6數軸的畫法及應用】

32

1

【例6】（2021秋?云夢縣校級月考）畫數軸，并在數軸上表示下列各數-4,3羨，-2.5,一-

23

【分析】利用數軸，把負有理數標在左邊相應位置，正有理數標在右邊相應位置即可.

【解答】解：如圖：

-4-3-2-101234

【變式6-1]（2021秋?上蔡縣月考）下列六個數中：-2.5,3”，+5,-4,-1.

-5-4-3-2-10I2345

（1）整數有個；負分數有個；既不是正數也不是負數的是.

（2）把所有數據分別在數軸上表示出來.

【分析】（1）依據有理數的概念進行解答即可；

（2）把每個數都表示在數軸上即可.

【解答】解：（1）整數有0,+5,-4共3個，負分數有-2.5,-4共2個，既不是正數也不是負數的

是0.

故答案為：3,2,0；

（2）如圖，

11

—5—4—3—2—1012345

【變式6-2]（2021秋?棗陽市期末）郵遞員騎車從郵局出發，先向西騎行26到達A村,繼續向西騎行3如?

到達8村,然后向東騎行到達。村,最后回到郵局.

（1）以郵局為原點，向東方向為正方向，用1c機表示1的?，畫出數軸，并在該數軸上表示人、B、C三

個村莊的位置；

（2）C村離A村有多遠?

（3）郵遞員一共騎行了多少千米？

【分析】（1）根據已知條件在數軸上表示出來即可；

（2）根據題意列出算式，即可得出答案；

（3）根據題意列出算式，即可得出答案.

【解答】解：（1）

BA郵局C

-5-4-3-2-1012345^；

（2）C村離A村的距離為9?3=6（km）；

（3）郵遞員一共行駛了2+3+9+4=18（千米）.

【變式6-3】（2021秋?濯池縣期中）快遞員騎車從快遞公司出發，先向北騎行200機到達A小區，繼續向

北騎行400〃?到達8小區，然后向南騎行1000加到達C小區.最后回到快遞公司.

（1）以快遞公司為原點，以向南方向為正方向，用lew表示1（X）〃?畫出數軸，并在該數軸上表示出A、

B、。三個小區的位置；

（2）C小區離4小區有多遠；

（3）快遞員一共騎行了多少千米？

【分析】（1）根據題意畫數軸、表示即可；

（2）利用有理數減法可計算出結果；

（3）計算三次行程絕對值的利即可.

【解答】解：（1）由題意把48、C三個小區的位置畫數軸如圖所示：

BA，嵋公司C

??----?-------L?工?】-------?--------1?A

-6-5-4-3-2-101234

（2）???快遞員從8小區向南騎行1000/〃到達C小區

???C小區離3小區的距離是：：000〃?；

（3）快遞員一共騎行的路程為：

OA+AB+BC+OC

=2BC

=2X1000

=2000（米），

2000米=2千米，

答：快遞員一共騎行了2千米.

【知識點6數軸上的點與有理數之間的關系】

①每個有理數都可以用數軸上的二點來表示，也可以說每個有理數都對應數軸上的二點；

②一般地，設a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的五邊，與原點的距離是生個單位長度；表示

?a的點在原點的左邊,與原點的距離是生個單位長度.

【題型7數軸上的點所表示的數】

【例7】（2021秋?正陽縣期末）如圖，已知紙面上有一數軸，折疊紙面，使-3表示的點與I表示的點重

合，則與-5表示的點對應的點表示的數是（）

A.3B.4C.5D.-1

【分析1求出折痕和數軸交點表示的數，對折后重合的每一對對應點到此交點距離相等即可求出答案.

【解答】解：???折疊紙面，使表示-3的點與表示I的點重合，

???折痕和數軸交點表示的數是-3+上與叉=-1,

而表示?5的點與此交點距離為?1?（?5）=4,

???與表示-5的點對應的點表示的數是-1+4=3,

故選：A.

【變式7-1]（2021秋?宣化區期木）如圖，在數軸上有A、B、C\。四個點，分別表示不同的四個數，若

從這四點中選一點做原點，使得其余三點表示的數中有兩個正數和一個負數，則這個點是（）

11I__________I.

ABCD

A.點AB.點、3C.點CD.點。

【分析】根據數軸上的點原點右邊表示正數，原點左邊表示負數解決此題.

【解答】解：A.當A為原點，則剩余三個點表示的數均是正數，故A不合題意.

B.當8為原點，則A表示負數，C與。表示正數，故B符合題意.

C.當。為原點，則4與8表示負數，。表示正數，故C不符合題意.

D.當。為原點，4、B與C表示負數,故。不符合題意.

故選：B.

【變式7-2]（2021秋?公安縣期末）小聰在紙上畫了一條數軸后，折疊紙面，使數軸上表示-2的點與表

示5的點重合，若數軸上4A兩點之間的距離為10.且4.A兩點經上述折卷后重合，則占點表示的

數為.

【分析】折疊后數軸上表示?2的點與表示5的點重合，點?2和點5的中點是1.5,數軸上A,8兩點

經上述折疊后重合，且A,8兩點之間的距離為10,則4點與8點到1.5的距離都是5,進而求出B點

表示的數即可.

【解答】解：折疊后數軸上表示-2的點與表示5的點重合，

折疊點為-2和5的中點：1.5.

???數軸上A,8兩點經上述折疊后重合，且A,5兩點之間的距離為10,

???A點與B點到1.5的距離都是5,

當3點在中點右側時，對應的數為1.5+5=65

當8點在中點左側時，對應的數是1.5-5=-3.5.

故答案為：6.5或-3.5.

【變式7-3］（2022?路北區二模）如圖1,點A,B,。是數軸上從左到右排列的三點，分別對應的數為-4,

b,5.某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數字。對齊數軸上的點A,發現點8對齊刻度尺1.5c〃?

處，點。對齊刻度尺4.5刖處.

（1）在圖1的數軸上，AC=個單位長度；

（2）求數軸上點8所對應的數〃為.

4BC>

圖1

.4BC

1|||1'所11］叫111］叫111］耳111］叫111］「

0123456

圖2

【分析】（1）根據兩點之間的距離即可得出答案；

（2）先求出1個單位長度是多少厘米，再求1.5厘米是幾個單位長度，根據有理數的加法即可得出答案.

【解答】解：（I）5-（-4）=9（個），

故答案為：9；

（2）4.54-9=0.5（厘米），

1.54-0.5=3（個），

b=-4+3=-1,

故答案為：?1.

【題型8數軸中點的規律問題】

［ft8］（2021秋?濰坊期中）如圖所示，圓的周長為4個單位長度，A,B,C,D是圓周的4等分點，其

中點A與數軸上的原點重合，若將圓沿著數軸向右滾動，那么點A,B,C,。能與數軸上的數字2022

所對應的點重合的是.

【分析】因為圓沿著數軸向右滾動，依次與數軸上數字順序重合的是A、。、C、B,且A點只與4的倍

數點重合，印數軸上表示4〃的點都與A點重合，表示4〃+1的數都與D點重合，依此按序類推.

【解答】解：設數軸上的一個整數為x，由題意可知

當工=4〃時（〃為整數），A點與x重合；

當x=4〃+l時（〃為整數），。點與x重合；

當x=4〃+2時（〃為整數），C點與x重合；

當x=4〃+3時（〃為整數），6點與x重合；

而2022=505X4+2,所以數軸上的2022所對應的點與圓周上字母C重合.

故答案為：C.

【變式8-1]（2021秋?廣饒縣期末）等邊△ABC在數軸上的位置如圖所示，點人、C對應的數分別是0、

-1,若△ABC繞頂點沿順時針方向連續翻轉，第一次翻轉后點8所對應的數為I,則翻轉2022次后點

C所對應的數為（）

B

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