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【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)的位置不確定時(shí)的分類情況:

1.點(diǎn)在直線AB上的三種可能情況：⑴點(diǎn)在線段AB上；⑵點(diǎn)在淺段AB的延長線上；⑶點(diǎn)在線段BA的延長

線上.

2.點(diǎn)在三角形或四邊形邊上，需分點(diǎn)在三角形或叫邊形的各條邊上進(jìn)行討論（點(diǎn)在三角形的角平分線上、高

線上、中線上或點(diǎn)在四邊形對角線上時(shí)，同理）.

3.點(diǎn)在弧上的兩種可能情況：（1）點(diǎn)在優(yōu)弧上；（2）點(diǎn)在劣弧上.

折登后某點(diǎn)所落的特殊位置一般是指圖形的邊（或邊所在直線）、某條線段的三等分點(diǎn)處、特殊四邊形的對

角線（或?qū)蔷€所在直線）、圖形的對稱軸、某角的平分線、某淺段的重直平分線.

此類型中涉及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的居多，解答時(shí)需注意:①點(diǎn)落在邊上時(shí)，要考慮圖形的各條邊;②點(diǎn)落在角的平分

娛上時(shí)，要考慮是哪幾個(gè)角：③，點(diǎn)落在直戰(zhàn)上時(shí)，要考慮落在線段上、線段的延長娛上和線段的反向延長線

上;④點(diǎn)落在邊的垂直平分線上時(shí)，要考慮圖形的各條邊.

【例I】（2020?蜀山區(qū)一模）如圖，已知RI△人8c中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)E、尸分別是邊AC、

BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EP〃48,點(diǎn)。關(guān)于敏的對稱點(diǎn)。恰好落在A4BC的內(nèi)角平分線上,則CQ長為.

【變式1?1】（2020?無為市一?模）如圖，RtAABC+，ZC=903,4c=8,8c=16,點(diǎn)。在邊BC上，點(diǎn)

E在邊48上，沿?！陮ⅰ鰽8C折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)A重合，連接A。，點(diǎn)P是線段A。上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑

為5的。戶與△ABC的一邊相切時(shí)，AP的長為.

【變式1?2】（2020?黑龍江）在矩形ABCO中，AB=\,BC=a,點(diǎn)E在邊8c上，且8￡=氯，連接4￡,

將△48石沿AE折疊.若點(diǎn)、B的對應(yīng)點(diǎn)夕落在矩形人BCQ的邊上，則折痕的長為.

【變式1-3］（2020?烏蘭浩特市一模）如圖，在菱形A8CQ中，NA=60°,AB=3,點(diǎn)M為AB邊上一點(diǎn)、,

AM=2,點(diǎn)N為A。邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿MN將△AMN翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，當(dāng)點(diǎn)尸在菱形的對角線上

對，AN的長度為.

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【方法點(diǎn)撥】圖形形狀不確定類多解題：

1.有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的等腰三角形存在性問題

解題技巧：先利用“兩圓一線”，確定等腰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)（即動(dòng)點(diǎn)）的位置，再結(jié)合圖形自身特點(diǎn)，尋求

解題方法.

2.有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的等腰三角形存在性問題

解題技巧：先大致確定圖形形狀，再利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，最后利用相似三角

形、“同（等）角的同種三角函數(shù)值相同”或勾股定理進(jìn)行求解.

3.有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的直角三角形存在性問題

解題技巧：先利用“兩線一面”，確定直角三角形第三個(gè)頂點(diǎn)（即動(dòng)點(diǎn)）的位置，再結(jié)合圖形自身特點(diǎn)，尋

求解題方法.

4.有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的直角三角形存在性問題

解題技巧：先大致確定圍堰形狀，再利用“相似”、“同（等）用的同種三角函數(shù)值相同”或勾股定理進(jìn)行

求解.

5.相似三角形的存在性問題解題技巧：此類問題一般已知一組充應(yīng)角，再分兩種情況討論.方法一：根據(jù)

對應(yīng)角相等分情況求解；方法二：根據(jù)對應(yīng)線段成比例分情況求解.

【例2】（2021?黃岡模擬）如圖，長方形A8C。中，4。=20,AB=8,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)P在4。邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△4PQ是等腰三角形時(shí)，AP的長為

【變式2-1］（2。21?江西模擬）如圖，在等邊三角形/WC.中，D是AC的中點(diǎn)，產(chǎn)是邊A%上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)P作PEA.AB,交BC于點(diǎn)E,連接DP,DE.若人8=8,APDE是等腰三角形，則BP的長是.

【變式2-2］（2020?渦陽縣一模）如圖，在RtZSABC中，ZC=90c,A8=5,BC=4,點(diǎn)、E,尸分別在邊

BC,AC上，沿E尸所在的直線折疊NC,使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)。恰好落在邊A8上，若△￡￥＜和△ABC相似,

則BD的長為.

【變式2-3］（2021?海州區(qū)校級一模）如圖，在△人8。中，AB=BC=6,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，N4OC=60°,則當(dāng)△朋B為直角三角形時(shí)，A尸的長為

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【方法點(diǎn)撥】此類問題通常涉及裁剪、拼接等操作，裁剪方式或拼接方式的不同使得此類問題多解，解題的

關(guān)鍵在于不重不漏地畫出所有可能出現(xiàn)的情況，充分利用高線、中位線、中線等特征線段隱含的等量關(guān)系.

【例3】（2020?河南二模）如圖1,三角形紙片AB。，NA=90°,ZC=30°,AC=8cm,先將該紙片沿

過點(diǎn)3的直線折疊，使點(diǎn)A落在斜邊3c上的一點(diǎn)￡處，折痕記為8。（如圖1）.剪去ACQE后得到

雙層aBDE（如圖2）,再沿著過△8QE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有

一”個(gè)是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長為.

【變式3-1]（2020春?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形紙片A8CQ中，AB=BC,AD=CD,ZA=Z

C=90°,NA/3C=135°,將紙片先沿直線3。對折，再將右折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪,

剪開后的圖形打開鋪平，若鋪平后的圖形中有一個(gè)是面積為2a的平行四邊形，則四邊形紙片A8C。的

面積______________.

【變式3-2]（2020春?埔橋區(qū)模擬）有一張一個(gè)角為30°,最小邊長為4的直角三角形紙片，沿圖中所示

的中位線剪開后，將兩部分拼成一個(gè)四邊形，所得四邊形的周長是.

【變式3-3]（2020春?臨海市模擬）如圖1,在四邊形紙片48C。中，ZB=ZD=90°,AB=AD,CB=

CD,若/BCD=60°,RC=4cm,現(xiàn)將該紙片沿對角線AC折登，使點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，得到雙層△AC。

（如圖3）,再沿著過△4C。某一頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個(gè)是平

行四邊形，則所得的平行四邊形的周長為.

A

圖1

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【方法點(diǎn)撥】當(dāng)函數(shù)圖象不確定時(shí)，需分情況畫出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

1.若求交點(diǎn)橫或縱坐標(biāo)或某參數(shù)的取值范圍，常需找到臨界情況，求得相應(yīng)的解析式,再進(jìn)一步求解.

2.在判斷兩個(gè)函數(shù)的圖象有無交點(diǎn)時(shí)，可利用方程思想，結(jié)合一元二次方程的根的判別式解決問題.

3.在求不等式的解集時(shí)，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象在交點(diǎn)附近的上、下位置關(guān)系求解.

【例4】（2020?渦陽縣模擬）拋物線），=/+2級?3與x軸交于A,B（1,0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），

與y軸交于點(diǎn)C,將拋物線沿y軸平移m（^>0）個(gè)單位，當(dāng)平移后的拋物線與線段04有且只有一個(gè)

交點(diǎn)時(shí)，則機(jī)的取值范圍是.

【變式4-1]（2020?包河區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為原點(diǎn)，拋物線），=-』-2r+c與），軸

交于點(diǎn)P，以O(shè)P為一邊向左作正方形OP8C,點(diǎn)4為拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)△48,是銳角三角形時(shí)，c的取

值范圍是.

【變式4-2]（2020?瑤海區(qū)二模）如果二次函數(shù)尸"為常數(shù)）與正比例函數(shù)產(chǎn)入的圖象在?

W2時(shí)有且只有一個(gè)公共交點(diǎn)