一、計算題。（共100題）

1.

一本書的頁碼需要1995個數字，問這本書一共有多少頁？

分析與解從第1頁到第9頁，用9個數字：

從第10頁到第99頁，用180個數字；

從第100頁開始，每頁將用3個數字。

1995-（9+180）=1806（個數字）

1806^3=602（頁）

602+99=701（頁）

2.

某禮堂有20排座位，其中第一排有10個座位，后面每一排都比

它前面的一排多一個座位。如果允許參加考試的學生坐在任意一

行，但是在同一行中不能與其他同學挨著，那么在考試時，這個禮

堂最多能安排多少名學生就試？

分析與解根據要求，第一排有10個座位，可以坐5個學生；第

二排有11個座位，可以坐6個學生；第三排有12個座位也可

以坐6個學生；第四排可以坐7個，第五排可以坐7個；第六、

七排都可以坐8個；第八、九排都可以坐9個；？?第20排可以

坐15個。這樣一共可以坐學生：

5+6+6+7+7+8+8+.......+14+14+15

=5+(6+7+8+……+14)X2+15

=5+上^義2+15

7

=200(人)轂制

3.

一半真一半假A、B、C、D四人賽跑，三名觀眾對賽跑成績做

如下估計：王晨說："B得第二名，C得第一名。〃

張旭說：〃C得第二名，D得第三名?！?/p>

李光說：“A得第二名，D得第四名。〃

實際上，每人都說對了一半。同學們，你能說出A、B、C、D

各是第兒名嗎？

分析與解先假設王晨說的“B得第二名是〃正確的。因為只能有

一個人是第二名，所以“C得第二名〃，與“A得第二名〃就都是

錯誤的。這樣張旭與李光說的后半句話："D得第二名〃和“D

得第四名〃就應該是正確的了。

然而這兩句話自相矛盾，從而可以認定原始的假設是不成立

的，應全部推翻。

再假設王晨說的：“C得第一名〃是正確的，從而推出“C得

第二名〃是錯誤，而“D得第三名〃是正確的，而"D得第四名〃則

又是錯誤的，因而"A得第二名〃則是正確的。在推導過程中沒

有出現矛盾，說明假設成立。

總之，推導的結論為：A得第二名，B得第四名，C得第一

名，D得第三名。

這題還可以用列表的方式來解答。這種方法比較直觀，學生

更容易接受。

第一名第二名第三名第四名

AV

B

C

D、‘.王毋迪

這里提供的只是一種列表方式，把三位觀眾的原始估計顯示

在表內，再根據題中條件進行推理、判斷，最后推出正確結

果。

4.

下面這串數是按一定規律排列的:6、3、2、4、7、8.........

那么這串數的前1995個數的和是多少？第1995個數除以5余

幾？

分析與解觀察這串數的排列規律，不難發現：從第二個數

起，每個數都比它前面那個數與后面那個數的和小5,因此，

這串數繼續排下去為：6、3、2、4、7、8、6、3、2、4、7、

8、6^3、..

又發現6、3、2、4、7、8為一循環排列。

1995^6=332......3(6+3+2+4+7+8)x332+(6+3+2)

=30x332+11=9971/.前1995個數的和為9971

第1995個數為：2

24-5=0.2

.?.第1995個數除以5余2

5.

在一道減法算式中，被減數加減數再加差的和是674,乂知減數

比差的3倍多17,求減數。

分析與解根據題中條件，被減數+減數+差=674.可以推出：

減數+差=674+2=337（因為被減數=減數十差）。

又知，減數比差的3倍多17,就是說，減數=差乂3+17,將

其代入：減數+差=337,得出：差X3+17+差=337差x4=

320差=80于是，減數=80x3+17=257

6.

少年宮游樂廳內懸掛著200個彩色燈泡，這些燈或亮或暗，變幻

無窮。200個燈泡按1-200編號。燈泡的亮暗規則是：第1秒，

全部燈泡變亮；第2秒，凡編號為2的倍數的燈泡由亮變暗；第

3秒，凡編號為3的倍數的燈泡改變原來的亮暗狀態（即亮的變

暗，暗的變亮）；第4秒，凡編號為4的倍數的燈泡改變原來亮

暗狀態。這樣繼續下去，……200秒為一周期。當第200秒時，哪

些燈是亮著的？

分析與解在解答這個問題時，我們要用到這樣一個知識：任何一

個非平方數，它的全體約數的個數是偶數；任何一個平方數，它

的全體約數的個數是奇數。例如，6和18都是非平方數，6的

約數有：1、2、3、6,共4個；18的約數有1、2、3、6、9、

18,共6個。它們的約數的個數都是偶數。又例如，16和25都

是平方數，16的約數有：1、2、4、8、16,共5個；25的約數

有1、5、25,共3個。它們的約數的個數都是奇數。

回到本題。本題中，最初這些燈泡都是暗的。第一秒，所有燈都

變亮了；第2秒，編號為2的倍數（即偶數）的燈由亮變暗；第

3秒，編號為3的倍數的燈改變原來的亮暗狀態，就是說，3號

燈由亮變暗，可是6號燈則由暗變亮，而9號燈卻由亮變

暗……。這樣推下去，很難理出個頭緒來。

正確的解題思路應該是這樣的：凡是亮暗變化是偶數次的燈，一

定回到最初狀態，即是暗著的。只有亮暗變化是奇數次的燈，才

是亮著的。因此，只要考慮從第1秒到第200秒這段時間，每盞

燈變化次數的奇偶性就可判斷燈的亮暗狀態。

一個號碼為a的燈，如果有7個約數，那么它的亮暗變化就是7

次，所以每盞燈在第200秒時是亮還是暗決定于每盞燈的編號的

約數是奇數還是偶數。我們已知道，只有平方數的全部約數的個

數是奇數。這樣1~200之間，只有1、4、9、16、25、36、49、

64、81、100>121、144、169、196這14個數為平方數，因而這

些號碼的燈是亮著的，而其余各盞燈則都是暗著的。

用奇偶性分析解題，是我們經常用的一種解題方法，既靈活又有

趣。

7.

新年快到了，五年級三個班決定互相贈送一些圖書，三個班原有的圖書數量各

不相同。如果五（1）班把本班的一部分圖書贈給五（2）班和五（3）班，那

么這兩個班的圖書數量各增加一倍；然后五（2）班也把本班的一部分圖書贈

給五（1）班和五（3）班，這兩個班的圖書數量也各增加一倍；接著五（3）

班又把本班的圖書一部分贈給五（1）班和五（2）班，這兩個班的圖書又各增

加一倍。這時，三個班的圖書數量都是72本，問原來各班各有圖書有多少

本？

分析與解我們采用逆推與列表的方法進行分析推理。在每次重新變化后，三

個班的圖書總數是不會改變的。由此，可以從最后三個班的圖書數量都是72

本出發進行逆推。（1）班、（2）班的圖書各增加1倍后是72本，（1）

班、（2）班的圖書數量，在沒有增加一倍時都是72+2=36（本）。

現在把（1）班、（2）班增加的本數（各36本）還給（3）班，（3）班應

是72+36+36=144（本）。依此類推，求出三個班原來各有的本數。

為了使逆推過程看得更清楚，我們采用列表的方式進行。

五（1）班五（2）班五（3）班

最后本數727272

前次本數72+2=36724-2=3672+36X2=1，

再前次本數36-2=1836+18+72=1261442=72

【火人，18+63+36=117126-r2=6372英好

通過上表可以看出：五（1）班原有圖書10本，五（2）班原有圖書63

本，五（3）原有圖書36本。

為了保證解答正確，可根據題意，從最后求出的各班原有圖書數量出發，

按題目中三次分配辦法進行計算，看看每班的圖書是否最終都是72本。這樣

通過順、逆兩方面推導，可確保解題正確。

8.

和平里小學五（1）班有學生40名，他們在一起做紙花，每人

手中的紙從7張到46張不等，沒有二人拿相同的張數。今規

定用3張或4張紙做一朵花，并要求每人必須把分給自己的紙

全部用光，并盡可能地要多做一些花，問最后用4張紙做的花

共有多少朵？

分析與解為了多做一些花，就需要盡量用3張紙做1朵花。

我們采用列表的方法找出用4張紙做1朵花的規律。

789101112131415

用3張紙103214325

>>

用4張紙1201■2012

從上表不難看出，用4張紙做花的朵數的規律是：1、2、

0、1、2、0、1、2、0、......

40+3=13……1（1+2）xl3+l=40（朵）

9.

寫出所有分母是兩位數，分子是1,而且能夠化成有限小數的分數。

分析與解當一個最簡分數的分母只含2和5質因數時，這個分數就能化成

有限小數。

所以，當分母是16、32、64、25、10、20、40、80、50時，這樣的分數

都能化成有限小數。

所要求的分數為：一、—、—、—、一、—、—、勇殄J

16326425102040b0<0

10.

筐中有72個蘋果，將它們全部取出來，分成偶數堆，使得

每堆中蘋果的個數相同。一共有多少種分法？

分析與解72的約數有：1、2、3、4、6、12、18、24、

36、72在這些約數中一共有8個偶約數，即可分為：2

堆、4堆、6堆、12堆、18堆、24堆、36堆和72堆，

一共有8種分法。

11.

求商一個六位數23口56口是88的倍數，這個數除以88的商是多

少？

分析與解設這個六位數為23A56B.因為這個六位數是88的倍數，

所以必定是8和11的倍數。

根據能被8整除的數的特征：“一個數的末三位數能被8整除，

這個數就能被8整除〃，B可以取0或8.如果B=0,那么，根據

能被11整除的數的特征：〃一個數，奇數位上數字和與偶數位上

數字和的差被11整除，這個數就能被11整除〃可以知道：

2+A+6-(3+5+0)=A是。或11的倍數。顯然，A不可能是11

的倍數，因為A必須小于10.因此得到A=0所以六位數為：230560

除以88的商為:230560+88=26為如果B=8,那么根據能被11整

除的特征，可求得A=8,于是六位數為238568.這個數與88的商

為：2385684-88=2711

12.

一個筐里有6個蘋果、5個桃、7個梨。

（1）小華從筐里任取一個水果，有多少種不同的取法？

（2）小華從這三種水果各取一個，有多少種不同的取法？

分析與解（1）只取蘋果，有6種取法；只取桃，有5種取法；

只取梨，有7種取法。根據加法原理，一共有6+5+7=18種不同

取法。

（2）分三步進行，第一步取一個蘋果，有6種取法；第二步取

一個桃，有5種取法；第三步取一個梨，有7種取法。根據乘

法原理，要取三種不同類的水果，共有6x5x7=210種不同取

法。

13.

甲、乙二人進行射擊比賽。規定每中一發記20分，脫靶一發扣去

12分。

兩人各打了10發子彈，共得208分,其中甲比乙多得64分，

甲、乙二人各中了多少發？

分析與解根據題中條件，可以求出：甲得：（208+64）+2=136

（分）

乙得：（208-64）4-2=72（分）

又知甲、乙二人各打了10發子彈，假設甲打的10發子彈完全打

中，應該得20x10=200（分），比實際多得200—136:64（分），

這是因為每脫靶一發比打中一發少得20+12=32（分）的緣故。多

出的64分里有幾個32分，就是脫靶幾發。由此可得，甲脫靶了

64?32=2（發）

所以甲打中10-2=8（發）

列出綜合算式如下：10-[20x10-（208+64）+2]+（20+12）=8

（發）

同理，乙打中：10-[20xl0-（208-64）+2懺（20+12）=6（發）

14.

猴子媽媽采來了一籃桃子，她讓小猴子數一數共采了多少桃

子。小猴子3個3個地數，最后多出1個，它就把多出的一

個扔在一邊；它又5個5個地數，到最后還是多出一個，它又

把多出的1個扔在一邊；最后它7個7個地數，還是多出1

個。它數了三次，到底有多少桃子，還是不清楚。小朋友，你

知道這籃子里至少有多少個桃子嗎？

分析與解本題可概括為“一個數用3除余1,用5除余2,用

7除余3,這個數最小是多少？”

我們從余數開始逆推：由于用3除余1,所以這個數為3n+l

（n為正整數）。

要使3n+l這個數繼而滿足用5除余2的條件，可用n=l,

2,3.…來試代，發現當n=2時，3x2+l=7滿足條件。

由于15能被3和5整除，所以15m+7這些數（m為正整

數），也能滿足用3除余1,用5除余2這兩個條件。

在15m+7中選擇適當的m,使之用7除得到的余數為3.也是

采取試代的方法，試代的結果得出：當m=3時涉足條件。

這樣15x3+7=52為所求的答案，也就是說這籃桃子至少有52

個。

對于這類用3、5、7三個數來除分別得到不同余數的題目，

有沒有一個解答的規律呢？有。我國有個著名的余數定理，它

可以用四句詩來形象地記憶。

三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，拋五去

百便得知。

這四句詩叫“孫子點兵〃歌，外國稱它為“中國剩余定理〃。這首

詩的意思是：70乘上用3除所得的余數，21乘上用5除所

得的余數，15乘上用7除所得的余數，然后把這三個乘積加

起來，其和加或減105的整數倍，就可以得到所需要的數

了。

現在我們回到本題，并運用上述辦法求解。由于用3除余1,

用5除余2,用7除余3,所以，70x1+21x2+15x3=70+42+45

=157因為要求的是最小值,所以157-105=52

15.

和平里小學五年級四個班共買了135本圖書，但不知道每班各

買了多少本，只知道，如果五（1）班減少3本，五（2）班加

上3本，五（3）班增加一倍，五（4）班減少一半，那么四個

班所買的圖書本數就相等了。請你幫助算一算，每個班各買了

多少本？

分析與解設五（3）班買了圖書x本，那么根據題意，五

（3）班所買圖書本數的兩倍，等于五（1）班所買圖書本數減

3,所以五（1）班所買圖書本數應為2x+3；同理可推得，五

（2）班所買圖書本數應為2x—3,五（4）

班所買圖書本數應為4x.列方程,得（2x+3）+（2x-3）

+x+4x=135解方程，得x=15五（1）班買圖書2x+3=30+3=33

（本）

五（2）班買圖書2x-3=30-3=27（本）

五（3）班買圖書x=15（本）

五（4）班買圖書4x=4xl5=60（本）

16.

把前十個質數由小到大、從左向右排成一行，刪掉其中十個數

字，讓剩下的數最大，應該怎么刪？

分析與解前十個質數是：2、3、5、7、11、13、17、19、

23、29.把前十個質數由小到大排成一行是：

2357111317192329一共是十六個數字。刪去其中十個數字，則

剩下六個數字，即是個六位數。要使這個六位數最高位是9是

不可能的。從左向右看，第一個數字9的前面最大的數字是

7,應選7作為剩下的六位數的最高位的數字，而將它前面的

數字2、3、5刪去。7的后面當然是取9最大，將其前的七

個數字1、1、1、3、1、7、1刪去。于是得到所求的最大的數

是792329.

17.

在下面13個8之間的適當位置添上+、一、x、?運算符號或

括號，使得下式成立：

8888888888888=1995

分析與解

先找一個接近1995的數，如：8888+8+888=1999這個數比

1995大4,這樣，就把原來的問題轉化成找出利用剩下的5

個8添上適當的運算符號，得出結果是4的算式。因為(8+

8+8+8)+8=41999—4=1995所以，這個等式為8888+8+888

一(8+8+84-8)4-8=1995

18.

一個機床廠，今年第一季度生產車床198臺，比去年同期的產

量2倍多36臺，去年第一季度生產多少臺？

解：設去年第一季度產量為x臺。

2x+36=198

x=81

19.

有一批待加工的零件，甲單獨做需4天，乙單獨做需5天，如

果兩人合作，那么完成任務時甲比乙多做了20個零件。這批零

件共有多少個？

解答：甲和乙的工作時間比為4；5,所以工作效率比是5：4

工作量的比也5：4,把甲做的看作5份，乙做的看作4份，

那么甲比乙多1份，就是20個。因此9份就是180個，所以

這批零件共180個

20.

在下面的數表中，上、下兩行都是等差數列。上、下對應的兩個數字

中，大數減小數的差最小是幾?

15913…

10009979949911-4111

解答：1000-1=999997-995=992每次減少7,999/7=12........5所

以下面減上面最小是51333-1=13321332/7=190.......2所以上面

減下面最小是2因此這個差最小是2o

21.

如圖，正方形ABCD的邊長是12,BE=2CE,DF=EF,三角形BEF

的面積是Oo

解答：連結BD,三角形BCD的面積是12xl2?2=72,三角形

BDE的面積是724-3x2=48,三角形BEF的面積是48+2=24。

22.

如圖，已知正方形ABCD的邊長是4,E、P、F分別是AD、CE、BP

的中點，△DBF的面積是()o

解答：如圖，連接PD和BE。

因為aBCD的面積是4X4+2=8,ZXBCE的面積也是8,

因為E是AD的中點，所以aDEC的面積是4X4+2+2=4,

又因為P是CE的中點，所以△DPC的面積是4+2=2,ZXPEC的面

積是8+2=4。

從而△DBP的面積是8—4一2二2,所以△DBF的面積為1。

23.

有一個直角梯形ABCD（圖11）,已知AB=8厘米，CD=4厘

米，BC=6厘米，三角形ABF的面積比三角形EFD的面積大17.4

平方厘米，那么ED長多少厘米？

解答：