必刷小題19計數原理與概率[分值：73分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.已知一個系統由A，B兩個部件并聯組成，當A或B正常工作時，系統就能正常工作，若A正常工作的概率為0.65，B正常工作的概率為0.6，則該系統正常工作的概率為()A.0.86 B.0.75C.0.47 D.0.14答案A解析根據題意，A，B兩個部件都不能正常工作的概率為(1－0.65)×(1－0.6)＝0.14，所以該系統正常工作的概率為1－0.14＝0.86.2.在x2-2x6的二項展開式中，A.－154 B.C.－38 D.答案B解析因為x2-2x6的展開式的通項Tk＋1＝C6k·126-k·(－2)k·x3－k(k＝0所以當k＝2時，x的系數為C62·124·(－2)3.甲、乙等四個人一起隨機手牽手圍成一圈做游戲，甲與乙牽手的概率是()A.12 B.C.14 D.答案D解析以甲為中心，其他三人的位置是甲的左邊、右邊、對面，共有A33種情況，其中乙在甲的左邊或右邊，即甲與乙能牽手有2A22種情況，所以所求概率為4.現有一批產品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現從中選4件產品進行檢測，則下列事件中互為對立事件的是()A.恰好兩件正品與恰好四件正品B.至少三件正品與全部正品C.至少一件正品與全部次品D.至少一件正品與至少一件次品答案C解析根據題意，選項A中事件為互斥事件，不是對立事件；選項B，D中事件可能同時發生，全部正品是至少三件正品的子事件；選項C中事件為對立事件，全部次品不能存在有正品的事件.5.(2024·大同模擬)某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數字之和為8的四位數稱為“幸運數”(如2024是“幸運數”)，并獲得一定的獎品，則首位數字為2的“幸運數”共有()A.32個 B.28個C.27個 D.24個答案B解析依題意，首位數字為2的“幸運數”中其他三位數字的組合有以下七類：①“0，0，6”組合，有C31種，②“0，1，5”組合，有A33種，③“0，2，4”組合，有A33種，④“0，3，3”組合，有C31種，⑤“1，1，4”組合，有C31種，⑥“1，2，3”組合，有A33種，由分類加法計數原理，首位數字為2的“幸運數”共有3C31＋3A33＋1＝9＋18＋1＝286.已知甲袋中有6個紅球和4個白球，乙袋中有8個紅球和6個白球，隨機取一袋，再從袋中任取一球，發現是紅球，則此球來自甲袋的概率為()A.512 B.C.2041 D.答案D解析設“取到甲袋”為事件A，則P(A)＝P(A)＝12設“取到紅球”為事件B，則P(B|A)＝610＝35，P(B|A由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|A)P(A)＝35×12＋所以P(A|B)＝P(7.在二項式2x-1xn的展開式中，二項式系數的和為64，把展開式中所有的項重新排成一列，奇次項(未知數x的指數為奇數的項A.135 B.C.14 D.答案A解析在二項式2x-1xn的展開式中，二項式系數的和為2n＝64＝2二項式2x-1展開式的通項為Tk＋1＝C6k·26－k(－1)k·x3－k，k＝0，1，2，…，故展開式共有7項，當k＝0，2，4，6時，第k＋1項為奇次項，把展開式中所有的項重新排成一列，奇次項都互不相鄰，即把其他的3個偶次項先任意排，再把這4個奇次項插入其中的4個空中，方法共有A3故奇次項都互不相鄰的概率為P＝A38.某規范化考場的規格為每場30名考生，分為6排5列，依照如表所示的方式進行座位號的編排.為了確保考試的公平性，考生的試卷分為A卷和B卷，座位號為奇數的考生使用A卷，座位號為偶數的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考場參加考試，且三人使用的試卷類型相同，三名考生中任意兩人不得安排在同一排或同一列，則甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有()第5列第4列第3列第2列第1列2524131201第1排2623141102第2排2722151003第3排2821160904第4排2920170805第5排3019180706第6排A.2016種 B.1008種C.1440種 D.720種答案A解析先考慮甲、乙、丙三人使用A卷，則這三個人的座位號都為奇數，分以下幾種情況討論：(1)若這三人都在奇數列，則有一人需在第1列選一個奇數號的座位，有3種情況，然后有一人在第3列要選一個奇數號的座位，但與第一人不能在同一排，只有2種情況，最后一人只能在第5列選擇一個奇數號的座位，但該人不能與前兩人在同一排，最后一人的座位只有一種選擇，此時，不同的排法有3×2×1×A33＝36(種(2)三人中只有兩人在奇數列，首先在第1，3，5列中選兩列，有C3其次，第一個人在其中的第一個奇數列中選擇一個奇數號的位置，有3種選擇，第二個人在另一個奇數列中選擇一個奇數號的位置，有2種選擇，第三個人在兩個偶數列中選擇一個奇數號的位置，有6種選擇，此時，共有C32×(3×2×6)×A33＝648(3)三人中只有一人在奇數列，第一個人在第1，3，5列中隨便選擇一個奇數號的位置，有9種選擇，其次，第二個人在第2列中選擇一個奇數號的位置，有3種選擇，例如第二個人選擇11號座位，由于第三個人不能與第二個人同排或同列，則第三個人只有2種選擇，即19號和21號兩個位置可供選擇，此時，不同的排法有9×3×2×A33＝324(種綜上所述，當三人都使用A卷時，不同的排法種數為36＋648＋324＝1008.由對稱性可知，當三人都使用B卷時，不同的排法種數也為1008.綜上，當三人的試卷類型相同時，不同的座位安排方案種數為1008×2＝2016.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.二項式x-1x6A.前三項系數之和為22B.二項式系數最大的項是第4項C.常數項為15D.所有項的系數之和為0答案BCD解析二項式x-Tk＋1＝C6k(x)6-k·-1xk＝(－1)kC6kx3-3k2(k＝0，1，2，…，6)，前三項的系數之和為(－1)0C60二項式系數C6k(k＝0，1，2，…，6)中最大的是C63，恰好是第要求常數項，通項公式中應滿足3－3k2＝0，得k＝2，即T3＝(－1)2C62x0＝將x＝1代入，可得所有項的系數之和為0，D正確.10.已知A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，則下列結論一定正確的是()A.P(AB)＝0.18B.A，B不可能為互斥事件C.若P(AB)＝0.42，則事件A，B相互獨立D.若A，B相互獨立，則P(A＋B)答案BC解析若P(AB)＝0.18＝P(A)P(B)，則事件A，B相互獨立，無法確定，故A錯誤；若A，B為互斥事件，則P(AB)＝0，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.6＋1－0.3＝1.3>1，故A，B不可能為互斥事件，故B正確；若P(AB)＝0.42＝P(A)P(B)，則事件A，B相互獨立，故C正確；若A，B相互獨立，則A，B相互獨立，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－0.4×0.3＝0.58，故11.五一假期過后，車主小王選擇去某市新開的A，B兩家共享自助洗車店洗車.已知小王第一次去A，B兩家洗車店洗車的概率分別為35和25，如果小王第一次去A洗車店，那么第二次去A洗車店的概率為12；如果小王第一次去B洗車店，那么第二次去A洗車店的概率為35A.小王第一次去B洗車店，第二次也去B洗車店的概率為4B.小王第二次去B洗車店的概率比第二次去A洗車店的概率大C.若小王第二次去了A洗車店，則他第一次去A洗車店的概率為5D.若小王第二次去了B洗車店，則他第一次去A洗車店的概率為13答案AC解析記第i次去A洗車店為事件Ai，第i次去B洗車店為事件Bi，i＝1，2，由題意可知，P(A1)＝35，P(B1)＝2P(A2|A1)＝12，P(B2|A1)＝1P(A2|B1)＝35，P(B2|B1)＝2對于A，P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝25×25＝對于B，P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝35×12＋P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝35×12＋25對于C，P(A1|A2)＝P(A1對于D，P(A1|B2)＝P(A1B三、填空題(每小題5分，共15分)12.小耿與小吳參與某個答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會，小吳有1道題不會，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會答的概率為.

答案14解析小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況，小耿會小吳不會和小吳會小耿不會.則小耿與小吳恰有1人會答的概率為25×15＋13.無人酒店是利用人工智能與物聯網技術，為客人提供自助入住等服務的新型酒店，勝在科技感與新奇感.去某地旅游的游客有無人酒店和常規酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機選擇一種酒店入住，如果第一天入住無人酒店，那么第二天還入住無人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規酒店，那么第二天入住無人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無人酒店的概率為.

答案0.7解析記事件A1＝“第一天入住無人酒店”，A2＝“第二天入住無人酒店”，B1＝“第一天入住常規酒店”，根據題意可知P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.8，P(A2|B1)＝0.6，則由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.7.14.(2024·廣州模擬)如圖是一個3×3的九宮格，小方格內的坐標表示向量，現不改變這些向量坐標，重新調整位置，使得每行、每列各三個向量的和為零向量，則不同的填法種數為.

(－1，1)(0，1)(1，1)(－1，0)(0，0)(1，0)(－1，－1)(0，－1)(1，－1)答案72解析首先對3×3的九宮格每個位置標注數字，第一步先排(0，0)，一共9個位置，因此有C91種排法，根據對稱性知，(0，0)所在的行和列只能排(1，1)，(－1，－1)，(1，－1)，(－1，1)，不妨設(0，0)在1位置，第二步排2位置，則從(1，1)，(－1，－1)，(1，－1