/重慶市外國語學校2024_2025學年高三下冊第二次校考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知扇形的周長為15cm，圓心角為3rad，則此扇形的弧長為（

）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm3．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知拋物線：的焦點坐標為，則的準線方程為（）A． B．C． D．5．已知，且，則（

）.A． B．C． D．6．已知焦點在軸上的雙曲線．該雙曲線的上焦點到下頂點的距離為到漸近線的距離為12，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．第十三屆冬殘奧會于2022年3月4日至3月13日在北京舉行.現從4名男生，2名女生中選3人分別擔任冬季兩項、單板滑雪、輪椅冰壺志愿者，且至多有1名女生被選中，則不同的選擇方案共有（

）.A．72種 B．84種 C．96種 D．124種8．已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺內有一個球，則該球的表面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．的展開式中，下列結論正確的是（

）A．展開式共6項 B．常數項為64C．所有項的系數之和為729 D．所有項的二項式系數之和為6410．已知向量，將繞原點旋轉到的位置，則（

）A． B．C． D．點坐標為11．數學中有許多形狀優美的曲線，曲線就是其中之一，其形狀酷似數學符號“”（如圖），對于此曲線，下列說法正確的是（）A．曲線與直線有3個公共點；B．的最大值為4C．曲線所圍成的圖形的面積為D．的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線，直線，則與之間的距離為.13．2022年北京冬奧會開幕式始于24節氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現代生活的畫面和諧統一起來.我國古人將一年分為24個節氣，如圖所示，相鄰兩個節氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日晷長的和為尺.14．已知函數的部分圖象如圖所示，其中B，C兩點的縱坐標相等，若函數在上恰有3個零點，則實數的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知、、分別為三個內角、、的對邊，.(1)求；(2)若，的面積為，求、16．各項均為正數的等比數列首項，為其前n項和，若，，成等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)，，記數列的前n項和．若，求整數n的最大值.17．已知橢圓方程，橢圓上有三個點，，．(1)求橢圓的標準方程，并求橢圓的離心率：(2)設是橢圓上的動點，且直線關于直線對稱，求直線的斜率.18．某保險公司隨機選取了200名不同駕齡的投保司機，調查他們投保后一年內的索賠情況，結果如下：單位：人一年內是否索賠駕齡合計不滿10年10年以上是10515否9095185合計100100200(1)依據小概率值的獨立性檢驗，分析表中的數據，能否據此推斷司機投保后一年內是否索賠與司機的駕齡有關？(2)保險公司的大數據顯示，每年投保的新司機索賠的概率為，投保的老司機索賠的概率均為．假設投保司機中新司機的占比為.隨機選取一名投保司機，記事件“這名司機在第年索賠”為，事件“這名司機是新司機”為.已知.（i）證明：；（ii）證明：，并給出該不等式的直觀解釋.附：，19．已知函數，.(1)討論的單調區間；(2)當時，令.①證明：當時，；②若數列滿足，，證明.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，所以，故選B.2．【正確答案】C【詳解】設扇形弧長為lcm，半徑為rcm，則，即且，解得：（cm），故此扇形的弧長為9cm.故選C.3．【正確答案】B【詳解】若，由可得，此時；若，則，不合乎題意；若，由可得，此時.因此，滿足的的取值范圍是或，因為或，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選B.4．【正確答案】D【詳解】拋物線焦點坐標為，則，所以準線方程是．故選D．5．【正確答案】A【詳解】∵，，∴，即，∴或（舍去），∴，，，，.故選A.6．【正確答案】B【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，因為雙曲線的上焦點到下頂點的距離為，所以，因為到漸近線的距離為12，所以，所以，得，由，得，所以雙曲線的離心率為.故選B.7．【正確答案】C【詳解】第一步，選出的志愿者中沒有女生共種，只有一名女生共種；第二步，將三名志愿者分配到三項比賽中共有.所以，不同的選擇方案共有種.故選C.8．【正確答案】B【詳解】如圖，作出圓臺的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設圓的半徑為，則，因為，所以，作，，因為，所以，而，由勾股定理得，則，且，而，即得到，解得，則該球的表面積的最大值為，故B正確.故選B.9．【正確答案】CD【詳解】展開式的總項數是7，A不正確；展開式的常數項為，B不正確；取得展開式的所有項的系數之和為，C正確；由二項式系數的性質得展開式的所有項的二項式系數之和為，D正確.故選CD.10．【正確答案】AC【詳解】對于A，將繞原點旋轉到，則與的夾角為，故，故A正確；對于B，因，，可得，則，故B錯誤；對于C，因，，故由向量數量積的定義，可得，故C正確；對于D，若點坐標為，則，故D錯誤.故選AC.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，由，得，所以，即，解得或，所以或或，即曲線與直線有3個公共點，故A正確；對于B，，如圖所示：由圖可知，所在圓的圓心為，半徑為2，.令，則，即，如圖，當該直線與相切時，直線與軸的截距最大，由，得，解得，即的最大值為4，故B正確；對于C，由選項B知，曲線所圍成的圖形的面積為四個全等弓形的面積之和，設弓形的面積為，在中，，所以，所以扇形的面積，，所以，所以曲線所圍成的圖形的面積為，故C錯誤；對于D，可表示為曲線上的點與定點的距離的平方，由圖可知，最大距離為定點到圓心的距離與半徑之和，即，所以的最大值為，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】直線，直線，兩條直線平行，所以與之間的距離.13．【正確答案】84【詳解】依題意，冬至日晷長為13.5尺，記為，芒種日晷長為2.5尺，記為，因相鄰兩個節氣的日晷長變化量相同，則從冬至日晷長到芒種日晷長的各數據依次排成一列得等差數列，數列的公差，因夏至與芒種相鄰，且夏至日晷長最短，則夏至的日晷長為，又大雪與冬至相鄰，且冬至日晷長最長，則大雪的日晷長為，顯然夏至到大雪的日晷長依次排成一列是遞增等差數列，首項為1.5尺，末項為12.5尺，共12項，所以一年中夏至到大雪的日晷長的和為(尺).14．【正確答案】【詳解】由圖可知，，則圖象的一條對稱軸為，設函數的最小正周期為，則，即得，故，又由可得，又因圖象在點附近為減函數，則，即，因，故得，則，于是，當時，，依題意需使，即，解得，于是，，，因函數在上的零點為，又函數在上恰有3個零點，故有或，解得或，即實數的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）根據正弦定理，變為，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，則．（2）由，，得．由余弦定理，得，則，所以．則．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），，成等差數列，故，即，則，解得或者，因為等比數列各項均為正數，故，且所以（2），故，故，故即，解得，故整數n的最大值為.17．【正確答案】(1)方程為,離心率為；(2)【詳解】（1）根據題意將代入橢圓方程可得，解得；再代入點坐標，可得，可得；所以，因此橢圓的標準方程為，離心率為.（2）如下圖所示：因為兩點關于軸對稱，且直線關于直線對稱，所以直線的斜率均存在，且互為相反數，即；設，則直線的方程為，聯立，可得，顯然是該方程的根，所以，可得；即因為，同理可得，可知因此直線的斜率為.18．【正確答案】(1)司機投保后一年內是否索賠與司機的駕齡無關(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析，說明投保司機第一年索賠的概率小于他第一年索賠后第二年又索賠的概率.【詳解】（1）零假設為：司機投保后一年內是否索賠與司機的駕齡無關.根據表中數據，計算得.根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為司機投保后一年內是否索賠與司機的駕齡無關.（2）（i）根據條件概率的定義，.（ii）由題意.由（i）中的結論及已知得，，由概率的性質知.由全概率公式，.根據條件概率的定義，.因為，所以要證，即證，即證.因為，所以成立.所以.式子說明投保司機第一年索賠的概率小于他第一年索賠后第二年又索賠的概率.19．【正確答案】(1)答案見解析；(2)①證明見解析；②證明見解析.【分析】(1)求出函數的導函數，再討論的符號即可計算作答；(2)①等價變形所證不等式，構造函數，利用導數探討單調性即可；②由已知證明，由①分析探討，等價轉化，再構造函數，利用遞推變換即可作答.【詳解】(1)函數定義域為R，求導得，當時，恒成立，即