§7.2球的切、接問題重點解讀球的切、接問題是歷年高考的熱點內容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計算能力.其關鍵點是利用轉化思想，把球的切、接問題轉化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉化為特殊幾何體的切、接問題來解決.一、正方體與球1.內切球：內切球直徑2R=正方體棱長a.2.棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對角線長2a.3.外接球：外接球直徑2R=正方體體對角線長3a.二、長方體與球外接球：外接球直徑2R=體對角線長a2+b2+c2(a三、正棱錐與球1.內切球：V正棱錐=13S表·r=13S底·h(等體積法)，r是內切球半徑，h2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2=(h-R)2+r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h).四、直棱柱的外接球球心到直棱柱兩底面的距離相等，直棱柱兩底面外心連線的中點為其外接球球心.R2=h22+r2(直棱柱的外接球半徑是R，高是h，底面外接圓半徑是r五、圓柱的外接球R=h22+r2(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高六、圓錐的外接球R2=(h-R)2+r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).題型一外接球命題點1補形法例1(1)古代數(shù)學名著《九章算術·商功》中，將底面為矩形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.若四棱錐P-ABCD為“陽馬”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，則此“陽馬”外接球的表面積為()A.41π2 B.41π4 C.答案D解析由于PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，由于四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，PA兩兩互相垂直，所以四棱錐P-ABCD可補形為長方體，且長方體的體對角線為PC=32+4所以外接球的直徑2R=41，所以外接球的表面積為4πR2=41π.(2)已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，則球O的表面積是.

答案8π解析將三棱錐S-ABC放入長方體中，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，如圖所示，則a則a2+b2+c2=8，因為球O的直徑即為長方體的體對角線，則球O的半徑為a2+b所以球O的表面積是4π×(2思維升華滿足下列條件的可以補成長方體(1)(墻角模型)三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，如圖①.(2)三棱錐的四個面均是直角三角形，如圖②.(3)(對棱模型)三棱錐的對棱兩兩相等，則每條對棱為長方體的面對角線，如圖③.跟蹤訓練1在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=22，且三棱錐P-ABC的體積為83，若三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(A.4π B.16π3 C.8π答案D解析∵三棱錐P-ABC的體積為83∴13×34×(22)2∴PA=433，將三棱錐補成三棱柱，可得球心為三棱柱外接球的球心，球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半∵△ABC是邊長為22的正三角形，∴△ABC外接圓的半徑r=26∴球的半徑為R=d2+r2∴該球的表面積為4π×22=16π.命題點2定義法例2(2024·六盤水模擬)如圖，在四面體ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，則四面體ABCD外接球的表面積為()A.2π B.4π C.8π D.8π答案B解析設O是AB的中點，連接OC，OD，如圖所示，由∠ACB=∠ADB=90°，得OA=OB=OC=OD，所以O是四面體外接球的球心，且半徑為OA=OB=OC=OD=12AB=1所以外接球的表面積為4π×12=4π.思維升華到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可.跟蹤訓練2已知菱形ABCD的邊長為2，∠B=60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐P-ACD，如圖所示，當三棱錐P-ACD的表面積最大時，三棱錐P-ACD的外接球體積為()A.52π3 B.43π答案D解析由題意可得，△ACD，△ACP均為邊長為2的等邊三角形，△PAD，△PCD為全等的等腰三角形，則三棱錐P-ACD的表面積S=2S△ACD+2S△PCD=2×12×2×2×32+2×12×2×2sin∠PCD=23+4sin∠PCD≤23當且僅當sin∠PCD=1，即PC⊥CD時，三棱錐P-ACD的表面積取最大值，此時△PAD，△PCD為直角三角形，PD=PC2+取PD的中點O，連接OA，OC(圖略)，由直角三角形的性質可得OA=OC=OD=OP=2，即三棱錐P-ACD的外接球的球心為O，半徑R=2，故外接球體積V=43π×(2)3=8命題點3垂面法例3(2024·雙鴨山模擬)已知四面體ABCD的各頂點均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，則球O的表面積為()A.16π3 B.8π C.28π答案C解析如圖，取BC的中點E，BD的中點F，所以F為△BCD的外心，連接AE，EF，設△ABC的外心為G，因為AB=BC=AC=2，即△ABC為等邊三角形，所以點G在AE上，連接OG，OF，則OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因為平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF，因為△ABC為等邊三角形，E為BC的中點，所以AE⊥BC，因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，則AE∥OF，又EF?平面BCD，所以AE⊥EF，同理EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，故四邊形OGEF是矩形.由BC⊥CD，可得BD=BC2+故DF=2，又OF=EG=13AE=13ABsin60°=設球O的半徑為R，則R2=OD2=OF2+FD2=73所以球O的表面積S=4πR2=28π3思維升華找兩個三角形的外接圓的圓心，過圓心分別作這兩個三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點就是球心.跟蹤訓練3在三棱錐P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A.4π3 B.8π3 C.11π答案D解析如圖，設O1是BC的中點，連接O1A，O1P，由于∠BAC=90°，所以O1是△ABC的外心，O1A=O1B=O1C.由于PA=PB=PC=BC=2，O1是BC的中點，則PO1⊥BC，PO1=3，O1A=1，則PO12+O1A2=PA2，則PO1⊥O1又O1A∩BC=O1，O1A，BC?平面ABC，所以PO1⊥平面ABC，而PO1?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.由于△PBC是等邊三角形，設O是△PBC的外心，連接OA，OB，OC，則OP=OB=OC，又因為O在PO1上，所以OB=OC=OA，則O也是三棱錐P-ABC外接球的球心.設外接球的半徑為r，根據等邊三角形的性質可知r=OP=23O1P=2所以外接球的表面積為4πr2=4π×2332題型二內切球與棱切球命題點1內切球例4(2025·洛陽模擬)已知一圓臺容器的上、下底面中心分別為O1，O2，且O1O2=103，上、下底面半徑分別為2，12，在圓臺容器內放置一個可以任意轉動的球，則該球表面積的最大值為()A.96π B.192π C.48π D.248π答案B解析如圖所示，根據題意可知O1A=2，O2B=12，O1O2=103.設圓臺容器內能放置的最大球的球心為O，且與下底面和母線AB分別切于O2，C，因為tan∠ABO2=10312-2=所以∠ABO2=60°，所以∠OBO2=30°，所以可知球的半徑R=OO2=O2Btan30°=12×33=43此時球的直徑為2R=83<O1O2=103，即此時球與圓臺容器上底面不相切，因此圓臺容器內能放置的最大球的表面積S=4πR2=192π.命題點2棱切球例5一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為2，高為2，有一個球的表面與這個正四棱錐的每條棱都相切，則該球的表面積為()A.43π B.4π C.42π D.3π答案B解析如圖所示，因為正四棱錐底邊邊長為2，高為2，所以OB=2，SB=2，O到SB的距離為d=SO×OB同理O到SC，SD，SA的距離為1，易知O到AB，BC，CD，DA的距離也為1，所以O為球的球心，所以球的半徑為1，所以球的表面積為4π.思維升華多面體內切球的球心與半徑的確定(1)內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.(2)正多面體的內切球和外接球的球心重合.(3)正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合.(4)體積分割是求內切球半徑的通用做法.跟蹤訓練4(1)已知一個表面積為24的正方體，假設有一個與該正方體每條棱都相切的球，則此球的體積為()A.4π3 B.43π C.86π D.答案D解析設正方體的棱長為a，則6a2=24，解得a=2.又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對角線長即為球的直徑長，所以球的半徑長是2，所以此球的體積為43π×(2)(2)將一個母線長為3cm，底面半徑為1cm的圓錐形木頭加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為()A.2πcm2 B.πcm2C.5π2cm2 D.3π2答案A解析原問題可轉化為求該圓錐的內切球表面積，該內切球的半徑與該圓錐軸截面的內切圓半徑相等，畫出該軸截面如圖，由母線長為3cm，底面半徑為1cm可得該圓錐的高h=32-12=22設內切球的半徑為r，則有S軸截面=12×2×22=12×3r+12×3r+12解得r=22cm，則內切球表面積，即最大零件的表面積為4πr2=2π(cm2)課時精練[分值：52分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則其棱切球的表面積是()A.π B.2π C.8π D.12π答案B解析正方體的棱切球的直徑為正方體的面對角線，設棱切球的半徑為R，則(2R)2=12+12=2，解得R=22，所以其棱切球的表面積S=4πR22.各棱長都相等的四面體的內切球和外接球的體積之比為()A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1答案A解析易知正四面體的內切球球心與外接球球心重合，設正四面體的內切球半徑為r，外接球半徑為R，正四面體各面面積為S，則由正四面體的體積得V=13Sr×4=13S(R+r)?R=3r，所以正四面體的內切球和外接球的體積之比為43πr3∶43πR3.一個側棱長為23的直棱柱的底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖為如圖所示的菱形O'A'B'C'，其中O'A'=2，則該直棱柱外接球的表面積為()A.8π B.16π C.32π D.64π答案C解析由已知O'A'=O'C'=2，∠C'O'A'=45°，根據斜二測畫法的性質可得，該直棱柱的底面OA=2，OC=4，OC⊥OA，OC∥AB，OA∥BC，所以該直棱柱的底面為長為4，寬為2的矩形，其體對角線AC1=22+42+(23)2=42，所以該直棱柱外接球的半徑R=224.(2024·重慶模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長分別為3，3，3，高AA1=22，則該三棱柱的外接球的表面積為(A.5π B.20π C.2053答案B解析不妨設AB=AC=3，BC=3，由余弦定理可得cosA=AB2+且A∈(0，π)，則A=2π3所以△ABC的外接圓半徑r=BC2sinA=可得該三棱柱的外接球的半徑R=r2+1所以該三棱柱的外接球的表面積為4πR2=20π.5.已知三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=23，∠BAC=60°，則三棱錐S-ABC外接球的表面積為()A.32π B.64π C.80π D.128π答案A解析△ABC中，BC=23，∠BAC=60°，設△ABC的外接圓半徑為r，根據正弦定理有2r=BCsin∠BAC=23sin60°=4，如圖，設點O1為△ABC的外心，O為三棱錐外接球的球心，∵SA⊥平面ABC，∴OO1∥SA，且OS=OA，∴OO1=12SA=2在Rt△AO1O中，AO1=r=2，OO1=2，∠AO1O=90°，∴AO=22，即三棱錐外接球的半徑為22，∴外接球的表面積為4π·(226.(2025·常德模擬)如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐A1-EFG，且E，F(xiàn)，G分別為棱A1A，A1B1，A1D1上靠近A1的四等分點，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為()A.273π2cmC.1253π2cm答案B解析由題意知A1E=A1F=A1G=32cm設點A1到平面EFG的距離為d，而EF=EG=FG=322S△EFG=12×322×322×sin60°=9由V三棱錐E-A1GF=V三棱錐A1-EFG，得13×12×32×32×棱長為6cm的正方體的內切球的半徑為3cm，棱長為6cm的正方體體對角線的長度為63cm，因為33-32=53所以所求球形飾品的體積最大時即為棱長為6cm的正方體的內切球，則該球形飾品的體積的最大值為43π×33=36π(cm3)二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，外接球的表面積為20π，則正四棱錐P-ABCD的高可能是()A.5+1 B.5-1C.5+3 D.5答案CD解析依題意，外接球的球心可能在正四棱錐內，也可能在正四棱錐外，如果球心在正四棱錐內，如圖1，其中O1是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，∵P-ABCD是正四棱錐，∴PO1⊥平面ABCD，BO1=2，設外接球的半徑為R，則BO=PO=R，4πR2=20π，R=5，在Rt△BOO1中，OO1=BO2-BO12=3，PO1=如果球心在正四棱錐外，如圖2，PO1=PO-OO1=5-3.8.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，點E是側棱BB1上的一個動點，下列結論正確的是()A.直三棱柱的側面積是4+23B.直三棱柱的外接球表面積是8πC.直三棱柱的內置球的最大表面積為4πD.AE+EC1的最小值為22答案ABD解析對于A，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°=3，所以AC=3，所以直三棱柱的側面積為2×(1+1+3)=4+23，A正確；對于B，由正弦定理可得底面△ABC的外接圓半徑r1=32sin120°=1，易知直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心到底面ABC的距離為1所以外接球半徑R=r12+12=2，所以外接球表面積為4πR對于C，若內置球與上、下底面相切，則半徑為1；若內置球與三個側面相切，由截面圖可知，該球半徑等于△ABC的內切圓半徑r2，由三角形面積公式可得12