第40課時實驗九：用單擺測量重力加速度目標要求1.知道利用單擺測量重力加速度的原理，掌握利用單擺測量重力加速度的方法。2.會對測量數據進行處理并進行誤差分析。考點一實驗技能儲備1.實驗原理當擺角較小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為T＝2πlg，由此得到g＝4π2lT2，因此，只要測出擺長l2.實驗器材鐵架臺、單擺、游標卡尺、毫米刻度尺、停表。3.實驗過程(1)讓細線的一端穿過金屬小球的小孔，做成單擺。(2)把細線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上，把鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標記，如圖所示。(3)用毫米刻度尺量出擺線長度l'，用游標卡尺測出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計算出擺長l＝l'＋r。(4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(小于5°)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平穩后測出單擺完成30~50次全振動所用的時間t，計算出單擺的振動周期T。(5)根據單擺周期公式，計算當地的重力加速度。(6)改變擺長，重做幾次實驗。4.數據處理(1)公式法：利用T＝tN求出周期，算出三次測得的周期的平均值，然后利用公式g＝4π2lT2求重力加速度。

(2)圖像法：根據測出的一系列擺長l對應的周期T，作l－T2的圖像，由單擺周期公式得l＝g4π2T2，圖像應是一條過原點的直線5.誤差分析系統誤差：本實驗的系統誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點是否固定，球、線是否符合要求，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內的擺動以及測量哪段長度作為擺長等等。偶然誤差：本實驗的偶然誤差主要來自時間(即單擺周期)的測量上。為了減小偶然誤差，應進行多次測量后取平均值。6.減小誤差的方法(1)一般選用一米左右的細線。(2)懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。(3)應在小球自然下垂時用毫米刻度尺測量懸線長。(4)單擺必須在同一平面內擺動，且擺角小于5°。(5)選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數準全振動的次數。例1(2023·新課標卷·23)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖(a)所示，該示數為mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖(b)所示，該示數為mm，則擺球的直徑為mm。

(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角5°(填“大于”或“小于”)。

(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50cm，則擺長為cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54.60s，則此單擺周期為s，該小組測得的重力加速度大小為m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9.870)

答案(1)0.006(0.005、0.007也可)20.035(20.034、20.036均可)20.029(20.027、20.028、20.030均可)(2)大于(3)82.51.829.83解析(1)題圖(a)讀數為0＋0.6×0.01mm＝0.006mm(0.005mm、0.007mm也可)；題圖(b)讀數為20mm＋3.5×0.01mm＝20.035mm(20.034mm、20.036mm均可)；則擺球的直徑為20.035mm－0.006mm＝20.029mm(20.027mm、20.028mm、20.030mm均可)(2)若角度盤上移則形成如圖所示圖樣，則實際擺角大于5°。(3)擺長＝擺線長度＋半徑，代入數據計算可得擺長為82.5cm；小球從第1次到61次經過最低點經過了30個周期，則T＝54.6030s＝1.82根據單擺周期公式T＝2πLg可得g＝4π2LT2例2利用單擺可以測量當地的重力加速度。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小球，制成單擺。(1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，示數如圖乙所示，讀數為cm。

(2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的是(填標號)。

A.擺線要選擇較細、伸縮性小些的，并且線盡可能短一些B.擺球盡量選擇質量大些、體積小些的C.為了使擺的周期大一些，以方便測量，擺線相對平衡位置的偏角越大越好D.用刻度尺測量擺線的長度，就是單擺的擺長(3)懸掛后，用米尺測量擺長L1，將小球拉離平衡位置一個小角度(小于5°)，由靜止釋放小球，穩定后小球在某次經過平衡位置時開始計時，經過50個全振動時停止計時，測量結果如圖丙所示，則通過測量和計算可得出單擺周期T＝s。

(4)實驗中改變擺長L獲得多組實驗數據，正確操作后作出的T2－L圖像為圖丁中②圖線。某同學誤將懸點到小球下端的距離記為擺長L，其他實驗步驟均正確，作出的圖線應當是圖丁中的(填“①”“③”或“④”)，利用該圖線求得的重力加速度(填“大于”“等于”或“小于”)利用圖線②求得的重力加速度。

答案(1)1.86(2)B(3)2.6(4)③等于解析(1)鋼球直徑讀數為18mm＋0.1mm×6＝18.6mm＝1.86cm。(2)為減小實驗誤差，擺線要選擇較細、伸縮性小些的，并且線盡可能長一些，A錯誤；為減小空氣阻力，擺球盡量選擇質量大些、體積小些的，B正確；若擺線相對平衡位置的偏角超過5°，擺球的運動將不是簡諧運動，C錯誤；擺長為擺線長加上擺球半徑，D錯誤。(3)秒表讀數為t＝2min＋10.0s＝130.0s。單擺周期為T＝130.050s＝2.6s(4)單擺周期公式為T＝2πlg，得T2＝4π2gl，若誤將懸點到小球下端的距離記為擺長，則T2＝4π2g(L－r)，作出的圖線應當是圖丁中的③。考點二探索創新實驗例3(2024·湖北卷·12)某同學設計了一個測量重力加速度大小g的實驗方案，所用器材有：2g砝碼若干、托盤1個、輕質彈簧1根、米尺1把、光電門1個、數字計時器1臺等。具體步驟如下：①將彈簧豎直懸掛在固定支架上，彈簧下面掛上裝有遮光片的托盤，在托盤內放入一個砝碼，如圖(a)所示。②用米尺測量平衡時彈簧的長度l，并安裝光電門。③將彈簧在彈性限度內拉伸一定長度后釋放，使其在豎直方向振動。④用數字計時器記錄30次全振動所用時間t。⑤逐次增加托盤內砝碼的數量，重復②③④的操作。該同學將振動系統理想化為彈簧振子。已知彈簧振子的振動周期T＝2πMk，其中k為彈簧的勁度系數，M(1)由步驟④，可知振動周期T＝。

(2)設彈簧的原長為l0，則l與g、l0、T的關系式為l＝。

(3)由實驗數據作出的l－T2圖線如圖(b)所示，可得g＝m/s2(保留三位有效數字，π2取9.87)。

(4)本實驗的誤差來源包括(填標號)。

A.空氣阻力B.彈簧質量不為零C.光電門的位置稍微偏離托盤的平衡位置答案(1)t30(2)l0＋gT(4)AC解析(1)30次全振動所用時間t，則振動周期T＝t(2)彈簧振子的振動周期T＝2πM可得振子的質量M＝k振子平衡時，根據平衡條件Mg＝kΔl可得Δl＝g則l與g、l0、T的關系式為l＝l0＋Δl＝l0＋g(3)根據l＝l0＋gTl＝l0＋g4π2則l－T2圖像斜率k＝g4π2解得g≈9.59m/s2(4)空氣阻力的存在會影響彈簧振子的振動周期，是實驗的誤差來源之一，故A正確；彈簧質量不為零導致振子在平衡位置時彈簧的長度變化，不影響其他操作，根據(3)解析可知對實驗結果沒有影響，故B錯誤；根據實驗步驟可知光電門的位置稍微偏離托盤的平衡位置會影響振子周期的測量，是實驗的誤差來源之一，故C正確。課時精練(分值：50分)1.(9分)(1)(2分)在用單擺測定當地重力加速度的實驗中，下列器材和操作最合理的是。

(2)(3分)某同學課后想利用身邊的器材再做一遍“單擺測量重力加速度”的實驗。家里沒有合適的擺球，于是他找到了一塊外形不規則的小金屬塊代替小球進行實驗。①如圖甲所示，實驗過程中他先將金屬塊用細線系好，結點為M，將細線的上端固定于O點。②利用刻度尺測出OM間細線的長度l作為擺長，利用手機的秒表功能測出金屬塊做簡諧運動的周期T。③在測出幾組不同擺長l對應的周期T的數值后，他作出的T2-l圖像如圖乙所示。④根據作出的圖像可得重力加速度的測量值為m/s2(π取3.14，計算結果保留三位有效數字)。

(3)(4分)相比于實驗室作出的T2-l圖像，該同學在家做實驗的T2-l圖有明顯的截距。出現這種情況主要原因是，該操作導致重力加速度的測量值(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。

答案(1)D(2)9.86(3)擺長應取懸掛點到金屬塊的重心之間的距離不變解析(1)根據單擺理想模型可知，為減小空氣阻力的影響，擺球應采用密度較大，體積較小的鐵球，為使單擺擺動時擺長不變化，擺線應用不易形變的細絲線，懸點應該用鐵夾來固定。故選D。(2)設M點到小金屬塊重心的距離為r，根據周期公式T=2πL可得T2=4π2g(L故該圖像的斜率為k=4π2g=4.099.0-(-1.0)×102s2/m=4解得由此得出重力加速度的測量值為g≈9.86m/s2(3)由(2)分析可知，出現截距是由于刻度尺測出OM間細線的長度l作為擺長，應該取懸掛點到金屬塊的重心之間的距離。此操作并不會影響圖線的斜率，所以對重力加速度的測量值沒有影響。2.(6分)一同學利用圖甲所示裝置來測定當地的重力加速度。已知光滑圓弧凹槽ABC的半徑為R，弧長為l(R遠大于l)，B為圓弧軌道最低點，A、C關于B點所在的豎直線對稱。小鋼球的半徑為r(r遠小于l)，當小鋼球經過圓弧軌道最低點B時，光傳感器發出的光所在直線，恰好能過小鋼球的球心。現將小鋼球從A點由靜止釋放，沿凹槽ABC自由往復運動，光傳感器接收端接收到一段時間內的光信號強度變化情況如圖乙所示(只有ΔT已知)。(1)(3分)該同學在分析光信號強度變化情況時，發現Δt與ΔT相比，非常小，可以忽略不計。由此可得出，小鋼球往復運動的周期為。

(2)(3分)小鋼球在圓弧軌道上的運動與單擺運動相似，根據“用單擺測量重力加速度”實驗原理，可得當地的重力加速度的表達式為g＝。

答案(1)2ΔT(2)π解析(1)根據題圖乙可知ΔT＝T由于Δt與ΔT相比，非常小，可以忽略不計，解得小鋼球往復運動的周期為T0＝2ΔT(2)單擺的擺長L＝R－r根據T0＝2πL結合上述解得g＝π23.(11分)(2023·重慶卷·11)某實驗小組用單擺測量重力加速度。所用實驗器材有擺球、長度可調的輕質擺線、刻度尺、50分度的游標卡尺、攝像裝置等。(1)(2分)用游標卡尺測量擺球直徑d。當測量爪并攏時，游標尺和主尺的零刻度線對齊。放置擺球后游標卡尺示數如圖甲所示，則擺球的直徑d為mm。

(2)(3分)用擺線和擺球組成單擺，如圖乙所示。當擺線長度l＝990.1mm時，記錄并分析單擺的振動視頻，得到單擺的振動周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g為m/s2(保留3位有效數字)。

(3)(6分)改變擺線長度l，記錄并分析單擺的振動視頻，得到相應的振動周期。他們發現，分別用l和l＋d2作為擺長，這兩種計算方法得到的重力加速度數值的差異大小Δg隨擺線長度l的變化曲線如圖丙所示。由圖可知，該實驗中，隨著擺線長度l的增加，Δg的變化特點是，原因是。答案(1)19.20(2)9.86(3)逐漸減小隨著擺線長度l的增加，則l＋d2越接近于l，此時計算得到的Δg解析(1)擺球直徑d＝19mm＋0.02×10mm＝19.20mm；(2)單擺的擺長為L＝990.1mm＋12×19.20mm＝999.7mm，根據T＝2πLg，可得g＝4π2LT2，代入數據得g＝4×3.14(3)由題圖丙可知，隨著擺線長度l的增加，Δg逐漸減小，原因是隨著擺線長度l的增加，則l＋d2越接近于l，此時計算得到的Δg4.(12分)(2024·山東煙臺市、菏澤市期末聯考)某同學用如圖甲所示的實驗裝置做“用單擺測重力加速度”的實驗。細線的一端固定在一力傳感器觸點上，力傳感器與電腦屏幕相連，能直觀顯示細線的拉力大小隨時間的變化情況，在擺球的平衡位置處安放一個光電門，連接數字計時器，記錄小球經過光電門的次數及時間。(1)(2分)用游標卡尺測量擺球直徑d，結果如圖乙所示，則擺球直徑d＝cm；

(2)(4分)將擺球從平衡位置拉開一個合適的角度，由靜止釋放擺球，擺球在豎直平面內穩定擺動后，啟動數字計時器，擺球某次通過光電門時從1開始計數計時，當擺球第n次(n為大于3的奇數)通過光電門時停止計時，記錄的時間為t，此單擺的周期T＝(用t、n表示)。此過程中計算機屏幕上得到如圖丙所示的F－t圖像，可知圖像中兩相鄰峰值之間的時間間隔為。

(3)(6分)若在某次實驗時該同學未測量擺球直徑d，在測得多組細線長度l和對應的周期T后，畫出l－T2圖像。在圖線上選取M、N兩個點，找到兩點相應的橫、縱坐標。如圖丁所示，利用該兩點的坐標可得重力加速度表達式g＝，理論上圖線在縱軸截距的絕對值等于。

答案(1)1.240(2)2tn(3)4π2l2-l1T解析(1)擺球直徑為d＝12mm＋8×0.05mm＝12.40mm＝1.240cm(2)小球每個周期經過光電門2次，擺球通過光電門時從1開始計數，同時開始計時，當擺球第n次(為大于3的奇數)通過光電門時停止計時，記錄的時間為t，此單擺的周期為T＝tF－t圖像的峰值對應小球經過最低點，每個周期小球兩次經過該位置，可知F－t圖像中兩相鄰峰值之間的時間間隔為tn(3)根據單擺周期公式T＝2πl可得l＝g4π2T可知，l－T2圖像的斜率k＝g由題圖丁可知k＝l可得重力加速度表達式為g＝4π2l根據前面式子可知理論上圖線在縱軸截距的絕對值等于擺球半徑d25.(12分)(2023·湖南卷·11)某同學探究彈簧振子振動周期與質量的關系，實驗裝置如圖(a)所示，輕質彈簧上端懸掛在鐵架臺上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個小磁鐵，其正下方放置智能手機，手機中的磁傳感器可以采集磁感應強度實時變化的數據并輸出圖像，實驗步驟如下：(1)測出鉤碼和小磁鐵的總質量m；(2)在彈簧下端掛