因數與倍數

一天，因數和倍數走到了一起。倍數高傲地對因數說：“哎，哥們，見了我怎么也

不下拜呀？”

“我為什么要拜你，你算老幾呀？”因數生氣地回答。

“我是老大呀

“你是老大？為什么”

“你說，一個數的倍數有多少個呀？”

“這我知道，一個數的倍數有多數個J

只見倍數慢條斯理地說：“這就對嘛，一個數的因數的個數就則可憐的幾個。而一

個數的倍數有多數個.你的家庭成員這么少，而我的家庭是這樣的浩大。你說，你不應

當拜我嗎？”

“是的，你的家庭是浩大的，可是，你知道嗎？因為你的家庭的浩大，你知道你

是老幾嗎？我們的家庭成員是有限的，可是，我們都知道我們自己的位置。再說，離

開我們這些因數，你們這些倍數還成立嗎？”因數義正詞嚴地回答。

只見倍數撓著耳朵，想了想，說：“對，其實我們是密不行分的好伙伴，我們誰都

離不開誰。剛才是我不對，我向你致歉了J

“沒有關系，沒有關系，你知道自己錯了就好。在自然數中，我們誰離開了誰都

是不存在的。沒有倍數，我是誰的因數呢？同樣，沒有因數，你們又是誰的倍數呢？

讓我們共同攜手，緊密團結在一起，恒久做好兄弟！”因數懇切地說。

因數和倍數兩位好伙伴的手緊緊地握在了一起。

一、約數的概念與最大公約數

。被解除在約數與倍數之外

1.求最大公約數的方法

①分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來.

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21;

2|1812

②短除法：先找出全部共有的約數，然后相乘.例如：3[9_6,所以(1218)=2x3=6;

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③輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的

最大公約數.用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大

的一個數，得第一個余數；再用第一個余數除小的一個數，得其次個余數；又用其次

個余數除第一個余數，得第三個余數；這樣逐次用后一個余數去除前一個余數，直到

余數是0為止.則，最終一個除數就是所求的最大公約數.(假如最終的除數是1，則

原來的兩個數是互質的).

例如，求600和1515的最大公約數：1515-5-600=2..315;600+315=1285;

315?285=130;285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公約數是15.

2.最大公約數的性質

①幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數；

②幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數；

③幾個數都乘以一個自然數〃，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約

數乘以〃.

3.求一組分數的最大公約數

先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數a；

求出各個分數的分子的最大公約數b;S即為所求.

二、倍數的概念與最小公倍數

1.求最小公倍數的方法

①分解質因數的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以[231,252]=2?x3?x7x11=2772;

②短除法求最小公倍數；

2|1812

例如：3|96，所以[18』2]=2x3x3x2=36;

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2.最小公倍數的性質

①兩個數的隨意公倍數都是它們最小公倍數的倍數.

②兩個互質的數的最小公倍數是這兩個數的乘積.

③兩個數具有倍數關系，則它們的最大公約數是其中較小的數，最小公倍數是較

大的數.

3.求一組分數的最小公倍數方法步驟

先將各個分數化為假分數；求出各個分數分子的最小公倍數〃；求出各個分數分

母的最大公約數〃；2即為所求.例如：里

a412(4,12)4

留意：兩個最簡分數的最大公約數不能是整數，最小公倍數可以是整數.列如：

Fl1]=M=4

[23j(2,3)

三、最大公約數與最小公倍數的常用性質

1.兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質。

假如"，為A、6的最大公約數，且A=〃也，B=nib,則〃、力互質，所以A、6的最小

公倍數為“力，所以最大公約數與最小公倍數有如下一些基本關系：

①,即兩個數的最大公約數與最小公倍數之積等于這兩個數

的積；

②最大公約數是A、B、A+8、A-8與最小公倍數的約數.

2.兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數的乘積。

即Qb)x[a向…如此性質比較簡潔,學生比較簡潔駕馭。

3.對于隨意3個連續的自然數，假如三個連續數的奇偶性為

a）奇偶奇，則這三個數的乘積等于這三個數的最小公倍數

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍數

b）偶奇偶，則這三個數的乘積等于這三個數最小公倍數的2倍

例如:6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍數為336+2=168

性質（3）不是一個常見考點，但是也比較有助于學生理解最小公倍數與數字乘積

之間的大小關系，即“幾個數最小公倍數肯定不會比他們的乘積大”。

四、求約數個數與全部約數的和

1.求任一整數約數的個數

一個整數的約數的個數是在對其嚴格分解質因數后，將每個質因數的指數（次數）

加1后所得的乘積。

如：1400嚴格分解質因數之后為2,52X7,所以它的約數有（3:1）X（2+1）X

（1+1）=4X3X2=24個。（包括1和1400本身）

約數個數的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導

過程是建立在開篇講過的數字“唯一分解定理”形式基礎之上，結合乘法原理推導出

來的，不是很困難，建議給學生推導并要求其駕馭。難點在于公式的逆推，有相當一

部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告知一個數有多少個約數，

然后再結合其他幾個條件將原數“還原構造”出來，或者是“構造出可能的最值”。

2.求任一整數的全部約數的和

一個整數的全部約數的和是在對其嚴格分解質因數后，將它的每個質因數依次從

1加至這個質因數的最高次基求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數

的全部約數的和。

如：21000=2AX3X51X7,所以21000全部約數的和為

此公式沒有第一個公式常用，推導過程相對困難，須要很多步提取公因式，建議

幫助學生找規律性的記憶即可。

重點：分解質因數法是一個數論重點方法，本講另一個授課重點在于讓孩子對這

個方法能夠嫻熟并且敏捷運用。

難點：在對質數和合數的基本相識，在這個基礎之上能夠會與之前的一些學問點

結合運用。

【例1】用一個數去除30、60、75,都能整除，這個數最大是多少？

【鞏固】一個數用3、4、5除都能整除，這個數最小是多少？

【例2】有三根鐵絲,長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現在要把它們截成相

等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少

段？

【鞏固】加工某種機器零件，要經過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3

個零件，其次道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成

5個，要使加工生產均衡，三道工序至少各安排幾個工人？

【例3】一次會餐供有三種飲料.餐后統計，三種飲料共用了65瓶；平均每2個人飲用

一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參與會餐

的人數是多少人？

【鞏固】一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若干個同樣大小的正

方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘

米？

【例4】用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數。

【鞏固】求1008、1260、882和1134四個數的最大公約數是多少？

【例5】求21672和11352的最小公倍數。

【例5】把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，

而沒有剩余，問：能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？

【鞏固】一個房間長450厘米，寬330厘米.現安排用方磚鋪地，問須要用邊長最大

為多少厘米的方磚多少塊（整塊）,才能正好把房間地面鋪滿？

【例7】現有三個自然數，它們的和是1111,這樣的三個自然數的公約數中，最大的

可以是多少？

【鞏固】用19這九個數碼可以組成362880個沒有重復數字的九位數，求這些數的最

大公約數.

【例8】兩個自然數的和是50,它們的最大公約數是5,試求這兩個數的差.

【解析】設這兩個自然數為：5”、5?,其中a與力互質，5"5/>?5O,a+/>-1(),經檢臉，容易得到兩組

符合條件的數：9與1或者：與3.于是，所要求的兩個自然數也有兩組：45與5,35與15.它們的差分

別是：45-5=40,35-15=20.所以，所求這兩個數的差是40或者20.

【鞏固】一次考試，參與的學生中有工得優，1得良，,得中，其余的得差，己知參與

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考試的學生不滿50人，則得差的學生有多少人？

【例9】甲、乙兩數的最小公倍數是90,乙、丙兩數的最小公倍數是105,甲、丙兩

數的最小公倍數是126,則甲數是多少

【例10】已知兩個自然數的積為240,最小公倍數為60,求這兩個數.

【鞏固】已知兩數的最大公約數是21,最小公倍數是126,求這兩個數的和是多少？

【解析】假設這兩個數是21a和26,易得2lxax〃=126,所以ax8=6,由a和8互質，那么就有

6=lx6=2x3兩種情況.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=42,21x3=63兩種情況.它

們的和是147或105.

“S3菖8

1、老師節那天，某校工會買了320個蘋果、240個桔子、200個鴨梨，用來慰問退休

的教職工，問用這些果品，最多可以分成多少份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮

物中蘋果、桔子、鴨梨的個數彼此相等)？在每份禮物中，蘋果、桔子、鴨梨各多少個?

【解析】因為(320,240,200)=40，320+40=8,240+40=6：200+40=5,所以最多可分40份，每份

中有8個革果6個桔子，5個鳴梨.

2、用2、3、4、5、6、7這六個數碼組成兩個三位數A和B,則A、B、540這三個數

的最大公約數最大可能是.

3、一個兩位數有6個約數，且這個數最小的3個約數之和為10,則此數為幾？

4、一次考試，參與的學生中有;得優，；得良，g得中，其余的得差，已知參與考試

的學生不滿100人，則得差的學生有多少人？

5、有甲、乙、丙三個人在操場跑道上步行，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走120米，

丙每分鐘走70米.已知操場跑道周長為400米,假如三個人同時同向從同一地點動身,

問兒分鐘后，三個人可以首次相聚？

6、已知兩個自然數的最大公約數為4,最小公倍數為120,求這兩個數.（★）

1、質數與合數:一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也

叫做素數）。一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。要特殊記住：

1不是質數，也不是合數。

2、質因數與分解質因數假如一個質數是某個數的約數，則就說這個質數是這個數

的質因數。把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

1、有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮

物