一、填空題：

1.若(x+1)n=xn?...+ax3^bx2+:x+l(n￡N,)，且a：b=3：1?那么n=.

2.從編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十個球中，任取5個球，則這5個球編號

之和為奇數的概率是.

3.一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球，從中摸出一個球，放回后再摸出一個

球，則兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為.

4.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰的概率

為(用分數表示)

5.若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為.

6.棱錐的高為16cm,底面積為512cm2,平行于底面的截面積為50cm2,則截面與底面的

距離為.

7.如果球的內接正方體的表面積為24,那么球的體積等于.

8.正三棱錐的一個側面的面積與底面積之比為2：3,則這個三棱錐的側面和底面所成二面

角的度數為.

9.在棱長為1的正方體ABCD——AiBiJDi中，若G、E分別為BBi,JDi的中點，點F是

正方形ADDiAi的中心，則四邊形BGEF在正方體六個面上的射影圖形面積的最大值

為.

10.給出下列命題：①底面是正多邊形且側棱和底面成等角的棱錐是正棱錐；②側棱都相等

的棱錐是正棱錐：③側棱和底而成等角的棱錐是正棱錐：④側面和底面所成二而角都相等的

棱錐是正棱錐，其中正確命題的是.

11.如圖，點A在銳二面角a-MN-B的棱MN上，在面a內引射線AP,使AP與MN所

成的NPAM為45。，與面B所成的角為30。，求二面角a-MN-B的大小

12.如圖，正四面體S-ABC的邊長為a,D是SA的中點，E是BC的中點，則SDE繞SE旋

轉一周所得旋轉體的體積為

二、選擇題：

13.已知（1-3x）9=ao+aix+aaX2+...+a9X9,則|ao|+|ai|+|a2|+...+|a9等于（）

A.29B.49C.39D.1

14.（2x+C）4的展開式中）：3的系數是（）

A.6B.12C.24D.48

15.如圖，0A是圓錐底面中心。到母線的垂線，0A繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成體

16.平行六面體的樓長都是a,從一個頂點出發的三條樓兩兩都成60。角，則該平行六面體

的體積為（）

3

A.a3B.yaC.冬曉D.

17.如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A、B、C、D在球。的同一個大圓匕點P

在球面上，如果VpTRE坐，則求。的表面積為（）

A.4nB.8nC.12nD.16n

18.已知（x-旦）8展開式中常數項為1120,其中實數a是常數，則展開式中各項系數的

X

和是（）

A.28B.38C.1或38D.1或28

19.將1,2,…,9這9個數平均分成三組，則每組的三個數都可以成等差數列的概率為（）

A工B工C,D’

,56,70,336-420

20.將一顆質地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現一次6點向上的概率是（）

A上B三C迎D.

'216"216,216,216

三、解答題：

21.A={x3x2+x-2>0,x￡R「B=（X|^2|->0,xCR）,

（1）用區間表示集合A、B；

（2）求AAB.

22.已知一個圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個高為x的內接圓柱,

（1）求此圓柱的側面積表達式；

（2）x為何值時，圓柱的側面積最大？

R

23.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的

等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與x的函數關系式，并求出函

數的定義域.

24.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,且

NADC二arcsi津，又PA_L平而ABCD，AD=3AB=3PA=3a,

5

(I)求二面角P-CD-A的正切值；

(II)求點A到平面PBC的距離.

25.在三棱錐S-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90",且AC=BC=5,SB=5A/E-

(I)證明：SC±BC：

<n)求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小；

26.如圖，在直四極柱ABCD-AiBiGDi中，AB=AD=2,DC=2代，AAF?AD±DC,AC±

BD垂足為E.

(I)求證BDlAiC：

(n)求二面角Ai-BD-Ci的大小：

(DI)求異面直線AD與BJ所成角的大小.

四、備用題.

27.如圖，ABCD-AiBiJDi是正四棱柱，側棱長為1,底面邊長為2,E是棱BC的中點.

(1)求三棱錐Di-DBC的體積：

(2)證明BDi〃平面JDE：

(3)求面JDE與面CDE所成二面角的正切值.

28.如圖，正四極柱ABCD-AiBiCiDi中，底面邊長為2近，側棱長為4.E,F分別為梭AB,

BC的中點，EFABD=G.

(I)求證:平面B】EF_L平面BDDiBi：

(11)求點Di到平曲BiEF的距離d：

(DI)求三棱錐Bi-EFDi的體積V.

)n的展開式中，前三項系數成等差數列，求展開式中的有理項.

30.袋中有5個白球，3個黑球，從中任意摸出4個，求下列事件發生的概率：

(1)摸出2個或3個白球：

(2)至少摸出1個白球：

(3)至少摸出1個黑球.

31.把1,2,3,4,5各數分別寫在5張卡片上，隨機地取出3張排成自左向右的順序，

組成三位數，

求：(1)所得三位數是偶數的概率；(2)所得三位數小于350的概率；(3)所得三位數

是5的倍數的概率.

32.已知函數y=f(X)是R上的奇函數，當xWO時，f(x)=-

9X+12

(1)判斷并證明y=f(x)在(-8,0)上的單調性：

(2)求y=f(x)的值域：

(3)求不等式f(x)〉口的解集.

33.如圖，正三棱柱ABC-AiBiCi中，D是BC的中點，AB=a.

(I)求證:直線AiD_LBiJ；

(n)求點D到平面ACC1的距離；

(DI)判斷A】B與平面ADJ的位置關系，并證明你的結論.

'A

2008?2009學年上海市閔行三中高三(上)9月月考數學

試卷

參考答案

一、填空題：

1.若(x+1)n=xn+...+ax3+bx2+:x+l(n€N*),且a：b=3：1,那么n=11.

【分析】根據條件中所給的二項式定理的展開式，寫出a和b的值，根據這兩個數字的比值,

寫出關于n的等式，即方程，解方程就可以求出n的值.

解：(x+1)n=xn+...+ax3+bx2^cx+l(nGN4),

??8=Cn^,b=Cn^>

Va：b=3：1,

Aa：b=Cn3：Cn2=3：1,

.n(n-l)(n-2)n(n-l)

..-------——-------：-------------=3：1,

3X22

.\n=ll.

故答案為：11

【點評】本題是考查二項式定理應用，考查二項式定理的二項式系數，是一個基礎題，解題

的關鍵是寫正確要用的a和b的值.

2.從編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十個球中，任取5個球，則這5個球編號

之和為奇數的概率是

【分析】由題意知本題是一個古典概型，試驗發生的總事件是任取5個球有CK)5種結果，滿

足條件的編號之和為奇數的結果數為C5K54+C53c52+65=126,根據公式得到結果.

解：由題意知本題是一個古典概型，

???試驗發生的總事件是任取5個球有種結果，

滿足條件的編號之和為奇數的結果數為C5K54+C53c52+CSS=126,

由古典概型公式得到，

126i

???概率為肅■三吃

Jo/

【點評】本題考查古典概型，條件中包含的組合數的應用有點難度，容易出錯，解題時要看

清數字的特點，這個題目把這5個球編號之和為奇數變為這2個球編號之和為奇數，也能體

現解題方法.

3.一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球，從中摸出一個球，放回后再摸出一個

球，則兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為苦19.

【分析】由題意知本題是一個古典概型，用組合數表示出試驗發生所包含的所有事件數，滿

足條件的事件分為兩種情況①先摸出白球，再摸出黑球，②先擺出黑球，再摸出白球，根據

古典概型公式得到結果.

解：由題意知本題是一個古典概型，

???試臉發生所包含的所有事件數是Cs】Cs].

滿足條件的事件分為兩種情況

①先摸出白球,Pg】,再摸出黑球,P白產C21c3】；

②先摸出黑球,P護C31,再摸出白球‘P斯C"】,

ciclclcl19

【點評】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，實際上本題可以列舉出所有

事件?，概率問題同其他的知識點結合在一起，實際上是以概率問題為載體，主要考查的是另

一個知識點.

4.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰的概率

為_申9_（用分數表示）

【分析】本題是一個等可能事件的概率，試驗發生所包含的事件是7個人全排列，共有A??

種結果，2位老人相鄰，把兩位老人看成一個元素和另外5個元素進行排列，兩個老人之間

還有一個排列，共有A66A22種結果，得到概率.

解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，

試驗發生所包含的事件是7個人全排列，共有A/7種結果，

滿足條件的事件是，2位老人相鄰，把兩位老人看成一個元素，

和另外5個元素進行排列，兩個老人之間還有一個排列，共有A66A?2種結果,

,6,2

Ao9

???2位老人相鄰的概率是P=一￥=

A；7

故答案為：Y

【點評】本題考查等可能事件的概率，本題解題的關鍵是理解兩個老人相鄰的處理方式，利

用捆綁法，注意不要漏掉倆個老人之間還有一個排列，本題是一個基礎題.

5.若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為_急_.

【分析】由題意知，本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是從10個元素中任取2個

元素，滿足條件的事件數C21cF+C22,得到10把鑰匙中有2把能打開某鎖的概率.

【解答】解法一：

解：由題意知，本題是一個古典概型，事件是從10個兀素中任取2個兀素

?.?試驗發生的事重件數CH?,

???若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，

滿足條件的事件數C2K/+C22

陵鴻工

則從中任取2把能將該鎖打開的概率為

-72-45,

5。

17

故答案為：

45

解法二：

取出的兩把鑰匙都不能打開鎖的概率是：

_「工2型

此一「2一45，

b10

所以能打開門的概率是：

17

P=1-Po=*.

45

【點評】本題考查古典概型和計數原理，試驗發生包含的事件數需要通過排列組合數來表示,

是一個易錯題，在概率問題中開鎖問題是比較困難的.

6.棱錐的高為16cm,底面積為512cm2,平行于底面的截面積為50cm2,則截面與底面的

距離為11cm.

【分析】利用面積之比是相似比的平方，求出截取棱錐的高，然后求出截而與底面的距離.

解：設截取棱錐的高為：h,則山）二旦.一=5,所以截面與底面的距離：16-5=llcm

"16，512

故答案為：11cm

【點評】本題是基礎題，考查面積之比是選上比的平方，考查計算能力，空間想象能力.

7.如果球的內接正方體的表面積為24,那么球的體積等于兀

【分析】先求球的內接正方體的棱長，再求正方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求其

體積.

解：球的內接正方體的表面積為24,所以正方體的棱長是：2

正方體的對角線2加,所以球的半徑是加

所以球的體積：473K

【點評】本題考查球的內接體問題，球的體積，考查學生空間想象能力，是基礎題.

8.正三棱錐的一個側面的面積與底面積之比為2：3,則這個三棱錐的側面和底面所成二面

角的度數為60。.

【分析】在三極錐中，??個側面在底面上射影的面積為地面面積的看，有三角形的面積公式,

側面與底面所成二面角為e，則cos%惻面在［繇需^勺睢,則可求解.

側面的面積

解：設一個側面面積為S，底面面積為Si,則這個側面在底面上射影的面積為得,

S2

由題設得，設側面與底面所成二面角為a

S13

HUcos9=h

S1

-3SJT

S1

.?.6=60°.

故答案為：60。

【點評】本題考查空間二面角的計算和應用，考查運算能力.

9.在棱長為1的正方體ABCD--AiBiQDi中，若G、E分別為BBi,C1D1的中點，點F是

正方形ADDiAi的中心，則四邊形BGEF在正方體六個面上的射影圖形面積的最大值為

1

【分析】欲求四邊形BGEF在正方體六個面上的射影圖形面積的最大值，只須找出四邊形

BGEF在正方體在前后面上的射影，在左右面上的射影，在上下面上的射膨，這三種不同的

情況下射影的面積即可，這三種情形只有在前后面上的射影正好占到一個面的一半，從而得

到結果.

解：BGEF在正方體的六個面上的射影有三種情況，

即在前后面上的射影，在左右面上的射影，在上下面上的射影，

這三種不同的情況下，只有在前后面上的射影正好占到一個面的一半，

???射影到面積的最大值是看

故答案為:

【點評】本題考杳平行投影即平行投影作圖法等基礎知識，考杳空間想象力，屬于基礎題.

10.給出下列命題：①底面是正多邊形且側棱和底面成等角的棱錐是正棱錐；②側棱都相等

的棱錐是正棱錐；③側棱和底面成等角的棱錐是正棱錐；④側面和底面所成二面角都相等的

棱錐是正棱錐，其中正確命題的是①.

【分析】從正棱錐的定義逐一判斷，即可.對于①頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形

的中心；對于②側棱都相等的核誰底面不一定是正多邊形；③側棱和底面成等角的棱錐底面

不一定是正多邊形；對于④側面和底面所成二面角都相等的棱錢底面不一定是正多邊形，從

而得出正確命題.

解：根據正棱錐的定義：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心.

可以判斷①底而是正多邊形且側棱和底面成等角的棱錐是正棱維，符合定義，是正棱錐：故

正確.

②側棱都相等的棱錐是正棱錐不正確：因為底面不一定是正多力形.故錯誤.

③側棱和底面成等角的棱錐是正棱錐不正確：底面不一定是正多邊形.故錯誤.

④側面和底面所成二面角都相等的棱錐是正棱錐；底面不一定罡正多邊形.錯誤.

其中正確命題的是①

故答案為：①.

【點評】本題考查正棱錐的定義、棱錐的結構特征等基礎知識，考查空間想象力.屬于基礎

題.

11.如圖，點A在銳二面角a-MN-B的棱MN上，在面a內引射線AP,使AP與MN所

成的NPAM為45。，與面B所成的角為30。，求二面角a-MN-B的大小45

【分析】求二面角平面角的大小，關鍵是找（作出）出二面角的平面角，本題可以利用定義

法尋找.過點P作平面B的垂線PB,垂足為B,過點B作BC垂直于MN,連接PC,根據條

件可以證得NPCB為二面角a-MN-。的平面角，再分別在APBA,△PCA,APCB可

求二面角a-MN-p的平面旄.

解：過點P作平面B的垂線P3,垂足為B,過點B作BC垂直于MN,連接PC

VPBlp,MNc3，.\PB±MN

VMNXBC,JZPCB為二面角a-MN-p的平面角

設PB=1,在4PBA中，ZPAB=30°,.\PA=2

在4PCA中，ZPAC=45\APC=>/2

在aPCB中，PB=1,PC=V2-'NPCB=45。

故答案為450

【點評】本題的考點是二面角的平面角及求法，主要考查利用定義找（作出）出二面角的平

面角，關鍵是找（作出）出二面角的平面角，同時也考查學生計算能力.一般地，二面角的

平面角的求法，遵循一作、二證、三求的步驟，定義法事最基本的尋找方法.

12.如圖，正四面體S-ABC的邊長為a,D是SA的中點，E是BC的中點，則SDE繞SE旋

【分析】連接AE,先證EDJ_SA,作DF±SE,交SE于點F,從而可知所求的旋轉體的體積

是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個圓錐的體積的和，然后求出DF,SE,即可

求出所求.

解：連接AE,因為aSDE和△,%（：都是邊長為a的正三角形，并且SE和AE分別是它們的中

線，

所以SE=AE,從而ASDE為等腰三角形，由于D是SA的中點，

所以ED_LSA.作DF_LSE,交SE于點F.考慮直角ASDE的面積，得至I]ySE-DF=ySD-DE，

所以‘DF鬻號?易知，SE=^w42-（f）24a,

_____________________旦

DE=7sE2-SD2=y1-a2-（4）二李所以，爸?三一二坐■&.

“TQ

所求的旋轉體的體積是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個圓錐的體積的和，即

)2儂。兀,(44-3

；兀?a)2?SF+:冗.)2磔烏兀?

JQJQJJ0

故答案為：空冗

36

【點評】本題主要考查了旋轉題的體積，解題的關鍵是弄清旋轉體的形狀，木題旋轉體是以

DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個圓錐，屬于中檔題.

二、選擇題:

13.已知(1-3x)9=ao+aix+a2X2+...+agx9,則ao+|aiI+a2+…+39等于()

A.29B.49C.39D.1

【分析】根據二項式定理，可得(l-3x)9的展開式為T「產(-3x)由絕對值的意義

可得，ao)+ai+1a2+...+；ag=a。-a/a2-a3+...a8-ag-

令x=l,代入(l-3x)9可得答案.

解：由二項式定理,(1-3X)9的展開式為1.1=3(-3x)r,

則X的奇數次方的系數都是負值，

aol+31|+|32I+...+I39|-30-31+32-33*...-39.

根據題意,只需賦值x=?l,即可得|ao|+|ai|+|azl+“.+|a9l=49

故選：B.

【點評】本題考查二項式定理的運用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，進行賦值，

可以簡便的求出答案.

14.(2X+VZ)4的展開式中＞：3的系數是()

A.6B.12C.24D.48

【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的第r+1項，令x的指數為3,求出展開式

中X?的系數.

解:(2x+F)4展開式的通項為T1+i=C；(2x)4-r(《)r=24rc；x4-自

令4v■二夕眸得r=2

故展開式中x3的系數是4XC/=24

故選：C.

【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的痔定項問題的工具.

15.如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成體

積相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為()

A

1111

A?場J/。?麗

【分析】設OB=1,求出OD,AC,利用OA繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成體枳相等的兩

部分，求得關系式，從而求得答案.

解：如圖，設OB=1,則OD=8tB,AC=AD?sin0,OD?cos0sin0=cos20.

V圓錐DBB，二丁°18,v醫錐ODAA，=yDO-KAC2=ycot9-Heos40,

由題意知cos484，故知cos8二去.

2V2

【點評】本題考查旋轉體的體積，三角函數等有關知識，是中當題.

16.平行六面體的棱長都是a,從一個頂點出發的三條棱兩兩都成60。角，則該平行六面體

的體積為()

A7B.鋁C.條3?濟3

【分析】由題意通過三面角公式，求出側棱與底面所成的角，求出平行六面體的高，底面面

積，即可求出平行六面體的體積.

解:由題意側棱與底面所成的角為8，所以cos6(T=cos3(r(:ose,所以COS6=Y±,

3

所以平行六面體的高為：asinO=2Zp-,平行六面體的底面面積為：a2sin6(T=堂”，

32

所以平行六面體的體積為：與心連手，

322

故選；c.

【點評】本題是中檔題，考查平行六面體的體積的求法，考查計算能力，注意三面角公式的

應用.

17.如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A、B、C、D在球。的同一個大圓匕點P

在球面上，如果先TRE當，則求。的表面積為（

XAJjLJj's

A.4nB.8nC.12nD.16n

【分析】由題意可知，PO_L平面ABCD,并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面

積.

解：如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A,B.C,D在球。的同一個大圓上，點P

1A

在球面上，POJ_底面ABCD,PO=R,SABCD=2R2,

球O的表面積是16TT,

故選：D.

【點評】本題考查球的內接體問題，球的表面積、體積，考查學生空間想象能力，是基礎題.

18.已知（x-且）8展開式中常數項為1120,其中實數a是常數，則展開式中各項系數的

x

和是（）

A.28B.38C.1或38D.1或28

【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為。得常數項列出方程求出

a,給二項式中的x賦值求出展開式中各項系數的和.

解：Tr.l=C8r?X8，?（-3X'1）r=（-a）rCsr*X8'2r.

令8-2r=0,

Ar=4.

Z.(-a)4c84=1120,

.*.a=±2.

當a=2時，令x=l,則（1-2）8=i.

當a=-2時，令x=l,則（1+2）8=38.

故選：C.

【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具：賦值法是

求展開式的系數和的重要方法.

19.將1,2,…,9這9個數平均分成三組，則每組的三個數都可以成等差數列的概率為（）

—B.---—D.1

5670336420

【分析】先把9個數分成3組，根據排列組合的性質可求得所有的組的數，然后把三個數成

等差數列的組，分別枚舉出來，可知共有5組，然后利用概率的性質求得答案.

C3c3c3

解：9個數分成三組，共有.9g1組,其中每組的三個數均成等差數列，有｛<1,2,3），

A3

(4,5,6),(7,8,9)｝、｛(1,2,3),(4,6.8),(5,7,9)｝、｛(1,3,5),

(2,4,6),(7,8,9)｝、｛(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)｝、｛(1,5,9),

(2,3,4),(6,7,8)｝,共5組.

???所求概率為5二1

8X7X5=56

故選：A.

【點評】本題主要考查了等差關系的確定和概率的性質.對于數量比較小的問題中，可以用

枚舉的方法解決問題直接.

20.將一顆質地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現一次6點向上的概率是（）

A工B三C總D.

'216'216"216,216

【分析】事件“至少出現一次6點向上”的對立事件是“出現0次6點向上的概率”，由此借助

對立事件的概率進行求解.

解：丁事件“至少出現一次6點向上”的對立事件是“出現0次6點向上的概率”，

?.?至少出現一次6點向上的概率P=l-C°（1）0（14）3=1-然=黑?

J8hZ1OZ1O

故選：D.

【點評】本題考查n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，解題時要注意對立事件概率的

合理運用.

三、解答題：

21.A={xl3x2+x-2>0,xSRj,B二絲包>0,x€R),

x-3

(l)用區間表示集合A、B；

(2)求AAB.

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合A,解分式不等式求得集合B,再用區間表示這

兩個集合.

(2)利用兩個集合的交集的定義求出ADB.

解:(1)A二&|3X2+X-2>0,xtR}二{X|X>|"或X<T},B={X|X>3或X<,},

oSI

所以，A二(-8,-1]Ufl,+OO),B=(-oo,4)U(3,+co)....

34

(2)AdB=(x|x<-l樵〈或x>3}....

【點評】本題主要考查集合的表示方法，一元二次不等式和分式不等式的解法，兩個集合的

交集的定義和求法，屬于基礎題.

22.已知一個圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個高為x的內接圓柱,

(1)求此圓柱的側面積表達式;

(2)x為何值時，圓柱的側面積最大？

【分析】(1)由題意，圓柱的高已知為x,故求出圓柱底面的半徑r關于x的表達式，再由

公式求出側而枳的表達式，由圖知，求底面半徑可利用過軸的截面建立比例關系去駕冷,

KH

從中解出底面半徑表達式:

（2）由（1）S圓柱惻面二2九Rx-2；Rx2,此是一個關于圓柱高的二次函數，由二次函數

的知識判斷出函數的最值，即可得到圓柱側面積的最大值，同時求出此時的x的值

解：（1）過圓錐及內接的圓柱的軸作截面，如圖：

因為看華，所以『R-t

Knn

...2兀R2

從而7S圓柱側面二2幾rx二2兀Rx-jj—x?

（2）由（1）S圓柱側面二ZJlKx//Rx?

因為片區＜0,

H

_2HR_H

所以當X-三-4兀R加時,S制最大，

H

從而當x=￡，即圓柱的高為圓錐高的一半時，圓柱的側面枳最大?

【點評】本題是一個旋轉體中的最值問題，解題的關鍵是建立起圓柱側面積的函數關系，利

用函數的最值求側面積的最值，本題的難點是作出旋轉體的軸截面，由此橫面上的比例關系

將底面半徑用高表示出來，從而由公式建立起側面積關于高X的函數關系，這也是本題的重:

點，本題考查了數形結合的思想，函數的思想，利用函數求最值是函數的一個重要運用，

23.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的

等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與x的函數關系式，并求出函

數的定義域.

10

【分析】設出所截等腰三角形的底邊邊長為xcm,在直角三角形中根據兩條邊長利用勾股定

理做出四極錐的高，表示出四枝錐的體積，根據實際意義寫出定義域.

解：如圖，設所截等腰三角形的底邊邊長為xcm,

0F="^~xcir，

在R2EOF中，EF=5cID,

?*,E0z^25^-x2,

依題意函數的定義域為｛x0<x<10)

【點評】本題是一個函數模型的應用，這種題目解題的關鍵是看清題意，根據實際問題選擇

合適的函數模型，注意題目中寫出解析式以后要標出自變量的取值范圍.

24.如圖，在底面是直角梯形的四極錐P-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,且

ZADC=arcsirr^?

又PA_L平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a,

D

(I)求二面角P-CD-A的正切值:

(II)求點A到平面PBC的距離.

【分析】(1)在底面ABCD內，過A作AE_LCD,垂足為E,連接PE,易得NPEA是二面角

P-CD-A的平面角,在RtAPAE中求出此角的正切值:

(2)在平面APB中，過A作AH_LPB,垂足為H,可證得AH的長即為點A到平面PBC的距

離，在等腰直角三角形PAB中解出AH即可.

解：(1)在底面ABCD內，過A作AEJ_CD,垂足為E,連接PE,

?.?PA_L5Pi5lABCD,易證PE_LCD,

VZPEA是二面角P-CD-A的平面角,

在KtZXAtzULp,AU=3a,ZAUt=arcsin^-,

5

AE=AD?sinNADE=Z^

5

在RtAPAE中，tm/pEA造或

rJLo

??.二面角P-CD-A的正切值為近：

3

(II)在平面APB中.過A作AHIPB.垂足為H

；PA_L平面ABCD,

PA1BC,

又AB_LBC,ABClYffiPAB,

??.平面PBC_L平面PAB,

???AH_L平面PBC,

故AH的長即為點A到平面PBC的距離,

在等腰直角三角形PAB中，加爍守

所以點A到平面PBC的距離為噂?

2

【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理

論證能力，屬于基礎題.

25.在三棱錐S-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC=BC=5,SB=5%.

(I)證明:SC1BC；

(H)求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小:

(m)求三棱錐的體積VsABC-

【分析】(I)利用SA_L平面ABC,根據三垂線定理，可得SC_LBC.

(II)由于BC_LAC,SC1BC,可知NSCA是側面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.在

RtZkSCB中,求得SC=10,在RtZXSAC中，可求側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小.

(ID)先計算SAABC，再求VS-ABC=1?SAACB?SA.

解：(I)證明：???NSAB=NSAC=90°,ASAIAB,SA1AC.

XABCIAC=A,.工人_1_平面ABC.

由于NACB=90°,即BC_LAC,

由三垂線定理，得SCJ_BC.

(II)解：VBCXAC,SC±BC

???ZSCA是側面SCB與底而ABC所成二面角的平面角.

在RL^SCB中，BC=5,SB=5V5.

得SC=7SB2-BC2=1°

AC51

在R3SAC中AC=5,SC=10,2sSCA=蔡二工二；

ZSCA=60°,即側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60。.

(ID)解：在RtZXSAC中,

,**SA=VSC2-AC2=7102-52=V75-

SAARC=-^*AC?BC=4-X5X5=舉.

222

VsABc=-^-?SAACB?SA=^-X*

JJ，0

【點評】本題以三楂錐為載體，考查線線垂直，考查線面角，考查幾何體的體積，關鍵是作

出二面角的平面角.

26.如圖，在直四棱柱ABCD-AiBCDi中，AB=AD=2,DC=2/，AAI=V3?AD±DC,AC±

BD垂足為E.

(I)求證BD±AiC：

(n)求二面角Al-BD-Cl的大小：

(DI)求異面直線AD與BJ所成角的大小.

【分析】解法一：

(1)在宜四棱柱ABCD-ABiCiDi中，由AAi_L底面ABCD可知：AC是AiC在平面ABCD上

的射影.因為BD_LAC,所以3D_LAC

(2)二面角的度量關鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理.連接AiE,CiE,

AiCi.與(I)同理可證BD_LA】E,BDXCiE,所以N4EJ為二面角A「BD-J的平面角;

(3)求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共

面，認定再計算“，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余

弦定理米求.還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數法和幾何法

求解.本題采用的是"幾何法"：過B作BF〃AD交AC于F,連接FJ,則NJBF就是AD與

BCi所成的角.

解法二：

(1)同解法一：

(2)以D為坐標原點，DA.DC,DD】所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標

系.連接AiE,CiE,AiCi，與(1)同理可證，BDlAiE,BD1C1E,所以/A1EC1為二面角

Ai-ED-Ci的平面角.因為菽J前;所以EAilECi.則二面角Ai-ED-Ci的大小為90。.

解法三：

(1)同解法一；

（2）建立空間直角坐標系，坐標原點為E.連接AiE,CiE,AiCi.與（I）同理可證BD_L

AiE,BDICiE,所以NA1EC1為二面角Ai?BD-Ci的平面角.日E（0,0,0）Ai（0,-1,

M）,Ci（0,3,加）.因為證J西，所以EAilECi.則二面角Ai-ED-J的大小

為90°.

解法二、三都是用的“向量法”，只是空間直角坐標系建立的位置不同，這樣各個點的坐標也

會隨之改變.這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、

線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決.（2）即使立體感稍差一些的

學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可.

解：法一：

（I）在直四棱柱ABCD-AB】GDi中，

???AA」底面ABCD..,.AC是AiC在平面ABCD上的射膨.

VBD1AC.ABDlAiC；

（II）連接AiE.GE.AiCi.

與⑴同理可證BD_LA】E,BDICiE,

ZA1EC1為二面角Ai-BD-Ci的平面角.

*

VAD1DC,..ZA1DiCi=ZADC=90°,

又A]D[=AD=2,DiJ=DC=26,A人尸花且AC_LBD,

.?.A]CI=4,AE=1,EC=3,.*.AIE=2,（：止=25，

在△AiECi中，AiCi^AjE^CiEsAZAiECi=90°,

即二面角Ai-BD-Ci的大小為90。.

（川）過B作BF〃AD交AC于F,連接FJ,

則NC】BF就是AD與BCi所成的角.

VAB=AD=2,BD1AC,AE=1,

，BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,/.FCi=V??BCi=V15.

在ABFCi中，cos/CiBF=^a^=Y15.1.NC】BF=arccos近￡

12/1555

即異面直線AD與BJ所成角的大小為arccos逗.

5

法二:

（I）同解法一

（H）如圖，以D為坐標原點，DA,DC,DDi所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間

直角坐標系.

連接AiE,CiE,AiCi.

與（1）同理可證，BD±AiE,BDXCiE,

???NAiECi為二面角Ai-ED-Ci的平面角.

由Ai（2,0,舍）Ci（0,2、/,近）E（亮,3,0）

22

得直廣仔-冬衣），西=（-右竽表）

???甌?EC廣-3-*3=0,

/.EAilEC7,即EA】_LEG.

二二面角Ai-ED-Ci的大小為90°

（ID）如圖，由D（0,0,0）,A（2,0,0）,Ci（0.2近，的），B（3,加，0）,

得曲（-2.0,0）,BCr（-3,無，道），

???標?BC]=6,I屈l?BC[=6,旃1=2,|BCjl=V15

而，西匚后

/.cos<AD>BCp='I筋|西廣訪

;異面直線AD與BQ所成角的大小為arccos?5.

5

法三:

(I)同解法一.

(II)如圖，建立空間直角坐標系，坐標原點為E.連接A】E,CiE,A1C1.

與（I）同理可證BDlAiE,BD1C1E,

，ZAiECi為二面角Ai-BD-Ci的平面角.

由E（0,0,0）Ai（0,-1,遂），Ci（0,3,V5>?

得拓（0,-1,加），西=（0,3,A/3）.

EAj*EC|=-3+3=0,

???EA[_LEC]即EA11EC1,

???二而角Al-BD-Cl的大小為90°.

【點評】本小題主要考查棱柱的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想

象能力和推理、運算能力.

四、備用題.

27.如圖，ABCD-AiBiCiDi是正四棱柱，側棱長為1,底面邊長為2,E是棱BC的中點.

(1)求三棱錐Di-DBC的體積；

(2)證明BDi〃平面JDE：

(3)求面JDE與面CDE所成二而角的正切值.

【分析】(1)分別求出高DDi和底面面枳SZXBCD,最后由三棱錐的體枳公式求其體枳.

(2)根據線面平行的判定理,只要證明EF〃BDi即可.

(3)先過C作CG_LDE交DE于G,連接則DE_LJG作出二面角的平面角來，然后在R-CDE

O

中，CD=2,CE=1,DE=在，求得CG=7^，再由CJ=1,通過tanNCiGC=解.

解：(1)VBC=CD=2.'.=-^-X2X2=2

XVDDi=l

119

???三棱錐Di-DBC的體積=^5ABCDDDk音X2X1=>^

(2)設CiDCCD尸F

連接EFVE為BC的中點F為CDi的中點

AEF是ABCDi的中位線.，.EF〃BDi

又BDi在平面CiDE外，EF在平面JDE內

.'.BDi〃平面CiDE

(3)過C作CGJ_DE交DE于G,連接

則DElCiGAZCiGC是二面角Ci-DE-C的一個平面角

在RtrCDE中，CD=2,CE=1,DE=J^

VCCi=lACCiG是直角三角形

IC1CI后

.\tanZCiGC=.

班丁否一2

【點評】本題主要考查線而平行的判定定理，三棱錐的體積公式及二面角的幾何求法，一般

來講，是一作，二找，三證.

28.如圖，正四棱柱ABCD?AiBiCiDi中,底面邊長為2加，側棱長為4.E,F分別為棱AB,

BC的中點，EFABD=G.

(I)求證：平面BiEFJ.平面BDDiBi：

（U）求點Di到平面BiEF的距離d：

（DI）求三棱錐Bi-EFDi的體積V.

【分析】（1）方法一：欲證明平面BiEF_L平面BDDiBi，先證直線與平面垂直，觀察平面

BDDiBi為正四棱柱ABCD-AiBiGDi的對角面，所以AC_L平面BDDiBi，故連接AC,由EF〃

AC,可得EF_L平面BDDiBi

方法二：欲證明平面B】EF_L平面BDDiBi,先證直線與平面垂直，由題意易得EF_LBD,又EF

±DiD,所以EFJ_平面BDDiB】

（2）本題的設問是遞進式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的.由第（1）問可知，點

Di到平面BiEF的距離d即為點Di到平面BiEF與平面BDDiBi的交線BiG的距離，故作D】H

±BiG,垂足為H,所以點Di到平面BiEF的距離d=DiH.下面求DiH的長度.

解法一:在矩形BDDiBi及Rt/XDiHBi中，利用三角函數可解.

解法二：在矩形BDDiBi及Rt/XDiHBi中，利用三角形相似可解.

解法三：在矩形BDDiBi及△CiGBi中，觀察面枳人小關系可解.

（3）本題的設問是遞進式的，第（2）問是為第（3）間作鋪墊的.解決三棱推求體積的問

題，關鍵在于找到合適的高與對應的底面，由第（2）問可知，DiH即為三棱錐B1-EFDi的

高，所以BiEF為對應的底面.

解：（I）證法一：

連接AC.

,/正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底而是正