一元一次方程應用——追及問題【教學內容】《圓》是義務教育課程標準實驗教科書魯教版九年級下冊第四章第一課。【教材分析】本節課是北師大版初中數學七年級上冊第五章第六節的內容，共1課時。是學生在學習了一元一次方程及其解法后的延伸，也是一元一次方程應用的追及問題。雖然本節課內容比較簡單，但卻蘊涵著由簡單到復雜，由特殊到一般，以及抽象、類比、轉化等數學思想方法，在教材中有著非常重要的地位和作用。【學情分析】本班學生數學基礎較差，層次差異較為顯著。在此之前，他們已經學習了一元一次方程的相關知識，能夠解方程；學生學習的積極性也比較高，有較強的求知欲望，特別是對現實中的問題有濃厚的探索興趣；學生已經初步形成了一定的合作探究意識，并且具備了一定的合作探究能力，但對現實問題的抽象還是比較薄弱。【教學目標】根據《數學課程標準》對這部分知識的要求及本課的特點，結合學生的實情，本節課的學習目標確定為：（1）知識與技能知道一元一次方程的定義、列方程解應用題的步驟，能夠在現實中運用他們。理解列方程解應用題的一般思想方法，并能在實踐中加以運用，掌握這種思想方法。進一步發展分析問題的能力、表達能力、抽象能力以及問題解決的能力。數學思考通過觀察、抽象、探索、理解與運用，學生進一步體會到方程的模型作用，提高應用數學的意識。借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而建立方程，解決實際問題，發展分析問題、解決問題的能力。（3）問題解決利用圓的定義及點與圓的位置關系解決相關問題。情感態度通過師生間、學生間的探索與交流以及情境的創設，激發學生的學習熱情和求知欲望。學生通過對數學問題的分析、解決，體會到成功的成就感，在學習中感受數學的無處不在，從而進一步提高學習數學、應用數學解決實際問題的意識，養成良好的學習習慣。三維目標是一個有機的整體，我們在教學中應該以知識技能為主線，滲透情感、態度、價值觀，并把兩者充分地體現在過程與方法中。【教學重難點】教學重點：熟悉追及問題中的路程、時間、速度之間的關系。從而實現從文字語言到圖形語言、從圖形語言到符號語言的轉化。教學難點：借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而解決實際問題。【教學方法與教學手段】探究法、歸納總結法采用“創設情境-操作思考-探究活動-嘗試交流-反思評價”的課堂活動模式，努力營造自主、合作、探究的學習氛圍，利用多媒體輔助教學，生動、直觀地反映問題情境，啟發式與自主探索相結合的教學方式，使學生在學習中獲得愉快的體驗。【教學準備】導學案直尺多媒體課件【教學課時】一課時【教學過程】學習活動學生活動教師活動設計意圖情景創設欣賞圓學生欣賞，感受圓。學生思考回答。【欣賞圓】多媒體展示：呈現關于“輪子”的圖片，讓學生觀察這些圖片這些圖片給你留下了什么樣的圖形形象？想一想，你在生活中還見過哪些圓的形象？師總結：圓是生活中常見的圖形，許多物體都給我們以圓的形象，圓象征著完美，和諧和對稱。這節課，讓我們一起走進圓的世界，探索圓的奧秘。（板書：圓）從生活中常見“輪子”等圖片引入課題，一方面引起學生的學習興趣，另一方面為學習新知識作鋪墊，激發學生學習的興趣。動手操作描述圓學生思考回答動手操作有問題可以和同桌交流思考回答，其他同學補充。嘗試描述圓的運動過程理解識記。【描繪圓】探索圓的形成過程（圓的運動概念）說一說：你對“圓”有哪些認識？如：圓心，半徑，用圓規畫圓畫一畫：在學案上用圓規上任意畫一個圓。（展示學生所畫的圓，并描述圓的過程，畫法是以什么為圓心，以什么為半徑的圓。）想一想：為什么學生畫出的圓有大有小，位置不同？（強調圓心和半徑是確定一個圓的條件。）議一議：如果體育老師向在操場上畫一個半徑3米的圓，該如何操作？請試著描述一個圓的形成過程。從生活中畫圓到數學中的畫圓過程，如何用語言描述？（學生自主概括出圓的概念.教師板書，學生看書找出定義)【描述圓】：平面內，線段OA繞它固定的端點O旋轉一周，另一個端點A所描出的封閉曲線叫做圓。定點O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以O為圓心的圓我們記做☉O,以點A為圓心的圓，我們記做☉A。等圓：半徑相等的兩個圓叫做等圓，兩個等圓能夠重合。注意：圓是指圓周，是一條封閉的曲線。提問：圓心在不在圓上？通過觀察，操作，猜想，交流等活動，培養學生動手動腦動口的意識與能力。讓學生嘗試給圓下定義，可以訓練學生的語言表達能力和歸納能力。合作交流探究圓學生自主探究，討論交流結論。畫完后小組交流，并選小組代表總結交流結果，并引導學生反過來觀察判斷。學生理解識記。口答，說明理由。【研究圓】點與圓的位置關系觀察與思考飛鏢是我們生活中常見的一種游戲。右圖是一個圓形靶的示意圖，O為圓心，小明向上投了5枝飛鏢，它們分別落到了A,B,C,D,E點。你能對小明的成績作個點評嗎？教師總結：落點與圓的位置關系決定成績的好差。觀察上圖，平面內點和圓有幾種位置關系呢？（點與圓的位置關系：點在圓內，點在圓上，點在圓外）如何判斷點與圓的位置關系，下面我們通過操作一起來探究。操作與討論請你在剛才作畫紙上任取一點P，量一量點P到圓心O的距離，記為OP的長為d，在畫一條半徑r。試比較d與r的大小關系，再看看此時點P與圓O的位置關系。（分類討論）（2）小組交流，試比較d與r的大小關系，再看看此時的點與圓之間的關系。

（3）歸納總結：這個符號讀作“等價于”，表示從左邊推出右邊，也可以從右邊推出左邊。總結：通過同學們的操作與討論，我們發現點與圓的位置關系可以轉化為點到圓心的距離和半徑之間的數量關系；反過來，通過點到圓心的距離和半徑之間的數量關系可以確定點到圓心的位置關系。這就是數學中“數形結合”的思想。（板書：數形結合）【應用圓】（一）：1.若圓O的直徑是8cm，判斷點P與圓O的位置關系。（1）、若OP=4.5cm，點P在圓o_____.（2）、若OP=3cm，點P在圓o_____.（3）、若OP=_____，點P在圓上。2.已知矩形ABCD的長為2，寬為1，以頂點A為圓心，作一個半徑為2的圓，分別指出正方形ABCD的頂點B,C,D與☉A的位置關系。點B在☉A＿＿＿＿。點C在☉A＿＿＿＿。點D在☉A＿＿＿＿。在做中學，在學中思。通過這組聯系的訓練，可以增強學生對這一知識的理解和掌握。合作交流探究圓學生思考回答。嘗試給圓下定義。學生回答。思考識記。學生獨立思考自主合作小組交流完成教師點評【研究圓】（二）：思考交流：在平面內找一點P，使點P到圓心O的距離等于3cm，這樣的點能找幾個？這無數多個點集中在一起，形成了怎樣的圖形？是怎樣的圓？我們以前學過哪個圖形也具有類似的性質？（角平分線、線段的垂直平分線）類比描述：因此，類比角平分線，線段的垂直平分線，圓還可以用另一種語言來敘述它的定義。歸納總結：平面內到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。這里，定點是圓心，定長是半徑。提問：圓內所有點是不是也有著共同的特征？圓外的所有點呢？總原來，一個圓可以把平面內的點分成三個部分，圓內的點，圓上的點，圓外的點。【應用圓】（二）：多媒體展示交流嘗試：如圖，已知點P,Q，且PQ=4cm。畫出下列圖形：到點P的距離等于2cm的所有點組成的圖形。到點Q的距離等于3cm的所有點組成的圖形。思考：在所畫圖中，到點P的距離等于2cm，且到點Q的距離等于3cm的點有幾個？請在圖中將他們表示出來。在所畫圖中，到點P的距離小于或等于2cm，且到點Q的距離大于或等于3cm的點所組成的圖形，請把它畫出來。讓學生類比角平分線，嘗試從集合的角度給圓下定義，讓學生理解類比是學習新知的有效途徑。鞏固圓的集合定義。、拓展延伸應用圓學生獨立思考說出答案，并說明理由。學生認真思考，理解題意，在學案上寫出解答過程，找一名同學交流答案。全班交流，教師規范做題步驟。學生在一定時間內學完A組的題目，學有余力的同學完成B組的題目。POPO說一說：為什么車輪都做成圓形？車輪能否做成正方形或矩形？做一做：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，CM是AB邊上的中線，以點C為圓心，以為半徑作圓，試確定A,B,M三點分別于☉C有怎樣的位置關系，并說明你的理由。自我檢測：A組B組理論與實踐相結合，讓學生充分感受所學知識的使用價值，學以致用的同時提升對所學知識的理解程度。梳理反思回味圓學生小組內討論，總結，推薦小組代表進行發言。看書質疑看課本，將所學知識回顧一遍，不懂的地方提出來。提出問題1.這節課的學習知識方面有哪些收獲？2.在數學思想方法方面你有哪些收獲？讓學生自己小結，既活躍了課堂氣氛，做到了全員參與，又理清了知識脈絡，強化了重點，培養了學生的口頭表達能力。布置作業理解圓學生記錄。“一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓”。這是古希臘的數學家畢達哥拉斯一句話。同學們，圓的知識我們還會繼續學習，圓的秘密需要你們繼續探索，只要你有一顆不倦于思考的大腦，一雙善于觀察的明眸，就會在圓的世界里發現美，欣賞美，還可以創造美。必做題：習題123選做題：如圖，一片草地上一根3m長的繩子，一端拴住墻角，另一端栓著一只小羊，請畫出羊可以吃到草的范圍。分層作業，目的讓不同的學生在數學上有不同的收獲。板書設計圓【教學反思】本課的內容主要一是圓的動態定義，而是點與圓的位置關系，及判定方法，三是園的靜態的定義。對于圓的動態定義主要通過觀察圓的過程來引導學生組織語言從運動的觀點來說出他的定義，由此得出定點是圓心，定長是半徑。同時引導學生說出圓的兩要素所起的作用。另外，讓學生知道圓的表示方法與圓心的字母有關。教學中強調圓是圓周，它是一條封閉的