高數(shù)競(jìng)賽試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^3\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(x\)5.\(\intxdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)6.已知\(z=x^2+y^2\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2x\)B.\(2y\)C.\(x^2\)D.\(y^2\)7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對(duì)收斂8.曲線\(y=\cosx\)的周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)9.函數(shù)\(y=e^x\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(e^x\)B.\(-e^x\)C.\(xe^x\)D.\(\frac{1}{x}e^x\)10.方程\(x^2+y^2=1\)表示的圖形是（）A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.圓二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件有（）A.函數(shù)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.函數(shù)在點(diǎn)\(x_0\)處有定義4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int0dx=C\)B.\(\int1dx=x+C\)C.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.關(guān)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)，下列說法正確的有（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)是把\(y\)看作常數(shù)對(duì)\(x\)求導(dǎo)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}\)是把\(x\)看作常數(shù)對(duì)\(y\)求導(dǎo)C.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)一定連續(xù)D.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微6.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)7.曲線\(y=f(x)\)的拐點(diǎn)可能出現(xiàn)在（）A.\(f''(x)=0\)的點(diǎn)B.\(f''(x)\)不存在的點(diǎn)C.\(f'(x)=0\)的點(diǎn)D.\(f(x)\)的間斷點(diǎn)8.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=-x^2\)9.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec{b}=(2,4)\)的關(guān)系有（）A.平行B.垂直C.同向D.反向10.對(duì)于微分方程\(y'+p(x)y=q(x)\)，下列說法正確的有（）A.它是一階線性微分方程B.其通解為\(y=e^{-\intp(x)dx}(\intq(x)e^{\intp(x)dx}dx+C)\)C.當(dāng)\(q(x)=0\)時(shí)為齊次方程D.可以用分離變量法求解三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)在\(x=-1\)處有定義。（）2.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x=a\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是\(y'=3x^2\)。（）4.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)，\(f(x)\)一定是奇函數(shù)。（）5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）6.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）7.函數(shù)\(y=\sinx\)的最大值是1，最小值是-1。（）8.曲線\(y=x^2\)的凹區(qū)間是\((0,+\infty)\)。（）9.向量\(\vec{a}=(1,1)\)與向量\(\vec{b}=(-1,-1)\)垂直。（）10.微分方程\(y''+y=0\)的通解是\(y=C_1\cosx+C_2\sinx\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。-答案：先求導(dǎo)\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y'\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(y'\lt0\)；\(x\gt2\)時(shí)，\(y'\gt0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計(jì)算\(\intx\cosxdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)。\(\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2y+xy^2\)的全微分。-答案：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy\)。所以\(dz=(2xy+y^2)dx+(x^2+2xy)dy\)。4.求冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑。-答案：根據(jù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑公式\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)，這里\(a_n=\frac{1}{n}\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\)，則\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性和凹凸性。-答案：先求導(dǎo)\(y'=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)，\(y''=\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\)。由\(y'\)判斷單調(diào)性，在\((-\infty,-1)\)和\((0,1)\)上\(y'\gt0\)，函數(shù)遞增；在\((-1,0)\)和\((1,+\infty)\)上\(y'\lt0\)，函數(shù)遞減。由\(y''\)判斷凹凸性，在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)上\(y''\gt0\)，函數(shù)下凸；在\((-1,1)\)上\(y''\lt0\)，函數(shù)上凸。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的斂散性，\(p\)為實(shí)數(shù)。-答案：當(dāng)\(p\gt1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)\(0\ltp\leqslant1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，但原級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨定理，條件收斂；當(dāng)\(p\leqslant0\)時(shí)，\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\neq0\)，級(jí)數(shù)發(fā)散。3.結(jié)合實(shí)際例子說明導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用。-答案：比如生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本函數(shù)\(C(x)\)和收益函數(shù)\(R(x)\)。利潤(rùn)函數(shù)\(L(x)=R(x)-C(x)\)。通過求導(dǎo)\(L'(x)\)，令\(L'(x)=0\)找到駐點(diǎn)，判斷駐點(diǎn)