高中數學復習試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)3.等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)4.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)5.已知\(\alpha\)是第二象限角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha\)等于（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)6.若函數\(f(x)=x^{2}+2x+a\)沒有零點，則實數\(a\)的取值范圍是（）A.\(a\lt1\)B.\(a\gt1\)C.\(a\leqslant1\)D.\(a\geqslant1\)7.直線\(3x+4y-5=0\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定8.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^{2}\ltb^{2}\)B.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)C.\(\log_{2}a\lt\log_{2}b\)D.\((\frac{1}{2})^{a}\lt(\frac{1}{2})^{b}\)9.一個正方體的棱長為\(2\)，則該正方體的外接球的體積為（）A.\(4\sqrt{3}\pi\)B.\(8\sqrt{3}\pi\)C.\(\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi\)D.\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\pi\)10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}-x\)，則\(f(-2)\)等于（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(6\)D.\(-6\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^{3}\)2.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}(n\gt1)\)B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)C.\(S_n\)為前\(n\)項和，則\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等比數列D.等比數列的公比\(q\)可以為\(0\)3.已知直線\(l_1:ax+2y+6=0\)，\(l_2:x+(a-1)y+a^{2}-1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(2\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(0\)4.下列說法正確的是（）A.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)B.\(|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|\)C.若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)夾角為\(\theta\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)D.若\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)為非零向量，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)時\(\vec{a}\perp\vec{b}\)5.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的性質有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.焦點在\(y\)軸上6.對于函數\(y=\tanx\)，以下說法正確的是（）A.定義域為\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.周期是\(\pi\)C.是奇函數D.在其定義域上單調遞增7.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則（）A.目標函數\(z=2x+y\)的最大值為\(3\)B.目標函數\(z=2x+y\)的最小值為\(1\)C.目標函數\(z=x-2y\)的最大值為\(2\)D.目標函數\(z=x-2y\)的最小值為\(-3\)8.下列關于導數的說法正確的是（）A.函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的導數\(f^\prime(x_0)\)就是曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞增C.若\(f(x)\)的導數\(f^\prime(x)\)是偶函數，則\(f(x)\)是奇函數D.函數\(y=x^{3}\)的導數\(y^\prime=3x^{2}\)9.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為\(\triangleABC\)的三邊，下列條件能判定\(\triangleABC\)為直角三角形的有（）A.\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)B.\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)C.\(\sin^{2}A+\sin^{2}B=\sin^{2}C\)D.\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=\sqrt{5}\)10.下列關于復數的說法正確的是（）A.復數\(z=a+bi(a,b\inR)\)，當\(b=0\)時，\(z\)為實數B.復數\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\)，則\(z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\)C.復數\(z=a+bi\)的模\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)D.若\(z\)是復數，則\(z\cdot\overline{z}=|z|^{2}\)（\(\overline{z}\)為\(z\)的共軛復數）三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數\(y=2^{x}\)與\(y=\log_{2}x\)的圖象關于直線\(y=x\)對稱。（）3.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.數列\(zhòng)(1\)，\(1\)，\(1\)，\(\cdots\)是等差數列也是等比數列。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）7.拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點坐標是\((1,0)\)。（）8.兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）9.若\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，則\(f(0)=0\)。（）10.對于向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，有\(zhòng)((\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}=\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的單調遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{5\pi}{12}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{12},k\inZ\)，所以單調遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}],k\inZ\)。2.已知等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：公差\(d=\frac{a_5-a_3}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_1=a_3-2d=5-2\times2=1\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：已知直線斜率\(k=2\)，所求直線與已知直線平行，斜率也為\(2\)，由點斜式得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。4.計算\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx=(\frac{1}{3}x^{3}+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^{3}+1)-(\frac{1}{3}\times0^{3}+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^{3}-3x\)的單調性與極值。答案：求導得\(y^\prime=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，函數遞增；令\(y^\prime\lt0\)，得\(-1\ltx\lt1\)，函數遞減。極大值為\(y(-1)=2\)，極小值為\(y(1)=-2\)。2.已知橢圓方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，討論離心率\(e\)的變化對橢圓形狀的影響。答案：離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）。\(e\)越接近\(0\)，\(c\)越接近\(0\)，\(a\)與\(b\)越接近，橢圓越接近圓；\(e\)越接近\(1\)，\(c\)越接近\(a\)，\(b\)越接近\(0\)，橢圓越扁。3.討論在立體幾何中，如何證明線面垂直。答案：可以用定義，證明直線與平面內任意一條直線垂直；也可用判定定理，證明直線與平面內兩條相交直線垂直；還可利用面面垂直的性質，若兩個平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面來證明。4.結合實際，討論高中數學在生活中的應用。答案：在建筑設計中，用幾何知識計算建筑結構尺寸；在理財方面，用數列、函數