中國GDP增長的分析與預測仿作于中南大學國家級精品教程《中國GDP上漲空間的合理性分析》摘要1978年11月，中國經濟開始改革開放，之后中國經濟持續高速發展達30年之久，讓全世界矚目。這30年中，中國經濟增長成為世界第三大經濟體。國內生產總值(GDP)是現代國民經濟核算體系的核心指標，是衡量一個國家綜合國力的重要指標。本文就1978年到2008年的生產總值(GDP)等相關統計數據，先建立了關于GDP增長的回歸預測模型．通過MATLAB編程計算，本文判斷出對現實數據的擬合效果最好，從而預測了2014年到2018年的GDP總量，但是預測值與實際極度不符。為了得到更好的預測結果，本文建立了ARIMA模型。通過計算自相關函數和偏相關函數，確定取=2。利用AIC準則定階，取ARIMA（1,2,2）模型。計算得到2014年到2018年的GDP總量，通過與2009及2010的GDP總量比較，發現該模型短期預測精度是比較高的。選取ARIMA模型預測的結果進行分析，預計中國GDP將繼續保持增長，不過增長率緩慢下降。猜想：GDP年增長率最后將趨于穩定。關鍵詞：GDP；回歸預測模型；ARIMA模型引言國內生產總值(GrossDomesticProduct，簡稱GDP)是指在一定時期內(一個季度或一年)，一個國家或地區的經濟中所生產出的全部最終產品和勞務的價值，常被公認為衡量國家經濟狀況的最佳指標。它不但可反映一個國家的經濟表現，更可以反映一國的國力與財富。一般來說，國內生產總值共有四個不同的組成部分，其中包括消費、私人投資、政府支出和凈出口額。用公式表示為：。式中：為消費、為私人投資、為政府支出、為凈出口額。一個國家或地區的經濟究竟處于增長抑或衰退階段，從這個數字的變化便可以觀察到。一般而言，GDP公布的形式不外乎兩種，以總額和百分比率為計算單位。當GDP的增長數字處于正數時，即顯示該地區經濟處于擴張階段；反之，如果處于負數，即表示該地區的經濟進入衰退時期了。國內生產總值是指一定時間內所生產的商品與勞務的總量乘以“貨幣價格”或“市價”而得到的數字，即名義國內生產總值，而名義國內生產總值增長率等于實際國內生產總值增長率與通貨膨脹率之和。因此，即使總產量沒有增加，僅價格水平上升，名義國內生產總值仍然是會上升的。在價格上漲的情況下，國內生產總值的上升只是一種假象，有實質性影響的還是實際國內生產總值變化率，所以使用國內生產總值這個指標時，還必須通過GDP縮減指數，對名義國內生產總值做出調整，從而精確地反映產出的實際變動。因此，一個季度GDP縮減指數的增加，便足以表明當季的通貨膨脹狀況。如果GDP縮減指數大幅度地增加，便會對經濟產生負面影響，同時也是貨幣供給緊縮、利率上升、進而外匯匯率上升的先兆。一國的GDP大幅增長，反映出該國經濟發展蓬勃，國民收入增加，消費能力也隨之增強。在這種情況下，該國中央銀行將有可能提高利率，緊縮貨幣供應，國家經濟表現良好及利率的上升會增加該國貨幣的吸引力。反過來說，如果一國的GDP出現負增長，顯示該國經濟處于衰退狀態，消費能力減低時，該國中央銀行將可能減息以刺激經濟再度增長，利率下降加上經濟表現不振，該國貨幣的吸引力也就隨之而減低了。因此，一般來說，高經濟增長率會推動本國貨幣匯率的上漲，而低經濟增長率則會造成該國貨幣匯率下跌。例如，1995-1999年，美國GDP的年平均增長率為4.1%，而歐元區11國中除愛爾蘭較高外(9.0%)，法、德、意等主要國家的GDP增長率僅為2.2%、1.5%和1.2%，大大低于美國的水平。這促使歐元自1999年1月1日啟動以來，對美元匯率一路下滑，在不到兩年的時間里貶值了30%。但實際上，經濟增長率差異對匯率變動產生的影響是多方面的：一是一國經濟增長率高，意味著收入增加，國內需求水平提高，將增加該國的進口，從而導致經常項目逆差，這樣，會使本國貨幣匯率下跌。二是如果該國經濟是以出口導向的，經濟增長是為了生產更多的出口產品，則出口的增長會彌補進口的增加，減緩本國貨幣匯率下跌的壓力。三是一國經濟增長率高，意味著勞動生產率提高很快，成本降低改善本國產品的競爭地位而有利于增加出口，抑制進口，并且經濟增長率高使得該國貨幣在外匯市場上被看好，因而該國貨幣匯率會有上升的趨勢。在美國，國內生產總值由商務部負責分析統計，慣例是每季估計及統計一次。每次在發表初步預估數據(ThePreliminaryEstimates)后，還會有兩次的修訂公布(TheFirstRevision&TheFinalRevision)，主要發表時間在每個月的第三個星期。國內生產總值通常用來跟去年同期作比較，如有增加，就代表經濟較快，有利其貨幣升中，的方差為一常量，即；4、各個間相互獨立；5、與自變量無關。大多數情況下，假定。建立一元線性回歸模型分以下步驟：Step1、建立理論模型針對某一因變量，尋找適當的自變量，建立如（1-1）的理論模型Step2、估計參數運用普通的最小二乘法或其他方法評估參數的值，建立如下的一元線性回歸預測模型：（i＝１，２，?，n）（1-2）這里分別是的估計值。如果是采用最小二乘法估計的值，即時殘差平方和（也稱剩余平方和）達到最小，令得（1-3）其中Step3、進行檢驗回歸模型建立之后，能否用來進行實際預測，取決于它與實際數據是否有較好的擬合度，模型的線性關系是否顯著等。為此，在實際用來測量之前，還需要對模型進行一系列評價檢驗。1、標準誤差標準誤差是估計值與因變量值間的平均平方誤差，其計算公式為：（1-4）它可以用來衡量擬合優度。2、判定系數判定系數是衡量擬合優度的一個重要指標，它的取值介于0與1之間，其計算公式為：（1-5）越接近于1，擬合程度越好；反之越差。3、相關系數相關系數是一個用于測定因變量與自變量之間線性相關程度的指標，其計算公式為（1-6）相關系數與判定系數之間存在關系式：但兩者的概念不同，判定系數用來衡量擬合優度，而相關系數用來判定因變量與自變量之間的線性相關程度。相關系數的數值范圍是當時，稱正相關；當時，稱負相關；當時，稱不相關；當，稱完全相關，越接近于1，相當程度越高。相關系數的顯著性檢驗，簡稱相關檢驗，它是用來判斷是否顯著線性相關的。相關檢驗要利用相關系數表，步驟如下：首先計算樣本相關系數值。然后根據給定的樣本容量和顯著性水平查相關系數表，得臨界值，最后進行檢驗判斷：4、回歸系數顯著性檢驗回歸系數的顯著性檢驗可用檢驗法進行，令（1-7）其中取顯著性水平，則回歸系數顯著，此檢驗對常數項亦適用。5、檢驗統計量（1-8）服從分布，取顯著性水平，則表明回歸模型顯著；如果，則表明回歸模型不顯著，改回歸模型不能用于預測。6、統計量統計量是用來檢驗回歸模型的剩余項之間是否存在自相關的一種十分有效的方法。（1-9）式中將利用式（1-9）計算而得到的值與不同顯著性水平下的值之上限和下限進行比較，來確定是否存在自相關。值應在之間。當值小于或等于2時，檢驗法則規定：如果，則認為存在正自相關；如果，則認為無自相關；如果，則不能確定是否有自相關。當值大于2時，檢驗法則規定：如果，則認為存在負自相關；如果，則認為無自相關；如果，則不能確定是否有自相關根據經驗，統計量的值在之間時表示沒有顯著自相關問題。以上檢驗可利用統計軟件包進行回歸時同時完成Step4、進行預測預測可分為點預測和區間預測兩類，在一元線性回歸中，所謂點預測，就是當給定時，利用樣本回歸方程求出相應的樣本擬合值，以此作為因變量個別值和其均值的估計。區間預測是給出一個在一定概率保證程度下的預測置信區間。進行區間預測，首先要進行點預測，確定的值，求得的預測值。的置信度為的預測區間的端點為：(1-10)其中，S為標準偏差，可由t分布表查得，其自由度為,滿足，而ARIMA模型建模步驟數據平穩化處理[2]首先要對時間序列數據進行平穩性檢驗。可以通過時間序列的散點圖或折線圖對序列進行初步的平穩性判斷。一般采用ADF單位根檢驗來精確判斷該序列的平穩性。對非平穩的時間序列，我們可以先對數據進行取對數或進行差分處理，然后判斷經處理后序列的平穩性。重復以上過程，直至成為平穩序列。此時差分的次數即為模型中的階數。從理論上而言，足夠多次的差分運算可以充分地提取序列中的非平穩確定性信息。但應當注意的是，差分運算的階數并不是越多越好。因為差分運算是一種對信息的提取、加工過程，每次差分都會有信息的損失，所以在實際應用中差分運算的階數要適當，應當避免過度差分，簡稱過差分的現象。一般差分次數不超過2次。數據平穩化處理后，模型即轉化為模型。模型識別我們引入自相關系數和偏自相關系數這兩個統計量來識別模型的系數特點和模型的階數。若平穩序列的偏相關函數是截尾的，而自相關函數是拖尾的，可斷定序列適合模型；若平穩序列的偏相關函數是拖尾的，而自相關函數是截尾的，則可斷定序列適合模型；若平穩序列的偏相關函數和自相關函數均是拖尾的，則序列適合模型。自相關函數成周期規律的序列，可選用季節性乘積模型。自相關函數規律復雜的序列，可能需要作非線性模型擬合。在平穩時間序列自相關函數和偏自相關函數上初步識別模型階數和，然后利用AIC定則準確定階。AIC準則[3]：最小信息準則，同時給出模型階數和參數的最佳估計，適用于樣本數據較少的問題。目的是判斷預測目標的發展過程與哪一隨機過程最為接近。因為只有當樣本量足夠大時，樣本的自相關函數才非常接近母體的自相關函數。具體運用時，在規定范圍內使模型階數從低到高，分別計算AIC值，最后確定使其值最小的階數是模型的合適階數。關于模型，AIC函數定義如下：式中：平穩序列為樣本數，為擬合殘差平方和，，為參數。AIC準則定階方法可寫為：其中：，為模型階數的上限值，一般取為根號或。實際應用中，一般不超過2。參數估計確定模型階數后，應對模型進行參數估計。本文采用最小二乘法OLS進行參數估計，需要注意的是，模型的參數估計相對困難，應盡量避免使用高階的移動平均模型或包含高階移動平均項的模型。模型檢驗[4]完成模型的識別與參數估計后，應對估計結果進行診斷與檢驗，以求發現所選用的模型是否合適。若不合適，應該知道下一步作何種修改。這一階段主要檢驗擬合的模型是否合理。一是檢驗模型參數的估計值是否具有顯著性；二是檢驗模型的殘差序列是否為白噪聲。參數估計值的顯著性檢驗是通過t檢驗完成的Q檢驗的零假設是即模型的誤差項是一個白噪聲過程。Q統計量定義為近似服從分布，其中表示樣本容量，表示用殘差序列計算的自相關系數值，表示自相關系數的個數，表示模型自回歸部分的最大滯后值，表示移動平均部分的最大滯后值。用殘差序列計算Q統計量的值。顯然若殘差序列不是白噪聲，殘差序列中必含有其他成份，自相關系數不等于零。則值將很大，反之值將很小。判別規則是：若，則接受。若，則拒絕。其中表示檢驗水平。模型求解回歸分析模型的模型求解從圖1中我們大致可以確定該圖與冪函數多項式的圖象較為相近，所以我們建立了多項式模型，運用matlab計算得到表二表二回歸檢驗參數多項式的次數決定系數R回歸方程的F統計拒絕無效假設的概率20.9659396.7026030.9845572.8865040.9922826.3737050.99812646.0241060.99883284.6603070.99913543.7730090.99913236.88050根據多項式模型的檢驗方法，二次，三次及四次多項式大部分指標差別不大，擬合效果比較差，從五次到七次多項式擬合效果越來越好，到八次多項式F值突然減小，造成擬合效果下降，于是本文選擇了七次多項式來擬合。利用matlab統計工具求解，得到回歸系數估計值及置信區間（置信水平=0.05）見表三表三模型計算結果參數參數估計值參數置信區間15706.3967[388.8805,31023.9129]-16126.7508[-31514.2175,-739.2841]6564.1066[1431.6056,11696.6077]-1124.7878[-1914.9731,-334.6024]95.8665[32.2050,159.5281]-4.1564[-6.9269,-1.3860]0.0880[0.02631,0.1496]-0.0007[-0.0013,-0.0002]于是得到回歸方程（其中x表示具體年度減去1977）繪圖如圖3由圖3，我們可以進一步確定擬合效果非常好。根據所求得的函數關系式，我們對未來5年對相關書籍的產量進行了預測，預測結果見表四所示:表四GDP預測值年度GDP預測值20142034266360.677720152387256851.809520162789855917.653520173247481667.724720183765982116.2781ARIMA模型求解通過計算自相關函數和偏相關函數，確定取=2。利用AIC準則對表五定階，取ARIMA（1,2,2）模型。計算得表六年度預測值2014693984.93972015761248.99582016829629.13082017899125.34472018969737.6373模型評價比較多項式回歸模型和ARIMA模型的預測結果，可以得到ARIMA模型的預測結果比多項式回歸模型好，而且短期預測精度是比較高的。當然國內生產總值是國民經濟的核心內容，經濟狀況幾乎要牽涉到經濟體系中的所有，如此復雜的過程并非靠簡單的一個或多個變量來決定，權衡的因素繁多。因此，本文還有許多不足之處，會在以后的學習工作中將其不斷完善。結果分析根據ARIMA模型預測的表六數據，計算出2014年到2018年的GDP年增長率如表七表七2014年到2018年的年增長率年度年增長率年度年增長率20140.10535852620170.08376780820150.09692437420180.07853442620160.08982624利用matlab繪圖由圖4可得，預計中國GDP將繼續保持增長，不過增長率緩慢下降。猜想：GDP年增長率最后將趨于穩定。參考文獻[1]姜啟源，謝金星．數學模型[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2]張樹京，齊立心.時間序列分析簡明教程[M].北京：清華大學出版社，2003：5-15.[3]徐國祥．統計預測和決策（第二版）[M]．上海：上海財經大學出版社，2005：148-149．[4]易丹輝.統計預測2方法與應用[M].北京:中國統計出版社,2001：177-251.附錄%%圖1x=1978:2008;y=[3624.1,4038.2,4517.8,4862.4,5294.7,5934.5,7171.0,8964.4,10202.2,11962.5,14928.3,16909.2,18547.9,21617.8,26638.1,35334.0,48198.0,60794.0,71176.6,78973.0,84402.3,89677.1,99214.6,109655.2,120332.7,135822.8,159878.3,183217.4,211923.5,257305.6,314045.0];plot(x,y,'-+');title('圖1GDP隨時間變化曲線');xlabel('時間/年');ylabel('GDP/億元');%%圖2t=[11.4000000000000,11.9000000000000,7.60000000000000,8.90000000000000,12.1000000000000,20.9000000000000,25,13.8000000000000,17.3000000000000,24.8000000000000,13.3000000000000,9.70000000000000,16.6000000000000,23.2000000000000,32.6000000000000,36.4000000000000,26.1000000000000,17.1000000000000,11,6.90000000000000,6.20000000000000,10.6000000000000,10.5000000000000,9.70000000000000,12.9000000000000,17.7000000000000,14.6000000000000,15.7000000000000,21.4000000000000,22.1000000000000];n=1979:2008;plot(n,t,'-o');title('圖2GDP年增長率隨時間變化曲線');xlabel('時間/年');ylabel('GDP年增長率/%');set(gca,'Xtick',[1979:3:2008]);回歸預測V=[3624.1,4038.2,4517.8,4862.4,5294.7,5934.5,7171.0,8964.4,10202.2,11962.5,14928.3,16909.2,18547.9,21617.8,26638.1,35334.0,48198.0,60794.0,71176.6,78973.0,84402.3,89677.1,99214.6,109655.2,120332.7,135822.8,159878.3,183217.4,211923.5,257305.6,314045.0]';c=1:31;R=c';x=[ones(size(R)),R,R.^2,R.^3,R.^4,R.^5,R.^6,R.^7];alpha=0.05;[b,bint,r,rint,stat]=regress(V,x,alpha);n=1000;t=linspace(min(R),max(R),n);y=polyval(fliplr(b'),t);%y=b(1)+b(2)*t+b(3)*t.^2;figure;plot(t,y,'-',R,V,'+');title('圖3GDP隨時間變化曲線');xlabel('時間');ylabel('GDP總量');legend('擬合值','實際值');AMIRM模型源代碼a=[3624.1,4038.2,4517.8,4862.4,5294.7,5934.5,7171.0,8964.4,10202.2,11962.5,14928.3,16909.2,18547.9,21617.8,26638.1,35334.0,48198.0,60794.0,71176.6,78973.0,84402.3,89677.1,99214.6,109655.2,120332.7,135822.8,159878.3,183217.4,211923.5,257305.6,314045.0];r11=autocorr(a);r12=parcorr(a);da=diff(a);r21=autocorr(da);r22=parcorr(da);n=length(da);fori=0:3forj=0:3spec=garchset('R',i,'M',j,'Display','off');[coeffX,errorsX,LLFX]=garchfit(spec,da);num=garchcount(coeffX);[aic,bic]=aicbic(LLFX,num,n);fprintf('R=%d,M=%d,AIC=%f,BIC=%f\n',i,j,aic,bic);endendr=input('R=');m=input('M=');spec2=garchset('R',r,'M',m,'Display','