數學發展史和三大數學危機(2個課時)數學的發展包括數學的萌芽期、常量數學時期、變量數學時期、近代數學時期。一、數學的萌芽期（小學數學）主要以記數為主，還未形成獨立的學科。這一時期貢獻最大的國家有：中國，古巴比倫，埃及，印度。主要貢獻：十進制記數法，記數符號，三角形、梯形和圓的面積的計算，立方體和柱體的體積，截棱錐體的體積公式等。二、常量數學時期（中學數學）這一時期又稱為初等數學時期，主要發展了算術、初等代數、初等幾何（平面幾何和立體幾何）等。主要代表人物:畢達哥拉斯、祖沖之、楊輝、笛卡兒、韋達等。三、變量數學時期（大學數學）這一時期又稱為高等數學時期。主要創立了解析幾何和微積分，這是數學史上最偉大的貢獻。主要代表人物：牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、高斯、傅里葉。四、近代數學時期（數學研究）20世紀40-50年代，電子計算機的出現和非歐幾何的建立，使整個數學王國蓬勃發展。主要貢獻：1.純數學方面：拓撲學（也稱位置幾何學、橡皮幾何學。畫在橡皮上的幾何圖形，圖中的某些性質不變，如封閉性等）、泛函分析、抽象代數等。2.應用數學方面：非標準分析、模糊數學、突變理論、計算機理論、運籌學、優選法、對策論（博奕論）、排隊論等。主要代表人物：黎曼、馮.諾依曼、華羅庚、陳省身。剛才給大家簡單介紹了整個數學的發展史，實際上，數學發展到今天，并不是一帆風順的，其中至少面臨了3次大的危機。第一次是公元前5世紀（距今約2500年），古希臘畢達哥拉斯學派的理論被推翻；第二次危機是17世紀，微積分理論的基礎受到質疑；第三次是19世紀，數學家羅素提出了集合理論的悖論。首先，我們來看一下第一次數學危機——畢達哥拉斯學派的理論被推翻。生平軼事：畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他出生在愛琴海中的薩摩斯島（現在希臘東部小島）的貴族家庭，自幼聰明好學。相傳他小時候有一次背著木柴從街上走過，一位長者看見他捆柴的方法與別人不同，便說：“這孩子有數學奇才，將來會成為一個大學者。”畢達哥拉斯特別向往東方的智慧，經過萬水千山，游歷了當時世界上兩個文化水準極高的文明古國——古巴比倫和古印度，吸收了阿拉伯文明和印度文明的文化。后來他就到意大利的南部傳授數學及宣傳他的哲學思想，并和他的信徒們組成了一個所謂集政治和宗教于一身的團體——畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯在那個時代是一位思想非常進步的學者：因為他允許婦女來聽他的課。他認為婦女和男人一樣都有求知的權利，因此他的學派中就有十多名女學者，這是其他學派所沒有的現象。他認為每一個人都應該懂一些數學幾何知識。有一次他看到一個窮人，他想教他學習幾何，因此對這個人說：如果你能學懂一個定理，那么我就給你三塊銀幣。這個人看接著我們來看數學史上的第二次大危機——微積分的基礎受到質疑。微積分的概念：以大家熟悉的速度路程問題來看，一輛小汽車在一段顛簸不平的路上行走，每時每刻的速度其實都是不一樣的，微分學就是把車子走過的路程分成無窮多個小段（無窮小量，趨近于0但不等于0，像劃分一根1米長的繩子，每次減掉繩子的1/2,劃分無數次以后剩下的長度就是一個大于0的無窮小量），然后計算車子在經過每一個小段（無窮小量）時的速度的過程。積分學就是將這些無窮多個小段加總起來后得到車子行駛的總路程的問題，微分學和積分學可以簡單看做一組逆運算。微積分理論可以計算出物體任何時刻的瞬時速度（解決“0/0沒有意義，但是物體每一個時刻都是有速度”的問題，可適當引導），還可以計算曲線（畫一條曲線）的長度、曲面的面積等等，有了微積分，我們就可以推斷輪船、火箭、衛星的運行軌跡。微積分理論的創建者：牛頓（英國人）和萊布尼茲（德國人）。左邊是牛頓，右邊是萊布尼茲，外國人都長得長不多（哈哈哈）。關于他們倆誰先創立的微積分理論，還有一段有名的爭論。1665年夏天，因為英國爆發鼠疫，劍橋大學暫時關閉。剛剛獲得學士學位、準備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農場住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對三大運動定律、萬有引力定律和光學的研究都開始于這個時期。在研究這些問題過程中他發現了他稱為“流數術”的微積分。他在1666年寫下了一篇關于流數術的短文，之后又寫了幾篇有關文章。但是這些文章當時都沒有公開發表，只是在一些英國科學家中流傳。而首次發表有關微積分研究論文的是德國數學家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發現了微積分，但是也不急于發表，只是在手稿和通信中提及這些發現。1684年，萊布尼茨正式發表他對微分的發現。兩年后，他又發表了有關積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時，已有微積分的教科書出版。起初沒有人來爭奪微積分的發現權。1699年，移居英國的一名瑞士人一方面為了討好英國人（牛頓是英國人），另一方面由于與萊布尼茨的個人恩怨，指責萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數術，但此人并無威望，遭到萊布尼茨的駁斥后，就沒了下文。1704年，牛頓首次完整地發表了其流數術。當年出現了一篇匿名評論，反過來指責牛頓的流數術是剽竊自萊布尼茨的微積分。于是究竟是誰首先發現了微積分，就成了一個需要解決的問題了。1711年，英國王家學會組成了一個委員會調查此事，在次年發布的調查報告中認定牛頓首先發現了微積分，并譴責萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時牛頓是王家學會的會長，雖然在公開的場合假裝與這個事件無關，但是這篇調查報告其實是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章。當然，爭論并未因為這個英國王家學會的調查報告而平息。事實上，這場爭論一直延續到了現在。后人通過研究萊布尼茨的手稿發現，萊布尼茨和牛頓是從不同的思路創建微積分的：牛頓是為解決運動問題，先有微分概念，后有積分概念；萊布尼茨則反過來，先有積分概念，后有微分概念。牛頓僅僅是把微積分當做物理研究的數學工具，而萊布尼茨則意識到了微積分將會給數學帶來一場革命。實際上，如果這個事件發生在現在的話，萊布尼茨會毫無爭議地被視為微積分的創建者，因為現在的學術界遵循的是誰先發表誰就擁有發現權的原則，反對長期對科學發現秘而不宣。牛頓與萊布尼茨之爭，演變成了英國科學界與德國科學界、乃至英國科學界與整個歐洲大陸科學界的對抗。英國數學家此后在很長一段時間內不愿接受歐洲大陸數學家的研究成果。這使得英國的數學研究停滯了一個多世紀。雖然說“科學沒有國界，但是科學家有祖國”（巴斯德語），但是讓民族主義干擾了科學研究，就很容易變成了科學也有國界，被排斥于國際科學界之外，反而妨礙了本國的科學發展。微積分理論的缺陷——不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊，所謂基礎不牢、地動山搖，隨著微積分理論的不斷發展，基礎不明確的問題嚴重制約了微積分的進一步發展，也引發了數學史上的第二次危機。危機的解決者，微積分的收官人——柯西。1821年，柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻畫，通過柯西等人的艱苦工作，使數學分析的基本概念得到嚴格的論述。從而結束了微積分二百年來思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對幾何概念、運動和直觀了解的完全依賴中解放出來，并使微積分發展成現代數學最基礎最龐大的數學學科。人物生平：柯西（1789-1857），出生于巴黎，他在數學領域，有很高的建樹和造詣。很多數學的定理和公式都是以他的名字來命名的，比如柯西不等式、柯西積分公式等。柯西在學生時代，有個綽號叫“苦瓜”，因為他平常像一顆苦瓜一樣，靜靜地不說話，如果說了什么，也很簡短，令人摸不著頭緒。天才往往是孤獨的，柯西的朋友很少，只有一群妒嫉他聰明的人。當時法國正在流行社會哲學，而柯西工作之余常看的書，卻是數學家拉格朗日寫的的數學書，還有靈修書籍《效法基督》，這使他有了另一個外號“腦筋劈哩啪啦叫的人”，也就是神經病的意思。但是性格孤僻并不妨礙他在數學上取得的豐功偉績，傳說柯西年輕的時候向巴黎科學院投寄論文，他的論文寫得非常快、非常多，當時的印刷廠為了印制這些論文，搶購了當時巴黎市面上所有店鋪的紙張，使得市面上紙張短缺，紙價大增，印刷廠成本上升（洛陽紙貴的故事），于是法國科學院要求發表的論文每篇篇幅不得超過4頁，導致柯西不少長篇論文不能在法國發表，只能在其他國家發表。柯西的天才和努力，使他完美地解決了第二次數學危機，成為了微積分理論的收官之人，對人類科學的發展做出了巨大貢獻。下面，我們接著講數學史上的第三次大危機——羅素提出了集合理論的著名悖論——“羅素悖論”。首先我們來了解一下集合理論：學校圖書館的所有書籍是一個集合，其中每一本書是集合中的一個成員，我們把集合的成員稱為元素。我們班上所有同學也構成一個集合，而你們每一個讓你就是這個班集體的成員，也是班級這個集合的元素。集合理論的發明者——康托爾（1845-1918）：康托爾是德國數學家，集合論的創始人。康托爾愛好廣泛，極有個性，終身信奉宗教。早期在數學方面的興趣是數論，由于研究無窮理論時往往推出一些合乎邏輯但又荒謬的結果（稱為“悖論”），許多大數學家唯恐陷入進去而采取退避三舍的態度。在1874-1876年期間，不到30歲的年輕德國數學家康托爾向神秘的無窮宣戰，他靠著辛勤的汗水，成功的證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應，這樣看起來，1厘米長的線段內的點與太平洋中的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”，后來幾年，康托爾對這類“無窮集合”問題發表了一系列文章，通過嚴格證明得出了許多驚人的結論。由于學術觀點上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥，雖在1887年恢復了健康，繼續工作，但晚年一直病魔纏身。真金不拍火煉，康托爾的思想終于大放光彩，1897年舉行的第一次國際數學家會議上，他的成就得到承認。羅素悖論的提出。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定相關書籍的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。羅素的故事：在一個村子里，理發師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發的人理發。”有人問他：“你給不給自己理發？”理發師頓時無言以對。這是一個矛盾推理：如果理發師不給自己理發，他就屬于招牌上的那一類人。有言在先，他應該給自己理發。反之，如果這個理發師給他自己理發，根據招牌所言，他只給村中不給自己理發的人理發，他不能給自己理發。因此，無論這個理發師怎么回答，都不能排除內在的矛盾。這個悖論是羅素在一九○二年提出來的，所以又叫“羅素悖論”。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節的表述。顯然，這里也存在著一個不可排除的“自指”問題。總結：整個數學發展史其實就是一部“危機”的發生和解決史，每一次數學危機的解決都無一例外推動了數學學科的巨大進步。著名數學家華