高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市部分學校2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試題考生注意：1、本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.1.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人救A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊（50%），選擇性必修第三冊第六章、第七章（50%）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線的傾斜角的大小為，則實數（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率，解得.故選：D.2.隨機變量服從兩點分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，由兩點分布方差公式可得，又，所以，解得，所以，故選：A.3.已知為拋物線的焦點，過的直線交于，兩點，若弦的中點的橫坐標為4，則（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】設，則，所以，由拋物線的焦點弦公式可得.故選：C.4.已知隨機變量的分布列如下表：01230.120.24則（）A.1.2 B.1.04 C.1.02 D.1【答案】A【解析】由題意可得，解得或，由概率不能大于1，所以舍掉，所以，.故選：A5.從人中選擇人去，，三地調研，一個地方安排人另外兩個地方各安排人的安排方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】滿足條件的安排方法可分兩步完成，第一步，從人中選擇人，完成該步有種方法，第二步，將所選人按要求分去，，三地調研，完成該步的方法數為，由分步乘法計數原理可得滿足要求的方法共有種.故選：D.6.計算：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為有意義，所以，，，，，所以，所以，故選：C7.某次數學測試的單項選擇題，學生甲有把握答對其中4道題，余下4道題中，有3道有思路，1道完全沒有思路.若甲答對每道有思路的題的概率為，答對每道完全沒有思路的題的概率為，他從這8道題中任抽一題作答，答對的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設“學生甲從這8題中任選1題且作對”為事件，“選到能完整做對的4道題”為事件，“選到有思路的3道題”為事件，“選到完全沒有思路的題”為事件，則，，，，由全概率公式可得.故選：C.8.已知函數，過點可向曲線引3條切線，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設切點為，由可得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，由點在切線上代入可得，即三次方程有三個不同的實數根，令，則，所以極值點為和，又極值點處函數值為，三次方程有三個不同實數根的充要條件是極值點處函數值異號，所以，解得.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.數字0，1，2，3，4組成的無重復數字的五位數構成集合，則下列說法正確的是（）A.中有偶數60個B.中數字1，2相鄰的數有36個C.中2，4不相鄰的數有72個D.將中的元素從小到大排列，第55個數為31024【答案】ABD【解析】對于A：若個位數為，則有個；若個位數不為，則個位數只能是之一，只能在中間3個位置任選一個位置，剩余3個數字在剩余的三個位置上任意排列，則有個.所以偶數有60個，故A正確；對于B，將看成一個整體，首位不為，則有個，所以中數字1，2相鄰的數有36個，故B正確；對于C，種共有個元素，其中相鄰有個，所以中2，4不相鄰的數有個，故C錯誤；首位為，則有個，首位為，則有個，首位為，則有個，所以將中的元素從小到大排列，第55個數的首位為，則第個數為，第個數為，第個數為，第個數為，第個數為，第個數為，第個數為，故D正確.故選：ABD.10.設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（）A.事件，相互獨立 B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，已知，將，，代入可得：

因為，所以事件，相互獨立，A選項正確．

對于B，根據條件概率公式，將，代入可得：，B選項錯誤．

對于C，先求，．再根據條件概率公式，將，代入可得：，C選項正確．

對于D，，而，所以，D選項錯誤．

故選：AC．11.已知曲線，直線，為上一點，則（）A.B.當時，C.對任意，，直線與的交點個數不超過個D.當，時，直線與有3個交點【答案】ABD【解析】當時，方程可化為，所以，，當或時，方程可化為，所以，，所以曲線是中心為原點，焦點為，，長半軸為的橢圓在軸上方的部分和中心為原點，焦點為，，實半軸為的雙曲線在軸上方的部分和點，組成,所以曲線的圖象為：對于A，因為為上一點，若，則，，所以，若或，則，，故，A正確；對于B，由可得，，所以，，所以，所以，又，所以，故，B正確，對于C，當，時，直線與的交點個數為個，C錯誤；對于D，當，時，聯立，化簡可得，所以，所以方程的根為，，因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以，假設，則，則，矛盾，故，所以曲線，與直線，有兩個交點，，化簡可得，所以，解得，函數在上單調遞增，所以，滿足條件，所以曲線，與直線，有一個交點，故當，時，直線與有3個交點，D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量的概率分布密度函數，若.則________.【答案】【解析】因為隨機變量的概率分布密度函數，所以，所以.故答案為：.13.已知（，且）的展開式中沒有常數項，則________.【答案】【解析】由于的展開式中沒有常數項，所以和都不是常數，則，，又因為，所以，故取．故答案為：8.14.已知實數，，，滿足，，則的最大值為________.【答案】18【解析】設，．根據向量模的計算公式，可得，已知，所以；同理，因為，所以．根據向量數量積的坐標運算公式，，所以．

由向量的數量積公式，可得，即，因為，所以，這表明與同向．所以存在實數，使得，即，．又因為，所以，即，結合，可得，那么，．

化簡將，代入，可得．設，，則原式可化為．由，根據，可得．令，．

當且時，，與矛盾，此情況不存在．當且時，，其最大值為．當且時，，其最大值為．當且時，當時，取得最大值．綜上，的最大值為18．

故答案為：18．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在一個不透明的箱子里有8個大小相同的小球，其中5個黑球，3個紅球.從中不放回地依次摸出3個小球.（1）求前兩次摸出的球均為黑球的概率；（2）記表示摸出的小球中紅球的數量，求的分布列及其數學期望.解：（1）由題意，前兩次摸出的球均為黑球的概率；（2）由題意，可取，則，，，，所以的分布列為.16.如圖，在直三棱柱中，為的中點，，，.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）以為原點，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，，所以，則，，設平面的法向量，則，令，則，設與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為.（2）設平面的法向量，則，令，則，，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.“科學技術是第一生產力”.科技進步能夠更好地推動高質量發展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部門有員工100名，公司擬開展DeepSeek培訓，分三輪進行，每位員工一輪至三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，，，每輪相互獨立，有兩輪及兩輪以上獲得“優秀”的員工才能應用DeepSeek.（1）估計部門員工經過培訓能應用DeepSeek的人數（去尾法精確到個位）；（2）已知開展DeepSeek培訓前，員工每人每年為公司創造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓后，能應用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創造利潤10萬元.DeepSeek培訓平均每人每年成本為1萬元.根據公司發展需要，計劃先將部門的部分員工隨機調至公司其他部門，然后對其余員工開展DeepSeek培訓.要保證培訓后部門的年利潤不低于員工調整前的年利潤，部門最多可以調多少人到其他部門？解：（1）由題意每個員工“優秀”的概率，則估計部門員工經過培訓能應用DeepSeek的人數為個，按去尾法取整，有人；（2）設調出人，調整前的利潤為（萬元），調整后的利潤為，要保證培訓后部門的年利潤不低于員工調整前的年利潤，則，解得，因為為整數，所以最大值為，即部門最多可以調人到其他部門.18.已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，若存在零點，求實數的取值范圍；（3）證明：解：（1）的定義域為，，當時，因，所以恒成立，即在為單調遞減函數；當時，令，所以當時，，為單調遞減函數；當時，，為單調遞增函數，綜上，當時，在為單調遞減函數；當時，時，為單調遞減函數；時，為單調遞增函數.（2）當時，，，，則，令，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，因為存在零點，所以，即實數的取值范圍為.（3）由（2）可得，當時，，令，則，所以，即，兩邊同時取指數可得，又上式中，所以.19.若數列滿足：，且（，且），則稱該數列為“非線性遞增數列”.（1）設數列為“非線性遞增數列”，且.（i）求，；（ii）記數列的前項和為，是否存在實數，使得對任意的，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；（2）若數列為“非線性遞增數列”，且滿足，，，記數列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）（i）已知，則，，.根據“非線性遞增數列”的定義，可得：；；.（ii）當為奇數時：已知，又因為，所以.這表明數列是以為首項（假設），為公差的等差數列.根據等差數列通項公式，則.令，則，將代入，可得（為奇數）.當為偶數時：已知，又因為，所以.這表明數列是以為首項，為公差的等差數列.根據等差數列通項公式，對于數列，則.令，則，將代入，可得（為偶數）.所以.當為偶數時：.其中是以為首項，為公差的等差數列，項數為項；是以為首項，為公差的等差數列，項數為項.根據等差數列求和公式得到：..所以.當為奇數時：為偶數，則.因為為偶數，所以，..所以.當為奇數時，已知，變形得到，設.對于二次函數，圖象開口向下，對稱軸為.因為且為奇數，，則，當（即）時，取得最大值，所以.當為偶數時，由可得，設.因為且為偶數，，函數中，隨著的增大，減小，所以單調遞減.那么當時，取得最大值，所以.綜合兩種情況，