橢圓基礎試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的長軸長是（）A.5B.10C.8D.162.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦點坐標是（）A.\((\pm5,0)\)B.\((0,\pm5)\)C.\((\pm\sqrt{5},0)\)D.\((0,\pm\sqrt{5})\)3.橢圓\(x^{2}+4y^{2}=16\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{2}{3}\)4.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，\(a=2b\)，則離心率\(e\)為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)5.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距為2，則\(m\)的值為（）A.5B.3C.5或3D.66.若橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{n}=1\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)，則\(n\)的值為（）A.12B.\(\frac{64}{3}\)C.12或\(\frac{64}{3}\)D.167.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)上一點\(P\)到一個焦點的距離為5，則\(P\)到另一個焦點的距離為（）A.5B.10C.4D.68.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左右焦點分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)是橢圓上一點，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，則\(\triangleF_1PF_2\)的面積為（）A.\(b^{2}\)B.\(ab\)C.\(a^{2}\)D.\(bc\)9.橢圓\(4x^{2}+9y^{2}=36\)的短軸長為（）A.2B.4C.6D.810.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{10-m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1\)的焦點在\(y\)軸上，若焦距為4，則\(m\)的值為（）A.4B.6C.8D.10二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列方程表示橢圓的是（）A.\(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1\)B.\(\frac{x^{2}}{2-k}+\frac{y^{2}}{k-1}=1(1\ltk\lt2)\)C.\(x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的性質正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}(0\lte\lt1)\)3.橢圓\(x^{2}+4y^{2}=16\)的性質正確的是（）A.長軸長為8B.短軸長為4C.焦點坐標為\((\pm2\sqrt{3},0)\)D.離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)4.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，下列說法正確的是（）A.\(a=3\)B.\(b=2\)C.\(c=\sqrt{5}\)D.離心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)5.若橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{1}{2}\)，則（）A.\(a=2c\)B.\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)C.\(a^{2}=4c^{2}\)D.\(b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}\)6.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)\)，當焦點在\(x\)軸上時（）A.\(m\gtn\)B.\(a^{2}=m\)C.\(b^{2}=n\)D.\(c^{2}=m-n\)7.橢圓上一點\(P\)到兩焦點距離之和為定值，以下說法正確的是（）A.這個定值大于兩焦點間距離B.這個定值等于長軸長C.若橢圓方程為\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)，則定值為10D.若橢圓方程為\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，則定值為68.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，\(F_1,F_2\)為其焦點，\(P\)是橢圓上一點，\(\angleF_1PF_2=\theta\)，則\(\triangleF_1PF_2\)的面積可以表示為（）A.\(b^{2}\tan\frac{\theta}{2}\)B.\(\frac{1}{2}|PF_1|\cdot|PF_2|\sin\theta\)C.\(a^{2}\sin\theta\)D.\(c^{2}\tan\frac{\theta}{2}\)9.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，以下說法正確的是（）A.焦點在\(x\)軸上B.長半軸長為4C.短半軸長為3D.離心率為\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)10.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，若\(a,b,c\)成等差數列，則（）A.\(2b=a+c\)B.\(4b^{2}=(a+c)^{2}\)C.\(4(a^{2}-c^{2})=(a+c)^{2}\)D.\(e=\frac{3}{5}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)。（）2.橢圓的離心率\(e\)越大，橢圓越圓。（）3.橢圓\(x^{2}+4y^{2}=1\)的長軸長為1。（）4.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)與\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦距相等。（）5.若橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上一點\(P\)到焦點\(F_1\)的距離為\(d_1\)，到焦點\(F_2\)的距離為\(d_2\)，則\(d_1+d_2=2a\)。（）6.橢圓的標準方程一定是\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)。（）7.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的離心率為\(\frac{3}{5}\)。（）8.焦點在\(y\)軸上的橢圓方程為\(\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)。（）9.橢圓\(4x^{2}+9y^{2}=36\)的焦點坐標為\((\pm\sqrt{5},0)\)。（）10.若橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{1}{3}\)，則\(a=3c\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.寫出橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的長軸長、短軸長、焦距、離心率。答案：\(a=4\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)。長軸長\(2a=8\)，短軸長\(2b=6\)，焦距\(2c=2\sqrt{7}\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)。2.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a=4\)，求\(b\)的值。答案：\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a=4\)，則\(c=2\sqrt{3}\)。又\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，所以\(b^{2}=16-12=4\)，\(b=2\)。3.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦點在\(x\)軸上，且離心率\(e=\frac{1}{2}\)，求\(m\)的值。答案：焦點在\(x\)軸上，\(a^{2}=m\)，\(b^{2}=4\)，\(c^{2}=m-4\)。\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，即\(c=\frac{1}{2}a\)，\(c^{2}=\frac{1}{4}a^{2}\)，\(m-4=\frac{1}{4}m\)，解得\(m=\frac{16}{3}\)。4.簡述橢圓的定義。答案：平面內與兩個定點\(F_1,F_2\)的距離之和等于常數（大于\(|F_1F_2|\)）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論橢圓離心率的大小對橢圓形狀的影響。答案：離心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(0\lte\lt1\)。\(e\)越接近\(0\)，\(c\)越接近\(0\)，\(a\)與\(b\)越接近，橢圓越圓；\(e\)越接近\(1\)，\(c\)越接近\(a\)，\(b\)越小，橢圓越扁。2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)與\(\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)有哪些相同點和不同點？答案：相同點：都表示橢圓，\(a,b\)決定形狀大小，焦距\(2c\)相同（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）。不同點：焦點位置不同，前者焦點在\(x\)軸，后者在\(y\)軸；長軸、短軸所對應的坐標軸不同。3.如何根據橢圓方程判斷焦點位置？答案：對于橢圓標準方程\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)\)，若\(m\gtn\)，焦點在\(x\)軸；若\(m\ltn\)，焦點在\(y\)軸。即看\(x^{2},y^{2}\)分母大小，分母大的對應的軸就是焦點所在軸。4.當橢圓上一點\(P\)與兩焦點\(F_1,F_2\)構成的\(\triangleF_1PF_2\)面積最大時，點\(P\)的位置在哪里？為什么？答案：點\(P\)在短軸端點。因為\(\triangleF_1PF_2\)面積\(S=\frac{1}{2}|PF_1|\cdot|PF_2|\sin\theta=b^{2}\tan\frac{\theta}{2}\)，當\(P\)在短軸端點時，\(