2024-2025學年福州市高三年級第四次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（）A. B. C. D.2.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.3已知集合，則（）A. B. C. D.4.展開式中常數(shù)項是（）A.20 B.15 C. D.5.已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，若，則（）A. B. C. D.6.已知拋物線的焦點為，準線為，點為上一點，過點作的垂線，垂足為，若，且點在直線上，則直線的斜率為（）A.或 B.或 C.1或 D.或7.若為函數(shù)的零點，則（）A.0 B.1 C.2 D.8.在平面四邊形中，是邊長為的等邊三角形，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，將該四邊形沿對角線折成四面體，在折起的過程中，四面體的外接球體積最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上的最大值為1C.直線是曲線的對稱軸D.當時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方10.有一組成對樣本數(shù)據(jù)，設(shè)．由這組數(shù)據(jù)得到新成對樣本數(shù)據(jù)．利用一元線性回歸模型，根據(jù)最小二乘法，下列結(jié)論一定正確的是（）附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)（其中）．A.兩條經(jīng)驗回歸直線都過點 B.兩條經(jīng)驗回歸直線的截距相同C.兩組數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)相同 D.兩組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同11.在平面直角坐標系中，點是曲線上的動點，點坐標為，射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，終止位置為．定義：，則（）A B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，若向量與垂直，則____________．13.陳嘉豪發(fā)現(xiàn)，《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．已知長方體，若陽馬以該長方體的頂點為頂點，則這樣的陽馬的個數(shù)是____________（用數(shù)字作答）．14.已知雙曲線的右焦點為，其左、右頂點分別為，過且與軸垂直的直線交于兩點，直線與交于點，若與的面積相等，則的離心率為____________．四、解答題：本題共5小題，共7分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，滿足．（1）求的通項公式；（2）設(shè)的前項和為，若，求的最大值．16.某校組織學生參觀中國船政文化博物館，并抽取20個學生進行船政文化知識競賽，成績?nèi)缦拢?3，79，76，92，63，63，65，77，66，68，72，67，73，57，66，85，87，79，90，61．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求成績的上四分位數(shù)（說明：上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)）；（2）在大于70分的成績中隨機抽取2個，設(shè)表示抽取的2個成績中大于上四分位數(shù)的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．17.如圖，在三棱柱中，平面，的中點為，．（1）證明：平面；（2）在平面內(nèi)，動點在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點），若直線與平面所成的角為，證明：三點共線．18.已知橢圓的兩個焦點分別是，長軸長是短軸長的倍．（1）求的方程；（2）過點直線與交于兩點，以為直徑的圓記為．（i）當直線過原點時，求與的交點坐標；（ii）否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由．19.已知函數(shù)，記，若滿足，則稱是上的“可控函數(shù)”．由“可控函數(shù)”的定義可得：若函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，則函數(shù)也是上的“可控函數(shù)”，其