第1頁/共1頁2022-2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編隨機(jī)事件與概率一、單選題1．（2024北京豐臺(tái)高一下期末）一個(gè)盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，若從中任取2個(gè)球，則“恰有1個(gè)紅球”的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024北京東城高一下期末）從裝有2張紅色卡片和2張黑色卡片的盒子中任取2張卡片，則下列結(jié)論正確的是（

）A．“恰有一張黑色卡片”與“都是黑色卡片”為互斥事件B．“至少有一張紅色卡片”與“至少有一張黑色卡片”為互斥事件C．“恰有一張紅色卡片”與“都是黑色卡片”為對(duì)立事件D．“至多有一張黑色卡片”與“都是紅色卡片”為對(duì)立事件3．（2023北京朝陽高一下期末）從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列事件是對(duì)立事件的是（

）A．“都是白球”與“至少有一個(gè)白球” B．“恰有一個(gè)白球”與“都是紅球”C．“都是白球”與“都是紅球” D．“至少有一個(gè)白球”與“都是紅球”4．（2023北京通州高一下期末）從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選取兩人，則甲被選中的概率為（

）A． B． C． D．5．（2022北京大興高一下期末）拋擲一枚硬幣兩次，則至少有一次正面朝上的概率是（

）A． B． C． D．6．（2022北京通州高一下期末）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有1個(gè)白色球，3個(gè)黑色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩個(gè)球都是黑色球的概率是（

）A． B． C． D．7．（2022北京通州高一下期末）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)不大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于5”；“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；“點(diǎn)數(shù)為i”，其中.下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．與互斥 D．與互為對(duì)立二、填空題8．（2024北京豐臺(tái)高一下期末）設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)互斥事件，，，則.9．（2024北京通州高一下期末）從寫有數(shù)字的5張卡片中有放回的抽取兩次，兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是．10．（2024北京清華附中高一下期末）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五種智慧黑板，某學(xué)校要從中隨機(jī)選取3種作為教學(xué)工具備選，則其中甲、乙、丙中至多有2種被選取的概率為.11．（2024北京朝陽高一下期末）袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸到球的標(biāo)號(hào)大于3的概率是；若從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率是．12．（2024北京大興高一下期末）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖，洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案．河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)．若從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則陽數(shù)大于陰數(shù)的概率為．13．（2022北京朝陽高一下期末）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和n個(gè)綠球，采用有放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，則n的所有可能取值為．三、解答題14．（2024北京豐臺(tái)高一下期末）某校為普及航天知識(shí)，在高一年級(jí)開展了航天知識(shí)競(jìng)賽.將成績(jī)（單位：分）分成6組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示：(1)估計(jì)該校高一年級(jí)航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第80百分位數(shù)；(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的掌握情況，在成績(jī)位于和的兩組中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取5名學(xué)生.（i）求這5名學(xué)生中位于內(nèi)的人數(shù)；（ii）若從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行訪談，求這2名學(xué)生中至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.15．（2024北京東城高一下期末）某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法小組和科創(chuàng)小組的情況，數(shù)據(jù)如下（單位：人）：參加書法小組未參加書法小組參加科創(chuàng)小組84未參加科創(chuàng)小組330(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)小組的概率；(2)在既參加書法小組又參加科創(chuàng)小組的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)，，，，，3名女同學(xué)，，，現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求被選中且未被選中的概率．16．（2023北京通州高一下期末）為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會(huì)進(jìn)行了居民對(duì)社區(qū)工作滿意度的問卷調(diào)查．隨機(jī)抽取了100戶居民的問卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì)，評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，．

(1)求的值；(2)求這100戶居民問卷評(píng)分的中位數(shù)；(3)若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評(píng)分在和內(nèi)的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這6戶居民中選取2戶進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評(píng)分在內(nèi)的概率．17．（2022北京通州高一下期末）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為一號(hào)和二號(hào)），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；(2)求下列事件的概率；①“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；②“一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”.

參考答案1．D【分析】列舉出所有情況及“恰有1個(gè)紅球”的情況，求出概率.【詳解】設(shè)兩個(gè)紅球分別為，兩個(gè)白球分別為，則從中任取2個(gè)球，共有6種情況，分別為，其中“恰有1個(gè)紅球”的情況為，共4種情況，故“恰有1個(gè)紅球”的概率為.故選：D2．A【分析】記張紅色卡片為、，張黑色卡片為、，列出樣本空間，再對(duì)各選項(xiàng)的事件列出其基本事件，根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷即可.【詳解】記張紅色卡片為、，張黑色卡片為、，所以樣本空間，對(duì)于A：“恰有一張黑色卡片”，“都是黑色卡片”，故“恰有一張黑色卡片”與“都是黑色卡片”為互斥事件，故A正確；對(duì)于B：“至少有一張紅色卡片”，“至少有一張黑色卡片”，所以“至少有一張紅色卡片”與“至少有一張黑色卡片”不互斥，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：“恰有一張紅色卡片”，“都是黑色卡片”，所以恰有一張紅色卡片”與“都是黑色卡片”為互斥事件，但不是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“至多有一張黑色卡片”，“都是紅色卡片”，所以“都是紅色卡片”包含于“至多有一張黑色卡片”，故D錯(cuò)誤.故選：A3．D【分析】由題意可得總事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的定義再對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可求解．【詳解】從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，抽取小球的情況分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，選項(xiàng)A,“至少有一個(gè)白球”包括（紅，白），（白，白），故既不互斥也不對(duì)立，A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：“恰有一個(gè)白球”表示的是（紅，白），與“都是紅球”互斥但不對(duì)立，故B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C：“都是白球”與“都是紅球”互斥但不對(duì)立，故C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：“至少有一個(gè)白球”包括（紅，白），（白，白），與“都是紅球”是對(duì)立事件，故D正確，故選：D．4．C【分析】用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.【詳解】從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選：C.5．D【分析】用列舉法寫出所有基本事件，再由概率公式計(jì)算．【詳解】拋擲一枚硬幣兩次，朝上的面可能為：正正，正反，反正，反反，共4個(gè)，其中至少有一次正面朝上有正正，正反，反正共3個(gè)，所以概率為．故選：D．6．C【分析】給4個(gè)球編號(hào)，利用古典概率公式借助列舉法計(jì)算作答.【詳解】記1個(gè)白色球?yàn)锳，3個(gè)黑色球?yàn)閎，c，d，依題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球的概率問題，相當(dāng)于隨機(jī)摸出兩個(gè)球的概率問題，從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球的試驗(yàn)的不同結(jié)果是：Ab，Ac，Ad，bc，bd，cd，共有6個(gè)，兩個(gè)球都是黑色球的事件含有的結(jié)果為：bc，bd，cd，共有3個(gè)，所以兩個(gè)球都是黑色球的概率是.故選：C7．B【分析】利用事件的關(guān)系與運(yùn)算判斷A，B；利用互斥事件與對(duì)立事件的意義判斷C，D作答.【詳解】因事件含有“點(diǎn)數(shù)為2”的基本事件，而事件不含這個(gè)基本事件，A不正確；事件含有3個(gè)基本事件：“點(diǎn)數(shù)為1”，“點(diǎn)數(shù)為3”，“點(diǎn)數(shù)為5”，即，B正確；事件與都含有“點(diǎn)數(shù)為6”的基本事件，與不互斥，C不正確；事件與不能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，與不對(duì)立，D不正確.故選：B8．0.5/【分析】由互斥事件的概率公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)锳，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)互斥事件，所以.故答案為：0.59．【分析】根據(jù)條件，求出樣本空間及事件包含的樣本點(diǎn)，再利用古典概率公式，即可求出結(jié)果..【詳解】用中的表示第一次取到的卡片數(shù)字，表示第一次取到的卡片數(shù)字，由題知，樣本空間為，共25個(gè)，記事件：兩次抽取的卡片數(shù)字和為5，事件包含的樣本點(diǎn)為，共個(gè)，所以兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是，故答案為：.10．/0.9【分析】運(yùn)用列舉法求出總數(shù)和滿足題意數(shù)，結(jié)合對(duì)立事件概率，古典概型概率公式計(jì)算.【詳解】學(xué)校要從甲、乙、丙、丁、戊五種智慧黑板中隨機(jī)選取3種作為教學(xué)工具,總共有10種，即甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊.“甲、乙、丙中至多有2種被選取”的對(duì)立事件為“甲、乙、丙3種被選取”,對(duì)立事件的情況數(shù)只有１種，則概率為.則“甲、乙、丙中至多有2種被選取”的概率.故答案為：.11．/0.25【分析】利用古典概型，結(jié)合列舉法求出概率即可.【詳解】從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸到球的標(biāo)號(hào)大于3的概率是；從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球的樣本空間，共6個(gè)，摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的事件，共2個(gè)，所以摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率.故答案為：；12．/【分析】由陽數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，10，可得從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)的組合共有個(gè)，從而確定其中滿足陽數(shù)大于陰數(shù)的個(gè)數(shù)，即可利用古典概型概率計(jì)算公式求出所求概率.【詳解】由題可得陽數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，10，可得從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)的組合共有個(gè)，滿足陽數(shù)大于陰數(shù)的有，，，，，，，，，共10個(gè)，所以所求概率為故答案為：13．2或8【分析】先求出取出的2個(gè)球顏色不同的概率，再解方程求解即可.【詳解】由題意知，取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，化簡(jiǎn)得，解得或8.故答案為：2或8.14．(1)115；(2)（i）3；（ii）.【分析】（1）由各組的頻率和為1，列方程可求出，然后判斷第80百分位數(shù)的位置，再列式子求解即可；（2）（i）根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解，（ii）利用列舉法列出樣本空間，結(jié)合古典概型概率公式求解即可.【詳解】（1）由，可得.由頻率分布直方圖可知，前4組的頻率和為，前5組的頻率和為因此，80%分位數(shù)一定位于內(nèi).由，估計(jì)該校高一年級(jí)航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的80%分位數(shù)約為115分.（2）（i）由題意與的頻率之比為2:3，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取3人.（ii）在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，分別記為，，在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取3人，分別記為.從這5名學(xué)生中任取2人的樣本空間，設(shè)“從這5名學(xué)生中任取2人，至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)”為事件，而事件包含7個(gè)可能結(jié)果，即，所以，故抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率為.15．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件概率公式可直接求得結(jié)果；（2）列舉出所有基本事件，并確定滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：未參加任一社團(tuán)的人數(shù)為人，所以從班級(jí)中任選名同學(xué)，該同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)的概率.（2）從名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機(jī)選人，所有可能的結(jié)果有：，個(gè)，其中被選中且未被選中的情況有：，個(gè)，所以被選中且未被選中的概率.16．(1)0.02(2)77.5(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件,由頻率分布直方圖中各組矩形面積之和等于1,即可求出的值;（2）結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì),以及中位數(shù)的定義,即可求解;（3）根據(jù)已知條件,結(jié)合分層抽樣的定義,列舉法,以及古典概型的概率公式,即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得,,解得;（2）由頻率分布直方圖可得,，則中位數(shù)在之間,設(shè)為,則,解得,故中位數(shù)為77.5分;（3）評(píng)分在對(duì)應(yīng)的頻率為0.1,0.2,從評(píng)分在和內(nèi)的居民中共抽取6人,則評(píng)分在占2人,設(shè)為,評(píng)分在占4人,,從6人中選取2人的情況為:,共15種,其中這2人中恰有1人的評(píng)分在的情況為:,共8種,故這2人中恰有1人的評(píng)分在內(nèi)的概率為:.17．(1)，是古典概型；(2)；.【分析】（1）確定試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn)的構(gòu)成，寫出樣本空間，再判