2013考研試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(f(x)=x^3-3x\)的駐點是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)2.下列級數中收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)3.設\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=（）\)A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)4.已知向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)，則該向量組的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)5.設\(X\)服從參數為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda=（）\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.函數\(y=\ln(1+x^2)\)在區間\([-1,2]\)上的最大值是（）A.\(\ln2\)B.\(\ln5\)C.\(0\)D.\(1\)7.設\(f(x)\)的一個原函數為\(e^{-x}\)，則\(f^\prime(x)=（）\)A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{-x}(x+1)\)D.\(e^{-x}(x-1)\)8.已知\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\((A-B)^2=A^2+B^2\)9.設隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(0,1)\)，則\(Z=X-2Y\)服從的分布是（）A.\(N(1,8)\)B.\(N(1,6)\)C.\(N(1,2)\)D.\(N(1,0)\)10.曲線\(y=x^2\)與\(y=2-x^2\)所圍成圖形的面積為（）A.\(\frac{4}{3}\)B.\(\frac{8}{3}\)C.\(\frac{16}{3}\)D.\(\frac{32}{3}\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在\(x=0\)處連續且可導的有（）A.\(y=\vertx\vert\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列級數中，絕對收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot2^n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)3.設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則下列結論正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^2=A^2B^2\)C.\((A-B)(A+B)=A^2-B^2\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值4.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)B.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)的秩小于\(m\)D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)中任意一個向量都可由其余向量線性表示5.設隨機變量\(X\)的分布函數為\(F(x)\)，則\(F(x)\)具有的性質有（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)C.\(F(x)\)單調不減D.\(F(x)\)右連續6.下列積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)C.\(\int_{-\pi}^{\pi}\cosxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)7.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，則下列等式成立的有（）A.\(\fracul9z3ya{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)B.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^f(t)dt\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=f(b)-f(a)\)8.已知\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，則（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(A\)的秩為\(n\)C.\(A\)的列向量組線性無關D.\(A\)的行向量組線性無關9.設隨機變量\(X\)服從正態分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.\(E(X)=\mu\)B.\(D(X)=\sigma^2\)C.\(P(X\leq\mu)=\frac{1}{2}\)D.\(X\)的概率密度函數關于\(x=\mu\)對稱10.曲線\(y=\frac{1}{x}\)與直線\(x=1\)，\(x=2\)，\(y=0\)所圍成圖形的面積可以表示為（）A.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)B.\(\ln2-\ln1\)C.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{y}dy\)D.\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{y}dy\)判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續。（）2.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)。（）3.設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=O\)，則\(A=O\)或\(B=O\)。（）4.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)中，如果\(\alpha_1\)與\(\alpha_2\)線性相關，則該向量組線性相關。（）5.設隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）6.函數\(y=x^3\)在\(R\)上是單調遞增函數。（）7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續。（）8.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關。（）9.隨機變量\(X\)的期望\(E(X)\)一定存在。（）10.曲線\(y=x^2\)與\(y=x\)所圍成圖形的面積為\(\frac{1}{6}\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。-答案：對\(y\)求導得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)時，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。-答案：將第二行減去第一行的\(4\)倍，第三行減去第一行的\(7\)倍，得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)。再由第三行減去第二行的\(2\)倍，得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)。3.設隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，求\(E(X)\)。-答案：根據期望公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)，則\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^2dx=\frac{2}{3}x^3\big|_0^1=\frac{2}{3}\)。4.求\(\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx\)。-答案：先將分母變形為\(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\)，則\(\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\int\frac{1}{(x+2)^2+1}dx\)。令\(u=x+2\)，\(du=dx\)，原式\(=\int\frac{1}{u^2+1}du=\arctanu+C=\arctan(x+2)+C\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的連續性。-答案：首先\(f(x)\)在\(x=1\)處無定義。\(\lim_{x\rightarrow1}f(x)=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}(x+1)=2\)，但函數在該點無定義，所以\(f(x)\)在\(x=1\)處不連續，屬于可去間斷點。2.討論\(n\)階方陣\(A\)可逆的充分必要條件有哪些？-答案：\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的秩為\(n\)；\(A\)的列（行）向量組線性無關；\(AX=0\)只有零解；存在\(n\)階方陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)等。3.討論正態分布在實際生活中的應用。-答案：正態分布在實際中應用廣泛，如學生考試成績分布、人的身高體重分布等。在質量管理中，可根據正態分布監控產品質量；在風險評估中，用來估計風險概率等，能幫助分析和預測許多自然和社會現象。4.討論線性方程組\(Ax=b\)解的情況與系數矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)以及增廣矩陣\(\overline{A}\)的秩\(r(\overline{A})\)的關系。-答案：當\(r(A)=r(\overline{A})=n\)（\(n\)為未知數個數）時，方程組有唯一解；當\(r(A)=r(\ove