高中基不等式試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a+b=4\)，則\(ab\)的最大值為（）A.2B.4C.8D.162.已知\(x\gt0\)，則\(x+\frac{1}{x}\)的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.若\(x\lt0\)，則\(x+\frac{4}{x}\)有（）A.最大值-4B.最小值-4C.最大值4D.最小值44.當\(x\gt1\)時，\(x+\frac{1}{x-1}\)的最小值為（）A.1B.2C.3D.45.已知\(a\)，\(b\in(0,+\infty)\)，且\(a+b=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的最小值是（）A.2B.3C.4D.56.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+2y=1\)，則\(xy\)的最大值為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{8}\)C.\(\frac{1}{16}\)D.\(\frac{1}{32}\)7.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a+b=2\)，則\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\)的最小值為（）A.1B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{3}{2}\)D.28.若\(x\)，\(y\)滿足\(x+y=1\)，\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，則\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的最大值為（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(2\sqrt{2}\)9.已知\(a\)，\(b\)為正實數，且\(ab=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)與\(2\)的大小關系是（）A.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\gt2\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq2\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\lt2\)D.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\leq2\)10.函數\(y=x+\frac{2}{x-1}(x\gt1)\)的最小值是（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(2\sqrt{2}+1\)C.\(2\sqrt{2}-1\)D.\(2\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列不等式中，正確的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)D.\(\frac{a}+\frac{a}\geq2\)（\(a\)，\(b\)同號）2.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，則下列能使\(x+y\)取得最小值的條件有（）A.\(xy=4\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)C.\(x=2y\)D.\(x^2+y^2=8\)3.若\(a\)，\(b\)，\(c\)都是正數，則下列結論正確的是（）A.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)B.\(\frac{a}+\frac{a}\geq2\)C.\(a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}\)D.\(\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\)4.已知\(x\gt0\)，則下列函數中最小值為2的是（）A.\(y=x+\frac{1}{x}\)B.\(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)C.\(y=x^2+\frac{1}{x^2}\)D.\(y=2x+\frac{1}{2x}\)5.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列式子中正確的是（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)6.下列說法正確的是（）A.當\(x\gt0\)時，\(x+\frac{1}{x}\geq2\)，當且僅當\(x=1\)時等號成立B.當\(x\lt0\)時，\(x+\frac{1}{x}\leq-2\)，當且僅當\(x=-1\)時等號成立C.當\(x\gt0\)時，\(x+\frac{4}{x}\geq4\)，當且僅當\(x=2\)時等號成立D.當\(x\gt0\)時，\(x+\frac{9}{x}\geq6\)，當且僅當\(x=3\)時等號成立7.已知\(x\)，\(y\)滿足\(x+y=2\)，\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，則（）A.\(xy\)有最大值1B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)有最小值2C.\(x^2+y^2\)有最小值2D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)有最大值\(2\)8.若\(a\)，\(b\)為正實數，且\(a+b=2\)，則（）A.\(ab\leq1\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq2\)C.\(a^2+b^2\geq2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq2\)9.下列不等式能成立的是（）A.\(x^2+\frac{1}{x^2}\geq2\)B.\(\sinx+\frac{1}{\sinx}\geq2\)（\(0\lt\sinx\lt1\)）C.\(a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca\)D.\(\frac{a}+\frac{a}\geq2\)（\(a\)，\(b\)異號）10.已知\(x\gt1\)，則關于函數\(y=x+\frac{4}{x-1}\)，下列說法正確的是（）A.函數有最小值5B.當\(x=3\)時取得最小值C.函數有最大值5D.當\(x=2\)時取得最小值三、判斷題（每題2分，共20分）1.對任意\(a\)，\(b\inR\)，都有\(a^2+b^2\geq2ab\)。（）2.當\(a\gt0\)，\(b\gt0\)時，\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，當且僅當\(a=b\)時等號成立。（）3.若\(x\gt0\)，則\(x+\frac{1}{x}\geq2\)，當且僅當\(x=1\)時等號成立。（）4.若\(a\)，\(b\)同號，則\(\frac{a}+\frac{a}\geq2\)。（）5.函數\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上單調遞增。（）6.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)。（）7.若\(a\)，\(b\)為正實數，且\(ab=1\)，則\(a+b\geq2\)。（）8.當\(x\lt0\)時，\(x+\frac{4}{x}\)的最大值是-4。（）9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)都是正數，則\(a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}\)。（）10.函數\(y=2x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值是\(2\sqrt{2}\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。答：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+y)=1+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+1=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\)，因為\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，所以\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq2\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)，最小值為4。2.當\(x\gt1\)時，求函數\(y=x+\frac{1}{x-1}\)的最小值。答：\(y=x+\frac{1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1\)，因為\(x\gt1\)，即\(x-1\gt0\)，所以\((x-1)+\frac{1}{x-1}\geq2\)，則\(y\geq2+1=3\)，最小值為3。3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=2\)，求\(ab\)的最大值。答：由基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，已知\(a+b=2\)，則\(2\geq2\sqrt{ab}\)，即\(\sqrt{ab}\leq1\)，\(ab\leq1\)，所以\(ab\)最大值為1。4.若\(x\gt0\)，求\(x+\frac{9}{x}\)的最小值及此時\(x\)的值。答：由基本不等式\(x+\frac{9}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=6\)，當且僅當\(x=\frac{9}{x}\)，即\(x=3\)時等號成立，所以最小值為6，此時\(x=3\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在實際問題中，如何運用基本不等式求最值？答：首先要根據題意合理設變量，構建出滿足基本不等式的形式。然后確定變量的取值范圍，保證等號能成立。還要分析實際意義，確保所求最值符合實際情況，比如實際問題中的數量不能為負等。2.基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）與\(a^2+b^2\geq2ab\)（\(a\)，\(b\inR\)）有哪些聯系與區別？答：聯系：都體現了\(a\)、\(b\)的某種不等關系，后者是前者的推廣。區別：適用范圍不同，前者\(a\)、\(b\)需為正，后者\(a\)、\(b\)為任意實數；取等條件相同都是\(a=b\)；形式不同，前者是和與積的關系，后者是平方和與積的關系。3.舉例說明基本不等式在生活中的應用。答：比如在建筑設計中，要圍一個矩形場地，在周長一定時，利用基本不等式可知當矩形為正方形時面積最大。又如在生產制造中，要制作一個有一定容積的無蓋長方體容器，可通過基本不等式來確定長、寬、高的比例，使材料最省。4.對于基本不等式求最值時，“一正、二定、三相等”的含義及重要性。答：“一正”指參與基本不等式運算的數都為正；“二定”是指和或積為定值；“三相等”是等號成立的條件。這三個條件缺一不可，若不滿足“一正”，基本