專題13函數中的三角形、四邊形存在性問題

I厘概述

函數中三角形、四邊形的存在性問題是中考中的常考點，考查內容主要包括等腰三角形、直角三角形、

平行四邊形、特殊的平行四邊形以及三角形全等和相似的存在性。在解決此類問題時，首先要用坐標把三

角形或四邊形的邊長表示出來(可以根據勾股定理)，在設坐標時，通常只設一個未知數橫坐標或者縱坐

標，另一個坐標一般根據函數解析式進行表示，其次根據等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等的判定

定理列出方程，并求出未知數。

真題精析

例4

(2022?山東棗莊?統考中考真題)如圖①，已知拋物線L：y=N+bx+c的圖象經過點A(0,3),B(1,0),

過點A作4<7〃天軸交拋物線于點C,/A08的平分線交線段AC于點E,點P是拋物線上的一個動點.

圖①圖②

(1)求拋物線的關系式;

(2)若動點尸在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO,當AOPE面積最大時，求出尸點坐標;

(3)將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內(包括△OAE的邊界),

求〃的取值范圍;

(4汝口圖②，/是拋物線的對稱軸/上的一點，在拋物線上是否存在點P,使APO尸成為以點P為直角頂點

的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

郵正

(1)利用待定系數法可得拋物線的解析式；

(2)過產作PG〃y軸，交OE于點G,設尸6",m2-4m+3),根據0E的解析式表示點G的坐標，表示

PG的長，根據面積和可得△OPE的面積，利用二次函數的最值可得其最大值；

(3)求出原拋物線的對稱軸和頂點坐標以及對稱軸與OE的交點坐標、與AE的交點坐標，用含的代數

式表示平移后的拋物線的頂點坐標，列出不等式組求出h的取值范圍；

(4)存在四種情況：作輔助線，構建全等三角形，證明根據|OM|=|PN|,列方程可得點

尸的坐標；同理可得其他圖形中點尸的坐標.

[答案與解析】

【答案】⑴拋物線的解析式為：y=/-4x+3

53

(2)P點坐標為(a,--)

(3)人的取值范圍為3</z<4

⑷存在，點尸的坐標是(土且，匕如)或(@±1)或(1±正，匕且)或(近5,五±1)

22222222

【詳解】(1)解：???拋物線L：y=/+法+。的圖象經過點A(0,3),B(1,0),

.[\+b+c=0

[c=3

[b=-4

解得。，

[c-3

???拋物線的解析式為：y=x2-4r+3；

(2)如圖1,過P作PG〃y軸，交。E于點G,

圖1

設尸Cm,m2-4m+3),

平分NAOB,ZAOB=90°,

:.NAOE=45。，

???△A0￡是等腰直角三角形，

**?A￡=OA=3,

：.E(3,3),

設直線的解析式為y=fcr,把點(3,3)代入得，

3=3K

解得k=l9

，直線的解析式為：y=x,

AG(m,m),

:,PG=m-Cm2-4/w+3)=-m2+5m-3,

ASAOPE=SAOPG+SAEPG

=-PG^AE

2

=—x3x(-m2+5m-3)

2

3

=—(m2-5/w+3)

2

3,5、239

二—(m—)H----,

228

3

■:——<0,

2

，當機=|■時，AOPE面積最大，

3

此時m2-4m+3=—,

4

53

，P點坐標為(；，--);

24

(3)由y=/-4x+3=(x-2)2-1,得拋物線，的對稱軸為直線x=2,頂點為(2,-1),

拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為F(2,-

設直線x=2交于點M,交AE于點N,則N(2,3),如圖2,

圖2

?.?直線OE的解析式為：y=x,

：.M(2,2),

V點尸在△OAE內(包括△OAE的邊界)，

：.2<-l+h<3,

解得3<ft<4；

(4)設尸Cm,/n2-4zn+3),分四種情況：

①當P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖3,過P作腦VJ_y軸，交y軸于交/于N,

圖3

:.ZOMP=ZPNF=9Q09

???40尸尸是等腰直角三角形,

：,OP=PF,ZOPF=9Q09

:.Z0PM+ZNPF=ZPFN+ZNPF=90°,

：.ZOPM=ZPFN,

：.AOMP^APNF(AAS),

:?OM=PN,

VP（m,m2-4m+3）,

貝！J-m2+4m-3=2-m,

解得：根=小5或土史，

22

?.?析=一5>2,不合題意，舍去，

2

?5-^/5

..m=-------,

2

此時m2-4m+3=-——,

2

???P的坐標為（匕后，匕或）；

22

②當尸在對稱軸的左邊，且在X軸上方時,

同理得：2-m=m2-4m+3,

解得：如￡或—2=3一1,

i=i2

?.?1±@>2,不合題意，舍去，

2

._3-A/5

..m-----------,

2

此時m2-4m+3="十】，

2

???P的坐標為（叵口）;

22

③當產在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，如圖4,過產作MNLx軸于N,過方作于

圖4

同理得△ONP\PMF,

：.PN=FM,

貝［J-m2+4m-3=m-2,

解得：如，或—2=3一?；

i=i2

?；J5V2,不合題意，舍去,

2

.3+布

..m=--------,

2

此時m2-4m+3=-~~—,

2

P的坐標為（25,上至）;

22

④當產在對稱軸的右邊，且在X軸上方時，如圖5,

同理得m2-4m+3=m-2,

解得：加=丕6或匕5（舍），

22

尸的坐標為：（史史，叵1）；

22

綜上所述，點p的坐標是：（三叵，匕5）或（叵"）或（1±@,匕且）或（出5,

2222222

①.

2

總結與點撥

本題屬于二次函數綜合題，主要考查了二次函數的綜合應用，二次函數的圖象與性質及圖形的平移，全等

三角形的判定與性質以及解一元二次方程的方法，運用分類討論思想和方程的思想是解決問題的關鍵.

4

（2022?山東煙臺?統考中考真題）如圖，已知直線y=]X+4與無軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=

辦2+區+0經過A,C兩點，且與無軸的另一個交點為；3",對稱軸為直線x=-l.

⑴求拋物線的表達式；

（2）。是第二象限內拋物線上的動點，設點。的橫坐標為處求四邊形ABCD面積S的最大值及此時。點的

坐標；

⑶若點尸在拋物線對稱軸上，是否存在點P,。，使以點A,C,P,Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的

菱形？若存在，請求出P,。兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

(1)先求得A,C,8三點的坐標，將拋物線設為交點式，進一步求得結果；

(2)作Z>F_L43于尸，交AC于E,根據點。和點E坐標可表示出DE的長，進而表示出三角形40c的

面積，進而表示出S的函數關系式，進一步求得結果；

(3)根據菱形性質可得叢=PC,進而求得點P的坐標，根據菱形性質，進一步求得點。坐標.

【答案與解析】

、48

［答案］⑴丁=—-X2--x+4

253

(2)S最大=—,DC--,5)

19

⑶存在，0(-2,—)

O

【詳解】(1)解：當x=0時，j=4,

：.C(0,4),

4

當y=0時，yx+4=0,

/.x=-3,

：.A(-3,0),

???對稱軸為直線x=-L

：.B(1,0),

???設拋物線的表達式：y=a(x-1)?(x+3),

/.4=-3a,

.4

??a—~—9

3

448

?，?拋物線的表達式為：y=--(x-1)?(x+3)---x2-—x+4；

(2)如圖1,

作于方，交AC于￡,

J.D(m-—m2-—m+4),E(m,—/w+4),

9333

4844

/.DE=m2—m+4-(—m+4)=m2-4m,

3333

134

:?SAADC=—DE,0A=—?(m2-4m)=-2m2-6m,

223

,:SAABC=—AB-OC=—x4x4=8,

22

325

:?S=-2m2-6m+8=-2Cm+—)2+一,

22

375

**?當機=-5時，s最大=—,

3433

當m=-彳時，y=--x(---l)x(--+3)=5,

2322

3

?'?D(，5)；

2

(3)設P(-1,n),

??,以A,C,P,。為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形,

:.PA=PC9

即：PA2=PC2,

:.(-1+3)2+n2=l+(n-4)2,

._13

8

VxP+xQ=xA+xC,yP+yQ=yA+yC

、1319

^?xQ=-3-(-1)=-2,yQ=4---=一

總結與點撥

本題考查了二次函數及其圖象性質，勾股定理，菱形性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握相關二次函

數和菱形性質

例率3

（2022?湖南郴州?統考中考真題）已知拋物線'=/+法+,與；1軸相交于點4（-1,0）,以3,0）,與y軸相交

于點C.

4；/r.）：Z./N[\l/N

（備用圖）

⑴求拋物線的表達式；

（2汝口圖1,將直線8C間上平移，得到過原點O的直線MN.點。是直線MN上任意一點.

①當點。在拋物線的對稱軸/上時，連接CQ,關x軸相交于點E,水線段。￡的長；

②如圖2,在拋物線的對稱軸/上是否存在點凡使得以8,C,D,尸為頂點的四邊形是平行四邊形？若存

在，求出點尸與點。的坐標；若不存在，請說明理由.

⑴把A（-l,0）,3（3,0）代入y=尤2+法+C即可得出拋物線的表達式；

（2）①求出直線解析式：＞=x-3,再由直線MN：丫=》及拋物線的對稱軸：x=l,即可得出進

而得出直線C。的解析式為：y=4x-3,即可得出答案；②分以8c為邊時，BPoBCFD,口BCDF,以及

分以BC為對角線時，進行討論即可得出答案.

［答案與解析】

【答案】（1）＞=尤2一2無一3

⑵①。￡=（；②在點人使得以5,C,D,F為頂點的四邊形是平行四邊形.當點尸的坐標為（U）時,

點。的坐標：（4,4）或（-2,-2）；當點尸的坐標為（1,-5）時，點。的坐標：（2,2）.

【詳解】（1）解：將點A（TO）,3（3,。）代入〉=/+法+,得：

l-b+c=O,

9+3b+c=0,

b=-2,

解得

c=-3.

:.拋物線的表達式為y=V-2x-3.

（2）①由（1）可知：C（0,-3）,

設直線5C：y=kx+b（k^6）,將點3（3,0）,C（0,-3）代入得:

3k+b=0,

b=-3.

k=1,

解得

b=-3.

???直線BC：y=x-3,貝！I直線MMy=%.

?.?拋物線的對稱軸：尤=-9

2a嬴j

把x=l代入y=x,得y=l,

/.D（l,l）.

設直線CZ＞：y=勺*0）,將點C（0,-3）,代入得:

k]+b[=1,

t\=-3.

&=4,

解得

bx=-3.

J.直線CO：y=4x-3.

3

當A時'得

②存在點八使得以HC,D,歹為項點的四邊形是平行四邊形.

理由如下:

(I)若平行四邊形以為邊時，由3C〃ED可知，尸。在直線上,

.?.點F是直線MN與對稱軸/的交點，即尸(1,1).

由點。在直線MN上，設。(。).

（圖2-1）（圖2-2）

如圖2-1,若四邊形8C/O是平行四邊形，則。尸=8C.

過點。作y軸的垂線交對稱軸/于點G,則G（lj）.

VBC//MN,

:.NOBC=NDOB,

???GD〃工軸，

:.ZGDF=ZDOB,

：.ZOBC=ZGDF.

又VZBOC=ZDGF=90°,

:.Z\DGF^/\BOC,

AGD=OB9GF=OCf

°：GD=t—\,03=3,

?**t—\=39解得t=4.

???0(4,4),

如圖2?2,若四邊形5CD廠是平行四邊形，則=CB.

同理可證：ADKF/ACOB,

:.KD=OC,

■:KD=1—t,。。=3,

**?1—t=39解得t=-2.

*??D(-2,-2)

(II)若平行四邊形以5C為對角線時，由于點。在5C的上方，則點方一定在5C的下方.

???如圖23存在一種平行四邊形，即口跳8.

(圖2-3)

設F(l,哈,同理可證：ADHC會'BPF,

：.DH=BP,HC=PF

,:DH=t,BP=3-1=2,HC=t-(-3)=t+3,PF=0-m=-m

(t=2,

解得

[m=

.?.0(2,2),尸。,一5).

綜上所述，存在點F,使得以3,C,D,尸為頂點的四邊形是平行四邊形.

當點尸的坐標為（1,1）時，點。的坐標：（4,4）或（-2,-2）；

當點F的坐標為（1,-5）時，點。的坐標：（2,2）.

皿與翻

本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法，二次函數的性質，平行四邊形的性質，熟練掌握相關

知識，正確進行分類討論是解題的關鍵.

精（題

1.（2022.重慶銅梁.銅梁中學校校考模擬）已知如圖，直線％=必尤+3與兩坐標軸分別交于點A、B,點、B

13

關于x軸的對稱點是點D,直線%=-x+b經過點8,且與x軸相交于點C,點P是直線上上一動點，過點P

作》軸的平行線交直線》于點E,再以PE為邊向右邊作正方形PEFG.

備用圖

⑴①求b的值;

②判斷△ABD的形狀，并說明理由;

⑵連接OP、DP,當△尸8的周長最短時，求點尸的坐標;

（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點。，使得△AEQ是等腰三角形，若存在，請直接寫出點。的坐

標，若不存在，請說明理由.

2.（2022?山東日照?校考一模）如圖，拋物線丁="2+桁+3與x軸交于A（l,0）,3（3,0）兩點，與，軸交于點

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,M是拋物線無軸下方的拋物線上一點，連接MO、MB、MC,若△MOC的面積是AMBC面積

的3倍，求點M的坐標

(3)如圖3,連接AC、8C,在拋物線上是否存在點N(不與點A重合)，使得=?若存在求出

點N的橫坐標，若不存在說明理由

3.(2022?四川德陽?模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點A(l,0)和點

B,與y軸交于點c(o,-3),連接Be.

(1)求拋物線的解析式及點B的坐標;

(2)如圖，點尸為線段3c上的一個動點(點P不與點8,C重合)，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q,

求線段PQ長度的最大值.

(3)動點尸以每秒收個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點”以每秒1個單位長度的

速度在線段8。上由點8向點。運動，在平面內是否存在點N,使得以點尸，M,B,N為頂點的四邊形

是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2022?海南海口?海南華僑中學校聯考模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=加+樂+3(。70)與

y軸交于點C,與x軸交于A(-2,0)、3(4,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點〃從A點出發，在線段A8上以每秒3個單位長度的速度向8點運動，同時點N從8點出發，在線段

8C上以每秒2個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設的

面積為S,點〃運動時間為f秒，試求S與f的函數關系，并求S的最大值；

(3)在點/運動過程中，是否存在某一時刻使△MBN為直角三角形？若存在，求出f的值；若不存在，

請說明理由.

5.(2021?貴州遵義?校考模擬)如圖，直線y=-x+3與x軸、＞軸分別交于8、C兩點，拋物線＞=-/+法+。

經過點2、C的，與x軸另一交點為A,頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸是否存在一點E,使得ABCE是等腰三角形，若存在，求出E的點坐標，若不存在，請

說明理由；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得NAP8=NOCB?若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說

明理由.

6.(2022?四川瀘州?校考模擬)如圖1,已知拋物線過三點0(0,0)、A(&0)、川2,2—)),AB過線段區的中

點C,若點E為AB所在圓的圓心.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求NBA。的度數；

(3)求圓心點E的坐標，并判斷點E是否在這條拋物線上；

(4)若弧3C的中點為P,是否在尤軸上存在點使得/WB與相似？若存在，請求出點Mr的坐標,

若不存在說明理由.

7.(2022?山東日照.校考二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=gf+bx+c經過點4(<0),點M

為拋物線的頂點，點8在y軸上，直線A2與拋物線在第一象限交于點C(2,6).

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接OC,若過點。的直線交線段AC于點P,將三角形AOC的面積分成1:2的兩部分，請求出點P的

坐標；

(3)若。是直線AC上方拋物線上一個動點(不與點A、C重合)，當△QAC的面積等于“OC的面積時，求

出Q點的坐標；

(4)在拋物線的對稱軸上有一動點X,在拋物線上是否存在一點N,使以點A、H、CN為頂點的四邊形是

平行四邊形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由.

8.(2022?重慶?重慶八中校考模擬)平面直角坐標系中，拋物線y=