第3章函數的概念與性質章末重難點歸納總結

吶數的梆析

定義域

吶數的三亞半解析式

L函數的概念

僅域

相等訥傲的則版定義域和解析式相同

自然語盲解析式圖像法

一函數的發不方法

定義法

用中iWtl

數

的

概

念■T函數的竹質

與

性

順奇怏ft

定義

為怏性與單洲仙

圖像

次咕散鐵型二次的數微小

的數的應用

H分股咕數鐵串基本不等式模型

重點一函數的簫析

重球點二的數的三要素

函數的概

念與性質重難點三的數的性防

重點四重函數

重點一函數的辨析

【例1】（2022.全國.高一單元測試）若函數y=/（x）的定義域為{x|-3Vx<8,x*5},值域為

{y\-l<y<2,y^0},則y=/（x）的圖象可能是（）

【解析】選項A中，當x=8時，y=o,不符合題意，排除A；選項C中,存在一個x對應多個y值，不是

函數的圖象，排除C；選項D中，x取不到0,不符合題意，排除D.故選：B.

【一隅三反】

1.（2022?全國?高一專題練習）下列圖形中，不能表示以x為自變量的函數圖象的是（)

【答案】B

【解析】B中，當x>0時，y有兩個值和X對應，不滿足函數y的唯一性，A,C,D滿足函數的定義，故

選：B

2.（2022?全國?高一專題練習）下列變量x與>的關系式中，不能構成了是*的函數關系的是（）

A.x-y=lB.x2-y=1C.x-2y2=iD.yfx-2y=1

【答案】C

【解析】對A,由=l得y=x-i是函數關系;

對B,由Y-y=l,得y=/_l是函數關系;

對C,由尤-2y2=1,得y2=g（x_i）,此時y值不唯一，不是函數關系；

對D,由&-2y=1,得y=是函數關系，故選：C

重難點二函數的三要素

【例2】（1）（2022?江蘇省）函數〃x）=7匕+石]的定義域為（）

A.[1,2]B.（1,2）C.（1,2]D.[1,2）

（2）（2022.湖北黃石）已知函數〃x+2）的定義域為（-3,4）,則函數g（x）=的定義域為（）

A/3X-1

A-B-加C-加D.面

【答案】（1）C（2）C

fx-l>0[X>1/、/■,

【解析】由題意得：2_x>0解得尤<2'即AH的定義域為°，2]?故選：C.

（2）因為函數/'（x+2）的定義域為（-3,4）,所以“X）的定義域為（T6）.又因為3x-l>0,即所以

函數g（x）的定義域為故選：C.

【例2-2]（2022?湖南?湘陰縣教育科學研究室高一期末）已知函數〃6=號為奇函數.

（1）求實數6的值；

⑵若對任意的xe[0,l],有了（2V-履-耳+|<0恒成立，求實數人的取值范圍.

【答案】⑴人=-1

⑵I"

【解析】（1）:函數〃x）=手的定義域為R,且為奇函數，，/（0）=1+6=0,解得6=-1,經驗證：

〃力=娛=2=?為奇函數，符合題意，故6=-1；

（2）?：f（x）=2x--,.?./（X）在R上單調遞增，>/（-l）=1-2=-j.'：f（2x2-kx-k）+^<0,則

f（2^-kx-k）<~=f（-\）,又函數〃x）在R上單調遞增，貝"2/一版一左<一1在xe[0,l]上恒成立，

0q3

k>2（x+1）H-----一4在x￡[0,1]上，旦成立，設g（x）=2（%+1）H-------—4,令，=x+1,則，￡[1,2],函數y=2，H—在

X+1X+1f

上遞減，在[祗,2]上遞增，當r=l時，y=5,當r=2時，y=y，故g⑺皿*=?-4=|,則左,，

.?.實數%的取值范圍為

【一隅三反】

1.（2022?全國?高一專題練習）已知函數/（x+1）定義域為[1,4],則函數〃尤-1）的定義域為.

【答案】[3,6]

【解析】因〃x+1）的定義域為[1,4],則當UW4時，2<x+l<5,

即〃x）的定義域為[2,5],于是〃％-1）中有2WX-1V5,解得3WxW6,

所以函數〃彳-1）的定義域為[3,6]

故答案為：口,6]

2.（2022?全國?高一專題練習）若函數》=三百的值域是—.

x+2

【答案】（-s，2）u（2,+s）

【解析】'=2-三，，尸2,.?.函數的值域是：（一s,2）"2,+s）.故答案為：（一8,2）u（2,+s）

3.(2022?全國?高一專題練習)已知函數〃同=?七，則/(x)的值域是.

【答案】

,C11??.〃”的值域為]。,；，故答案為:0,1

【解析】x+222,..。v-2—~

尤2+22

4.(2022?全國?高一)函數/x={U的值域是_______________(用區間表示)

-x+5,1VXW3

【答案】[0,4]

【解析】當-2?x1時，/(x)=(x+l)2,為開口向上，對稱軸為x=-l的拋物線，所以/(x)e[0,4),

當1WXW3時，/(x)=r+5,為單調遞減函數，所以〃x)e[2,4],

綜上：/(x)e[0,4],即/⑴的值域為[0,4].故答案為：[0,4]

5.(2022?全國?高一單元測試)已知函數“X)的定義域為B,函數/'(1-3x)的定義域為A=：/，若HxeB,

使得。>/一%+1成立，則實數。的取值范圍為

【答案】0|，+力

"1111「]]

【解析】.."(I—3尤)的定義域為A=-,1，，;4x41,-241-3x4;，則B=-2,-.令g(x)=f一％+1,

玉eg,使得a>/_x+i成立，即。大于g(x)在-2,；上的最小值.：g(尤)=(x-g)+1,；.g(x)在

-*]上的最小值為...實數a的取值范圍是住,+8

L4j16116

重難點三函數的性質

【例3-1](2022?湖北省漢川市第一高級中學高一期末)已知函數〃%)是定義在(-8,0)U(0,+?)上的奇函

數，且〃-1)川若對于任意兩個實數力”(。收)且為f,不等式"?:仁)<0恒成立，則不

等式4(x)>0的解集是()

A.(-ao,-l)u(0,l)B.(-00,-1)u(l,+co)

C.(-1,0)51,小)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】由題可知，"X)在區間(0,+8)上單調遞減，

又“幻為奇函數，則/(f)=-/(x),且/(-1)=0,故/(1)=0,

設g(尤)=V(x),貝I］g(-x)=-V(-x)=#(x)=gCO，故g(x)為偶函數，

又g(x)在區間(-8,0)上單調遞增，在區間(0,+功上單調遞減，

又g(-l)=g(l)=0,所以g(尤)>。的解集為(-l,0)U(0,l),

即4(無)的解集為(T,。)(0,1).

故選：D.

【例3-2X2022?全國?高一單元測試)(多選)已知定義域為R的函數“X)在上為增函數，且/'(x-1)

為偶函數，則()

A.〃x)的圖象關于直線x=-1對稱B.“X)在(-1,+8)上為增函數

C./(1)=/(-2)D./(-3)</(0)</

【答案】AD

【解析】因為/'(x-1)為偶函數，且函數/(X)在(一》,-!)上為增函數,

所以/'(X)的圖象關于直線x=—1對稱，且/'(X)在(T,")上為減函數，所以A正確，B不正確;

因為的圖象關于直線x=T對稱，/(1)=/(-3)^/(-2),所以C不正確;

因為的圖象關于直線x=—1對稱，所以〃0)=〃—2),/(一￡|=，一目，又〃無)在(一方一1)上為增

函數，所以即/(一3)〈/⑼一口，所以D正確.故選：AD.

【例2-3］.(2022?貴州黔西?高一期末)已知函數〃6=與、是定義在上的奇函數，且〃1)="

(1)求加,〃的值；

(2)判斷了(x)在上的單調性，并用定義證明;

【答案】⑴〃7=0,〃=1

(2)〃外在［-1』上單調遞增，證明見解析

【解析】(1>是定義在［-U］上的奇函數，:"(。)=-機=。，解得：機=0；

/⑴j

經檢驗：當m=0,〃=1時，=則“一到二一"二一/⑴，.?.“X)為奇函數;

?X十A十L

:.m=0,n=l.

（2）〃％）在［-1』上單調遞增，證明如下：

設-1?玉x2?1,

,f（YX%X］_X2（X；+1）-X|（X；+1）_%尤2（&―.）+（%—%）_（%—%）（占尤2—1）

,?八"一八J-二一百一（考+i）G；+i）-—（考+ij（x；+i）-G+D儲+i）；

x,x2<1,Xj-x2<0,Xj+1>0,片+1>0,

??.“X）是在［-M］上單調遞增.

【一隅三反】

1.（2022?全國?高一單元測試）若函數〃彳）=狽2+2%-1在區間（-8,6）上單調遞增，則實數。的取值范圍是

A?卜川B.［-川C.］一”

【答案】A

【解析】當即0時，函數〃力=2尤-1在R上單調遞增，

所以/?（*）在（-j6）上單調遞增，則a=0符合題意；

當。力0時，函數是二次函數，又“X）在（-*6）上單調遞增，

——>61

由二次函數的性質知，Sa,解得-.a<0.

a<06

綜上，實數a的取值范圍是［一：，。］,

O

故選:A.

2.（2022?全國?高一單元測試）（多選）關于函數y=，4-（x+l『,下列說法正確的是（)

A.在區間上單調遞減B.單調遞增區間為［-3,-1］

C.最大值為2D.沒有最小值

【答案】ABC

【解析】由"（x+lpNO得-34x41,即函數y=,4-（x+l『的定義域為13,1］.

令t=4-（x+l）2,貝卜=4-（x+iy的圖象是開口向下，對稱軸為x=—1的拋物線,

所以函數r=4-（尤+1）2在［-3,-1］上單調遞增，在［-1,1］上單調遞減，

又》=〃單調遞增，所以y=j4-（x+l『在［-3,T上單調遞增,在［-1,1］上單調遞減，故A,B正確；

222

ymax=^4-（-1+1）=2,當x=-3時，y=^4-（-3+1）=0,當x=1時，y=^4-（1+1）=0,貝Uymin=°,

故C正確，D錯誤.

故選：ABC.

/、\ax—\,x<a,、

3.（2022?貴州遵義局一期末）（多選）設函數〃尤）=2。_,、，“尤）存在最小值時，實數。的值

Ix—2,cix+1,x2a

可能是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

./、［ax-l,x<a

【解析】解：因為/尤=,;I、，

［x-2ax+l,x>a

若a>0,當時〃x）=at-l在（Yo,a）上單調遞增，當x--8時/⑴--oo,此時函數不存在最小值；

/\f—1,x<0/、

若4=0,則”x）=21此時AH=-1,符合題意；

IX+X_U11dli

若a<0,當x<a時/■（力=<^一1在（^0,4）上單調遞減，

當時/（x）=x2-2tzx+l,

二次函數、=尤2-2依+1對稱軸為x=a,開口向上，此時在,,+（?）上單調遞增，

,.fez<0

要使函數/（x）存在最小值，只需片+］，解得aW-L

綜上可得」0}.

故選：ABC

4.（2021.貴州?遵義航天高級中學高一階段練習）（多選）哥函數〃x）=（加一5"?+7）--6在（0,+“）上是增

函數，則以下說法正確的是（）

A.m=3

B.函數/'（X）在（-8,0）上單調遞增

C.函數/■（%）是偶函數

D.函數的圖象關于原點對稱

【答案】ABD

【解析】因為幕函數〃月=（療-5加+7）/-6在（0,+向上是增函數，

所以1m2:根；7一\解得加=3,所以外力=1,

[m-6＞0

所以〃—）=（_尤）3=一尤3=_〃司，故/"）=三為奇函數，函數圖象關于原點對稱，

所以“X）在（-8,0）上單調遞增；故選：ABD

重點四募函數

【例4】1（2022?全國?高一）已知幕函數y=/（x）的圖象過點2,一，則下列關于/（尤）說法正確的是（

I4

A.奇函數B.偶函數

C.在（0,+8）單調遞減D.定義域為[0,+8）

【答案】C

【解析】設幕函數＞=/（尤）=無“。eR,由題意得：2。=顯,a=-＞,

42

N1

故y=/（x）=x2=尸，定義域為（0,+s）,故D錯誤；

定義域不關于原點對稱，＞=/（尤）為非奇非偶函數，A,B錯誤；

33

由于-：＜0,故y=/（x）=J5在在（0,+8）單調遞減，C正確，故選：C

【一隅三反】

m

1.（2022.全國?高一專題練習）如圖所示是函數了=.（兀、weN*且互質）的圖象，則（）

A.根、〃是奇數且一＜1B.優是偶數，”是奇數，且生＞1

n