專題11上海中考新趨勢(反比例函數(shù)和生活情境題)

jD考點概覽

考點01反比例函數(shù)

考點02與銳角三角函數(shù)有關的生活情境

考點03與圖形相似有關的生活情境

考點04與二次函數(shù)有關的生活情境

考點05與三角形有關的生活情境

考點06其它生活情境

才點夕攻比例備裁

一4

1.(2025?上海普陀?一模)在平面直角坐標系xQv中(如圖)，點A、B在反比例函數(shù)＞=—位于第一象限的

x

圖像上，點B的橫坐標大于點A的橫坐標，OA=OB.如果△Q45的重心恰好也在這個反比例函數(shù)的圖像

上，那么點A的橫坐標為.

2.(2025?上海普陀?一模)如圖，在平面直角坐標系xQy中，經(jīng)過原點。的直線與雙曲線y=-交于點A(2,m),

X

點3在射線上，點C的坐標為(7,0).

(1)求直線。4的表達式；

(2)如果tan/BCO=2,求點3的坐標.

k

3.（2025?上海閔行?一模）如圖，已知直線y=2x-4與無軸交于點A,與V軸交于點B,與雙曲線了=—在

x

第一象限分支交于點C,過點C作x軸的平行線，交》軸于點。，OB=2OD.

（2）求k的值；

（3）求sinNACO的值.

「點小星就南三龜備殘嗜榮的金活精城

4.（2025?上海奉賢?一模）在測量過程中，常常會遇到仰角和俯角，圖中是俯角的角是（）

A.Z1B.Z2C.Z3D.Z4

5.（2025?上海閔行?一模）如圖是一個學校司令臺的示意圖，司令臺離地面的高為2米，平臺BC的長為

1米，用7米長的地毯從點A到點C正好鋪滿整個臺階（含各級臺階的高），那么斜坡43的坡比是（）

地面

A.i=B.z=l:2C.z=l:3D.z=l:3.5

6.（2025?上海青浦?一模）如圖，點尸是航拍飛機在某一高度時的位置，3”是地平線，尸PC//BH,

是某大型建筑物的斜面.從點尸觀測點3的偏角是（）

A./HPBB.ZCPBC.NAPBD.ZPBA

7.（2025?上海金山?一模）如圖，一座大樓前的殘疾人通道是斜坡，用A3表示，沿著通道走3.2米可進入樓

廳，樓廳比樓外的地面高。4米，那么殘疾人通道的坡度為.（結果保留根號的形式）

8.（2025?上海徐匯?一模）如圖，貨船A在燈塔P的北偏西60。方向，客船3在燈塔尸的東北方向，客船3在

貨船A的正東方向，如果貨船A與客船8相距50千米，那么客船8與燈塔P的距離約是千米（結

9.（2025?上海徐匯?一模）如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處測得一棟樓頂部C處的仰角是37。，測

得這棟樓的底部B處的俯角是60。，熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是米

（精確到o.l米）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos370?0.80,tan37°?0.75,殍1.7）

10.（2025?上海靜安?一模）舞獅文化源遠流長，其中高樁舞獅是一項集體育與藝術于一體的競技活動，也

被廣泛應用于各種慶典活動，成為傳承中國傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）.在舞獅表演中，梅花樁

AB、CD、垂直于地面，且&D、尸在一直線上（如圖②所示）.如果在樁頂C處測得樁頂A和樁頂E的

仰角分別為35。和47。，且A3樁與EP樁的高度差為1米，兩樁的距離B尸為2米.

⑴舞獅人從A跳躍到C,隨后再跳躍至E,所成的角NACE=

（2）求樁A3與樁CD的距離BD的長.（結果精確到0.01米）

11.(2025?上海長寧?一模)如圖是某地下車庫的剖面圖，某綜合實踐小組將無人機放在坡道起點A處，讓

無人機飛到點。處，AD與底板欹平行，測得AD=1L6米，此時在點。處又測得坡道AB上的點C的俯角

為26.6。.接著讓無人機飛到點E處，DEJ.AD,CE與底板3R平行，測得3E=1.8米.

P.___________________________

(1)求坡道的坡度；

(2)已知地面QA、地下車庫的頂板FG都與底板旗平行且它們到底板BR的距離相等，無人機從點A飛到點P

處，AP±AD,測得AP=16.4米，此時在點尸處測得點尸的俯角為45。，在不考慮其他因素的前提下，有

一輛高度為3米的貨車能否進入該地下車庫？請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.5)

12.（2025?上海虹口?一模）根據(jù)以下素材，完成任務.

-30).

素

材參考數(shù)據(jù)：sin37°x0.60，cos37°?0.80,tan37°?0.75，y/3^1.73.

4

（1）求圖3中，淋浴噴頭手柄與固定器的連接處點A到地

任務一

面的距離AE.

問

（2）爸爸洗完澡后，不改變固定器的位置（即AE不變），

題

把淋浴噴頭的“調整角”。調整至60。，然后小明進淋浴房洗

解澡.①小明發(fā)現(xiàn)水流無法噴在他的“舒適噴淋點”處，請通過

任務二

決計算說明理由；②下降固定器（將固定器下降后的位置記為

點A）后，小明發(fā)現(xiàn)水流可以噴在他的“舒適噴淋點”處，求

此時固定器下降的距離A4'（精確到cm）.

13.（2025?上海楊浦?一模）定義：如圖1,已知點Q、R是NMON的邊ON上的兩個定點，點尸是邊上

的一個動點，當。尸=0。。尺時，稱點尸是線段QR的最佳視野點.如圖2,某商業(yè)廣場上安裝了一塊巨型

顯示屏點A到水平地面的距離AC為5米，在水平地面CD的E處有一個自動扶梯環(huán)，點A、B、C

在同一直線上.已知自動扶梯EP的坡度是1:2,點E到點C的距離是10米.

圖1圖2

（1）當行人行走在水平地面CE時，發(fā)現(xiàn)點H恰好是屏幕AB的最佳視野點，且從點H測得點B的仰角為

60°.求AB的長；（忽略行人的高度）

（2）在（1）的條件下，如果要在自動扶梯所上找到屏幕的最佳視野點，有人說“最佳視野點就是屏幕

的垂直平分線與取的交點”.你同意這個說法嗎？請通過計算說明理由.（忽略行人的高度）

14.（2025?上海崇明?一模）九年級數(shù)學活動小組用航拍無人機進行測高實踐.如圖，無人機從地面A3的中

點C處豎直上升20米到達。處，測得實驗樓頂部E的俯角為55。，綜合樓頂部廠的俯角為37。，已知實驗樓

班高度為8米，且圖中點A、B、C、D、E、尸在同一平面內，求綜合樓AF的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75；sin55。0.82,cos55°?0.57,cot550g0.70,精確至！J0.1

米.）

D

□

口

綜

口

實

合

口

驗

樓

口

樓

15.（2025?上海普陀?一模）如圖，已知小河兩岸各有一棟大樓A3與C。，由于小河阻礙無法直接測得大樓CD

的高度.小普同學設計了如下的測量方案：將激光發(fā)射器分別置于地面點￡和點尸處，發(fā)射的兩束光線都

經(jīng)過大樓A3頂端A,并分別投射到大樓CD最高一層CG的頂端C和其底部G處，并測得EF=6m,

ZAEB=7.6.6°,ZAFB=22.6°.（點。、B、E、尸在同一水平線上）

（1）小普同學發(fā)現(xiàn)，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)就能測出大樓的高度，試求出大樓的高度；

（2）為了能測得大樓的高度，小普同學又獲信息：這兩棟大樓每層的高度都相同，大樓共有五層.據(jù)

此信息能否測得大樓CO的高度？如果可以，試求出大樓的高度；如果不可以，說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：sin22.6°,cos22.6°?—,tan22.6°?—,sin26.6°?—,cos26.6°?,tan26.6°?—）

131312552

16.（2025?上海閔行?一模）如圖，一種遮陽傘的截面由主傘骨。4和08、支傘骨G0和OW以及傘柄組

成，傘柄O"（O”>Q4）垂直于地面且平分/AO3,04=03=/厘米，OH=〃厘米.使

用遮陽傘時，可以通過調節(jié)點M在傘柄OH上的位置來確定NAO3的大小.當點C、M、。三點在同一直

線上時，遮陽傘完全打開，此時/AO3達到最大為150。.（參考數(shù)據(jù)：sin75°=?+乙,cos75。=近二

44

tan75°=2+T3,計算結果保留根號）

EH地面F

⑴當04=03=120厘米，

i）在遮陽傘完全打開時，求A、B之間的距離.

ii）在傘打開的過程中（NAO3從0。變到150。），點M上升了____厘米.

（2）設/AO3的度數(shù)為2a（0<&<75。），在平行的太陽光照射下，遮陽傘能遮住的地面EP長為（用式

子表示）；如果想通過只改變一個條件來增大遮陽傘遮住地面阱的長，你的建議是.

17.（2025?上海黃浦?一模）某校初三學生開展主題為“測量校園內樹木高度的方案設計”的數(shù)學綜合與實踐

活動.

甲、乙、丙三位同學制作出一個簡易測高儀.取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直,其中木條A3長40cm,

木條CO長60cm,長20cm（接頭處忽略不計）.為了便于校正豎直位置，在點8處懸掛一個鉛垂，如

圖1所示，這樣就制作出一個簡易測高儀.

DBC0

V

圖1圖2

任務：測量校園內某棵大樹"N的高度（樹頂端"與樹根部N的距離）.

工具：簡易測高儀、卷尺（如圖2所示）.

要求：測量得到的長度用字母。，b,c...表示.

第一次實踐

實

甲手持測高儀，C端朝上。端朝下，從測高儀的點A經(jīng)過點C望向樹頂端調

踐

整人到樹的距離，使得點/恰好與點C、A在一條直線上，然后標記鉛垂線的下

操

端剛好接觸地面的點E的位置，如圖3所示.

作

獲取乙負責測量，得到點B到地面的垂直距離BE=acm,

示*

數(shù)據(jù)還需要測量得到的相關數(shù)據(jù)有：—.

-iV.

解決利用得到的數(shù)據(jù)表示樹"N的高度：

圖3

問題MN=__________cm.

反思：這種方法需要能夠一直走到大樹的底下，有時因為有障礙物，無法走到大樹底下.于是三位同學討

論如果不走到大樹底下也可以測量出大樹的高度，經(jīng)過討論得到第二種測量方案，具體如下：

第二次實踐

實甲重復第一次實踐操作，然后將測高儀的。端朝上C端朝下，從測高儀的點A經(jīng)

踐過點。望向樹頂端向后走調整人到樹的距離，使得點M恰好與點。、A在一

操條直線上，然后標記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點尸的位置.丙提醒甲注意：兩

作次測量時點B到地面的垂直距離保持不變；點E、尸和樹根部N三點要保持在同一

直線上，如圖4所示.

獲取點到地面的垂直距離乙還需要測

示8BE=acm,

羞"？數(shù)據(jù)量得到的相關數(shù)據(jù)有：__________.

T……解決利用得到的數(shù)據(jù)表不樹的高度.（寫出求解

圖

4問題過程）

18.（2025?上海徐匯?一模）小杰在學習了“特殊銳角的三角比”后，認為30。,45。,60。的三角比不必死記硬背,

只需利用一副三角板就可推導出30。,45°,60。的三角比，相信大家都有這個共識；小杰在這個認識的基礎上,

他利用一副特制的三角板，研究推導出了15。，75。的三角比.

A

B

笛.cot30°-cot45°

“：tan600+2sin30°

（2）小杰的一副特制的三角板，如圖1,在RtAABC和RtADEF中，ZB=ZE=90°,

/4=30。,/。=45。,。￡=AC=2：小杰的想法是：將Rt^ABC和RtADEP的邊DE和AC重合，拼接成如

圖2所示的四邊形ABCF.請利用圖2,求sinl5。和tan75。的值.

19.（2025?上海青浦?一模）圖1是某商場地下車庫的出入口，車輛出入時，通常情況下只需升起“出口”或“入

口”的道閘.特殊情況，兩個道閘也可以同時升起.圖2是其示意圖，道閘升起過程中對邊始終保持平行（如

圖中升起的道閘EPQ因），升起的最高點不超過頂部CO.矩形門的高相＞=3.6米，寬AB=6.6米.矩形閘機

的寬AH=3W=0.3米，矩形道閘的寬FG=￡P=1米，道閘底部距地面A3的高度FH=EW=0.2米.頂點

G、M、P在同一條直線上，邊MG=P。，邊MN與0R之間的縫隙可以忽略不計.

圖1圖2

（1）求道閘升起的最大角的正切值；

（2）一輛高為1.8米、寬為1.9米的小貨車想進入這個地下車庫，是否需要同時升起兩個道閘？請說明理由.

涔克拈鳥圖形相他■美的金洽情境

20.（2025?上海黃浦?一模）某學習小組研究問題“如圖，已知。、E、尸分別是VMC的邊3C、C4、A3的

中點，求證：砂”經(jīng)過小組討論得到以下方法，其中存在錯誤的是（）

A.可證——=——=——，進而證得△￡）砂s△他。

ABBCAC

B.可證ZB=ZFED,NC=NEFD,進而證得△DEFs△至。

A5BC

C.可證ZB=ZFED,—=—,進而證得

EFED

D.可證VFBIKNDEF,^FBD^^ABC,進而證得△DEF

21.（2025?上海嘉定?一模）手影戲是一種獨特的藝術形式，它通過手勢和光影創(chuàng)造出生動的形象.它的原

理是利用光的直線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像.如圖，為了投影出一個動物造型C。，手的

長度是15厘米，AB//CD,光源。到手AB的距離OG是100厘米，手A3到幕布的距離G"是20厘米.此

時CD的長度是厘米.

O

22.（2025?上海金山?一模）第七屆中國國際進口博覽會（簡稱“進博會”）于2024年H月5日至10日在國

家會展中心（上海）隆重舉辦.以“新時代、共享未來”為主題，是世界上首個以進口為主題的國家級博覽

會.小海在地圖上（如圖1）測量他家與國家會展中心（上海）的距離為2.6厘米，那么請幫小海計算出他

家與國家會展中心（上海）的實際距離為千米.

23.（2025?上海金山?一模）（洞孔成像）如圖，AB//AB',物像AM所在正方體的面與平面A'3'AB垂直,

根據(jù)圖中尺寸，已知物像AM的長為4,那么物A3長為.

15

B

24.（2025?上海寶山?一模）學完“相似三角形”之后，小明和同學嘗試探索相似四邊形的判定與性質，以下

是他們的思考

【定義】如果兩個四邊形的四個角對應相等，四條邊對應成比例，那么這兩個四邊形相似.兩個相似四邊

形的對應邊的比等于相似比.

【思考】類比相似三角形，對相似四邊形的判定與性質提出了許多猜測，如：

①四條邊對應成比例，且有一組角對應相等的兩個四邊形相似；

②四個角對應相等，且有兩條相鄰的邊對應成比例的兩個四邊形相似；

③相似四邊形的面積的比等于相似比的平方.

邊AD、上的點，AE^AB,AF=^-AD,試求譚跡竺空的值.

223四邊形CDG5

AED

DEDF

25.（2025?上海靜安?一模）如圖，在RtZkABC與RtZXD跖中，NC=NF=90。,求證:

~AB~^\C

&DEF^Z\ABC.

以下是小明同學證明本題的過程:

證明：如圖，在AC、5c上分別截取CG=FO,CH=FE,連接G".

在△G"C與AD￡F中，

(CG=FD

]ZC=ZF=9O°①

[CH=FE

△GHC'DEF

：.GH=DE.

DEDF「②

■:——二一,又CG=FD,

ABAC

.GHCG

③

**AB-AC*

:.GH//AB.

④

ZXDEF^Z\ABC.

（1）有同學認為小明的證明過程不正確，那么你認為他是從第_部分開始出現(xiàn)問題（填①或②或③或④）.請

簡述小明出錯的原因;

（2）小紅認為：本題可以用添加輔助線一平行線，構造熟悉的基本圖形解決.請你用小紅的思路完成本題

的證明過程.

26.（2025?上海嘉定?一模）火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列

車的運行安全.我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包括激

光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來測量軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷

軌道是否有損傷或缺陷.某校科創(chuàng)活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探究:

27.（2025?上海金山?一模）如圖，VABC和都是直角三角形紙片，NA==90。且VABC和4所

不相似.其中AB=a,AC=b,DE-m,DF=n（n>b>a>m）.是否存在經(jīng)過銳角頂點的一條直線，能

把VA3c和ADEF分割成兩個三角形，使分割得的兩個三角形中有一個三角形（記這個三角形的面積為S）

與沒有分割的三角形相似.

A

D

(1)如果存在，請寫出你的分割方案(只要寫出一個方案即可)，并證明方案的正確性;

(2)按照你寫出的分割方案，求出S的值(可以用。或6或皿或”的代數(shù)式表示).

28.(2025?上海松江?一模)圖1是一款高清視頻設備.圖2是該設備放置在水平桌面上的示意圖，54垂直

于水平桌面/,垂足為點A,點C處有一個攝像頭.經(jīng)測量，AB=42厘米，8c=30厘米，ZABC=127°.

(1)求攝像頭C到桌面/的距離;

(2)如果攝像頭可拍攝的視角“CE=37。，且C￡>=CE,求桌面上可拍攝區(qū)域的寬度(OE的長).

（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6，cos37°=0.8,tan37°=0.75.）

思克仍易二次善裁彳關的金活精燒

29.（2025?上海松江?一模）一位運動員推鉛球，鉛球運行過程中離地面的高度了（米）關于水平距離x（米）

17

的函數(shù)解析式為＞=-已/+：工+。，如果鉛球落到地面時運行的水平距離為10米，那么鉛球剛出手時離地

面的高度是米.

30.（2025?上海黃浦?一模）體育課上投擲實心球活動，如圖，小明某次投擲實心球，實心球出手后的運動

過程中距離地面的高度y（米）關于水平距離X（米）的函數(shù)解析式為、=-2f+bx+c,當實心球運動到

O

點8時達到最高點，那么實心球的落地點C與出手點A的水平距離OC為米.

31.（2025?上海徐匯?一模）“2022年北京冬奧會”的召開，冰雪運動在中國大地蓬勃發(fā)展.滑雪愛好者小楠

從山坡滑下，為了得出滑行距離S（單位：米）與滑行時間/（單位：秒）之間的關系式，測得一些數(shù)據(jù)（如

下表）：

滑行時間

01234

（秒）

滑行距離

04.51428.548

（米）

為觀察S與/的之間的關系，以/為橫軸，S為縱軸建立坐標系，描出與上表中數(shù)據(jù)對應的5個點，并用平滑

的曲線連接它們（如圖所示），小楠觀察發(fā)現(xiàn)這條曲線近似拋物線的一部分.

（1）由上述信息，設這條曲線的表達式為s=a/+初+C.H0）,求S與/的函數(shù)關系式;

（2）若將拋物線5=。/+%+《。力0）先向右平移2個單位，再向上平移20個單位，求平移后所得拋物線的表

達式.

32.（2025?上海徐匯?一模）通過二次函數(shù)的學習，小杰知道形如丁=必1。片0）的函數(shù)，其圖像始終經(jīng)過點

（0,0）,也即拋物線y=/（awo）經(jīng)過定點（0,0）.于是他進一步探究了形如y=加-依+2（"0）的函數(shù)圖

像，發(fā)現(xiàn)拋物線y=蘇-依+2（。20）經(jīng)過定點（0,2）與（1,2）.他探究的思路是：設法找到尤的某些取值，

使表達式中含。的各項之和為0.

具體的解法如下：

含。的各項之和：ax2-ax=a^x2-xj,令尤2_彳=0,解得％=0,馬=1.

當x=0時，y=2,得到定點（0,2）；當無=1時，y=2,得到定點2）.

小杰還探究了拋物線y=^+（l—a）x_2a+l（"0）,發(fā)現(xiàn)它也經(jīng)過兩個定點，其中一個位于無軸上，可記

作點A,另一個位于第一象限內，可記作點3.

⑴求點A,B的坐標；

⑵當a<0時（如圖），拋物線y=G^+（l-a）x-2a+l的頂點為。，與x軸的另一個交點為C.

①如果NABC=90。，求。的值；

②當乙位出=90。時，求“的值.

T點斷鳥三龜形哧美的金冶脩境

33.（2025?上海寶山?一模）為了方便居民出入小區(qū)，小區(qū)業(yè)委會決定對大門口的一段斜坡進行改造.原坡

面是矩形ABCD（如圖1）,AB=4米，AD=2米，斜坡A3的坡角為30。.計劃將斜坡AB改造成坡比為1:2.5

的斜坡AE（如圖2所示），坡面的寬度AD不變.

圖1圖2

（1）求改造后斜面底部延伸出來的部分（BE）的長度;

（2）改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料?

34.（2025?上海普陀?一模）在八年級的時候，我們曾經(jīng)一起研究過一種三角形：如果三角形的一個角的平

分線與一條邊上的中線互相垂直，那么這個三角形叫做“線垂”三角形，這個角叫做“分角”.它的一個重要性

質為：“分角”的兩邊成倍半關系.這個性質的逆命題也成立.

利用以上我們研究得到的結論，解決以下問題：

已知VABC是“線垂”三角形，AB<BC,/ABC是VABC的“分角”.

圖1圖2

（1）如圖1,3。是VABC的角平分線，AE是VABC的中線，AE與3。相交于點足求BF：ED的值；

（2）在圖2中畫VABC的一條分割線，使所分成的兩個三角形都成為“線垂”三角形，并指出各自的“分角”，

說明理由；

⑶在（2）的條件下，記分割得到的兩個三角形“分角”的平分線交于點。，點。與點A、B、C的距離分別

為a、b、c,求。、b、c滿足的等量關系.

35.（2025?上海奉賢?一模）桔棒（ga。）是古代漢族的一種農用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作原

理基于杠桿原理，通過一根豎立的支架加上一根杠桿，當中是支點，末端懸掛一個重物，前段懸掛水桶.當

人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處.這種工具可以省

力地進行汲水，減輕勞動者的勞動強度.

如圖所示，線段代表固定支架，點。、點C分別代表重物和水桶，線段30、AC是無彈力、固定長度

的麻繩，繩長AC=3米，木質杠桿AB=6米.

圖1圖2

⑴當水桶C的位置低于地面0.5米（如圖1所示），支架與繩子瓦）之間的距離是1.6米，且cotB=0.75,

求這個桔棒支架的高度；

（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如圖2所示），求此時重物。相對于（1）中的位置下降的高度.

■考支％其它金洽情境

36.（2025?上海楊浦?一模）在學習了“利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)”后，為了研究函數(shù)丫二="1；―^的性質,

—X—2x2

小華用“描點法”畫它的圖象，列出了如下表格:

XL-5-4-3-2-10123L

1

2L-1L

Y~-X-2X-2-17-io-5~2~2-5-Io17

那么下列說法中正確的是（）

A.該函數(shù)的圖象關于y軸對稱

B.該函數(shù)的圖象沒有最低點也沒有最高點

C.該函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三、四象限

D.沿x軸的正方向看，該函數(shù)的圖象在對稱軸左側的部分是下降的

37.（2025?上海金山?一模）某校初三數(shù)學活動小組在利用尺規(guī)把線段分割成兩條線段.

①過點8作使=

②連接AC,在線段C4上截取CD=CB.

③在線段A3上截取AE=AD.

那么黑=______.

DE

專題11上海中考新趨勢（反比例函數(shù)和生活情境題）

。考點概覽

考點01反比例函數(shù)

考點02與銳角三角函數(shù)有關的生活情境

考點03與圖形相似有關的生活情境

考點04與二次函數(shù)有關的生活情境

考點05與三角形有關的生活情境

考點06其它生活情境

考點打女比的后毅

4

y——

1.（2025?上海普陀?一模）在平面直角坐標系中（如圖），點A、8在反比例函數(shù).%位于第一象限的圖像

上，點B的橫坐標大于點A的橫坐標，OA=OB.如果的重心恰好也在這個反比例函數(shù)的圖像上，那么

【答案】3-君/-?+3

【分析】由題意得點43關于直線y="對稱，由Q4=°B可得△Q4B的重心在直線°。：>=彳上，聯(lián)立函數(shù)

解析式求出點C坐標，即得℃=2加,再根據(jù)三角形重心的性質可得8=3正，得到。（3,3）,設點

則人最后利用中點坐標公式解答即可求解.

【詳解】解：由題意得，點人、8關于直線丁="對稱,

...OA=OB,

的重心在直線°D：>=彳上，即為點C,

y=x

<4（x=2（x=—2

由卜x,解得ty=2或〔1=一2,

???點C在第一象限，

.C（2,2）,

...OC=d22+22=2夜,

...點C為△04?的重心，

.（9C:CD=2:1,

...CD=&,

OD=3A/2,

設（m>0）,則加+m-

；?=3,

產（3,3）,

B[-,O\

設點（■則I。A

???點。為AB的中點，

4

〃-1—

—比=3

2,

.-.a2-6a+4=0,

解得°=3+6或a=3-?,

???點B的橫坐標大于點A的橫坐標，

.??點A的橫坐標為3-右，

故答案為：3-亞.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質，等腰三角形性質，三角形的重心，勾股定理，中點坐標公式，掌

握反比例函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵.

y——

2.（2025?上海普陀?一模）如圖，在平面直角坐標系xS中，經(jīng)過原點。的直線與雙曲線》交于點42，相）,

點3在射線以上，點C的坐標為（7,°）.

（1）求直線8的表達式;

（2）如果tan/3c0=2,求點8的坐標.

3

y--X

【答案】⑴.2.

（2）（46）.

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運用、銳角三角函數(shù).解決本題的關鍵是運用待定系數(shù)法

求出正比例函數(shù)的解析式，根據(jù)NBCO的正確值和正比例函數(shù)的解析式求出點8的坐標.

_6

⑴根據(jù)點42,加）在雙曲線'一無上，可以求出機=3,把點4（2,3）的坐標代入正比例函數(shù)'=履中求出上的值

即可得到直線0A的表達式；

_3

口）因為直線的解析式為‘一設點的坐標為anZBCO=—=2

0A5”,B，根據(jù)CH,可得關于b的分式方

程，解方程求出人即可得到點3的坐標.

6

y——

【詳解】（1）解：???點42，加）在雙曲線％上,

6

y——

.?.把x=2代入x,

可得：尸3,

二點A的坐標為（2,3）,

設直線04的表達式為、=辰（發(fā)30）,

把x=2,y=3代入尸質,

k=l

可得：一2,

3

y=-X

，直線04的表達式為2.

（2）解：如下圖所示，過點B作3〃,X軸，垂足為點H,

設點8的坐標為

3

BH=-b

可得：2,CH=7-b,

tanZBCO=—=2

在RtZAkBCW中，CH

3,

—b

.3=2

7-6,

解得：6=4,

經(jīng)檢驗，°=4是分式方程的解，

33

.?.-Z=-x4=6

2?2

可得點3的坐標為（4,6）.

3.（2025?上海閔行?一模）如圖，已知直線＞=2龍-4與％軸交于點A,與y軸交于點臺，與雙曲線尤在第一

象限分支交于點C,過點C作x軸的平行線，交丁軸于點。，OB=2OD,

（1）求點A、3的坐標；

（2）求左的值；

（3）求sinNACO的值.

【答案】（1）'（°T）,A（Z°）；

⑵左=6；

sinNACO

⑶65

【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的

解析式，勾股定理的應用以及解直角三角形等，求得交點坐標是解題的關鍵.

（1）令x=°和＞=°時，代入解析式得出坐標即可;

（2）先確定D點的縱坐標，進一步求得C點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得公

（3）作OE,AB于其利用勾股定理求得48、0C,利用三角形面積公式求得然后解直角三角函數(shù)即可.

【詳解】（1）解：直線V=2x-4與x軸交于點A,與y軸交于點8,

將x=0代入，=2無-4,得到：y=-4＞

"（OT）,

將y=0代入y=2元一4,得到2x—4=0,

解得：x=2,

"（2,0）；

⑵解：，（°T）,

.?3=4,

?：OB=2OD,

.3=2,

?.D的縱坐標為2,

把＞=2代入y=2x-4得，％=3,

,C（3,2）,

k

y=~

???雙曲線X過點C,

,?,k=3x2=6，.

（3）解：作于E,如圖,

..A（2,0）,*0T）

...AB=拉+第=2恒

S△AOODR=-2OAOB=2-ABOB

八「OAOB2x44A后

OE=--------=-產=-----

...AB265

...C（3,2）

.OC=V32+22=A/13

475

OF

sin/ACO=——=^=

OCV1365

:支w易銳宙三宙善裁有美的金沽情城

4.（2025?上海奉賢.一模）在測量過程中，常常會遇到仰角和俯角，圖中是俯角的角是（）

（圖1）

A.N1B.N2C.N3D.Z4

【答案】C

【分析】根據(jù)俯角的定義解答即可.本題考查了仰角，俯角，熟練掌握定義是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，是俯角的是N3.

故選：C.

5.（2025?上海閔行?一模）如圖是一個學校司令臺的示意圖，司令臺離地面的高為2米，平臺3c的長為1米,

用7米長的地毯從點A到點C正好鋪滿整個臺階（含各級臺階的高），那么斜坡A3的坡比是（）

BC

?------------------'D

地面

A.z=1:1.5B.i=1：2c.7=1：3D.i=l：3.5

【答案】B

【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度/的比是解

題的關鍵.

過點3作班，AD于E,根據(jù)矩形的性質求出BE,根據(jù)題意求出AE,再根據(jù)坡比的概念計算即可.

【詳解】解：如圖，過點8作班，于E,則四邊形BEDC為矩形，

BC

「rI

z—1-------------------D—L

d地面EZ7L）

BE=CD=2米，

由題意得：隹=7-2-1=4迷），

斜坡的坡比是：BE-,AE=2-A=l-.2,

故選：B.

6.（2025?上海青浦?一模）如圖，點尸是航拍飛機在某一高度時的位置，9是地平線，PHYBH,PC//BH,

AB是某大型建筑物的斜面.從點P觀測點3的偏角是（）

A.NHPBB.NCPBC.NAPBD.NPBA

【答案】B

【分析】本題考查了解直角三角形的應用的仰角俯角問題，熟練掌握俯角的定義是解題的關鍵.根據(jù)俯角的定義

即可得到結論.

【詳解】-.PC//BH,9是地平線，

???從點P觀測點B的俯角是NCPB,

故選：B.

7.（2025?上海金山?一模）如圖，一座大樓前的殘疾人通道是斜坡，用A3表示，沿著通道走3.2米可進入樓廳，

樓廳比樓外的地面高°4米，那么殘疾人通道的坡度為.（結果保留根號的形式）

【分析】木題考查了勾股定理、坡度，熟練掌握利用正切求坡度是解題關鍵.先利用勾股定理求出AC的長，再

利用正切求坡度即可得.

【詳解】解：由題意得：45=32米，3c=0.4米，BC±AC,

AC=\lAB2-BC2=V3.22-0.42=

0.41

tanABAC=-——產--產

AC6V73#7

5

???殘疾人通道的坡度為1：36,

故答案為：幣.

8.（2025?上海徐匯?一模）如圖，貨船A在燈塔P的北偏西60°方向，客船8在燈塔P的東北方向，客船8在貨船

A的正東方向，如果貨船A與客船3相距50千米，那么客船8與燈塔尸的距離約是千米（結果保留

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，過點尸作尸CLAB于點c,則/PCB=NPC4=90。，由

題意得NCP3=45。，ZCPA=60°,在Rt~4C尸和RtABCP中解直角三角形即可解答.

【詳解】解：過點P作尸C,AB于點c,

P

貝ij/PC3=NPC4=90。,

由題意得/CPB=45。，ZCPA=60°,

./B=NCPB=45°

,.,CP=CB，

設CP=CB=x千米，則AC=（5。一x）千米,

AT

tanZCPA=——

在Rt/iAC尸中，CP,

汩地

即X,

解得x=25石-25,

BP=A/2%=A/2X（2573-25）=（2546-25近）千米

故答案為：儂《一25回

9.（2025?上海徐匯,一模）如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處測得一棟樓頂部C處的仰角是37。，測得這

棟樓的底部8處的俯角是60°,熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是米（精確到

01米）.（參考數(shù)據(jù):sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,6aL7）

【答案】73.5

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)，解答此類問題的關鍵是明確題意，利

用銳角三角函數(shù)解答.

過點A作AD'BC于點D,則AD=30米，在中和RtAACD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)中的正切可以

分別求得和CD的長，從而可以求得BC的長，本題得以解決.

【詳解】解：過點A作于點。，由題意可得，/。4。=37。，/34。=60。,4。=30米，

ZADC=ZADB^90°,

c

CD

tanZCAD=——

在Rt^ADC中，AD,

...CD-ADtan31°?30x0.75=22.5(米］

tanZBAD=—,

在RtAADB中，AD

BD=AD-tan60°=30x^/3=30A/3,

BC=BD+CD=22.5+306?73.5（米），

即這棟樓的高度BC是73.5米.

故答案為：73.5.

10.（2025?上海靜安?一模）舞獅文化源遠流長，其中高樁舞獅是一項集體育與藝術于一體的競技活動，也被廣泛

應用于各種慶典活動，成為傳承中國傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）.在舞獅表演中，梅花樁鉆、CD、EF

垂直于地面，且&D、尸在一直線上（如圖②所示）.如果在樁頂C處測得樁頂A和樁頂E的仰角分別為35。和

47。，且樁與所樁的高度差為1米，兩樁的距離即為2米.

（1）舞獅人從A跳躍到C,隨后再跳躍至E,所成的角NACE=

⑵求樁AB與樁CD的距離8。的長.（結果精確到0.01米）

【答案】（1）98

⑵0.65米

【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運用，理解并掌握解直角三角形的計算是解題的關鍵.

（1）根據(jù)仰俯角，平角為180°即可求解；

（2）過點C作MN〃班1,分別交AB、EF于點、M、N,則四邊形加CM、BFNM、DFNC都是矩形，設

/-AM

\tan/ACW=------

3D=CM=x米，則JV-y一同米，在Rt^AMC中，由函數(shù)函數(shù)的計算CM,得到

EN

AM=CMtanZACM=x-tan35°,在RtACETV中，tanNECN-,得到EN=CMtanZ.ECN=(2-力?tan47°,

由==即可求解.

【詳解】（1）解：在樁頂C處測得樁頂A和樁頂E的仰角分別為35。和47。,

/ACE=180°—35°—47°=98°,

故答案為：98；

（2）解：過點C作分別交AB、EF于點M、N,

■,AB±BF,CDLBF,EFA.BF,

...AB//CD//EF,

...四邊形、BFNM、DEVC都是矩形,

.BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF

設3￡>=CM=x米，則CN=（2—x）米,

AM

tanZACM=-----

在RtAAMC中,CM

AAM=CMtanZACM=xtan35°,