第7-8章哥的運算與整式乘法（單元測試?培優卷）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分,每小題均有四個選項，其

中只有一項符合題目要求）

（24-25八年級上?福建福州?期末）

1.代數式，可以表示為（）

A.a1+a8B.a1-a8C.4/D.（/）'

（24-25八年級上?河南新鄉?階段練習）

2.下列運算正確的是（）

A.a+cr=a~B.（a+6y=a2+b2

C.2/+3t?=5笳D.（a+—b）=cr~~

（24-25七年級下?全國?課后作業）

3.下列計算結果為2--x-3的是（）

A.（2x—l）（x—3）B.（2無一3）（x+l）C.（2x+3）（x-l）D.（2x-l）（x+3）

（2024七年級下?全國?專題練習）

4.計算卜-2了+1）卜+2y-1）時，下列變形中，正確的是（）

A.[x-（2j+l）][x+（2y+l）]B.[x-（2y-l）][x+（2y-l）]

C.[（x-2y）+l][（x-2y）-l]D.[（x+l）-2y][（x+l）+2y]

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

5.已知加+〃=4,/一/=一8,則的值為（）

A.-4B.-2C.2D.4

（24-25七年級下?全國?課后作業）

6.已知（2024-加）（2023-"）=2025,那么（2024-別＞+（2023-加＞的值為（）

A.4051B.2025C.4046D.4053

U9-20七年級下?安徽合肥?期末）

7.若。，b為有理數，且2/-2仍+廿+4。+4=0,貝1]/6+融2=（）

A.-8B.-16C.8D.16

試卷第1頁，共6頁

（24-25八年級上?山西大同?期末）

8.把長和寬分別為。和6的四個相同的小長方形按不同方式拼成如圖1的正方形和如圖2

的大長方形這兩個圖形,由兩圖形中陰影部分面積之間的關系可以驗證等式（

圖2

B.+=a2+lab+b2

C.(a—b)=a~—2ab+b-D.(a+Z>)"-(a-Z>)2=4ab

（24-25八年級上?江蘇南通?期中）

9.小紅同學在解決問題“已知x-y=4,求中的最小值”時，給出框圖中的思路.結合小紅

同學的思路探究，可得到結論：若x+2y=-8,則式子2-孫（）

小紅的思路

設》=機+2,〉=加-2,

則孫=（加+2）（機-2）=療-4,

m2>0,

m2-4>-4,

二孫的最小值為-4.

A.有最小值-8B.有最大值-8C.有最小值-6D.有最大值-6

（24-25八年級上?廣西南寧?期末）

10.《莊子》中“一尺之梗，日取其半，萬世不竭”的意思是：一根一尺長的木棒，今天取它

的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，這樣取下去，永遠也取

不完.如果將這根木棒的長度看成單位“1”，用兩種不同的方法表示被取走木棒長度的總和,

即：被取走木棒長度的總和=1一剩余木棒的長度，例如：取第一次得<取第二次

得;+[[=1一[I]；取第三次得:+[[+[]=1一[[■'……若[5=m,則

試卷第2頁，共6頁

GJ+〔!+〔力+…用含沉的式子表示為，）

A.2m+1B.m—m2C.1-m2D.m2-m+1

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（2024七年級下?全國?專題練習）

11.（-加2丫,（—加）=.

（24-25七年級下?全國?期中）

12.若（工一3）（工+。）=/+加一6,則2025""=.

（24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習）

13.簡便運算：5002-499x501=.

（2025七年級下?全國?專題練習）

14.若"6=3,附=|,則（1+。）（1-9的值是.

（2025七年級下?全國?專題練習）

15.已知（x-3乂/+蛆+〃）的乘積展開式中不含/和x項，則機-"的值為

（24-25七年級下?四川成都?階段練習）

16.若9/-3仕-2）孫+16/是完全平方式，求常數后的值_____；

（24-25九年級上?浙江杭州?階段練習）

17.指數運算可以做如下推廣：加，"是實數，a>0時滿足運算：a"；a"=*"

已知3'=2,2y=6,貝l」x（y-l）=.

（24-25八年級上?河南新鄉?期中）

18.某同學在計算3（4+1）（不+1）時，把3寫成4-1后，發現可以連續運用兩數和乘以這兩數

差公式計算：3（4+1）（42+1）=（4-1）（4+1）（42+1）=（42-1）（42+1）=162-1=255,請借鑒該同

學的經驗，計算：（1+3+￡1+曰］1+m+奈=-

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（22-23七年級下?甘肅蘭州?期中）

19.已知（1-2乂1+儂）的結果中不含7項,

試卷第3頁，共6頁

(1)求加的值；

(2)在(1)的條件下，求(機+D(機2-加+1)的值.

(24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習)

20.先化簡，再求值：

(1)2x(x+1)—(x+2)(2x—1),其中x=l

⑵(2a+b)~-(36+2a)(2a-36),其中a=2,b=-l.

(22-23七年級下?甘肅蘭州?期中)

21.計算:

(l)(a-2)2+(2a-l)(a-4)

(2)(2x+y+l)(2x+y-l)

(3)運用乘法公式計算：992-1

(4)4/1一]"卜,齊引

(24-25八年級上?甘肅平涼?期末)

22.在數學研究活動中，老師給學生們布置了一些有趣的數學題目.小明和小紅是研究活動

中的積極成員，他們決定一起討論并解決這些問題.請你幫助他們完成這些計算.

⑴小明在活動中遇到了一道題目：已知廳=5,2>'=9,求的值.請你幫助小明解答這

個問題.

(2)小紅在活動中也遇到了一道題目：已知(x+?=16,(x-j?)2=6,求/+6盯+/的

值.請你幫助小紅解答這個問題.

(24-25七年級下?安徽宿州?階段練習)

23.從邊長為。的正方形中剪掉一個邊長為6的正方形(如圖①)，然后將剩余部分拼成一

個長方形(如圖②).

]

IBI平

圖①圖②

⑴上述操作能驗證的等式是(請選擇“A”“B”“C”)

試卷第4頁，共6頁

A.a1-2ab+b2=(a-Z))2B.a2-b2=[a+b^a-b)C.a2+ab=a(a+b)

(2)己知x?-4/=12,x+2y=6,則x-2y的值為

⑶計算：IDO?-992+982-972+---+42-32+22-12.

(22-23七年級下?四川達州?期中)

24.閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式x2+fcc+c變形為(x+機『+〃的形式，然

后由(x+MfzO就可求出多項式/+6x+c的最小值.例題：求多項式無2-6X+11的最小值.

解：X2-6X+11=(X-3)2+2,

(x-3)2>0,

.'.(x-3)2+2>2,

，x=3當時，(x-3)z+2=2.

.?.(x-3『+2有最小值，最小值為2,即無2-6x+ll的最小值為2.

通過閱讀，理解材料的解題思路，請解決以下問題：

(1)【理解探究】

填空：①代數式N=Y-10x+30,則A的最小值為；

②代數式2=-/+8了-10,則8的最大值為；

⑵【類比應用】

我校勞動課基地有甲、乙兩塊長方形種植園，己知甲種植園的兩邊長分別是(3。+2)米、

(2。+5)米，乙種植園的兩邊長分別是5a米、(。+5)米，試比較這兩塊種植園的面積S甲和S乙

的大小，并說明理由；

(3)【拓展升華】

如圖，△4BC中，ZC=90°,AC=5cm,8c=10cm,點M、N分別是線段/C和8c上的

動點，點加■從A點出發以Icm/s的速度向C點運動；同時點N從C點出發以2cm/s的速度

向B點運動，當其中一點到達終點時，兩點同時停止.設時間為/,則當I為何值時，Sg

的值最大，最大值為多少？

試卷第5頁，共6頁

A

N

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題主要考查事的運算，根據同底數幕的乘法和除法，幕的乘方法則，分別計算各

個選項后，判斷即可解答.

【詳解】解：A、/與/不屬于同類項，不能合并，故A選項不符合題意；

B、"7"=”5,故B選項符合題意；

C、a30^a2=a2S,故C選項不符合題意；

D、(a7)'=/6,故D選項不符合題意.

故選：B.

2.D

【分析】本題主要考查同底數幕的除法，合并同類項，完全平方公式和平方差公式，運用相

關知識計算出各選項的結果再進行判斷即可.

【詳解】解：A.a6^a3=a3,原選項計算錯誤，故不符合題意；

B.(a+b)1=a2+2ab+b2,原選項計算錯誤，故不符合題意；

C.2a2與3/不是同類項，不能運算，原選項計算錯誤，故不符合題意；

D.(a+b)(a-b)=a2-b2,計算正確，符合題意；

故選：D.

3.B

【分析】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題關鍵.根據多項式乘以多

項式法則逐項計算即可得.

【詳解】解：A、(2X-1)(X-3)=2X2-6X-X+3=2X2-7X+3,則此項不符合題意；

B、(2x—3)(x+1)=2x?+2x—3x—3=2x~—x—3,則此項符合題意；

C、(2x+3)(x-l)=2x2-2x+3x-3=2x2+x-3,貝時匕項不符合題意；

D、(2x-l)(x+3)=2x2+6x-x-3=2x2+5x-3,則止匕項不符合題意；

故選：B.

4.B

【分析】本題考查了平方差公式的相關知識，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式，變形正確.

對(x-2y+l)后兩項添括號時，變為卜-(2y-1)],對(x+2.y-l)后兩項添括號時，變為

答案第1頁，共12頁

[x+(2y-l)],即可求解.

【詳解]解：(x-2y+l)(x+2y-l)=[x-(2T-l)][x+(2T-l)],

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了平方差公式的有關運算，由川-/=_8得(心+〃)(機-")=-8,據此即

可求解，掌握平方差公式的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?川-/=_8,

=-8,

?.?加+〃=4,

???加一〃=-8+4=—2,

故選：B.

6.A

【分析】本題考查了完全平方公式，根據完全平方公式得到

(2024-加了+(2023-m)2=1+2(2024)(2023-m),再將(2024-加)(2023-機)=2025代入

即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：(2024-;w)2+(2023-m)2

=[(2024-m)-(2023-m)]2+2(2024-m)(2023-m)

=1+2(2024-加)(2023-加)，

v(2024-加)(2023-m)=2025,

原式=1+2x2025=4051,

故選：A.

7.B

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用、代數式求值等知識，利用完全平方公式確定

a、b的值是解題關鍵.由2/-2仍+〃+4。+4=0,可化為兩個完全平方的形式，根據非負

數相加等于0,所以各個非負數都為0確定。、6的值，然后代入求值即可.

【詳解】解：-?2a2~2ab+b2+4a+4=0,

整理可得a2-2ab+Z>2+tz2+4o+4=0,

答案第2頁，共12頁

+(Q+2)2=0,

[a-b-0a=-2

，解得

[(7+2=0b=—2

c^b+ab2=（Q+b）=-2x（-2）x［-2+（-2）］=-16.

故選：B.

8.D

【分析】本題考查的是利用幾何圖形的面積證明乘法公式，掌握“利用圖形面積的不同的計

算方法證明乘法公式”是解本題的關鍵.

由圖1可得：陰影部分的面積為：（0+6）2由圖2可得：陰影部分的面積為：

4仍，再利用陰影部分的面積相等可得答案.

【詳解】解：由圖1可得：陰影部分的面積為：（“+6）2-（。-6）2,

由圖2可得：陰影部分的面積為：4仍，

由陰影部分的面積相等可得：（。+6）2-（0-6）2=4a6,

故選：D.

9.C

【分析】本題考查了多項式乘以多項式，根據小紅的思路，設x=2加-4/=-加-2,進行

計算，即可求解.

［詳解］解：若x+2y=—8,設x=2加一4,y=-m-2,

則孫=（2加一4）（一加一2）=-2m2+8,

m2>0,

2-xy=2+2m2-8=2m2-6>-6,

「?2-盯的最小值為-6.

故選：C.

10.B

50］00—50—2

【分析】本題考查數字類規律探究，根據、）=m,得到（gj==m"利用

答案第3頁，共12頁

進行求解即可.

=m-m2;

故選B.

11.m8

【分析】該題考查了新的乘方和單項式乘法，據此解答即可.

【詳解】解：(-加之J?)=(一加6).(_/〃2)=〃/,

故答案為："28.

12.2025

【分析】本題考查了求代數式的值及多項式乘以多項式運算，由多項式乘以多項式得

(x-3)(x+a)=x2+(a-3)x-3a,可得a-3=b,3a=6,即可求解；能熟練進行多項式乘

以多項式運算是解題的關鍵.

【詳解】解：(x-3)(x+a),

=x2+ax-3x-3a

=%2+(Q—3)x—3a

(X-3)(X+Q)=12+bx-6,

a-3=b,3。=6,

答案第4頁，共12頁

解得a=2,b=-\,

2025fl+6=2025見⑷=2025，

故答案為：2025.

13.1

【分析】本題主要考查了平方差公式，有理數的乘方運算，熟練運用平方差公式是解決此題

的關鍵.先變形499x501=(500-1)(500+1),然后再計算即可得解.

【詳解】解:5002-499x501

=5002-(500-1)(500+1)

=5002-5002+1

=1,

故答案為：1.

14.-##2-##2.5

22

【詳解】本題考查代數式的求值、多項式乘多項式的運算法則，熟練掌握多項式乘多項式的

運算法則是解題的關鍵.根據多項式乘多項式法則將(1+冷(1-9展開即可得出結果.

【分析】解：+=1+a-b-ab

7。73

a-b=3,ab=—,

35

???原式=1+3-彳=7

22

故答案為：—.

15.-6

【分析】本題考查了多項式乘多項式，多項式不含某項問題，代數式求值，先根據多項式乘

多項式的運算法則展開乘積，再根據展開式中不含f和X項，可得含f和X項的系數為0,

求出〃?、〃的值，最后代入代數式計算即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵.

【詳解】解：(^-3)^x2+mx+n^=JC,+mx2+nx-3x2-3mx-3n

=x3+(m-3)x2+(〃-3加)工一3〃,

??,乘積展開式中不含A：?和X項，

/.m-3=0,n-3m=0,

答案第5頁，共12頁

???加=3,n=9,

???加一〃=3—9=-6,

故答案為：-6.

16.-6或10##10或-6

【分析】本題考查了完全平方式，解題的關鍵是數完全平方公式的特點.根據題意，可知

9/-3（左-2）個+16/=（3x+4y）2或9/-3（左-2）中+16/=（3x-4y）2,從而知道

一3（左一2）=24或一3（左一2）=-24,然后解方程即可.

【詳解】解：???9/一3（12）個+16「是完全平方式，

9x2-3（左一2）個+16_/=（3x+4yy或9；^_3（左一2）xy+16y?=（3x—4y）2

9x?-3（左一2）個+16y2=9x2+24xy+16y2或-3（左-2）盯+16y2=9x2-24xy+16y2

.?.一3（左一2）=24或一3（左一2）=—24

.?.斤=-6或左=10.

故答案為：-6或10.

17.1

【分析】本題考查了塞的運算的應用，由優"+a"=a"f,（/1）"=。""得3"+3'=2>+3，,即

可求解；能熟練利用幕的運算公式求解是解題的關鍵.

【詳解】解：.?.3,=2,

=2,

3*3*=2》+3*

3-=6-2,

3-=3,

：.xy-y=l,

x(y-l)=l,

故答案為：1.

18.2

答案第6頁，共12頁

【分析】本題考查平方差公式，將原式乘以2彳1之后，連續使用平方差公式進而得出

答案.

【詳解】解:[1+￡|。+具1+別1+￡|+J

=2'

=2*1號心

C11

=2-F+F

=2,

故答案為：2.

19.（l）m=2；

⑵9.

【分析】本題考查了多項式乘多項式不含某項問題、多項式乘多項式化簡求值，掌握多項式

乘多項式的運算法則是解題的關鍵.

（1）先根據多項式乘多項式運算法則展開，再合并同類項，然后根據題意得出關于機的方

程，解之即可求解；

（2）先根據多項式乘多項式運算法則展開，再合并同類項，再代入加值計算即可；

【詳解】（1）解：=x2?x3+x2?mx-2?x3-2?mx,

=x5+my?-2x3-2mx,

=x5+（m-2）x3-2mx,

???（，-2）卜3+3）的結果中不含含項,

m—2=Q,

解得，m=2；

（2）解：（機+1乂機2一次+i）,

=m?病—m9m+m+m2一冽+1，

=疝+1,

當加=2時，原式=2?+1=9.

20.（1）—x+2,1

（2）4ab+10b2,2

答案第7頁，共12頁

【分析】本題考查了整式的混合運算和求值，解決本題的關鍵是根據乘法公式把各部分展開，

然后再根據合并同類項的法則合并同類項，把字母的值代入化簡后的代數式中計算求值.

(1)首先根據單項式，多項式的乘法運算法則計算乘法運算，然后再根據合并同類項的法

則合并同類項，得到化簡的結果，把X的值代入化簡后的代數式計算求值即可；

(2)首先根據完全平方公式和多項式的乘法計算乘法運算，再合并同類項得到化簡的結果,

再把。=2,b=-l代入化簡后的代數式計算求值即可.

【詳解】C1)解：2x(x+l)-(x+2)(2x-l)

=2x~+2x-(2x~-x+4x-2)

=2x?+2x-2尤2+x-4x+2

——x+2,

當X=1時，原式=-1+2=1；

(2)解：(2a+b『一(3b+2a)(2a-36)

=4a2+4ab+b2-(4a2-9b2)

=4a2+4ab+b2-4a2+9b2

=4。6+10/；

當a=2,b=-l時，原式=4x2x(-l)+10x(-l)2=-8+10=2；

21.(l)3/_13a+8；

(2)4JV2+4xy+y~—1；

(3)9800；

(4)^ax4y.

【分析】本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是掌握整式相關運算的法則.

(1)利用完全平方公式化簡，再按運算順序求解即可；

(2)運用平方差及完全平方公式求解即可；

(3)運用乘法平方差公式簡化運算；

(4)先算單項式乘以單項式，再算單項式除以單項式即可.

【詳解】(1)解：原式=優—4a+4+2a~—9a+4,

=3a2—13a+8;

答案第8頁，共12頁

(2)解：原式=(2x+y)2—f,

=4x2+4xy+y2-1；

(3)解：原式=(99+1)(99—1),

=100x98,

=9800；

(4)角星：原式.1—g/盯2

164

=-axy.

5

25

22.(l)y

(2)26

【分析】本題考查幕的運算，完全平方公式變形計算:

(1)利用累的乘方和同底數累的除法的逆用進行計算即可;

(2)利用完全平方公式變形計算即可.

【詳解】(1)解：,2=5,

???22X=25,

?2=9,

9

(2)???(%+?=16,(x-y)2=6,

???x2+2xy+y2=16,x2-2xy+y=6,

x2+2xy+y2-(x2-2xy+J/2)=16-6,

4xy=10,

x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=16+10=26.

23.(1)B

(2)2

(3)5050

【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵.

(1)根據圖中陰影部分面積的兩種不同表示方法即可解決問題；

答案第9頁，共12頁

(2)根據(1)中的發現即可解決問題；

(3)根據(1)中的發現，將將平方差的形式改寫成兩數之和乘以兩數之差的形式即可解;

【詳解】(1)解：由題知，

圖①中陰影部分的面積為

圖②中陰影部分的面積為(。+6)("與