專題07解直角三角形的應用（解答題22題）

1.（2025?上海松江?一模）圖1是一款高清視頻設備.圖2是該設備放置在水平桌面上的示意圖，54垂直

于水平桌面/,垂足為點A,點C處有一個攝像頭.經測量，AB=42厘米，8C=30厘米，ZABC=121°.

（1）求攝像頭C到桌面/的距離；

（2）如果攝像頭可拍攝的視角NDCE=37。，且CD=CE,求桌面上可拍攝區域的寬度（OE的長）.

（參考數據：sin370=0.6，cos37°=0.8,tan37°=0.75.）

2.（2025?上海靜安?一模）舞獅文化源遠流長，其中高樁舞獅是一項集體育與藝術于一體的競技活動，也被

廣泛應用于各種慶典活動，成為傳承中國傳統文化的重要載體（如圖①所示）.在舞獅表演中，梅花樁

AB.CD、EF垂直于地面，且3、D、尸在一直線上（如圖②所示）.如果在樁頂C處測得樁頂A和樁頂E的

仰角分別為35。和47。，且樁與所樁的高度差為1米，兩樁的距離所為2米.

E

圖-①圖-②

（1）舞獅人從A跳躍到C,隨后再跳躍至E,所成的角NACE=_。；

⑵求樁A3與樁CD的距離BD的長.（結果精確到0.01米）

3.（2025?浦東新區一模）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門打卡地.某校實踐小組利用所學知

識測量雙子山主峰的高度,,并利用課外時間完成了實地測量.下面是兩個方

案的示意圖及測量數據.

方案二：測量高鷺D,仰角a,仰角0.

測量項目CDaP

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任務一：請選擇其中一種方案，求出雙子山主峰48的高度（結果保留1位小數）.參考數據見下表:

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任務二：上海世博文化公園官網上顯示：雙子山主峰的高度為48米.請你用一句話簡單說明你求出的高

度與48米不一致的原因：

4.（2025?上海奉賢?一模）桔槨（gao）是古代漢族的一種農用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作原

理基于杠桿原理，通過一根豎立的支架加上一根杠桿，當中是支點，末端懸掛一個重物，前段懸掛水桶.當

人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處.這種工具可以省

力地進行汲水，減輕勞動者的勞動強度.

如圖所示，線段0M代表固定支架，點。、點C分別代表重物和水桶，線段3"AC是無彈力、固定長度

的麻繩，繩長AC=3米，木質杠桿AB=6米.

圖1圖2

⑴當水桶C的位置低于地面0.5米（如圖1所示），支架與繩子9之間的距離是1.6米，且cotB=0.75,

求這個桔棒支架的高度；

（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如圖2所示），求此時重物。相對于（1）中的位置下降的高度.

5.(2025?上海青浦?一模)圖1是某商場地下車庫的出入口，車輛出入時，通常情況下只需升起“出口”或“入

口”的道閘.特殊情況，兩個道閘也可以同時升起.圖2是其示意圖，道閘升起過程中對邊始終保持平行(如

圖中升起的道閘EPQ由)，升起的最高點不超過頂部CD.矩形門的高AD=3.6米，寬4?=6.6米.矩形閘機

的寬AH=3W=0.3米，矩形道閘的寬FG=EP=1米，道閘底部距地面AB的高度FH=EW=0.2米.頂點

G、M、P在同一條直線上，邊MG=PQ,邊MN與QR之間的縫隙可以忽略不計.

出口入口

圖1

(1)求道閘升起的最大角的正切值;

(2)一輛高為1.8米、寬為1.9米的小貨車想進入這個地下車庫，是否需要同時升起兩個道閘？請說明理由.

6.(2025?上海徐匯?一模)小杰在學習了“特殊銳角的三角比”后，認為30。,45。,60。的三角比不必死記硬背,

只需利用一副三角板就可推導出30。,45。,60。的三角比，相信大家都有這個共識；小杰在這個認識的基礎上,

他利用一副特制的三角板，研究推導出了15。，75。的三角比.

cot30°-cot45°

(1)計算:

tan600+2sin30°

(2)小杰的一副特制的三角板，如圖1,在RtAABC和RtADEF中,ZB=ZE=90°,

A^30°,XD=45°,DE=AC=2：小杰的想法是：將Rt^ABC和RtZXDE尸的邊DE和AC重合，拼接成如

圖2所示的四邊形A5CP.請利用圖2,求sinl5。和tan75。的值.

7.（2025?上海黃浦?一模）某校初三學生開展主題為“測量校園內樹木高度的方案設計”的數學綜合與實踐活

動.

甲、乙、丙三位同學制作出一個簡易測高儀.取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直,其中木條長40cm,

木條C￡＞長60cm,￡）5長20cm（接頭處忽略不計）.為了便于校正豎直位置，在點＜8處懸掛一個鉛垂，如

圖1所示，這樣就制作出一個簡易測高儀.

DBC

圖1圖2

任務：測量校園內某棵大樹的高度（樹頂端M與樹根部N的距離）.

工具：簡易測高儀、卷尺（如圖2所示）.

要求：測量得到的長度用字母。，b,c…表示.

第一次實踐

甲手持測高儀，c端朝上。端朝下，從測高儀的點A經過點C望向樹頂端調整人到樹的距離，

實踐

使得點M恰好與點C、A在一條直線上，然后標記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點E的位置，如圖

操作

3所示.

獲取數乙負責測量，得到點8到地面的垂直距離5E=acm,還需要測量得

到的相關數據有：—.

示意據

圖

3解決問利用得到的數據表示樹的高度：

題MN=__________cm.

反思：這種方法需要能夠一直走到大樹的底下，有時因為有障礙物，無法走到大樹底下.于是三位同學討

論如果不走到大樹底下也可以測量出大樹的高度，經過討論得到第二種測量方案，具體如下：

第二次實踐

實甲重復第一次實踐操作，然后將測高儀的。端朝上C端朝下，從測高儀的點A經過點D望向樹頂端

踐M,向后走調整人到樹的距離，使得點〃恰好與點。、A在一條直線上，然后標記鉛垂線的下端剛好

操接觸地面的點F的位置.丙提醒甲注意：兩次測量時點8到地面的垂直距離保持不變；點E、E和樹

作根部N三點要保持在同一直線上，如圖4所示.

獲取數點到地面的垂直距離乙還需要測量得到的相關

示23E=acm,

據數據有：_________.

圖

解決問

TEF利用得到的數據表示樹的高度.（寫出求解過程）

4題

8.（2025?上海金山?一模）如圖，VABC和都是直角三角形紙片，/^=/0=90。且丫川。和"）上萬不

相似.其中=AC=b,DE=m,DF=n（n>b>a>m）.是否存在經過銳角頂點的一條直線，能把

VABC和ADEF分割成兩個三角形，使分割得的兩個三角形中有一個三角形（記這個三角形的面積為S）與

沒有分割的三角形相似.

（1）如果存在，請寫出你的分割方案（只要寫出一個方案即可），并證明方案的正確性;

（2）按照你寫出的分割方案，求出S的值（可以用。或6或加或”的代數式表示）.

9.（2025?上海嘉定?一模）火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩定性直接影響列車

的運行安全.我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包括激光

三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來測量軌道的各種參數（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌

道是否有損傷或缺陷.某校科創活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探究:

建立模型

10.（2025?上海閔行?一模）如圖，一種遮陽傘的截面由主傘骨0A和03、支傘骨G0和DM以及傘柄OH組

成，傘柄垂直于地面且平分/AO3,04=03=/厘米，OC=Or＞=（Q4,Oa=/z厘米.使

用遮陽傘時，可以通過調節點M在傘柄上的位置來確定NAO3的大小.當點C、M,。三點在同一直

線上時，遮陽傘完全打開，此時NAO3達到最大為150。.（參考數據：sin75°=#+一，cos75。=逸二2,

44

tan75o=2+g,計算結果保留根號）

⑴當。4=03=120厘米，

i）在遮陽傘完全打開時，求A、B之間的距離.

ii）在傘打開的過程中（/403從0。變到150。），點M上升了_____厘米.

（2）設的度數為2打（0＜夕＜75。），在平行的太陽光照射下，遮陽傘能遮住的地面所長為（用式

子表示）；如果想通過只改變一個條件來增大遮陽傘遮住地面取的長，你的建議是

11.(2025?上海普陀?一模)如圖，已知小河兩岸各有一棟大樓A3與C。，由于小河阻礙無法直接測得大樓C。

的高度.小普同學設計了如下的測量方案：將激光發射器分別置于地面點E和點尸處，發射的兩束光線都

經過大樓頂端A,并分別投射到大樓CD最高一層CG的頂端C和其底部G處，并測得EF=6m,

ZAEB=26.6°,ZAFB=22.6°.(點。、B、E、尸在同一水平線上)

(1)小普同學發現，根據現有數據就能測出大樓的高度，試求出大樓A3的高度；

(2)為了能測得大樓C。的高度，小普同學又獲信息：這兩棟大樓每層的高度都相同，大樓A3共有五層.據

此信息能否測得大樓CD的高度？如果可以，試求出大樓CD的高度；如果不可以，說明理由.

(參考數據：sin22.6°,cos22.6°?—,tan22.6°?—,sin26.6°?—,cos26.6°tan26.6°?)

131312552

12.（2025?上海崇明?一模）九年級數學活動小組用航拍無人機進行測高實踐.如圖，無人機從地面的中

點C處豎直上升20米到達。處，測得實驗樓頂部E的俯角為55。，綜合樓頂部廠的俯角為37。，已知實驗樓

BE高度為8米，且圖中點AB、C、D、E、尸在同一平面內，求綜合樓AF的高度.

（參考數據：sin37°x0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75；sin55°~0.82,cos55°?0.57,cot55°?0.70,精確至U0.1

米.）

D

13.（2025?上海楊浦?一模）定義：如圖1,已知點Q、R是/MON的邊ON上的兩個定點，點P是邊上

的一個動點，當。尸2=。。。尺時，稱點尸是線段QR的最佳視野點.如圖2,某商業廣場上安裝了一塊巨型

顯示屏A3,點A到水平地面的距離AC為5米，在水平地面CO的E處有一個自動扶梯EP,點A、B、C

在同一直線上.已知自動扶梯跖的坡度是1:2,點E到點C的距離是10米.

圖1圖2

（1）當行人行走在水平地面CE時，發現點//恰好是屏幕A3的最佳視野點，且從點〃測得點B的仰角為

60°.求A3的長；（忽略行人的高度）

（2）在（1）的條件下，如果要在自動扶梯EP上找到屏幕AB的最佳視野點，有人說“最佳視野點就是屏幕A3

的垂直平分線與阱的交點”.你同意這個說法嗎？請通過計算說明理由.（忽略行人的高度）

14.（2025?上海虹口?一模）根據以下素材，完成任務.

素

材參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,6m1.73.

4

（1）求圖3中，淋浴噴頭手柄與固定器的連接處點A到地

任務一

面的距離AE.

問

（2）爸爸洗完澡后，不改變固定器的位置（即AE不變），

題

把淋浴噴頭的“調整角”0調整至60。，然后小明進淋浴房洗

解澡.①小明發現水流無法噴在他的“舒適噴淋點”處，請通過

任務二

決計算說明理由；②下降固定器（將固定器下降后的位置記為

點A）后，小明發現水流可以噴在他的“舒適噴淋點”處，求

此時固定器下降的距離A4'（精確到cm）.

15.（2025?上海寶山?一模）為了方便居民出入小區，小區業委會決定對大門口的一段斜坡進行改造.原坡

面是矩形ABC。（如圖1）,AB=4米，AD=2米，斜坡A3的坡角為30。.計劃將斜坡A3改造成坡比為1:2.5

的斜坡AE（如圖2所示）,坡面的寬度AD不變.

圖1

（1）求改造后斜面底部延伸出來的部分（BE）的長度;

（2）改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料？

16.(2025?上海長寧?一模)如圖是某地下車庫的剖面圖，某綜合實踐小組將無人機放在坡道起點A處，讓

無人機飛到點。處，與底板欹平行，測得AD=1L6米，此時在點。處又測得坡道45上的點C的俯角

為26.6。.接著讓無人機飛到點E處，DEJ.AD,CE與底板旗平行，測得。E=L8米.

P._________________________

(1)求坡道A3的坡度;

(2)已知地面QA、地下車庫的頂板FG都與底板BR平行且它們到底板BR的距離相等，無人機從點A飛到點P

處，APA.AD,測得AP=16.4米，此時在點P處測得點P的俯角為45。，在不考慮其他因素的前提下，有

一輛高度為3米的貨車能否進入該地下車庫？請說明理由.

(參考數據：sin26.6°~0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.5)

專題07解直角三角形的應用(解答題22題)

1.(2025?上海松江?一模)圖1是一款高清視頻設備.圖2是該設備放置在水平桌面上的示意圖，取垂

直于水平桌面/,垂足為點A,點C處有一個攝像頭.經測量，AB=42厘米，3C=30厘米，ZABC=127°.

圖1圖2

(1)求攝像頭C到桌面/的距離；

(2)如果攝像頭可拍攝的視角=37。，且C￡>=CE,求桌面上可拍攝區域的寬度(DE的長).

(參考數據：sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75.)

【答案】(1)攝像頭C到桌面/的距離是60cm

(2)桌面上可拍攝區域的寬度為40cm

【分析】本題主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質，掌握以上知識，構造直角三角形，正

確運用銳角三角函數的計算及相似三角形的判定的方法及性質是解題的關鍵.

CF

(1)過點C作過點B作斯，CH,垂足分別為點H、尸，可得NCB尸=37。，由sin/CBB=力；

BC

可算出CF=18cm,由CH=B+〃R=60cm即可求解；

(2)過點。作r>M_LCE,垂足為M,則有tan/DCM=2^=3,設DW=3笈，CM=43貝!ICD=CE=53

CM4

EM=k,DE=Mk,再證△CHES^ME,由相似三角形的性質可得左=4而，由

DE=Mk=710x4^/10=40cm即可求解.

【詳解】(1)解：過點。作CH，/,過點3作5尸，CH,垂足分別為點“、F,

-.-ZABC=1270fZABF=90°,

CF

,/sin^CBF=----,BC=30cm,

BC

CF—BCsinACBF=30xsin37°=30x0.6=18cm,

,/AB=HF=42cm,

:.CH=CF-^HF=60cm.

答：攝像頭。到桌面/的距離是60cm.

(2)解：過點。作。垂足為

vZDCW=37°,tanZDCM=^=-,

CM4

設,DM=3k,CM=4k,則CD=CE=5左，EM=k,DE=y/10k,

/CHE=/DME=90°,NCEH=NDEM,

ACHESmME,

.DMCH3k_60

DECE左5k

解得：k=4M,

DE=yfwk=710x4A/10=40cm,

答：桌面上可拍攝區域的寬度為40cm.

2.（2025?上海靜安?一模）舞獅文化源遠流長，其中高樁舞獅是一項集體育與藝術于一體的競技活動，

也被廣泛應用于各種慶典活動，成為傳承中國傳統文化的重要載體（如圖①所示）.在舞獅表演中，梅

花樁AB、CD、垂直于地面，且3、D、尸在一直線上（如圖②所示）.如果在樁頂C處測得樁頂A和

樁頂E的仰角分別為35。和47。，且A3樁與跖樁的高度差為1米，兩樁的距離段'為2米.

⑴舞獅人從A跳躍到C,隨后再跳躍至E,所成的角ZACE=_。；

（2）求樁AB與樁CD的距離的長.（結果精確到0.01米）

【答案】⑴98

⑵0.65米

【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運用，理解并掌握解直角三角形的計算是解題的關鍵.

（1）根據仰俯角，平角為180。即可求解；

（2）過點C作肱V〃班分別交AB、EF于點、M、N,則四邊形BDCN、BFNM、DFNC都是矩形,

設==x米，則CN=（2—x）米，在Rt^AMC中，由函數函數的計算tan/ACM=d"，得到

CM

EN

AM=CMtanZACM=xtan35°,在RtZkCEN中，tm/ECN=——,得至！J

CN

￡^=C7V-tanZEC7V=（2-x）-tan47°,由EF—=/1M=1,即可求解.

【詳解】（1）解：在樁頂。處測得樁頂A和樁頂E的仰角分別為35。和47。，

??.NACE=180°-35°-47°=98°,

故答案為：98；

（2）解：過點C作跖V〃/,分別交AB、EF于點M、N,

?,AB1BF,CD工BF,EFLBF,

.-.AB//CD//EF,

???四邊形5DCM、BFNM、D7WC都是矩形,

BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF,

設==x米，貝（JQV=（2-x）米，

在RtZXAMC中，tanZACM=^~,

CM

:.AM=CM-tanZACM=x-tan35°,

EN

在RtZXCEN中，tanZECN=——,

CN

,?.EN=CNtmZECN=（2-x）?tan47。，

-EF-AB=EN-AM=1,

（2-x）?tan470-x-tan35°=1,

左號口2tan470-1八”,、1八

解得，尤=,4…2°65（米），

tan47+tan35

答：樁A3與樁C。的距離5。的長約為0.65米.

3.（2025?浦東新區一模）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門打卡地.某校實踐小組利用所

學知識測量雙子山主峰的高度，他們設計了兩個測量方案，并利用課外時間完成了實地測量.下面是兩

個方案的示意圖及測量數據.

方案一：測量距離7D,仰角a,仰角仇方案二：測量高鷺口仰角a.仰角民

測量項目CDap

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任務一：請選擇其中一種方案，求出雙子山主峰AB的高度(結果保留1位小數).參考數據見下表:

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任務二：上海世博文化公園官網上顯示：雙子山主峰的高度為48米.請你用一句話簡單說明你求出的

高度與48米不一致的原因：.

【分析】(1)選擇方案一，設長尤米，根據a的正切值表示出的長，進而根據P的正切值為相

等關系列出方程求解即可；選擇方案二，設BC為x米，根據B的正切值表示出AE的長，進而根據a

的正切值為相等關系列出方程求解即可；

(2)可從測量的角度出發回答問題.

【解答】解：(1)選擇方案一：

由題意得：AB_LBDf

.,.ZB=90°,

設8C長工米，則5。長(x+10)米，

VZa=12°,

「?A8=x?tana仁0.213元米，

VZP=11.5°,

：.(x+10)-tanll.5°=0.213%,

即0.204(x+10)=0.213x,

角軍得：了心226.67,

二?A”48.3米；

選擇方案二：

由題意得：ZAED=ZABC=90°.

設5C為％米，則QE為x米.

VP=11.7°,

A￡=x?tanp心0.207%米，

Va=12°,

.*.AB=x*tana^0.213x米，

由題意得：8E=CZ）=1.3米,

.,.0.207x+1.3=0.213x,

解得:x-216.67,

.\AB^46.2米.

（2）測量有誤差（答案不唯一）.

【點評】本題考查解直角三角形的應用.應用所給角的正切值表示出相應線段的長度或得到能解決問題

的相等關系是解決本題的關鍵.

4.（2025?上海奉賢?一模）桔棒（ga。）是古代漢族的一種農用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作

原理基于杠桿原理，通過一根豎立的支架加上一根杠桿，當中是支點，末端懸掛一個重物，前段懸掛水

桶.當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處.這種工

具可以省力地進行汲水，減輕勞動者的勞動強度.

如圖所示，線段代表固定支架，點。、點C分別代表重物和水桶，線段8。、AC是無彈力、固定長

度的麻繩，繩長AC=3米，木質杠桿=6米.

圖1圖2

（1）當水桶C的位置低于地面0.5米（如圖1所示），支架。M與繩子之間的距離是1.6米，且

cotB=0.75,求這個桔槨支架的高度；

（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如圖2所示），求此時重物D相對于（1）中的位置下降的高度.

【答案】（1）4.9米

⑵0.55米

【分析】（1）過點A作ANLW于點N,利用余切函數的定義，平行線的性質，矩形的判定和性質，

勾股定理，余弦函數，解直角三角形的即可.

（2）如圖2,過點A作于點Q,過點C作CPLOM于點P,過點。作OK,3D于點K,則PM=0.6

米，四邊形ACPQ是矩形，解直角三角形解答即可.

【詳解】（1）解：如圖1，過點A作⑷于點N,

圖1

BH3

cotB==0.75=—,OH=1.6,

OH4

3

.-.BH=1.6x-=1.2（米），

4

??BO=^BH2-^OH2=2（米），

nBH3

cosB=-----=—,

OB5

：OM//BD,AB=6米，

.-.ZB=ZAON,OA=AB-OB=4^:,

3

ON=OAcosZAON=4x-=2.4米，

設AC與地面的交點為G,

貝|GC=0.5米，四邊形AG肱V是矩形,

：.MN=AG,

???AC=3米，

.?.AG=2.5米，

：.OM=ON+MN=ON+AG=2.5+2A=4.9^.

(2)解：如圖2,過點A作AQ，。”于點。，過點C作CPJ_OM于點P,

過點。作OKLBD于點K,

圖2

則9=0.6米，四邊形ACPQ是矩形,

尸。=AC=3米，

OM=4.9米，

OQ=OM-PQ-MP=13^z,

OQ1.313

cosZAOQ=

OA-T-40

???OM//BD,

ZB=ZAOQ,

nBK13

cosB==——,

OB40

13

??.5K=O5cos5=2x——=0.65米，

40

3

根據（l）得3H=1.6x—=1.2（米），

4

??.此時重物。相對于（1）中的位置下降的高度為1.2-0.65=0.55米.

【點睛】本題考查了余切函數，余弦函數，勾股定理，矩形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握三

角函數的應用是解題的關鍵.

5.（2025?上海青浦?一模）圖1是某商場地下車庫的出入口，車輛出入時，通常情況下只需升起“出口”

或“入口”的道閘.特殊情況，兩個道閘也可以同時升起.圖2是其示意圖，道閘升起過程中對邊始終保

持平行（如圖中升起的道閘“Q禺），升起的最高點不超過頂部矩形門的高AD=3.6米，寬AB=6.6

米.矩形閘機的寬AH=3W=0.3米，矩形道閘的寬/G=EP=1米，道閘底部距地面A3的高度

FH=￡W=0.2米.頂點G、M、Q、P在同一條直線上，邊MG=PQ,邊MN與。R之間的縫隙可以忽

略不計.

出口

（1）求道閘升起的最大角的正切值;

（2）一輛高為1.8米、寬為1.9米的小貨車想進入這個地下車庫，是否需要同時升起兩個道閘？請說明理

由.

4

【答案】⑴]

（2）需要同時升起兩個道閘，理由見解析

【分析】本題考查解直角三角形的實際應用：

(1)設道閘/GMN升起的最高點為點當點在線段CD上時，道閘升起的角最大.延長

FG交CD于點、在RtAMCR中，勾股定理求出“白一正切的定義求出tanNGM。]=黑，平行線

的性質，MgljZMGM,=ZNFNt=AGM{D{,即可得出結果；

(2)設只升起一個道閘/GMN,當最高點在線段C。上時，在線段6V上取車寬印=1.9(米)，過

點￥作XZ_LAB,交,FN\于x,垂足為Z,交NF于點丫，在Rt^XYF中，求出XV的值，進而求出XZ

的值，與車高進行比較即可得出結論.

【詳解】(1)解：設道閘FGMN升起的最高點為點加1,當點在線段C。上時，道閘升起的角NMGM]

最大.延長尸G交C。于點。.根據題意，可知:

GMX=GM=1（AB-2AH）=1（6.6-2x0.3）=3（米）.

GDi=DN-GH=36-12=24（米）.

在RtaMiGA中,

MR='GM；-GD；=A/32-2.42=1.8（米）,

GD、2.44

/.tanZGMD=

11雨1.83,

?.?MG//FN//CD,

/MGM、=/NFN]=/GMQi.

4

tanAMGMX=tanZNFN,=tan/GMR=-.

4

即道閘升起的最大角的正切值為1.

(2)設只升起一個道閘/GMN,當最高點Mi在線段C。上時,

在線段方N上取車寬}W=1.9(米)，過點丫作交FN、于X,垂足為Z,交Nb于點Y.則

YZ=FH=0.2（米），YF=FN-YN=3-1.9=1A（米）.

GMX//FN],GM//FN,

.../'FN=ZM.GM,

在RMXEF中，

22

-：XY=tanZNFN,?KF=tanZM1GMYF=—（米）,

2225

:.XZ=XY+YZ=0.2+—=—（米）.

1515

?.?車高1.8米=奈27米〉/?5米，

???只起一個道閘，小轎車不能通過.

二需要同時升起兩個道閘.

6.（2025?上海徐匯?一模）小杰在學習了“特殊銳角的三角比”后，認為30。,45。,60。的三角比不必死記硬

背，只需利用一副三角板就可推導出30。,45。,60。的三角比，相信大家都有這個共識；小杰在這個認識的

基礎上，他利用一副特制的三角板，研究推導出了15。，75。的三角比.

wcot30°-cot45°

"：tan600+2sin30°

⑵小杰的一副特制的三角板，如圖1,在和RtADE尸中，NB=NE=90°,

，4=30。，/￡>=45。,。￡=4。=2：小杰的想法是：將Rt^ABC和RtADEF的邊。E和AC重合，拼接成

如圖2所示的四邊形ABCF.請利用圖2,求sinl5°和tan75°的值.

【答案】⑴2-6

⑵正正，2+石

4

【分析】本題考查特殊角的三角函數值的計算，解直角三角形:

(1)將特殊角的三角函數值代入進行計算即可；

(2)過點B分別作FG_L3c于點G、FHLAB于點、H,解直角三角形，求出的長，證

明ACG尸三AABC,求出PG,3G的長，在RMM中，利用三角函數進行求解即可.

_A/3-1_\/3-1/T

【詳解】(1)原式一二二一百1一2W；

2

(2)過點尸分別作FG,3c于點G、FHLAB于點H,

砥D)

：Klj：

BC(￡)6

圖2

在R^ABC中，ZB=90°,ABAC=30°,AC=2,

AB=AC-cos30°=2x^=V3,BC=AC-sin30°=2x1=1,

22

在Rt^DEF中，NDEF=90°,NEDF=45°,DE=2,

EF=￡>￡.tan45°=2x1=2,DF=DE=272,

cos45°

?/ZGCA=90°+ZGCF=90°+ZCAB

:"GCF=/CAB

又:ACGFAABC

X^B=ZG=90\CF=AC

/.△CGF=^ABC

：.CG=AB=6,FG=BC=\

BG=BC+CG=y[3+X

ZG=ZB=ZBHF=90°

???四邊形3GFH是矩形，

BH=GF=1,HF=BG=^+1,

:.AH=AB-BH=y13-l

在中，ZAHF=90°,NHAF=NBAC+NCAF=75°

ZAFH=15°

sinl50"=&k%^,tan75°=坦=^^1=2+6

AF~2A/24AH73-1

7.（2025?上海黃浦?一模）某校初三學生開展主題為“測量校園內樹木高度的方案設計”的數學綜合與實

踐活動.

甲、乙、丙三位同學制作出一個簡易測高儀.取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直，其中木條長

40cm,木條CD長60cm,長20cm（接頭處忽略不計）.為了便于校正豎直位置，在點3處懸掛一

個鉛垂，如圖1所示，這樣就制作出一個簡易測高儀.

A

DBC

圖1圖2

任務：測量校園內某棵大樹MN的高度（樹頂端M與樹根部N的距離）.

工具：簡易測高儀、卷尺（如圖2所示）.

要求：測量得到的長度用字母a,b,c...表示.

第一次實踐

實

甲手持測高儀，C端朝上。端朝下，從測高儀的點A經過點C望向樹頂端調整人到樹的

踐

距離，使得點M恰好與點C、A在一條直線上，然后標記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點E

操

的位置，如圖3所示.

作

獲取數乙負責測量，得到點8到地面的垂直距離BE=acm,還

示

據需要測量得到的相關數據有：—.

解決問利用得到的數據表示樹的高度：

圖3:LJr

題MN=_________cm.

反思：這種方法需要能夠一直走到大樹的底下，有時因為有障礙物，無法走到大樹底下.于是三位同學

討論如果不走到大樹底下也可以測量出大樹的高度，經過討論得到第二種測量方案，具體如下:

第二次實踐

實甲重復第一次實踐操作，然后將測高儀的。端朝上C端朝下，從測高儀的點A經過點。望向

踐樹頂端向后走調整人到樹的距離，使得點M恰好與點。、A在一條直線上，然后標記鉛垂

操線的下端剛好接觸地面的點尸的位置.丙提醒甲注意：兩次測量時點B到地面的垂直距離保持

作不變；點E、尸和樹根部N三點要保持在同一直線上，如圖4所示.

獲取數點到地面的垂直距離乙還需要測量

示BBE=acm,

斗.據得到的相關數據有：__________.

圖牛￡*

1解決問利用得到的數據表示樹MN的高度.(寫出求解過

4題程)

【答案】第一次實踐需要測量得到的相關數據有：NE=bcm,MN的高度：MN=(a+b+40)cm.第二

次實踐需要測量得到的相關數據有：EF=ccm,MN=(c+a)cm,過程見解析.

【分析】第一次實踐，由3C=AB=40cm,50=20cm,ABVCD,AHLMN,得至()物/=4/,

進而得到MV=NE+40+q,即可求解，

第二次實踐，設MW=AH=x,由tan/RAg=g,得到片打=2無，由4"一A"=A4=4臺=跖，得

至|Jx=c,即可求解，

本題考查了三角函數的應用，解題的關鍵是：根據題意正確列式.

【詳解】解：由題意可知8C=AB=40cm,50=20cm,ABVCD,

tanZCAB=1,

?:AH1MN,

?.MH=AH,

BE=a,

：.MN=MH+HN=AH+BE=HB+AB+BE=NE+4Q+a,

第一次實踐需要測量得到的相關數據有：NE=bcm,

利用得到的數據表達樹腦V的高度：MN=(a+b+40)cm.

第二次實踐需要測量得到的相關數據有：EF=ccm,

解決問題：設MH-AH=x,

由題意可知5C=AB=40cm,BD=20cm,ABLCD,

/.tanNCAB=1,tanZDlAiBl=g,

?；AH1MN,

A

；.AH=MH=x,tanZD^Bj=-

A

:.A^H=2x,

-.\H-AH=AA=B,B=EF,

■?■2x—x=c,

.-.x=c

：.MN=(^c+a)cm.

8.（2025?上海金山?一模）如圖，VABC和砂都是直角三角形紙片，/4=/。=90。且丫45<7和4￡尸

不相似.其中AB="，AC=b,DE=m,DF=nCn>b>a>m）.是否存在經過銳角頂點的一條直線，

能把VABC和△詆分割成兩個三角形，使分割得的兩個三角形中有一個三角形（記這個三角形的面積

為S）與沒有分割的三角形相似.

（1）如果存在，請寫出你的分割方案（只要寫出一個方案即可），并證明方案的正確性;

（2）按照你寫出的分割方案，求出S的值（可以用。或匕或機或九的代數式表示）.

【答案】（1）存在，見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，解直角三角形：

（1）根據銳角的正切值可以得到tan/￡）￡F>tan3>tanC>tanP,故過點E的直線交邊于點G,使

得/DEG=NB,即可；

（2）根據相似的性質，求出DG的長，利用三角形的面積公式進行計算即可.

【詳解】（1）解：存在，分割方案：（答案不唯一）如圖：

過點E的直線交邊。尸于點G,使得ND￡G=N3,

證明：ZA=ZD=90°,AB=a,AC=b,DE=m,DF=n,

hanin

tanB=—,tanC=—,tanZDEF=—,tanF=—,

abmn

n>b>a>m,

11bdm

/.—>—>—>一即tan/DEF>tanB>tanC>tanF,

mabn

:.ZE>ZB>ZC>ZF,

???NA=ND=90。，NDEG=/B,

「△ABCs/\DEG；

(2)SABCSADEG

.AB_AC

'~DE~~DGy

AB=a,AC=b,DE=m,

OG=也

a

bmbm2

:.S=-DEDG=-m----=-----.

22a2a

9.（2025?上海嘉定?一模）火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩定性直接影響

列車的運行安全.我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包

括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來測量軌道的各種參數（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），

從而判斷軌道是否有損傷或缺陷.某校科創活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探

究：

激光三角位移計是由半導體激光向目標物照射激光，聚集目標物反射的

閱讀概光，并在光接收元件上成像.一旦離目標物的距離發生改變，聚集反射

述光的角度也會改變，成像的位置也隨之改變.可以通過成像的位移來計

算物體實際的移動距離.

③①

被測量物體從初始位置移動到最終位置，需要測量的是參考平面與目標

測量平面的距離，也就是圖中點M與點N之間的距離.假設激光通過

如圖，直線W〃直線4〃直線，2，直線MN垂直于/］和4，垂足分別

探究（1）設MN=m,請用含加和a的式子表示點N到直線跖VT的距離.

探究（2）已知MM=5,OM'=23,OM=132,求MN的長度.（結果精確到個

位,sinax0.8,cosa?0.6,cota?0.75)

【答案】(1)“COS"(2)60

【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，相似三角形的判定和性質，添加輔助線構造直角三角形，

是解題的關鍵：

(1)過點N作射于點8,對頂角結合同角的余角相等，得到田=g，解直角三角形MBN,

求出的長即可；

(2)作N'D〃MZV,交W于點。，解直角三角形證明△DON's.ON,列出比例式進行求

解即可.

【詳解】解：過點、N作NBLM'M于點、B,則：NNBM=90°,ZCMB=a,

MNLl