第一章三角形的證明單元考點訓練

一、選擇題（共35分）

1[2024河北唐山二模]如圖，甲、乙兩艘船同時從海上點P處出發，甲船沿點P的正南方向勻速航行，乙船沿

點P的北偏東70。方向勻速航行，甲、乙兩船的速度相同，則乙船在甲船的（）

A.北偏東10。方向B.北偏東30。方向

北

C.北偏東35。方向D.北偏東40。方向：+東

P廠

2新考向傳統文化我國南宋著名數學家秦九韶的著作《數書九章》里有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三

斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何?”這道題講的是有一塊三角形沙田，三條邊的長分別

為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大?題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為

（）

A.7.5平方千米B.15平方千米

C.75平方千米D.750平方千米

3[2023遼寧本溪模擬]下列說法正確的個數是（）

①每個命題都有逆命題；②真命題的逆命題是真命題：③每個定理都有逆定理：④定理一定有逆命題;⑤命題“若

a=b,則的逆命題是假命題.

A.lB.2C.3D.4

4[2023四川達州模擬]如圖,△ABC的三邊AB,BC,CA的長分別是30,40,50,/ABC和/ACB的平分線交于O,

則SAABO：SABCO:SaCAO等于（）

B.1:2:3

C.2:3:4D.3:4:5

A

CI）H

（第4題圖）（第5題圖）

5[2023山東淄博張店區期末]如圖，在RSABC中,/C=90。,點D在邊BC上，點E在/C內部，且△ADE是等

邊三角形,NCBE=60。若BC=5,BE=3,則△ABD的面積為（）

X.—B.3V3

2

C.4V3D.5V3

6[2023廣東深圳龍崗區模擬]如圖，在小ABC和4BCD中,AC=DC=3,AD是NBAC的平分線,BDLAD,E為A

C的中點，則圖中兩個陰影部分面積之差的最大值為（）

9

A.6B.-C.3D.2

2

（第6題圖）（第7題圖）

7如圖，在等邊4ABC中,D,E分別為AB,AC邊上的動點,BD=2AE,連接DE以DE為邊在△ABC內作等邊小D

EF,連接CF,當點D從點A向點B運動（不運動到點B）時,/ECF大小的變化情況是（）

A.不變B.變小

C.變大D.先變大后變小

二、填空題（共20分）

8已知△ABC中,AB=AC,求證:NB<90。.下面給出了打亂順序的運用反證法證明這個命題的四個步驟：

①所以NA+NB+NO180。,這與三角形內角和為180。矛盾；

②因此假設不成立，所以NB<90。；

③假設在小ABC中,/BN90。；

④由AB=AC得/B=NCN90。,即/B+NCN180。.

這四個步驟正確的順序應是__________（填序號）

9[2024四川綿陽期末]如圖，在△ABC中,AB邊的垂直平分線PQ與△ABC的外角平分線交于點P,過點P作

PD±BC于點D,PE，AC于點E.若BC=6,AC=4,貝!]CE的長度是______.

10[2024江蘇徐州調研]如圖，在直角坐標系中,R3ABC的頂點A在x軸上，頂點B在y軸上,/ACB=9(TQB

〃AC,點C的坐標為(1,2),點D和點C關于直線AB成軸對稱，且AD交y軸于點E,則點E的坐標為.

11[2023江西上饒模擬]如圖,△ABC中,NCAB=6(F,NB=75o,AB=2,AD平分/BAC交BC于點D,E為AB上一

動點(點E不與B重合),△DBE關于直線DE對稱的圖形為△DFE，若點F落在△ABC的邊上，則DE的長為

三、解答題(共45分)

12[2023陜西西安高新區期中]如圖，點P是NMON內一點,PALOM于點A,PBJ_ON于點B,連接AB,/PA

B=ZPBA.

(1)求證:OP平分/MON;

⑵若/MON=6(r,OA=2*APAB的面積.

M

3[2023廣東韶關期末]已知:如圖,△ABC,ACDE都是等邊三角形,AD,BE相交于點O,點M<N分別是線段AD,

BE的中點

⑴求證:AD=BE;

(2)求/DOE的度數;

(3)求證:△MNC是等邊三角形.

14【問題】

如圖，在△ABC中，點D為BC邊上一點BD=BA,EF垂直平分AC,交AC于點E,交BC于點F,連接AF,AD.當/

B=30o,NBAF=90。時，求/DAC的度數.

【探究】

若把“問題”中的條件2B=30。”去掉，其他條件不變，那么/DAC的度數會改變嗎?請說明理由.

【拓展】

若把“問題”中的條件“/B=30。”去掉，再將“/BAF=90。”改為2BAF=a”,其余條件不變廁/DAC=.

1.C【解析】如圖，根據題意得.PA=PB,.?.乙PBA=^PAB=^APC=35。,乙船在甲船的北偏東：35。

方向，故選C.

2.A【解析】52+122=132,.?該三角形為直角三角形，，這塊沙田面積為［X5x500x12X500=

7500000（平方米）=7.5（平方千米）.故選A.

3.B

4.D【解析】如圖，過O分別作OE1AB,OF1BC.OD1AC.

'：BO平分AABC,EO=FO.

VCO平分^ACB,FO=DO,

EO=DO—FO.vS^AB0=

ii

-AB-EO,SABCO=-CB-FO,

SACAO=萬"。,D0,：.SMBO：S4BCO：SACAO=30:40:50=3:4:5.故選D.

5.C【解析】如圖在BC的延長線上取點F,使NAFD

=60°.VAADE是等邊三角形,AD=DE=AE,ZADE=60°.

ZADB=ZAFD+ZDAF=/ADE+ZEDB,/.ZD

AF=ZEDB.XZCBE=60。,；.ZAFD=ZDBE=60。,；.

△AFD^ADBE(AAS),.*.FD=BE=3,AF=BD.設CF=x，則CD=3

-x,BD=5-(3-x)=x+2.ZACB=90°,.'.ZACF=90°,.\ZCAF=90

-60°=30°,；.AF=2CF=2x,；.2x=x+2,；.x=2,；.CF=2,；.AF=BD=4,AC=2V3,.-.SABD|X4X273=4

遍，故選C.

6.B【解析】如圖，延長BD,AC相交于點H.設AD交BE于點O.

：ADJ_BH,，ZADB=

ZADH=90°,.'.ZABD+

ZBAD=90°,ZH+ZHAD=90°.VAD平分NBAC,；.ZBAD=ZHAD,.\ZABD=NH,

???AB=AH.VAD±BH,BD=DH.VDC=CA,

???ZCDA=ZCAD.*.*ZCAD+NH=90°,

ZCDA+ZCDH=90°,AZCDH=ZH,.\CD=

CH二AC.又「AE=EC,BD=DH,AC=CH,

,?^^ABE=^SAABH,S^CDH=:?LOBD—

S—OE—S^ADB—S^ABE=S^ADH—S^cDH~^LACD-

：AC=CD=3,.?.當DCLAC時,△ACD的面積最大，最大面積為|x3x3=（故選B.

7.這【解析】在AC上截取CN=AE,連接FN,如圖所示.

,/AABC是等邊三角形，

ZA=60°,AB=AC.,?BD=

2AE,AD=EN.：ADEF是

等邊三角形，；.DE=EF,ZDEF=60°.

,?ZADE=180°-ZA-ZAED=180°-60°-

ZAED=120°-ZAED,ZNEF=180°-ZDEF-

ZAED=180°-60°-ZAED=120°-ZAED,

ZADE=ZNEF.在△ADE和ANEF

AD=EN,

中｛^ADE=乙NEF,

DE=EF,

：.AADE^ANEF(SAS),AE=FN,ZFNE=ZA=60°,.\FN=CN,.\ZNCF=

ZNFC.*/ZFNE=ZNCF+ZNFC=60°,

NNCF=30°,即NECF=30°.故選A.

8.③④①②【解析】運用反證法證明這個命題的四個步驟:③假設在△ABC中,NBN90。;④由AB=A。得NB

=NCN90。,即/B+NC2180。;①所以/A+/B+NO180。,這與三角形內角和為180。矛盾；②因此假設不成立，所以/B

<90。,故答案為③④①②.

9.1【解析】連接AP,BP,如圖.?；

在RtACPD和Rt△CPE中,

,/PQ是AB的垂直平分線,，AP=BP在

AD=Rp

RSAPE和R3BPD中，｛pE=PDI-RT“APE三

Rt2kBPD(HL),?'?AE二BD,「?CE二AE-AC=BD-AC=(BC-CD)-AC=BC-CE-AC,2CE=BC-AC=6-4=2,CE=1,

故答案為1.

10.黑.【解析】：OB〃AC,，/人1^=點口和點C關于直線AB成軸對稱,二ZBAC=ZBAD,DB=CB,

NABE=/BAD,.^.BE=AE.^.^C(l,2),/ACB=90°,OB〃AC,.^.易知OA=l,OB=2.設OE=x,貝!]BE=AE=2-x.在RtAA

2

OE中根據勾股定理得。弟+OE=4片,即12+/=Q—切2,解得%=..點E的坐標為（0，"故答案為

11.1或/或2【解析】?.*AD平分.ABAC,^CAB=60°,.??/,CAD=乙BAD=30°.v乙B=75°".乙ADB=

180°-乙BAD一乙B=75。=乙B,；.AD=AB=2.由對稱的性質得DF=DB,而DB是定長,...點F在以點D為

圓心，DB長為半徑的圓上.當點F在邊AB上時，如圖，此時點F在點&的位置.???DB=。&尸聲=E、B,：.D

Fi1AB..-.ADE^=90。,；.DE]=\AD=1;當點F在邊AC上時，有兩種情況：①當E,F在4F2的位置時，作D

乙

HXAC.VAD平分^BAC,DH=%=1.又???DF2=DB,.RtADHF2afitADE[B(HL),：.AHDF2=EJ)B

乙

.???DF]=DB/DBFi=75°,???ND&B=75°,???zFtDB=180°-4DBF1-D￡B=30。-ZHDF2=NE/B=

=15°.v乙DHA=7.DEIA=90°,4EjAH=60°,二NE/H=360°-乙DHA-乙DE^A-乙EjAH=120°,即

乙乙乙、=

HDFz+^F2DE1=120。,二EIDB+FzDELF2DB=120。,；Z.F2DE2=Z.BDE2,

1c

乙乙

Z-BDE2=jzF2￡>B=60°,E1DE2=4BDE2-E1DB=45。，.必。用后?是等腰直/八，

T

角三角彩???。揖=1,二。演=V1不F=乃②當E,F在E3島的位置時俱與A重j〃..

合)，DE3=ZM=2;當F在邊BC上時,對應的E點不在AB上，此情況不存在.綜上，/

DE的長為1或/或2.故答案為1或四或2.t，Y\Y；；,n

(也J色，F.E,0

12.(1)【證明】?//PAB=/PBA,；.PA=PB.：PAJ_OM,PB_LON,；.OP平分/MO

N.

(2)【解】ZMON=60°,OP平分/MON,???Z.AOP=30°.???PA=PB,PO=POARtAAOP^RtABOP(HL),.,.

=不

OA=OB=2,/.AAOB是等邊三角形,.；.SLA0B=四在RtAAOP中「.?0人=2,/人(^=30。,，易得AP，:.

2A/34A/3

。1八4nAI、，。、，2V3r。BV3

S〉AOP=-OA-PA=-x2x—=???SAPAB=2S〉AOP一SLAOB=——V3=

13.(1)【證明】??,△ABC^CDE都是等邊三角形，??.AC=BC,CD=CE/ACB=乙DCE=60。，I.ZACB+ZB

CD=ZDCE+ZBCD,.*.ZACD=ZBCE.

AC=BC,

在^ACDfflABCE中.｛乙4CD=ABCE,：.AACD^ABCE,AAD=BE.

CD=CE,

(2)【解】△ACD四△BCE,；./ADC=/BEC.：Z\DCE是等邊三角形,；.NCED=/CDE=60。,，ZADE+

ZBED=ZADC+乙CDE+乙BED=AADC+60°+4BED=MED+60°=60°+60°=120°,LDOE=180°-

(乙4DE+乙BED)=60。,,即/DOE的度數是60°.

(3)【證明】AACD0△BCE,；./CAD=/CBE,AD=BE,AC=BC.

又..?點M,N分別是線段AD.BE的中點，AM=^AD,BN=AM=BN.

AC=BC,

在4ACM和4BCN中，｛/.CAM=乙CBN,

AM=BN,

：