(人教版)八年級下冊數學《第十七章二次根式》

綜合測試卷

時間：120分鐘試卷滿分：120分

一、選擇題(每小題3分，共10個小題，共30分)

1.(2024春?廣陽區校級月考)若一個直角三角形的兩邊長分別是1和百，則第三邊長為()

A.V2B.我或2C.2D.不確定

【分析】分兩種情況討論：當斜邊長為唐時：當兩條直角邊長分別為1和百時.

【解答】解：當斜邊長為舊時，第三邊長=q二1=&.

當兩條直角邊長分別為1和西時，第三邊長=VTTT=2.

所以，第三邊長為五或2.

故選：B.

【點評】本題主要考查勾股定理，關鍵是掌握直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方的

和.

2.(2024春?江夏區校級月考)下列結論中不能判定是直角三角形的是()

A.N4：NB：/C=3：4：5B.a：b：c=1：V3-：2

C.02=(b+c)(b-c)D.N4-/B=/C

【分析】根據直角三角形中最大角是直角，勾股定理及其逆定理即可求解.

5

【解答】解：/、180°x=75°<90°,不能判定是直角三角形，故符合題意;

3十4十b

B、設。=%，b=V3x,c=2x,

a2=x2,b2=3x2,c2=(2x)2=4x2,

X2+3X2=4X2,即a2+b2=c2,

...能判定是直角三角形，不符合題意；

C、a2—(b+c)(b-c)—b2-c2,

：.a2+c2=b2,能判定是直角三角形，不符合題意；

D、NA-NB=NC,且N/+N3+NC=180°,

：.ZA+ZB+(ZA-ZB)=180°,即N/=90°,

...能判定是直角三角形，不符合題意；

故選：A.

【點評】本題主要考查直角三角形的判定和性質，掌握直角三角形中三個角的度數關系,

邊的數量關系，勾股定理及其逆定理的運用是解題的關鍵.

3.（2024春?贛州期中）如圖是一株美麗的勾股樹，其作法為：從正方形①開始，以它的

一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作兩個正方形,

計為②.依此類推…若正方形①的面積為16,則正方形③的邊長是（）

【分析】根據正方形①的面積，得到2c=4,再根據勾股定理，分別求出DE=2近,

EF=2即可求解.

【解答】解：如圖標記各點，

正方形①的面積為16,

：.BC=4,

MABC、尸是等腰直角三角形,

：.AB=AC,DE=DF,

:NBAC=NDFE=90°,

：.BC=^AB=4,

:.DE=AB=2五,

：.DE=幅F=2近,

:.EF=2,

即正方形③的邊長是2,

故選:A.

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的性質，根據題意找

出邊長之間的數量關系是解題關鍵.

4.（2024?新邵縣三模）如圖所示的網格是正方形網格，點HB,C,尸是網格線交點，且

點P在△NBC的邊NC上，則/P48+N尸-1=（）

A.45°B.30°C.60°D.90°

22

【分析】根據勾股公理求出。產=12+22=5,302=12+22=5,8尸2=了+32=10,則CP+BC

=BP2,CP=3C,根據勾股定理逆定理推出△BCP是直角三角形，ZC=90°,根據等

腰直角三角形的性質求出NCP2=/CAP=45°,再根據三角形外角性質求解即可.

【解答】解：根據題意得，CP2=l2+22=5,5C2=l2+22=5,BP2=12+32=10,CP>0,

BP>0,

：.CP2+BC2^BP2,CP=BC,

...△8C尸是直角三角形，ZC=90°,

；.NCPB=NCBP=45°,

??ZCPB=NPAB+NPBA,

：.ZPAB+ZPBA=45°,

故選：A.

【點評】此題考查了勾股定理逆定理，熟練運用勾股定理逆定理是解題的關鍵.

5.（2024春?碑林區校級月考）如圖，在中，ZA=90°,8。是△/8C的角平分

線，若4c=10cm,CD=6cm,則點。到BC的距離是（）

A

A.6cmB.5'emC.4cmD.3cm

【分析】先根據4D=NC-CD計算，根據“角平分線上的點到角兩邊的距相等”，即可

得出答案.

【解答】解：?.ZC=10c%,CD=6cm,

：.AD=AC-CD=10-6=4(cm),

又：//=90°,8。是△Z8C的角平分線，

...點D到BC的距離=4D=4c機，

故選：C.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質定理、點到直線的距離，熟練掌握角平分線的

性質定理是解題的關鍵.

6.(2023秋?電白區期末)如圖，△48C的頂點N,B,C在邊長為1的正方形網格的格點

「1

【分析】先由勾股定理求出4C=返，設NC邊長的高為兒再由面積法得出pCX/；=

4,然后求出力即可.

【解答】解：由勾股定理得：/C=V^”=返，

設/C邊長的高為〃，

1111

=:

'."SAy4Bc3X4--X2X3--X1X2--X2X4=4,S^ABC-^CXh,

1

^4CX/；=4,

44g

"-h=34C=|xV5=工。

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理、矩形面積和三角形面積的計算，由面積法列出關于/C

邊長的高h的方程是解題的關鍵.

7.（2024春?啟東市校級月考）有一塊草坪如圖所示，測量了草坪各邊得：/3=3米，BC=4

米，/。=12米，8=13米，且請同學們計算一下這塊草坪的面積（）

A.24m2B.36m2C.48m2D.60m2

【分析】如圖：連接NC,根據勾股定理可求得NC,再根據勾股定理的逆定理判定

是直角三角形，最后根據這塊草坪的面積等于兩個直角三角形的面積之和即可解答.

【解答】解：連接/C,如圖,

'：AB±CB,

：.ZABC=90°,

*8=3米，8c=4米，

：.AC=5米，

米，CD=13米，

：.AC2+AD2=CD2,

...△/CD為直角三角形，

.?.這塊草坪的面積12+2=6+30=36（w2）.

故選：B.

【點評】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.正確作出輔助線、構造直角三

角形是解題的關鍵.

8.（2024春?武城縣校級月考）已知，如圖長方形/3CO中，AB=3cm,AD=9cm,將此長

方形折疊，使點2與點。重合，折痕為斯，則△/8E的面積為（）

C.6cm2D.12cm2

【分析】根據折疊的條件可得：BE=DE,在直角中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：將此長方形折疊，使點3與點。重合，.?.8E=￡D

,:AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

；.BE=9-AE,

根據勾股定理可知AB2+AE2=BE2.

解得4E=4.

的面積為3X4+2=6（cm2）.

故選：C.

【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形兩直角邊的平方

和等于斜邊的平方.

9.（2023秋?榆陽區校級期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所

示的“垂美"四邊形/BCD對角線/C,8。交于點O.若/。=2,BC=1,貝I]

等于（）

【分析】在Rtz\Z03與RtZsCOD中，由勾股定理得，AB2=OA2+OB2,5=

OD2+OC2,再將兩式相加根據勾股定理即可求解.

【解答】解：在RtZ\/02與RtACOD中，由勾股定理得，

AB2=OA2+OB2,CD2=OD2+OC2,

:.AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2

=AD2+BC2

=22+72

=53,

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理，熟記勾股定理是解題的關鍵.

10.(2024春?惠濟區校級月考)如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,4D平分NC42,BE

平分乙43C,AD,BE相交于點尸，若4^=4,EF=五,貝"/E=()

A.V10B.2C.V5D.--—

【分析】先求出NEFG=45°,進而利用勾股定理即可得出FG=EG=1,進而求出4E

即可.

【解答】解：如圖，過點E作EGL4D于G,

,：AD,BE是分別是N8/C和//8C的平分線,

/.ZCAD=ZBAD,ZCBE=/ABE,

VZACB=90°,

：.21/BAD+NABE)=90°,

：.ZBAD+ZABE^45°,

/.ZEFG=ZBAD+ZABE=45°,

在RtZ\EFG中，EF=五,

：.FG=EG=1,

：4F=4,

：.AG=AF-FG=3,

根據勾股定理得，AE=VXG2+EG2=V10,

故選：A.

【點評】此題考查了角平分線定義，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，解答本

題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形解決問題.

二、填空題(每小題3分，共6個小題，共18分)

11.(2024?振興區校級二模)如圖，在△N8C中，48=/C,BC=6,高40=4,則42=.

【分析】直接利用等腰三角形的性質得出BD的長，再利用勾股定理得出AB的長.

【解答】解：在△N2C中，AB=AC,BC=6,高NO=4,

1

：.BD=CD=~BC=3,△NAD是直角三角形，

在RtZxNBD中,AB—VBD2+AD2—V32+42=5.

故答案為：5.

【點評】本題考查勾股定理以及等腰三角形的性質，正確得出2。的長是解題關鍵.

12.(2024春?營山縣校級期中)平面直角坐標系中有/(3,-4)、B(-2,-4)兩點，

那么/、8兩點的之間的距離是.

【分析】直接利用兩點間的距離公式計算.

【解答】解：(3,-4)、2(-2,-4),

；./、B兩點的之間的距離為J(3+2尸+(—4+4尸=5.

故答案為：5.

【點評】本題考查兩點間的距離公式：設有兩點”(xi，%)，B(右，及)，則這兩點間

的距離為AB=7(%1-%2)2+(71-y2)2.

13.(2024?昆都侖區二模)如圖1是第七屆國際數學教育大會(ICME)會徽，在其主體圖

案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形0/2C.若48=

BC=1,/。=2,則。。2的值為.

【分析】根據勾股定理先求出8。的長，再計算CO?的長即可.

【解答】解：由題意得，在RtZUOB中，

BO-y/AO2+AB2-V22+I2=底

在RtA5OC中，

CO2=OB+BC1=(V5)2+12=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查勾股定理，正確記憶計算公式是解題關鍵.

14.(2024秋?新泰市期中)某小區兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻

時，梯子底端/到左墻的距離/E為0.7加，梯子頂端。到地面的距離DE為2.4加，若梯

子底端N保持不動，將梯子斜靠在右墻8c上，梯子頂端C到地面的距離C8為2〃?，則

這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為.

【分析】先根據勾股定理求出/D的長，同理可得出的長，進而可得出結論.

【解答】解：在中，?.?/4￡。=90°,/E=0.7米，DE=2.4米，

1,UD2=0.72+2.42=6.25.

在RtZ\/8C中，

VZABC=90°,8C=2米，AB2+BC2^AC2,

：.AB2+22=625,

'.AB=\.5（米）.

：.BE=AE+AB=G.l+l.5=2.2（米）.

答：小巷的寬度BE為2.2米，

故答案為：2.2.

【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方

程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫

出準確的示意圖.領會數形結合的思想的應用.

15.（2024秋?南山區期末）己知等腰△/2C的底邊3c=5,。是腰上一點，且CD=4,

BD=3,則/D的長為.

【分析】根據勾股定理的逆定理求出N8Z）C=90°,即NNDC=90°,^AB=AC=a,

在RtAWC中，由勾股定理得出*=（〃一3）2+42,求出a即可.

【解答】解：設/5=/C=a,

'：BC=5,CD=4,BD=3,

：.BD2+CD1=BC1,

：.ZSDC=90°,

：.ZADC=90°,

在RtZUDC中，由勾股定理得：AC2^AD2+CD2,

a2=(a-3)2+42,

25

a=—,

o

257

?.AD=——3=~.

66

7

故答案為：T.

o

【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理等知識點，能根據勾股定理的逆定理求得/

ADC=90°是解答本題的關鍵.

16.（2024春?重慶期中）有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長4D=80c加，

高/2=5（k?,水深/E=40cm,在水面上緊貼內壁的G處有一塊面包屑，G在水面線

EF上,且/G=30CTW,一只螞蟻想從魚缸外的N點沿魚缸壁爬進魚缸內的G處吃面包

屑.螞蟻爬行的最短路線為cm.

【分析】作出/關于2c的對稱點,連接G,與2C交于點0,此時ZQ+0G最

短；A'G為直角△/'EG的斜邊，根據勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖所示作點N關于3c的對稱點H,連接G交8c與點。，小蟲沿

著/一。一G的路線爬行時路程最短.

EG=80-30=50(cm),

：.AQ+QG=A'Q+QG=A'G-^A'E2+EG2=10V61(cm).

，最短路線長為10V61cm.

故答案為：10V^T.

【點評】本題考查平面展開-最短路徑問題，關鍵知道兩點之間線段最短，從而可找到

路徑求出解.

三、解答題(共8個小題，共72分)

17.(共8分)(2024春?鹿邑縣月考)如圖，已知等腰三角形N5C的底邊8c=15c%,。是

腰NC上的一點，且12c加，CD=9cm.

(1)求證：BDLAC；

(2)求△N2C的面積.

A

入

【分析】(1)證明可證明/8OC=90°,即可得出結論；

(2)設AB=AC=xcm,則40=(x-9)cm,根據勾股定理即可求出x,即可求解.

【解答】(1)證明：在△8OC中，BC=15cm,BD=12cm,CD^9cm,

：.BD2+CD2=BC2,

:.NBDC=90°,

：.BD±AC；

(2)解：設N2=/C=xc%,則/D=(x-9)cm,

在RtAADB中，由勾股定理得：AD2+BD2=AB2,

即(x-9)2+122=X2,

,25

解得X=E，

25

即AB=AC=~cm,

1125°

?'?S^ABC='^C,BD=—'X.—X12=75(cm2).

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理和勾股定理的逆定理等知識點，能靈

活運用定理進行計算是解此題的關鍵.

18.(8分)(2024春?南縣校級期中)如圖，在△NBC中，AB=5,AC=4,BC=3,DE是

N8的垂直平分線，OE分別交NC,AB于點、E,D.

(1)求證：△N8C是直角三角形；

(2)求CE的長.

【分析】(1)根據勾股定理的逆定理進行判斷即可；

(2)連接8K,根據線段垂直平分線的性質可得設CE=x,則/E=4-x,BE

=4-x,根據勾股定理進行計算即可.

【解答】(1)證明：,:AB=5,AC=4,BC=3,

則^C2+5C2=32+42=9+16=25,

AB2=52=25,

則AC2+BC2^AB2,

故△NBC是直角三角形；

(2)解：連接BE,如圖：

,；DE是AB的垂直平分線，

：.AE=BE,

由(1)可得△/BC是直角三角形，

即乙4c8=90°,

設CE=x,貝！IAE=AC-CE=4-x,

即BE=4-x,

在RtZ\3CE中，CE2+CB2=BE2,

即X2+32=(4-x)2,

7

解得：x=~,

o

7

即CE的長為k.

O

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，線段垂直平分線的性質，勾股定理，熟練掌握

以上知識是解題的關鍵.

19.（8分）（2023秋?雙塔區校級期中）如圖所示的是一個拉箱的示意圖，箱體長/3=

65cm,拉桿最大伸長距離2C=35c加，在箱體的底端裝有一圓形滾輪，其直徑為6cm.當拉

桿拉到最長時，滾輪的圓心在圖中的/處，當拉桿全部縮進箱體時，滾輪圓心水平向右平

移55"?到處.請求點C離地面的距離（假設點C的位置保持不變）

【分析】過C作CELON于E,延長4r交CE于R根據勾股定理即可得到方程652-

x2=1002-（55+無）2,求得⑷尸的長，即可利用勾股定理得到CF的長，進而得出CE的

長.

【解答】解：如圖所示，過點C作CELZW于點E,延長交CE于F,貝ljN/FC=

90°.

設HF=xcm,則/尸=(55+x)cm,

由題可得，AC=AB+BC=65+35=100(cm),A'C=65cm.

CF中，CF2=652-X2,

中，072=10()2-(55+x)2,

A652-x2=1002-(55+x)2,

解得x=25,

：.A'F=25(cm),

：.CF=yJA'C2-A'F2=60(cw).

又,：EF=AD=3cm,

.,a=60+3=63(cM,

點。離地面的距離為63cm.

【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與

方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，

畫出準確的示意圖.

20.(8分)(2024春?樂陵市校級月考)如圖，在△NBC中，ADLBC,AC=2底BC=5,

AD=4.

(1)請判斷△NBC的形狀，并證明；

(2)過點8作于點￡,交/。于點尸，求8E和/b的長.

【分析】(1)用勾股定理先求出的長，再用勾股定理求出A8的長即可證明結論；

(2)用等積法求出8E,作于，，先證明設RtZkB尸"gRtZXBFD(HL),得BH

=BD,設/尸=x,則DB=FH=4-x,用勾股定理即可求出工?

【解答】解：(1)△NBC是等腰三角形.

證明：'：/\ABCdp,ADLBC,

：.ZADB=ZADC=90°,

,：AC=2V5.AD=4,

CD=^AC2—AD2=J(2A/^)—42=2,

,:BC=5,

：.BD=BC-CD=3,

：.在RtMBD中，AB='AD?+BD2=V42+32=5,

：.AB=BC,

：./\ABC是等腰三角形；

1111「

(2)'-S^ABC^-x.BCxAD=~xACxBE,即5x5x4=5x2逐xBE,

:.BE=2后

作FHLAB于H,

；△ABC是等腰三角形，5.BELAC,

:.BE平用/ABC,

：.FH=FD,

■:/BHF=NBDF=9Q°,BF=BF,

：.Rt/\BFH^Rt/\BFD(.HL),

:.BH=BD=3,

:.AH=2,

設/b=x,貝ij。尸二尸"=4-x,

在RtZUAF中，AH2+FH2=AF2,

即22+(4-x)2=/,

5

解得x=2-

5

即47=5.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形的面積、全等三角形的判定與性質，熟

知相關定理是正確解決本題的關鍵.

21.(8分)(2024秋?蓮都區期末)如圖，點C為線段N8上一點，以NC為邊向上作RtZ\NCD,

且N/=90°.以8c為底邊向上作等腰三角形8CE,且NNr>C=N8=30°連結。￡.

(1)求NQCE的度數；

(2)當BC=2ZD=2百時，求的值.

【分析】(1)根據EC=5E,得出NECF=N5=30°,根據N4=90°,ZADC=30°,

得出NOC4=90°-30°=60°即可；

(2)過點￡作E7LL5C,證明△ZCZ)名△在C,得出根據NZ=90°,ADC=

11

30°,得出47=萬6,根據勾股定理得出(百)2+(5。。)2=。。2,求出cz)=2,根據勾

股定理求出。E=VCD2+CE2=V22+22=2V2.

【解答】W：(1)U：EC=BE,

:.NECF=/B=30°，

VZA=90°,ZADC=30°,

AZDCA=90°-30°=60°,

AZ￡)C￡=180°-ZDCA-NECB=9。。；

(2)過點E作如圖所示：則NE尸。=N4=90°，

■:EC=EB,

1

CF=-BC,

'：BC=2AD,

：.AD=CFf

由(1)可知，ZADC=ZECF=30°,

:.△ACDQdFEC(ASA),

：.CD=CE,

VZA=90°,N4DC=30°,

1

.\AC=5co,

根據勾股定理得：AD2+AC2=CD2,

1

即（西）2+（尹）2=亦，

解得：CD=2,（負值舍去），

:.CE=CD=2,

■:/DCE=90°,

：.DE=VC￡>2+CE2=V22+22=2V2.

【點評】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質，三

角形內角和定理，含30度角直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質和判

斷，作出輔助線，數形結合.

22.（10分）（2023秋?渝北區期末）如圖，A,B,C是我國南部的三個島嶼，已知島嶼C

在島嶼/的東北方向，島嶼8在島嶼/的正東方向，A,C兩島的距離為20底歷n,A,B

兩島的距離為68km.

（1）求出B,C兩島的距離；

（2）在島嶼8產生了臺風，風力影響半徑為25版2（即以臺風中心2為圓心，25km為羊

徑的圓形區域都會受到臺風影響），臺風中心以20左根/〃的速度由3向/移動，請判斷島

嶼C是否會受到臺風的影響，若不會受到影響，請說明理由；若會受到影響，請求出臺

風影響島嶼C持續時間有多長？

北

【分析】（1）過點C作于點。，在Rta/CD中，利用勾股定理可求出4D,

CD,再在中，利用勾股定理即可求出8C,從而解決問題；

（2）由25>20,可知會受影響.以點C為圓心，25人加長為半徑畫弧與N8交于點￡,

F,利用勾股定理求出。E,進而得到防的長，再除以臺風移動速度即可求出臺風影響

島嶼C持續時間.

【解答】解：（1）過點C作CD,48于點。，

北

AZA=ZACD=45°,

：.CD=AD,

在RtZX/CZ)中，

AC=20y[2km,

由勾股定理，得NZ)2+Q)2=4C2,

：.2AD2=(20V2)2,

解得/￡>=2(MTM(負值已舍)，

:.CD=20km,

在RtA5CD中，

BD=AB-AD=6S-20=48(km),

由勾股定理，得BC=々CD?+BD2=、2。2+482=52(km),

答：B,C兩島的距離為52而；

(2)會受影響，

以點C為圓心，25加長為半徑畫弧與交于點E,F,

則EF=2DE,

在Rt^CDE中，

由勾股定理，得DE=VCE2—CD2=4252—202=15(km),

:?EF=3Gkm,

304-20=1.5(〃),

答：臺風影響島嶼C持續時間為15fl.

【點評】本題考查勾股定理的應用，理解題意，通過作CDL/8構造直角三角形是解題

的關鍵.

23.（10分）（2024春?鄲都區期末）如圖，在中，ZACB^90°,4D平分/C4B

交BC于點、D,點E在48上，5.AE^AC,連接DE.

（1）求證：LADE咨AADC；

（2）若E為A8中點，求的度數；

（3）若/C=6,8c=8,求8。的長.

【分析】(1)由題意得出NC4D=NE4。，可證明△/￡>￡?咨△NOC(SAS)；

(2)由全等三角形的性質得出NC4D=/D/￡=/B,則可求出答案；

(3)由勾股定理求出48=10,設8D=x,則DE=CD=8-x,由勾股定理可求出答案.

【解答】(1)證明：平分/C/8,

：.ZCAD=ZEAD,

在△/￡)￡1和△4DC中，

AE=AC

/.EAD=Z.CAD,

AD=AD

：./\ADE^AADC(&4S)；

(2)解：V/\ADE^AADC,

；./C=N4ED=90°,

,IE為的中點，

：.AE=BE,

???OE為ZB的中垂線，

：.AD=BD,

：./B=NDAE,

：.ZCAD=ZDAE=NB,

VZCAD+ZDAE+ZB=90°,

???N5=30°；

(3)VZACB=90°,AC=6,BC=8,

?