第4章指數與對數章末小結

一、典型題型...................................................................................1

題型1指數的運算.........................................................1

題型2對數的運算.........................................................3

題型3利用對數的運算性質進行求值.......................................5

題型4解簡單的指數和對數方程...........................................6

相

數

數又寸婁攵

典型例題

題型1指數的運算

反思領悟：指數的運算是本章的重點內容，是學好本章的前提和基礎，為后續對數的學習作鋪

墊.指數的運算常與根式交匯考查，也常與方程等知識聯系，主要考查數學運算的核心素養.

例1若實數X,y滿足2"+4"=2-2%則尤+2y的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由條件結合基本不等式求尤+2y的最小值.

【詳解】因為2*+4>=2*+2刀22《2網，又2,+4y=2x+2y

所以2工+2了22哼+'

所以x+2”2,當且僅當x=l,y時取等號，

所以無+2y的最小值為2,

故選：C.

例2(多選題)下列運算正確的是()

74

A.=m-(m>0,M>0)B.!^(-3)="^3^=-^3

C-+J=(X+y"(尤>0,y>0)D.-^/3

【答案】BD

【分析】根據根式的定義與分數指數幕的定義、運算法則判斷.

【詳解】3)7=?—(m>0,n>0),故A錯；

n

攻一3)4=啊=石,故B正確；

府+y3與(x+yj=[(X+y)3不同,故C錯；

曬=(如?=亨=5，故D正確?

故選：BD.

例3化簡求值:

(1)(-5)°+2^x64^-

1_1

⑵已知X+%T=3,求官+X2

X2+/

【答案】⑴/

(2)卓

【分析】⑴根據指數幕的計算方法計算即可；

⑵先利用完全平方公式求出￡+和尤2+尤-2的值，從而求出結果.

⑴

131

原式=1+7乂4_2=/.

⑵

,/%+%T=3,/.x>0,

1_1

廠.戶+工5>0，

又,/（/+x萬>=x+—+2--x2=3+2=5*

二.?+”=如'

v（x+x-1）2=x2+x~2+2x-x~l=9,

.*./十%2=7，

.x，+x，_6，

,?f+%-27

題型2對數的運算

反思領悟：對數的運算是本章的重要內容之一，在學習指數運算的基礎上學習對數運算，指數

運算與對數運算是互逆的.對數運算常與指數、方程等知識交匯考查，主要考查學生的數學運

算和邏輯推理能力.對數的運算應遵循以下原則：

對數運算首先注意公式應用過程中范圍的變化，前后要等價，熟練地運用對數的三個運算性質

并結合對數恒等式，換底公式是對數計算、化簡、證明常用的技巧.

例1設〃=log53,^=log85,c=log138,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】用作商法比較。涉的大小，通過比較。與0.8/與0.8的大小比較勿c的大小，從而得。,必。的大小.

【詳解】解：?.4=警|=地53」幅8〈絲吟空包=（駕竺）2<1,

blogs342

：.a<b\

54

:5<8,**-5<4/。&8，log58>1.25,/.Z?=log85<0.8；

45

V13<8,.,.4<5/6>g138,.*.c=log138>0.8,：.c>b,

綜上，c>b>a.

故選：A.

例2（多選題）已知log23=m,log37=〃，則log4256的值不可能是（）

mn+3m+n+3mn+3mn+3

A.--------B.------------C.-------------D.-------------

mn+12m+?+lmn+m+1mn-m+1

【答案】ABD

【分析】利用對數運算的公式計算即可.

【詳解】由換底公式得：Iog27=log23-log37=，”“，log2=—,log,56=log,（7x8）=log7+log8,

7mn444242

1111mn

其中l°g427=

log7421+log761+log72+log731111mn+m+1，

mnn

333mn3mn+3

42

log428=31og422=log42log6+log7l+m+rrm'故^°^%-------1-------=-------

222mn+m+ll+m+mnmn+m+l

故選：ABD.

例3化簡與求值：

⑴（若-1）0+府行+艱

103

(2)4^+log18-1g-I+lg25-1gf-InT?.

216k2；

【答案】（1）町

畤

【分析】（1）根據指數的運算法則及性質運算求解；

（2）根據對數的運算法則及性質求解.

（1）

原式=1+兀-3+（23戶

=71.

（2）

5-

原式=2210823-log,8-lg—+lg25-lg8-lne2

16

=9-3+lg（25x^x-^）-|-

582

3

=6+lgl0--

題型3利用對數的運算性質進行求值

反思領悟：對于帶有附加條件的與對數式有關的求值問題是本節的重點內容之一，常與對數的

運算性質相結合，如果附加條件比較復雜，則需先對其進行變形、化簡，并充分利用其最簡結

果解決問題.具體解決方法：（1）注意指數式與對數式的互化，有些需要將對數式化為指數式，

而有些需要將指數式化為對數式；（2）注意換底公式與對數的運算性質的應用，解題時應全方

位、多角度地思考，注意已知條件和所求式子的前后照應.

例1已知0.3010<lg2<0.3011,則log42022屬于（）

A.（5.3,5.4）B.（5.4,5.5）C.（5.5,5.6）D.（5.6,5.7）

【答案】B

【分析】根據3+lg2<lg2022<lllg2結合換底公式，代入計算即可.

【詳解】E2000<2022<2048,

01g2000<1g2022<lg2048,

03+lg2<lg2O22<lllg2,

3+lg21202211

021g2<lg4<T，

u*lg2022uu

05.4<--------<5.5

lg4

故選:B.

Q

例2（多選題）若。=log23-l,2〃=],則下列結論正確的是（）

A.a+b=2B.a—b<0

111-

C.-<a<]D.—+->2

2ab

【答案】ABCD

aR

【分析】根據對數的運算與指對數的關系可得a=log2：，^=log2j,再結合對數的運算與基本不等式逐個

選項判斷即可.

3R

【詳解】由題意可得。=log23-1=log?*=log2j.

38（38、

對于A,a+^=log2-+log2-=log2l-xjl=log24=2,所以A正確；

對于B,o-/?=（log23-l）-（log28-log23）=21og23-4<21og24-4=0,所以B正確；

對于C,因為應<；<2,所以log?log?log?2,所以;所以;<a<l,所以C正確；

對于D,因為Q>0,b>0,a+b=2,所以工+〈=:（工+4]（〃+8）=:（2+2+1]之:（2+2^^]=2,

ab2\ab）2（ab）21\ab

當且僅當a=b時取等號，而〃b,所以取不到等號，所以1+1>2,所以D正確.

ab

故選：ABCD.

例3已知33=0.4771,估計95。的大小.

【答案】1047-71

【分析】令x=95。，然后兩邊取常用對數求解即可

【詳解】令x=95°,則兩邊取常用對數得

lgx=lg950=501g9=501g32=1001g3,

因為lg3a0.4771,

所以Igxn100x0.4771=47.71,

所以XBlO,型，

所以愛的大小約為I。’?》

題型4解簡單的指數和對數方程

反思領悟：簡單的指數方程和對數方程是指數運算和對數運算的延伸，主要與方程結合交匯考

查，培養學生的邏輯推理和數學運算能力，是對指數、對數運算的鞏固和提升.具體解決方法

如下：

⑴化同底：將指數方程變形為十=〃臺機=幾

fM>0,

形如log.M=log°N(a>0,的對數方程，等價轉化為舷=N,且彳心。求解.

⑵定義法:解形如6=logoM(a>0,aWl)的方程時，常借助對數的定義等價轉化為〃=/求解.

⑶換元法：設/=〃(x=log"),將方程轉化為關于/的一元二次方程求出/,再解出X.

例1根據下列條件，分別求實數x的值：

(1)log2(2—X)=log2(X-1)+1；

(2)3次+i—6*=22X+2.

4

[解]⑴原方程可化為log2(2—x)=log2[2(x—1)],得2—X=2(x—1),解得％=弓.經檢驗知，原

4

方程的解為％=].⑵原方程可化為3X3^-2xX3x-4X22X=0,

<3Y4

因式分解得(3*3%—4*2%)(3%+2，)=0,則3X3%—4X2%=0,即[夕=§，

4

解得冗=log|

例2解下列關于％的方程：

(1)lg^/x—1=lg(x—1)；(2)log4(3—X)+log0,25(3+x)=log4(l—x)+log0.25(2x+1).

［解A］（1）原方程等A價I于V—1=X-1,

［x-1>0,

解之得x=2.經檢驗了=2是原方程的解，所以原方程的解為x=2.

（2）原方程可化為log4（3—%）—log4（3+x）=log4（1—X）—log4（2x+1）.

3—x1—x3—X1—Y

即I0g4i==i°g4訐T?整理得市=占不？解之得x=7或x=0-

當x=7時，3—x<0,不滿足真數大于0的條件，故舍去.x=0滿足，

所以原方程的解為x=0.

活學活用培優訓練

一、單項選擇題：（本題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題意要求的.）

1.^xlog23=l,則3*+3-，=（）

,53103

A.-B.—C.—D.一

2632

【答案】A

【分析】求出x=log32,代入3，+3T化簡即得解.

1,c

【詳解】解：由題得尤=1-7=log2,

log,33

所以3*+3-1=3陶2+3‘°8萬=2+-=-.

22

故選：A.

2.若0<4<1*>0,且都-/=-2,則4+1的值為（）

A.2四B.±272C.-2A/2D.瓜

【答案】A

【分析】將已知等式條件兩邊平方可得a以=6,再將目標式平方結合指數幕的性質即可求值.

【詳解】由題設，（ab-aby=a2b-2+a2b=4,^a2b+a2b=6,

又（ab+a-b）2=a2b+2+a2b=8,且非+鵬>o,

所以。〃+/=2亞.

故選：A.

3.中國的5G技術處于領先地位，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：C=WlogJl+^.它表

示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信道內信號的平均功率S,信道內部

q

的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數中的1可以忽略不計.按

N

照香農公式，若不改變帶寬W,而將信噪比三從1000提升到4000,則。大約增加了（）（愴2。0.301）

N

A.10%B.20%C.30%D.50%

【答案】B

q

【分析】根據題中的香農公式分別計算?等于1000和4000時對應的C,進而比較可得出結果.

【詳解】信噪比提升到4000時對應的C值記為C',根據題意，

焉=1000時，C=Wlog2^l+-^^=Wlog21001?3Wlog210

鼻=4000時，C'=Wlog?[1+[]=Wlog24001（2+31og210）

。'_呼（2+31暇10）

..--------------------------k

C晦?102

；.c大約增加了20%,選項B正確.

故選：B.

4.設=5〃=加且工一,=2,則〃z=（）

⑶ab

1i—/i-o

A.—B.10C.VioD.A—

10710

【答案】D

【分析】先由（11=5〃=〃7,用對數表示出6,再根據工-：=2即可求出機.

{2）ab

【詳解】

am

=l°gj,,b=log5m,

2

1111

Q—2,.-.log,--log5=2,BPlog-=2,

ab2m10

故選：D.

【點睛】本題考查指數式和對數式的互化，考查對數的運算和換底公式的應用.

5.化簡聯可得

3

A.Iog34B.—

C.3D.4

【答案】C

【分析】利用對數的運算性質即可得出.

33

【詳解】,0!=log28=log22=3.故選C.

logs2

【點睛】本題考查了對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力.

6.若210g2（2x-y）=log2X+log2y,則log?x-log?y=（）

A.2B.2或0C.0D.-2或0

【答案】C

【分析】根據對數運算法則可知（2x-y『=孫，且2x-y>0,尤>0,y>0,

化簡得》=兒再化簡log?x-log2y求值.

【詳解】依題意，（2x—?=盯，二4尤2-5xy+y2=0,;.（4x-y）（x-y）=o,，％=>或》=；、，>。，

|]JQx

x>0,y>0,;.x>—y,:.x=—y（舍去），—=1,logx-logj=log—=0.

2-4'y2--2-2y

故選c

【點睛】本題考查對數的運算法則，以及化簡計算.

7.若非零實數。、6滿足2。=3〃，則下列式子一定正確的是（）

A.t>aB.b<a

C.網<問D.網>同

【答案】C

【解析】令2。=3〃=公貝卜>0,將指數式化成對數式得“、b后，然后取絕對值作差比較可得.

【詳解】令2"=3"=r,貝卜>0,twl,，。=廄2，=曇，獸，

1g21g3

.?」。|一21=魯_魯」叫曙]g2）>0,因此，\a\>\b\.

1g2lg3Ig2-lg3

故選：C.

【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數式與對數式的轉化，考查推理能力，屬于中

等題.

二、多選題

8.若10"=4,1(/=25,則()

A.a+b=2B.b-a=l

C.ab>8\g22D.b-a>lg6

【答案】ACD

【分析】利用指對數的運算性質及其關系求出。+6、b-a,ab,結合對數函數的單調性判斷各選項的正誤.

【詳解】由題設，10"”=100,即。+6=2,A正確；

10j=3,即6-。=坨9>坨(=36,B錯誤，D正確；

444

由a=21g2/=21g5,則必=41g21g5>41g21g4=81g?2,C正確；

故選：ACD

9.已知3"=8"=24,則b滿足的關系是()

A.a+b=abB.a+b>4

C.(di-1)2+(Z?-1)2<2D.a2+b2>6

【答案】ABD

【分析】根據指數與對數互化的關系求出。/，取倒數相加即可判斷A選項是否正確；將〃力代入B、C、D

選項式子的左端化簡，并利用基本不等式即可判斷是否正確.

a

【詳解】Q3=8^=24,：.a=\og324,b=logs24,

11Ic111c

10

?>--=------=§243,工=----=log248,

alog324blog824

,_1111

對于A選項：—+—=log3+log8=log24=l,.-.—+—=1,:,a+b=ab,故A選項正確；

ab2424a2b4

對于B選項：?.?a+b=log324+log824=(log33+log38)+(log88+log83),

/.=2+log38+log83>2+2^/log381og83=4,故B選項正確；

222

對于C選項：Qa=log324,Z?=log824,+(^-i)=(log33+log38-l)+(log88+log83-l),

2222

/.(4Z-1)+(Z?-1)=(log83)+(log38)>2(log83)(log38)=2,故C選項錯誤；

對于D選項：Qa=log324,b=log824,

ab=log324xlog824=(log33+log38)(log88+log83)=2+log83+log38>2+2=4,

：.ab>4,a2+b2>2ab>S,故D選項正確；

故選：ABD

10.下列各式或說法中正確的有()

A.lg(1g10)=0B.lg(lne)=0

C.若10=lgx,則x=100D.若log25X=；,貝l]x=±5

【答案】AB

【分析】根據對數運算依次分析各選項即可得答案.

【詳解】對于A,因為lgl0=l,lgl=0,所以lg(lgl0)=lgl=0,故A正確；

對于B,因為lne=l,lgl=0,所以lg(lne)=lgl=0,故B正確；

對于C,因為10=lgx,所以x=K)i。，故C錯誤；

對于D,因為log25X=5，,所以尤=255=5，故D錯誤.

故選:AB.

三、填空題

b

11.已知logb=~,貝!]3。+6=.

fla

【答案】6.

【分析】根據對數性質判斷。力>0,由已知利用對數運算可求得a,4即得答案.

【詳解】由題意可知。>0*>0,

bb

由=6,log”。=一可用log0a=-=3,..b=3。，

aa

貝a3=3a,a=A/3,貝6=3#),

故3a+6=6A/3,

故答案為：6G

12.已知二次函數的最小值為3,則實數a=,(log.5丫+log〃2Jog“50的值為

【答案】101

【分析】對于題空①，根據開口向上的二次函數，自變量取對稱軸對應的值達到最小值，解得。的值；

對于題空②，把。的值代入表達式，根據對數的運算，化簡求值即可.

【詳解】因為y=(lga)f+2x+41ga的最小值為3,所以lga>0,

,1J1)“，,，1c

=lga--------r+2----+41gfl=41ga---二3

(Iga)Ilg?J也。

即4(lga)~-31ga-l=O,

所以(41ga+l)(lga—1)=0,

解得lga=l或lga=_：(舍去)，所以a=10,

故(1(嗔5)2+Ioga2.1og“50=(lg5)2+lg2/g50=(lg5)2+lg2(lg5+l)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=l.

故答案為：①10;01.

13.解指數方程23=349：.

【答案】為=-3或》=3+1幅2

【分析】直接對方程兩邊取以3為底的對數，討論x+3=0和x+3/O,解出方程即可.

【詳解】由2"3=s'—得logs2**3=log?3"一°,HP(x+3)log32=(x—3)(x+3),當x+3=0即x=—3時，0=0顯

然成立；

當尤+3*0時，log32=x—3,解得x=log32+3；故方程的解為:x=—3+log32.

故答案為：x=—3或x=3+log32.

33

14.若log“c=w，log"C=w,則log/=.

【答案】3

【分析】可根據已知條件，將對數化成指數關系，然后對等，找到a、b之間等量關系，帶入到。、氏c三

者關系中，找到Ac的關系，即可完成求解.

3333

【詳解】因為log°c="log>=g,所以/=c，(。加=「

333333

此時鵬=(aby=，化簡得=廬，

33

所以。=/，(〃萬戶=(加>=匕3=小

所以log/,C=3.

故答案為：3.

四、解答題

15.(1)已知了=。.3+/2,化簡取2—2。心+d?

(2)設振+涼=4'x=a+3a3b^'y=b+3a^tPJ求(x+,戶+(x—,戶的值.

1

【答案】(1)W；(2)8

【分析】(1)由已知得了-0一二斤?，結合指數運算法則化簡；

(2)令j=A，J=8，結合因式分解可得了+y=(A+8)3,x-y=(A-8)3,則食+丫戶+(尤_y)3=2(4+B2)，

結合已知即可求值.

【詳解】(1)由了=/3+6-2,得了一/3=6一2,

團yjx2-2a3x+a^=^(x-a-3)2=^(b2)2=—,

'1^1

(2)令