第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末重難點歸納總結(jié)

?ara,=^*1(a>9,r,jeQ).?(ay=an(a>9,r,s6Q).

?(aby=^y(a>9,bX>,reQ).④^=jr(a>0,r,sEQ).

如果>0,且今1,M>0..V>0.那么

指

數(shù)

對

數(shù)0*"、)=1<^"+log?V②唔三=Iog3fToga、

運

算N

軟通”€R).?log,=2Mog^V(/i6R.用)

-m

指數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

零點區(qū)間

零點定理

零點個數(shù)

I-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

重點一指數(shù)對數(shù)的運算

【例1】（2022?江蘇）化簡與求值：

（1）（石_1）。+J（3_/r）2+8,

⑵4臉3+log18-1g搭+lg25—1g-In7?.

o16<21

_

+0.002-5-10(>/5-1)-+乃°?

（2）lg25+lg2-lg50+（lg2）2

【答案】⑴兀；（2）?.（3）身叵一旦；（4）2

2218

【解析】（1）原式=1+兀-3+（2）=兀.

V—1zT1Qq11

=221O823-log,8-lg—+Ig25-lg8-lne^=9-3+lg(25x—x-)__=6+lgl0—=—

(2)原式1658222

_2

f-—3+0,002^-10(75-If1+^-°=J']+(500')2-10x^P+1

⑶I8JL''」

=，班-乎-5,15619

2218

22

(4)lg25+lg2-lg50+(lg2)=21g5+lg2(l+lg5)+(lg2)=21g5+lg2+lg2(lg2+lg5)=2(lg2+lg5)=2

【一隅三反】

1.（2022?全國?高一課時練習）計算:

7

(I)lgl4-21g-+lg7-lgl8；

⑵(lg5y+31g2+21g5+lg2xlg5；

*22

(3)(log62)+(log63)+31og62x^log6W-|log62

(4)log327+1g25+1g4+7啕2+log］1；

Ig8+lgl25-Ig2-lg5

()1gV10xlg0.1

【答案】(1)0(2)3(3)1(4)7(5)Y

［解析］(1)方法一：(直接運算)原式=lgWTg<|7jJV+Ig7-lgl8=lg—14x—7=lgl=0

方法二：(拆項后運算)M^=lg(2x7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32x2)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0.

(2)M^=lg5x(lg5+lg2)+2(lg2+lg5)+lg2=lg5xlgl0+21gl0+lg2=2+(lg5+lg2)=3.

22

(3)原式=(log62)+(log63)2+3log62xlog6需=(log62)+(log63)?+3log62xlog6衿

222

=(log62)+(log63)+21og62xlog63=(log62+log63)=1.

(4)原式=3+lg(25x4)+2=5+2=7；

?8x125

lg

=^rlgio

（5）原式===4

Igio2xlgio-1-x(-l)

2.（2022?湖北）計算下列各式的值:

x2+x~2

(1)已矢口%+%T=3,求：IT?

一—”

⑵1.5一3x('+80-251O875

+lg25+lg4+(1)+log75^?9

【答案】(1)17(2)115

【解析】（1）因為丁+二=（尤+一）一一2=9-2=7,而x2-%2=x-2+x-1=1,所以，_丁《=±1，所

7

X2+元一之

以U=±7

戶一戶

【答案】V2-21

a

4

_224_______「3l2「’1、2工下

[解析]⑴(-0,12)°+^x(3|j_(向+=1+fx[I)3_j"3x32+0_]

=l+-x--3+^-l=V2-2.

94

_1J__j_￡

〃1.A2.〃-5.K3-1-1_11+1_51L

(2)原式—],=a3262236=〃-1.不=_1.故答案為:血—2,

a

?ma

重點二指數(shù)函數(shù)

D"K_A.n

【例2】（2022?廣東?深圳市）已知函數(shù)八力=——----（”>0,。片1）是定義在R上的奇函數(shù).

2。~1~a

（1）求。的值；

⑵求函數(shù)“X）的值域;

⑶當x?l,2)時，2+〃獷(力―2工>0恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)。=2(2)(-1』)(3)y,+^

【解析】(1)因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=型】*=空2=0,解得”2,

2〃+QQ+2

7X_1r)~x_i1_r)x_i

當a=2時，f(x)=-—此時〃—x)=^—-==所以〃=2時，f(x)=-—^是奇函數(shù).

7x

v72X+1'2-+l1+2*v7v72X+1

所以〃=2；

(2)由(1)可得;-]一J

V72X+12X+12X+1

197

因為2*>0,可得2工+1>1，所以0<h~^<l,所以-2<-,所以-1<1-不「<1,

2+12+12+1

所以函數(shù)“X）的值域為（-1,1）;

（3）由2+時（力一2工＞0可得時（x）＞2，-2,

即m-二=1＞2,-2,可得〃?＞（2'-2乂2'+1）對于了?0,2）恒成立，

2'+12X-1

令2:1=”（1,3）,則心（1）”+2）=/二十],

tt

o7?1010

函數(shù)）=-7+1在區(qū)間。,3）單調(diào)遞增，所以-：+1＜3-§+1=7,所以m2不，

所以實數(shù)小的取值范圍為

【一隅三反】

4

1.（2022?貴州?黔西南州金成實驗學校高一期末）已知函數(shù)/（幻=1-力一（。＞0且"1）為定義在R上

的奇函數(shù).

（1）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增；

（2）求不等式/（爐+2x）+“X-4）＞0的解集.

⑶若函數(shù)g（x）=4fU）-1有零點，求實數(shù)上的取值范圍.

【答案】⑴證明過程見解析；⑵（F,T）U（l,y）（3）左?Yo,-l）U（l，y）

447

【解析】⑴由題意得＜（0）=1一五二0,解得："2,小）=＞行1=＞的'

任取且為＜馬，則

7?922X1+1+2-2X2+1-22西+i_2^2+i

/（不）_〃々）=1------------1+--------=---------

1'2）2畫+12巧+12*2+12再+1（2巧+1乂2再+1）（2芍+1）（2演+1）因為占工€土且

%1<x2,所以2為包一2爸包<0,2*+1>0,2'2+1>0,

2為+12"2+i

所以、）一（%）=產(chǎn)而旬＜°故/（為）＜/伍）所以函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增;

（2）/（尤2+2%）+/（尤-4）＞0,gp/（x2+2x）＞-/（x-4）,

因為/（x）=l-右為定義在R上的奇函數(shù)，所以/（x2+2x）＞-y（x-4）=/（4-x）,

2

因為/（%）=1-為定義在R上單調(diào)遞增，所以爐+2%〉4-%,解得：或x＜Y,

2X+1

所以解集為：(f,T)U(l,+w)；

(3)==-1有零點，

當上=0時，g(x)=kf(x)-l=-l,沒有零點，不合題意，舍去；

21

當上W0時，即1—不「=：有根，

乙IXK

2

其中當%>0時，2、>1，2、+1>2，0<——<1,

2+1

2

故/(%)=1-十：￡(0,1),

2X+1v7

2

又因為/(x)=l-k二在R上為奇函數(shù)，

2+1

2

所以當x<0時，/W=l--e(-l,0),且"0)=0,

71

所以/(x)=1---在R上的值域為(-111),故7€(-1,0)”0,1),

AI1K

解得：左e(-o),-l)U(l,y),

所以實數(shù)上的取值范圍為讓(F,-l)U(l,y).

2.(2022.全國?高一課時練習)已知函數(shù)/(x)=b?優(yōu)(。,匕為常數(shù)，a>0,且。*1)的圖象經(jīng)過點A(l,6),

5(3,24).

⑴試確定函數(shù)的解析式;

⑵若關(guān)于尤的不等式-加20在區(qū)間(3』上恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)/(力=3乂2〃2)18,：

【解析】(1)因為函數(shù)/(x)=。?"的圖象經(jīng)過點4(1,6)和3(3,24),

\ab=6,A,,

可得.3c—結(jié)合。>0,且解得a=2,6=3，

[6?謬=24

所以函數(shù)〃x)的解析式為〃x)=3x21

⑵要使舞+B?機在區(qū)間(-8,1]上恒成立，

只需保證函數(shù)y=在區(qū)間（-8』上的最小值不小于加即可,

在區(qū)間（-85上單調(diào)遞減,

所以當x=l時，[取得最小值，最小值為|,

所以只需加￡2即可，即實數(shù)"2的取值范圍為Js].

616」

3.（2020?廣西?興安縣第二中學高一期中）己知定義域為R的函數(shù)/。）="二是奇函數(shù).

2+4

⑴求4、6的值;

（2）證明五功在（-8,+8）上為減函數(shù)；

⑶若對于任意“R,不等式/（--2/）+/（2/-Q<0恒成立，求發(fā)的范圍

【答案】（1）。=1,6=1；（2）證明見解析；（3）%<-；

A-11-2"

/（0）=--=0/（%）=-------

【解析】（1）由已知1+。，6=1,2、+1,

=此時/（%）定義域是R,/（-%）=±22=2二=-/（工），八九）為奇函數(shù).

2X+12111+2X

所以Q=1,b=l；

，/、1—2"2

f（X）———I1H---------

（2）由（I）2"+l2"+l,

設(shè)任意兩個實數(shù)4%2，玉<%2，則0<2國+1<2"2+1,

22所以—1+;^2>-1+小2；，即/&）>/區(qū)），所以/⑺是減函數(shù);

2*+i2^+12X1+12X2+1

（3）不等式f（/-2f）+/（2/一行<°化為/（?-2t）<-/（2r2-k）,

F（x）是奇函數(shù)，則有/a2-20</（-2產(chǎn)+左），

/（無）是減函數(shù)，所以產(chǎn)-2t>—+T,

所以左<3r-2/=3（f-；）2-g恒成立，易知3?-§）2的最小值是,所以上<-“

重點三對數(shù)函數(shù)

2—Z7Y

【例3】(2022?甘肅定西?高一階段練習)已知函數(shù)〃尤)=log3—T(aeR)的圖象關(guān)于原點對稱.

(1)求。的值；

⑵當xe[3,5]時，〃x)<log3(x+2外恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)4=一1(2)。,+8)

2

/(x)=log3

【解析】(1)函數(shù)無-2的圖象關(guān)于原點對稱，

則函數(shù)〃尤)=log3上日為奇函數(shù)，有x)=—〃x),

即logs生2=-1。樂”彳，即1強31?^."?]=0,即4-=1解得。=±1,當。=1時，不滿足題

-x-2x-2y-x-2x-2)4-x

忌、,??ci——1.

2+%%+2

⑵由小)<1唱。2機得喝二^.口+2%),口產(chǎn)>三-:

Y-I-D4

令g(無)~--^=1+—-無，易知g(無)在尤目3,5]上單調(diào)遞減，

則g(x)的最大值為g⑶=2.又?.?當xe[3,5]時,〃x)<log3(x+2外恒成立,

BP2k>-----%在XE[3,5卜恒成立，且冗+2上>0,/.2k>2,k>l,

x-2

即實數(shù)左的取值范圍為(L+8).

【一隅三反】

1.(2022?全國?高一課時練習)已知函數(shù)〃x)=log/x2-2ox+3).

2

⑴若函數(shù)“X)的定義域為(F,1)53,Y),求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)/(x)的定義域為R,值域為(-8,T],求實數(shù)〃的值；

(3)若函數(shù)/(X)在(-叫1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)a=2(2)實數(shù)。的值為1或一1(3)[1,2)

【解析】(1)令"(力=/-2依+3,則由題意可知],3為方程Y-2"+3=0的兩個根，

所以函數(shù)“X)的圖像的對稱軸方程為x=W=粵=2,即a=2.

-22

(2)由題意，對于方程尤2—2辦+3=0,△=(-2a)2_4xlx3<0,即一代'<“<白,

2

由函數(shù)〃尤)的值域為(-8,-1],可得當x="時，/(?)=logi(a-2axa+3)=-l；解得。句或乩

2

故實數(shù)。的值為1或-1.

(3)函數(shù)在(一8可上單調(diào)遞增，則“(力=/一2依+3在上單調(diào)遞減.

易知函數(shù)"(X)的圖像的對稱軸為直線x=a,所以“21.

易知"(x)在x=l時取得最小值，

當x=1時，有〃(1)=1-2a+3>0,得a<2,

所以實數(shù)。的取值范圍是[1,2).

2.(2022?全國?高一單元測試)已知函數(shù)〃x)=log“(l+6x)(。>0且"1),/(1)=1,“3)=2.

⑴求函數(shù)〃尤)的解析式；

⑵請從①尸)⑺-八-)②W外-9-八江③丁=/⑴+”-耳這三個條件中選擇一個作為函數(shù)8⑺

的解析式，指出函數(shù)g(x)的奇偶性，并證明.

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴/(x)=log2(l+x)；(2)答案見解析.

Joga(l+6)=1[a=l+bfa=2

【解析】⑴依題意，h°g/l+")=2,1/=1+36,而。>。且awl,解得標=1,

所以函數(shù)f(X)=log2(l+X).

Jl+x>0

(2)選擇①，g(x)=log2(l+x)-log2(l-X),貝！]有解得T<X<1,即g(x)的定義域為(T，l),

又g(-X)=log2(1-x)-log2(1+X)=-[log2(1+x)-log2(1-%)]=-g(x),

所以函數(shù)g(x)是定義在(T，l)上的奇函數(shù).

選擇②，

+x〉0

g^)=log2(l-^)-log2(l+x),則有1>0,解得T<X<1，即g(x)的定義域為(-L1)，

又g(-X)=logo(l+x)-log2(1—X)=-[log,(1—x)—log2(1+x)]=—g(x),

所以函數(shù)g(x)是定義在(T，l)上的奇函數(shù).

選擇③,

11+%>0

g(x)=log2(l+x)+log2(l-x),則有17>0，解得T<X<1，即g(x)的定義域為(T，l),

又g(一尤)=log,(1—尤)+log2(l+x)=g(x),

所以函數(shù)g（x）是定義在（T，l）上的偶函數(shù).

3.（2022?全國?高一課時練習）已知函數(shù)〃尤）=bgiF"的圖象關(guān)于原點對稱，其中。為常數(shù).

4X-1

⑴求。的值；

⑵當xe（l,+w）時，〃尤）+1。8工（彳-1）＜利恒成立，求實數(shù)〃，的取值范圍；

4

⑶若關(guān)于X的方程/⑺=l°g工（尤+左）在［2,3］上有解，求實數(shù)k的取值范圍.

4

【答案】（1）。=一1（2）［-1,心）（3）［-1,1］

【解析】（1）因為函數(shù)〃x）=log|二彳的圖象關(guān)于原點對稱,

4工一］

/、/、,i-ax,1+ax

所以〃尤）+/（r）=0，即1叫一Tf+bgi二7=°，

4X-14—冗-I

~（\-ax1+ax1八，一，、、

所以logi--X----7=。恒成"，

八x-1-x-lj

1-ax1+ajc

所以--------x---------=1恒成立,

x—1—X—1

即1-/*2=1_了2恒成立,

即（/一1卜2=。恒成立，所以合一1=0,解得°=±1,

又a=l時，/（x）=log］一二~無意義,故。=—1.

4%一］

（2）因為xe（l,Ko）時，”x）+l°gi（xT）＜〃z恒成立，所以log』號+1氣工"-1）。〃恒成立,

所以l°g_L（%+1）＜根在％￡（1,+00）上恒成立，

4

因為＞=logjx+l）是減函數(shù)，所以當xe。,y）時，logjx+l）e（-co,-l）,

所以"zN-l,所以實數(shù)機的取值范圍是［-1,口）.

（3）

因為〃町=1＜^二=題/1+二7］在［2,3］上單調(diào)遞增，9（尤）=141（尤+左）在［2,3］上單調(diào)遞減,

7XT7k4

rf（2\<g（2}政5尸一2".丁,，

因為關(guān)于尤的方程汽無）=峭（尤+外在［2,3］上有解，所以乩［二'即

4log,2>logi（3+^）,

、44

解得-14左<1,所以實數(shù)上的取值范圍是［-U］.

重難點四零點定理

【例4-1］（2022?課時練習）函數(shù)）=以2+2奴+3,（〃。0）的一個零點為1,則其另一個零點為.

【答案】-3

【解析】解法一：因為函數(shù)丁=。%2+2〃％+3,（〃工0）的一個零點為1,

將（1,0）代入得a+2a+3=0,解得〃=-1.

所以y=-x2-2x+3.

令—x2—2x+3=0,解得%=1,x?=—3,

所以函數(shù)的另一個零點為-3.

解法二：由函數(shù)y=Qf+2ax+3,（a。0）的一個零點為1,可得方程依2+2〃％+3=0,（〃w0）的一個根為1,根

據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+%=-次=-2,所以另一個根為-3.故函數(shù)的另一個零點為-3.

a

故答案為：-3.

【例4-2］（2022?山東）方程lnx=4—2x的根所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】令/'（x）=lnx+2x-4,顯然/（x）=lnx+2x-4單調(diào)遞增，

又因為〃1）=2-4=-2<0,/（2）=ln2+4-4=ln2>0,

由零點存在性定理可知：〃x）=lnx+2x-4的零點所在區(qū)間為（1,2）,

所以Inx=4-2x的根所在區(qū)間為。，2）.

故選：B

【例4-3】（2022?全國?高一課時練習）函數(shù)/（x）=xsin2G-l在區(qū)間（0,3］上的零點個數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】函數(shù)〃%)=%sin2K-1在(0,3]上零點的個數(shù)即方程％sin2?%-1=0在x?0,3]上解的個數(shù),

方程xsin2;r%-l=0化簡可得sin2%%=—,

所以方程方程xsin2公-1=0的解的個數(shù)為函數(shù)y=sin2%x與函數(shù)y=1的圖象交點的個數(shù)，其中xe(0,3],

X

在同一坐標系中作出函數(shù)>=sin27rx與函數(shù)y的圖象如圖所示，

X

由圖可知在區(qū)間(0,3]上，兩函數(shù)圖象有4個交點，

故函數(shù)/。)=衣皿2g-1在區(qū)間(0,3]上的零點個數(shù)為4,

【例4-4】(2021?全國?高一期末)已知函數(shù)/(元)=｛：一""""(a>0),若函數(shù)g(x)=/(x)-4閃有三個零

15—x,x>

點，則。的取值范圍是()

A.(0,l)U[5,+8)B.(0,|)U[5,+?)C.(1,5]D.(1,5]

【答案】A

【解析】g(x)=/(x)-4忖有三個零點=與y=4|x|的圖象有三個交點.

因為〃〉0,所以當了40時，X2—x=—4x，得x=—3或％=0,

所以y=/(x)與y=4|%l的圖象有兩個交點，則當冗>。時，y=/(x)與y=4|%|的圖象有1個交點.

當x>0時，令4x=5—x,得犬=1,所以O(shè)vavl符合題意；

y

12

11

10

9

8

7

6

5

o

k4

v3/

—I11——I-------1——I1_I---------

-5Y-3-2-l^ri2347

令4X=Y-X,得X=5,所以5符合題意.

V

2A-

1_

0_

9_

8_

7_

6_

5_

4_

綜上，實數(shù)。的取值范圍是（O」）U[5,"）.故選：A.

【一隅三反】

3

1.（2022?浙江?余姚市實驗高中高一開學考試）函數(shù)4x）=lnx——的零點所在的區(qū)間是（）

x

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】B

【解析】因為y=lnx,y=-2為xe（O,y）上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以/（x）=lnx-3為xe（0,y）上的單調(diào)遞

XX

333

增函數(shù)，因為/⑴=lnl-1=一3<0,/(2)=ln2--<0,/(3)=ln3-->0,

由零點存在定理，(2,3)上必有唯一零點.故選：B.

兀

2.(2022?江蘇?金沙中學高一階段練習)函數(shù)〉=5山％-$皿彳+§)-1在區(qū)間(0,2萬)上的零點所在的區(qū)間為()

A.(0,—)B.(―,TF)C.D.(1,2%)

【答案】B

【解析】y=sinx-sin(x+￡)-l,=-sinx--cos^-1,=sin(%-g)-1,