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文檔簡介

專題20等腰三角形與等邊三角形

考點一:三角形的中位線

知識回顧

1.中位線的定義:

三角形任意兩邊中點的連線段叫做這個三角形的中位線。

2.中位線的性質:

三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。

微專題

1.(2022?南充)數學實踐活動中,為了測量校園內被花壇隔開的48兩點的距離,同學們在AB外選擇

一點C,測得AC,8C兩邊中點的距離OE為10根(如圖),則A,B兩點的距離是m.

【分析】利用三角形中位線定理解決問題即可.

【解答】解:CE=EB,

是△ABC的中位線,

:.AB=2DE,

\'DE=10m,

.\AB=20m,

故答案為:20.

2.(2022?福建)如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點.若8c=12,則的長為

【分析】直接利用三角形中位線定理求解.

【解答】解:VD,E分別是42,AC的中點,

.?.OE為△ABC的中位線,

.?.£)E=ABC=—X12=6.

22

故答案為:6.

3.(2022?西藏)如圖,如果要測量池塘兩端A,B的距離,可以在池塘外取一點C,連接AC,BC,點D,

E分別是AC,BC的中點,測得。E的長為25米,則AB的長為米.

【分析】應用三角形的中位線定理,計算得結論.

【解答】解:£分別是AC,BC的中點,

.?.ZJE是△ABC的中位線.

:.AB=2DE=2X25=50(米).

故答案為:50.

4.(2022?麗水)如圖,在△ABC中,D,E,尸分別是8C,AC,AB的中點.若AB=6,BC=8,則四邊形

BOEP的周長是()

【分析】根據三角形中位線定理解答即可.

【解答】解:E,尸分別是BC,AC,48的中點,

:.DE=BF=—AB=3,

2

■:E、尸分別為AC、A3中點,

:.EF=BD=LBC=4,

2

四邊形8。所的周長為:2X(3+4)=14,

故選:B.

5.(2022?眉山)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,點。,E,尸分別為邊AB,AC,8C的中點,則^

DEE的周長為()

A.9B.12C.14D.16

【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半,可得出△ABC的周長=2z\OEP

的周長.

【解答】解:如圖,點Q,E,歹分別為各邊的中點,

:.DE、EF、。廠是△ABC的中位線,

:.DE^—BC=3,EF=—AB^2,DF^—AC=4,

222

A£)EF的周長=3+2+4=9.

故選:A.

6.(2022?廣東)如圖,在△ABC中,BC=4,點。,E分別為A8,AC的中點,則?!?()

11

A.-B.-C.1D.2

42

【分析】由題意可得?!晔恰鰽BC的中位線,再根據三角形中位線的性質即可求出的長度.

【解答】解::點。,E分別為AB,AC的中點,BC=4,

是△ABC的中位線,

:.DE=—BC=-X4=2,

22

故選:D.

7.(2022?沈陽)如圖,在Rt^ABC中,/A=30°,點。、E分別是直角邊AC、8c的中點,連接。E,

則/CEZ)的度數是()

A.70°B.60°C.30°D.20°

【分析】根據直角三角形的性質求出/B,根據三角形中位線定理得到根據平行線的性質解答

即可.

【解答】解:在RtZVIBC中,ZA=30°,

則/8=90°-ZA=60°,

VD,E分別是邊AC、BC的中點,

是△ABC的中位線,

.'.DE//AB,

AZCE£)=ZB=60°,

故選:B.

8.(2022?常州)如圖,在△ABC中,D、E分別是A8、AC的中點.若。E=2,則BC的長是()

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據三角形中位線定理解答即可.

【解答】解::D、E分別是A3、AC的中點,

.?.£)E是△ABC的中位線,

:.BC=2DE,

,:DE=2,

:.BC=4,

故選:B.

考點二:等腰三角形

知識回顧

3.等腰三角形的定義:

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底。兩腰構成的夾

角叫做頂角,腰與底構成的夾角叫做底角。

4,等腰三角形的性質:

①等腰三角形的兩腰相等。

②等腰三角形的兩底角相等。(簡稱“等邊對等角”)

③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合。(簡稱底邊上三線合一)

5.等腰三角形的判定:

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②有兩個底角相等的三角形是等腰三角形。(等角對等邊)

③若一個三角形某一邊上存在“三線合一”,則三角形是等腰三角形。

/--------------------------------------------------------------------------X

微專題

9.(2022?黑龍江)如圖,ZkABC中,AB=AC,平分/BAC與8c相交于點。,點E是AB的中點,點

尸是。C的中點,連接所交于點P.若△ABC的面積是24,尸£>=1.5,則PE的長是()

A.2.5B.2C.3.5D.3

【分析】如圖,過點E作EG_LA。于G,證明得PG=PO=1.5,由三角形中位線定理

可得AD的長,由三角形ABC的面積是24,得3c的長,最后由勾股定理可得結論.

【解答】解:如圖,過點E作EGLAQ于G,

A

,:AB=AC,A。平分/SAC,

J.ADLBC,BD=CD,

:.NPDF=NEGP=9Q°,EG//BC,

;點E是42的中點,

;.G是AD的中點,

:.EG^—BD,

2

???尸是C£)的中點,

:.DF=^CD,

2

:.EG=DF,

':NEPG=NDPF,

:.△EGP^AFDP(AAS),

:.PG=PD=1.5,

:.AD=2DG=6,

「△ABC的面積是24,

,-.A.BC?A£>=24,

2

.,.BC=484-6=8,

:.DF^—BC^2,

4

:.EG=DF=2,

由勾股定理得:PE=422+i.~^2=2.5.

故選:A.

10.(2022?淄博)某城市幾條道路的位置關系如圖所示,道路A2〃CD,道路A3與AE的夾角50°.城

市規劃部門想新修一條道路CE,要求則/E的度數為()

【分析】先根據平行線的性質,由AB〃C£>得到/OFE=NBAE=50°,根據等腰三角形的性質得出/C

=NE,再根據三角形外角性質計算NE的度數.

【解答】解:'JAB//CD,

;.NDFE=NBAE=5Q°,

,:CF=EF,

:.ZC=ZE,

■:NDFE=/C+NE,

:.ZC=—ZZ)FE=AX50°=25°,

22

故選:B.

11.(2022?鞍山)如圖,在△ABC中,AB=AC,NA4c=24°,延長BC到點。,使C£)=AC,連接AD,

則/。的度數為()

A.39°B.40°C.49°D.51°

【分析】利用等邊對等角求得/B=NACB=78°,然后利用三角形外角的性質求得答案即可.

【解答】M:':AB=AC,ZBAC=24a,

.?./B=NACB=78°.

VCD^AC,NACB=78°,NACB=ND+NCAD,

:.ZD=ZCAD=^ZACB^39°.

2

故選:A.

12.(2022?荊州)如圖,直線/i〃/2,AB=AC,ZBAC=40°,則N1+N2的度數是(

B

【分析】過點。作CO〃/1,利用平行線的性質可得N1+N2=NACB再由等腰三角形的性質可得NAC5

=ZABC,從而可求解.

VZ1Z//2,

:.h//l2//CDf

:.Z1=ZBCD,Z2=ZACD,

:.Z1+Z2=ZBCD+ZACD=ZACB,

*:AB=AC,

:.ZACB=ZABC,

VZBAC=40°,

AZACB=A(180°-ZBAC)=70°,

2

???N1+N2=7O°.

故選:B.

13.(2022?臺灣)如圖,△ABC中,。點在AB上,E點在3。上,OE為A3的中垂線.若NB=NC,且

ZEA0900,則根據圖中標示的角,判斷下列敘述何者正確?()

A.N1=N2,Z1<Z3B.N1=N2,Z1>Z3

C.N1WN2,Z1<Z3D.N1WN2,Z1>Z3

【分析】根據線段垂直平分線的性質,等腰三角形的性質解答即可.

【解答】解:???為A3的中垂線,

:.ZBDE=ZADEfBE=AE,

:?/B=/BAE,

AZ1=Z2,

9:ZEAC>90°,

/.Z3+ZC<90°,

VZB+Z1=9O°,/B=/C,

AZ1>Z3,

???N1=N2,Z1>Z3,

故選:B.

14.(2022?宜賓)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,。是5C上的點,。匹〃A3交AC于點E,DF//AC3C

A3于點R那么四邊形尸的周長是()

B.10C.15D.20

【分析】由于OE〃AHDF//AC,則可以推出四邊形AFOE是平行四邊形,然后利用平行四邊形的性質

可以證明團AbOE的周長等于AB+AC.

【解答】解:-DE//AB,DF//AC,

???四邊形AEDE是平行四邊形,ZB=ZEDC,ZFDB=ZC

VAB=AC,

???/B=/C,

:.ZB=ZFDBf/C=/EDC,

:,BF=FD,DE=EC,

:.^\AFDE的周長=A3+AC=5+5=10.

故選:B.

15.(2022?宿遷)若等腰三角形的兩邊長分別是3c機和5c處則這個等腰三角形的周長是()

A.8cmB.13cmC.8cm或130nD.He加或13cm

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3c初和5cm,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進行討

論,還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【解答】解:當3c機是腰長時,3,3,5能組成三角形,

當5cm是腰長時,5,5,3能夠組成三角形.

則三角形的周長為11cm或13cm.故選:D.

16.(2022?天津)如圖,△04B的頂點。(0,0),頂點A,8分別在第一、四象限,且A3,無軸,若

=6,OA=OB=5,則點A的坐標是()

A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)

【分析】根據等腰三角形的性質求出AC,根據勾股定理求出OC,根據坐標與圖形性質寫出點A的坐標.

【解答】解:設與x軸交于點C,

":OA=OB,OCLAB,AB=6,

.*.AC=LB=3,

2

由勾股定理得:OC=寸U/2={52_)2=4,

.?.點A的坐標為(4,3),故選:D.

17.(2022?泰安)如圖,A〃/2,點A在直線人上,點B在直線/2上,AB=BC,NC=25°,/1=60°.則

Z2的度數是()

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】利用等腰三角形的性質得到NC=/BAC=25°,禾理平行線的性質得到乙陽4=95°,再根據

三角形外角的性質即可求解.

【解答】解:如圖,

???AB=3C,ZC=25°,

:.ZC=ZBAC=25°,

???/i〃/2,Nl=60°,

:.ZBEA=180°-60°-25°=95°,

,?NBEA=NC+N2,

???N2=95°-25°=70°.

故選:A.

18.(2022?自貢)等腰三角形頂角度數比一個底角度數的2倍多20°,則這個底角的度數是()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】設底角的度數是式,則頂角的度數為(2/20)°,根據三角形內角和是180°列出方程,解

方程即可得出答案.

【解答】解:設底角的度數是,則頂角的度數為(2%+20)°,

根據題意得:x+x+2x+20=180,

解得:x=40,

故選:B.

19.(2022?廣安)若(。-3)2+4^5=0,則以°、6為邊長的等腰三角形的周長為.

【分析】先求。,b.再求第三邊c即可.

【解答】解::("3)2+匹后=0,(a-3)220,匹石20,

?'?a-3=0,b-5=0,

??a=3,。=5,

設三角形的第三邊為c,

當a=c=3時,三角形的周長=a+A+c=3+5+3=ll,

當。=。=5時,三角形的周長=3+5+5=13,

故答案為:n或13.

20.(2022?岳陽)如圖,在△ABC中,AB=AC,AO_L8C于點。,若BC=6,貝!JCZ)=.

【分析】根據等腰三角形的性質可知。是BC的中點,即可求出CD的長.

【解答】解:':AB=AC,AD±BC,

:.CD=BD,

VBC=6,

:.CD=3,

故答案為:3.

21.(2022?蘇州)定義:一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍,這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等

腰AABC是“倍長三角形",底邊8c的長為3,則腰AB的長為.

【分析】由等腰△ABC是“倍長三角形”,可知AB=2BC或BC=2AB,若4B=2BC=6,可得AB的長

為6;若BC=3=24B,因1.5+1.5=3,故此時不能構成三角形,這種情況不存在;即可得答案.

【解答】解:???等腰AABC是“倍長三角形”,

:.AB^2BC或BC=2AB,

若AB=2BC=6,則△ABC三邊分別是6,6,3,符合題意,

...腰的長為6;

若BC=3=2AB,貝!|AB=L5,△ABC三邊分別是1.5,1.5,3,

V1.5+1.5=3,

...此時不能構成三角形,這種情況不存在;

綜上所述,腰A3的長是6,

故答案為:6.

22.(2022?云南)已知AABC是等腰三角形.若/A=40°,則△ABC的頂角度數是.

【分析】分/A是頂角和底角兩種情況討論,即可解答.

【解答】解:當NA是頂角時,△ABC的頂角度數是40。;

當NA是底角時,則AABC的頂角度數為180°-2X40°=100°;

綜上,ZVIBC的頂角度數是40°或100°.

故答案為:40°或100°.

23.(2022?濱州)如圖,屋頂鋼架外框是等腰三角形,其中A8=AC,立柱且頂角/8AC=120°,

則/C的大小為.

【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和得到N3=/C=30°.

【解答】解:且/BAC=120°,

;./8=NC=1(180°-NBAC)=1X60°=30°.

22

故答案為:30°.

考點三:等邊三角形

知識回顧

1.等邊三角形的概念:

三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

2.等邊三角形的性質:

①等邊三角形的三條邊都相等,三個角也相等,且三個角都等于60°。

②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”

③等腰三角形是一個軸對稱圖形,有三條對稱軸。

④等腰三角形的面積等于3/(。為等腰三角形的邊長)。

4

3.等腰三角形的判定:

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

②三個角都相等(兩個角是60°)的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形。

④有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

微專題

24.(2022?鞍山)如圖,直線等邊三角形ABC的頂點C在直線。上,N2=40°,則N1的度數為

A

A.80°B.70°C.60°D.50°

【分析】先根據等邊三角形的性質得到/A=60°,再根據三角形內角和定理計算出/3=80°,然后根

據平行線的性質得到/I的度數.

【解答】解:???△ABC為等邊三角形,

/.ZA=60°,

VZA+Z3+Z2=180°,

.*.Z3=180°-40°-60°=80°,

':a//b,

.".Zl=Z3=80°.

故選:A.

A

25.(2022?綿陽)下列關于等邊三角形的描述不正確的是()

A.是軸對稱圖形

B.對稱軸的交點是其重心

C.是中心對稱圖形

D.繞重心順時針旋轉120°能與自身重合

【分析】根據等邊三角形的性質,軸對稱圖形的定義,中心對稱圖形的定義進行判斷即可.

【解答】解:等邊三角形是軸對稱圖形,每條邊的高線所在的直線是其對稱軸,

故A選項不符合題意;

三條高線的交點為等邊三角形的重心,

對稱軸的交點是其重心,

故B選項不符合題意;

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