2025北京陳經綸中學高二4月月考

數學

一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）

1.（尤+2）”的展開式共有11項，則”等于（）

A.9B.10C.11D.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用二項式定理的知識即可求解.

【詳解】因為（x+2）"的展開式共有〃+1項，而（x+2）"的展開式共有11項，所以〃=10.

故選:B.

2.某學校安排了4場線上講座，其中講座A只能安排在第一或最后一場，講座8和C必須相鄰，則不同的

安排方法共有（）種

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】

【分析】首先排昆C，共有A；種，視為一個整體與。全排，共有A；種，再排A,共有A；種，即可得

到答案.

【詳解】設四場講座為A,BCD,

首先排共有A；種，視為一個整體與。全排，共有A；種，再排A,共有A；種，

綜上共有A；A；A；=8種.

故選：C

3.在（龍-2）5的展開式中，爐的系數為（）

A.-40B.40C.-80D.80

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意利用二項展開式的通項公式，求得N的系數.

【詳解】在(X-2)5的展開式中，含尤2的項為仁(—2)3.%2=—80尤2,

故■的系數為：-80.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了利用二項式定理求指定項的系數，屬于基礎題.

4.函數/1")="+2-X〈。的零點的個數為()

')[eA-2,x>0

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】分別求出尤<0和x>0時，/(%)的零點個數即可得出答案.

【詳解】當時，令/(x)=d+2x—3=0,

則(x—l)(x+3)=0,解得：x=l(舍去)或x=—3,

當%>0時，令e"—2=0，解得：x=ln2,

所以了(%)的零點個數為2.

故選：C.

5.若直線丁=履為曲線y=lnx的一條切線，則實數上的值是()

,,11

A.eB.e~C.—D.—-

ee

【答案】C

【解析】

【分析】根據導數的幾何意義得出實數％的值.

【詳解】設直線丁=區與曲線y=山工相切于點(%,111%0)，函數y=lnx的導函數為y=!，

k=-/_1

則玉)，解得k=—.

lnx0=fcr0?

故選：C

6.對于函數/(x)=o?+cosx—1,外力在(0,+8)上單調遞增的必要不充分條件是()

B.ae，1

A.ae[0,+co)C.ae—,+ooD.ae(l,+co)

122

【答案】A

【解析】

【分析】對函數〃X)=G：2+COSX—1求導得/'(X)=2G;—sinx,對。進行分類討論可知aWO不符合題

意；a>0時，/,'(x)=2a-cosx,研究了"(x)的符號可得/'(x)=2ar—sinx的單調性及符號，進而可

求得/(%)在(0,+“)上單調遞增的充要條件，即可求解.

【詳解】/(x)=ar2+cos%-l,(x)=2ax-sinx.

當aWO時，若xe(0,兀)，貝！|sinx〉0,此時/'(x)=2at-sinx<0,

???/(x)在(0,兀)上單調遞減，不符合題意；

當a>0時，/f(x)=2a-cosx,

當axg時，/"(%)=2。一85%20在(0,+8)上恒成立，

二./'(%)=2妝一5泣》在(0,+8)上單調遞增，且/(0)=0,

=2cuc一sinx>0在(0,+“)上恒成立,

.,./(x)=ar2+cosx-1在(0,+s)上單調遞增，符合題意.

當0<a<g時，令/"(*)=2。一85%=0的解為5.

當％?0,尤0)時，f(x)=2a-cosx<0,

二./'(%)=20^-5吊刀在(0,尤0)上單調遞減，且/10)=0,

/f(x)=2ax—sinx<0在(0,%)上恒成立，

.?./(%)在(0,%)上單調遞減，不符合題意.

綜上，f(x)在(0,+“)上單調遞增的充要條件為

???/(%)在(0,+“)上單調遞增的一個必要不充分條件是ae[0,+8).

故選：A.

7.某高中舉辦2023年“書香涵泳，潤澤心靈”讀書節活動，設有“優秀征文”、“好書推薦語展示”和“演講”三

個項目.某班級有4名同學報名參加,要求每人限報一項,每個項目至少1人參加,則報名的不同方案有()

A.12種B.36種C.48種D.72種

【答案】B

【解析】

【分析】由題得必有兩人成一組，則總數為CjA：種.

【詳解】由題4名同學分為3組，每組分別有1,1,2人，共有C：=6種，

再排列有CjA：=36種，

故選：B.

,,1

8.己知羽y為正實數，lnx+lny=-—x,貝i]()

y

A.x>yB.C.x+y>lD.x+y<l

【答案】C

【解析】

【分析】利用構造一個函數，結合求導思想分析單調性，從而可得出選項.

,,1,,1,11

[詳解]由lnx+lny=——x得：lnx+x=_Iny+—=此一+一,

y.yyy

構造函數/(x)=lnx+x,則/(同=工+1>0,

X

可知/(%)=111%+%在(0,+00)上遞增，

,,111,

結合lnx+x=ln_+—,得x=—,即刈=]

yyy

由基本不等式可知：x+y>2yjxy=2,

當且僅當x=y=l時等號成立，所以x+y>L

故選：C.

9.如圖，直線，=履+小與曲線y=/(x)相切于兩點，則函數g(x)=/(x)-Ax在(0,+8)上的極大值點

【答案】D

【解析】

【分析】作出與直線y=平行函數/(x)的所有的切線，即可觀察得到了'(X)與左的大小關系的不

同區間，進而得出g'(x)=/'(x)—左的正負區間，得出g(x)的單調性，進而得到g(x)的極值情況，從

而判定各個選項的正確與否.

【詳解】由題,g(x)=/(x)-近，貝=/'(%)-左，

作出與直線y=丘+根平行的函數/(X)的所有切線，如圖，

各切線與函數/(尤)的切點的橫坐標依次為a,b,c,d,e,

則/(x)在a,仇c,d,e,處的導數都等于3

所以在(0,a),0,c),(d,e)上，f'(x)>k,g'(%)>0,g(x)單調遞增，

在-+w)上，f\x)<k,g'(x)<0,g(x)單調遞減,

因此函數g(x)=/(x)-丘有三個極大值點，有兩個極小值點.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：利用每一個的切線斜率作為該點的導數值，利用圖形中任意點的切線斜率與左比較,

就能結合圖象得出g'(X)=/'(￡)-左的正負取值情況，從而可得極值點的情況.

10.“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發起一批又一批數學愛好者的探究欲望.如圖，由“楊

輝三角”，下列敘述正確的是()

楊輝三角

第

0行

1

行

第1

11

行

第2

3121

行

第

41331

行

第514641

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第18285670562881

A砥卜C：+C；++C'=120

B.第2023行中從左往右第1013個數與第1014個數相等

?+!

C.記第〃行的第i個數為%,則Z2'T%=4"

i=\

D.第20行中第8個數與第9個數之比為8:13

【答案】D

【解析】

【分析】根據二項式定理和二項式系數的性質判斷各選項的對錯.

【詳解】由圖知，第〃行的第，個數為生，則q=C/，

對于A,由C；T+C：=C；+1，得c；+c；+c；++C=(c：+c；)+C+c；++c；—I

=?+G)+C；++C：-l=C：o-1=119,故A錯誤；

對于B,第2023行有2024項，從左往右第1013個數與第1014個數分別為C版,《黑，所以

C昵＞C黑,故B錯誤;

尸+1

對于C,第〃行的第，個數為小,則￡214=2%1+2%+22/++2&+1，

?=1

n+1

il1l2

^'ai=C^2°+Cn2+C；2++C：2〃=(1+2)"=3",故C錯誤；

i=l

201201

對于D,第20行中，第8個數與第9個數的比為C：o：C；°=---=8:13,故D正確.

-0207!13!8!12!

故選：D.

二、填空題(共5小題，每小題5分，滿分25分)

11.已知函數/⑺=e*-ln(2x),/'(X)為/(%)的導函數，則/'(1)的值為一.

【答案】e(l+ln2)

【解析】

【分析】直接根據導數的運算法則求解即可.

【詳解】因為/(x)=eFn(2x),

所以/'(x)=e*.ln(2x)+e*'=eXln(2x)+—,

所以/''(l)=e(l+ln2),

故答案為：e(l+ln2).

12.已知(無+2)4=ao+a］X+a2；c2+a3x3+a4x4,則％+出+%+%=.

【答案】65

【解析】

【分析】根據二項展開式，利用賦值法求解.

【詳解】令x=0,貝I有為=24=16,

再令X=l,則有許+。］+。2+。3+。4=3，=81,

所以q+a2+/+%=81-16=65,

故答案為:65.

13.己知函數=$3_^辦2+b,若"％)在區間［0,1］上單增且最大值為0,寫出一組符合要求a,b,

a=,b=.

【答案】①.0(答案不唯一)②.-g(答案不唯一)

【解析】

【分析】f'(x)^x2-ax,求出當/'(x)=0時，x=0或"，根據題意可知aWO,取a=0,而/(1)=0,

即可求出方值.

詳解】f'(x)=x2-ax,令/'(x)=0,解得尤=0或a,

若/(x)在區間［0』上單調遞增，則aWO,最大值為/(l)=g—ga+)=O,

則。='a-工，不妨取〃=0,則人=一,，

233

故答案為：0；-1.(答案不唯一)

14.根據“援疆支教”工作的要求，某學校決定派出五位骨干教師對新疆三個地區進行教學指導，每個地區

至少派遣一位骨干教師，其中甲、乙兩位教師需要派遣至同一地區，則不同的派遣方案種數為

(用數字作答).

【答案】36

【解析】

【分析】先分類：三個地區派遣的人數可以為2,2,1或3,1,1兩類，再逐一討論兩類情況的派遣方案的種數,

相加即可.

【詳解】第一類：派遣到三個地區的人數分別為2,2,1,因為甲、乙兩位教師需要派遣至同一地區，所以從

其余3位老師中選2位，有C；種選法，這樣就把5名教師分成了3組，再派遣到3個不同地區有A；種方

法.所以派遣人數為2,2,1的方案有C；?A；=3x6=18種；

第二類：派遣到三個地區的人數分別為3,1,1,因為甲、乙兩位教師需要派遣至同一地區，所以從其余3位

老師中選1位，與甲、乙一組，有C；種選法，這樣就把5名教師分成了3組，再派遣到3個不同地區有

A；種方法.所以派遣人數為3,1,1的方案有A；=3x6=18種.

所以滿足條件的派遣方案種數為：18+18=36種.

故答案為：36

15.若存在實數k和機使得函數/(x)和g(x)對其公共定義域上的任意實數x都滿足：

恒成立，則稱此直線、=履+加為和g(x)的“分離直線”.當和

8(%)=。111丫之間存在唯一的“分離直線”>=2，嬴一6時,。=；若/(九)=*2和8(%)=:(%<0)之

間存在“分離直線”，切的最小值為.

【答案】①.2e②.-4

【解析】

【分析】由函數〃x)=%2和g(x)=2elnx圖象在》=血處有公共點，設“分離直線”的方程為

y-e=k(x-4)，根據題意，轉化為X?-日+左加'-e20,x〉0恒成立，利用二次函數的性質，分

左<0次=0和左>0,三種情況分類討論，求得直線為丁=2五%—e；再由g(x)<2血無一e,令

G(%)=2^x-e-2eln%,%>0,求得G(x)二生業二品，利用導數求得函數的單調性與極小值，

X

得到G(x)2G(C)=0,證得g(x)<2品—e,得到a=2e；設函數“x”一和g(x)=J(x<0)之

、.X1-kx+m>Q

間存在“分禺直線”為>=丘+機，轉化為〈?對任意％<0恒成立，結合二次函數的性質，即

kx+mx-l<0

可求解.

【詳解】解：因為函數/(%)=爐和g(x)=2elnx的圖象在彳=五處有公共點，

若在〃龍)和g(%)的“分離直線”，則該直線過公共點(點e),

設“分離直線''的方程為y-e=k(x一&')，即丁=依一kyfe,+e，

由—女走+。%>0恒成立，即一.+左血—e20,x〉0恒成立，

(1)當上=0時，則％2-e>0在％>0上不恒成立，不符合題意;

i-k

(2)當左<0時，令〃(x)=%2一日+左Je—e,x>0,對稱軸為元=5<0,

所以“(X)在(0,加)上單調遞增，且"(粕)=0,故不符合題意；

.—k

(3)當左>0時，令〃(%)=%2—丘+左Je—e,x>0,對稱軸為x=］〉0,

則M(X)1mli=M§)=-J+左直-e=-里|應20，

當且僅當上=2正時，符合題意，即直線為y=26x-e；

下面證明：g(x)=2elnx<2Vex-e,

令G(x)=2冊x—e—2eln%,尤>0,可得G'(x)=2m(x—捉),

令G'(x)=0,解得x=人,

當xe(0,五)時，G(x)<0,函數G(x)單調遞減;

當尤e(血,+oo)時，G'(x)>0,函數G(x)單調遞增，

所以當％=正時，函數G(x)取得極小值，也時最小值，可得G(x)NG(五)=0,

即g(x)<2y/ex-e,

所以函數/(%)=f和g(x)=2elnx之間存在唯一的“分離直線"y=2而-e,

止匕時〃=2e.

設函數/(x)=—和g(尤)=((尤<0)之間存在“分離直線”為y^kx+m,

1

x>kx+m2

則|1x-kx+m>Q

對任意x<0恒成立，即《對任意％<0恒成立,

—<kx+mkx2+mx-l<0

J

由kx1+mx—1K0恒成立，可得上工。，

①當上=0時，則根=0,符合題意；

②當上〈0時，則f—丘+加20對任意％<0恒成立,

令/1(工)=%2一次+相,％vo,對稱軸為元="<o,

只需△二左2+4m<0，即左2K—4相，所以加<0,

再令d(x)=小+府一1,%<0,對稱軸為%=----<0,

2k

則需八=m2+4%?0，即〃/<TA;，所以左4K16m2K—64左，解得一4W左<0,

同理可得：m4<\6k1<-64m,解得-4Wm<0,所以加的最小值為T.

故答案為：2e；-4.

三、解答題(共3小題，滿分45分)

ny

16已知函數/(元)==-----1,awO.

e+a

(1)當a=1時，

①求曲線y=/(x)在無=0處的切線方程；

②求證：/(X)在(0,+8)上有唯一極大值點；

(2)若/(%)沒有零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)①y=gx—1；②證明見解析

(2){-l}o(0,e2)

【解析】

【分析】(1)①利用導數求出切線的斜率，直接求出切線方程；

②令g(x)=eA+l-xex,利用導數判斷出gO)在(0,+8)上有唯一零點%,利用列表法證明出f(x)在

(0,+co)上有唯一極大值點；

(2)令/z(x)=e*+a—ac對。分類討論：①a<0,得到當a=—l時，/(%)無零點；@a>0,/(%)

無零點，符合題意.

【小問1詳解】

若a=l,則=—1，尸(x)=e；1,.

C十JLyC?ly

①在x=0處，/'(°)=7^^=4，/(0)=-l.

(1+1)2

所以曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為y=gx—1.

②令g(x)=e，+l—%e"g，(x)=-xe”,

在區間(0,+8)上，g'(x)<o,則g(x)在區間(0,+8)上是減函數.

又g(l)=l>0,g(2)=-e2+l<0,,

所以g(x)在(0,+oo)上有唯一零點后.

列表得：

X

(O,xo)%(%0，+8)

/'(x)+0-

/(%)極大值、

所以/(%)在(0,+8)上有唯一極大值點%0.

【小問2詳解】

ax-e-a

〃x)=

ex+a

令/1(%)=/+a—dx,則=

①若avO,則〃(x)>0,在R上是增函數.

(1^(-)

因為川一二e"—l+a<0/z(l)=e>0,

⑺I)

所以力(%)恰有一個零點%.

令1。+〃=0，得%=ln(一〃).

代入飄入o)=O,得一Q+Q-”ln(-Q)=O,

解得〃=—1.

所以當〃=-1時，丸(％)的唯一零點為0,此時了(%)無零點，符合題意.

②若〃>0,此時/(%)的定義域為R.

當xvlna時，h\x)<0,力(兄)在區間(—8,lna)上是減函數;

當x>lna時，h\x)>0,〃(%)在區間。口氏+⑹上是增函數.

所以打(%)而n=h(lna)=2a-a\na.

又/?(O)=I+Q>O，

由題意，當2a-Qlna>0,即Ovave?時，/(%)無零點，符合題意.

綜上，a的取值范圍是{—l}u(0,e2).

【點睛】導數的應用主要有：

(1)利用導函數幾何意義求切線方程；

(2)利用導數研究原函數的單調性，求極值(最值)；

(3)利用導數求參數的取值范圍.

17.設函數/(x)=alnx+x?-(a+2)x,其中awR.

(1)當a<0時，求函數/(%)的單調區間；

(2)在(1)的條件下，證明曲線/(x)在曲線g(x)=———2x—2的上方；

(3)已知導函數/'(%)在區間(l,e)上存在零點,證明：當xw(l,e)時，/(x)>-e2.

【答案】(1)增區間為(1,+8),減區間為(0,1)

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數的導數，結合條件，利用導數與函數單調性間的關系，即可求解；

(2)根據條件，將問題轉化成求證2*+2>a(x—Inx),構造函數t(x)=x—Inx,利用導數與函數單

調性間的關系，求得x-lnx>0恒成立，結合條件，即可證明結果；

⑶根據導函數在(l,e)上存在零點，則/'(x)=0在(l,e)上有解，則有l<T<e,即2<a<2e,得到

函數了(%)的最小值，構造函數/z(x)=xlnx—\—(l+ln2)x,2<x<2e,利用導數判斷出其單調性，

結合不等式傳遞性可證.

【小問1詳解】

函數/(%)的定義域是(0,+8),r(x)=-+2x-(a+2)=(2x-a)(x-l),

又a<0,則2x—a>0,令/'(x)>0,解得：x>l,令/'(%)<0,解得：0<x<l，

所以/(幻在區間(0,1)上單調遞減，在區間(1,+。)上單調遞增.

【小問2詳解】

因為/(x)-g(x)=ainx+x2-(a+2)x—^-x2—2x—2^=^lnx+2x2-or+2,

要證曲線了(%)在曲線g(%)=一/一2九一2的上方，即證Mnx+2%2—依+2>0恒成立，

1Y-]

即證212+2>a(x-lnx),令(x)=x-lnx,貝1]，(犬)=1——=-----,

JCX

當xe(0,l)時，<0,當xe(l,+oo),?x)>0,

所以=x—InX在區間(0,1)上單調遞減，在區間(1,+。)上單調遞增，

則/(X)型⑴=l—lnl=l>0,所以《x)=x—lnx>0恒成立，又2n+2>0恒成立,a<0,

所以2*+2>a-Inx)恒成立,即曲線/(%)在曲線g(x)=一2x-2的上方.

【小問3詳解】

因為r(X)=烏+2x_(a+2)=(2x—幻。一D,

XX

又因為導函數/'(x)在(l,e)上存在零點，所以尸(x)=o在(l,e)上有解，

則有l<@<e,即2<a<2e,

2

又當時，/'(力<0,則/(%)在區間上單調遞減，

當■|<x<e時，f(x)>0,則/(x)在區間上單調遞增,

所以f(x)>/—=aln—+-———(a+2)=aIn<7--——(1+ln2)a

12)2424,

2

設/z(x)=%ln%———(1+ln2)%,2<x<2e,則//(元)=111%+1—5—(1+1112)=111%—3—1112,

1]]

令m(%)=1口%一5—1112,2Vx<2e,則m'(x)=———<0,

所以〃(力在區間(2,2e)上單調遞減,又“(2)=ln2—1—ln2=—1<0,則"(%)<0在區間(2,2e)恒成

立,

所以/z(x)在區間(2,2e)上單調遞減,

又/z(2e)=2eln2e—c2—2e(l+ln2)=—e2,所以>—e?,

則根據不等式的傳遞性可得，當xe(l,e)時，/(%)>-e2.

18.對于一個遞增正整數數列｛4｝,如果它的奇數項為奇數，偶數項為偶數，則稱它是一個交錯數列.規

定只有一項且是奇數的數列也是一個交錯數列.將每項都取自集合｛1,2,.,八｝的所有交錯數列的個數記為

4-例如，當〃=1時，取自集合｛1｝的交錯數列只有1一種情況，則4=1；當“=2時，取自集合

｛1,2｝的交錯數列有1和1,2兩種情況，則4=2.

（1）求4和人4的值；

⑵證明:取自集合｛12…㈤（〃23）的首項不為1