2024年湖南省中考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）在日常生活中，若收入300元記作+300元，則支出180元應記作（）A．+180元 B．+300元 C．﹣180元 D．﹣480元2．（3分）據《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內有效發明專利量達到401.5萬件，高價值發明專利占比超過四成（）A．0.4015×107 B．4.015×106 C．40.15×105 D．4.015×1073．（3分）如圖，該紙杯的主視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）下列計算正確的是（）A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2?a3＝a6 D．（2a）3＝6a35．（3分）計算×的結果是（）A．2 B．7 C．14 D．6．（3分）下列命題中，正確的是（）A．兩點之間，線段最短 B．菱形的對角線相等 C．正五邊形的外角和為720° D．直角三角形是軸對稱圖形7．（3分）如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，OC，若∠A＝45°（）A．60° B．75° C．90° D．135°8．（3分）某班的5名同學1分鐘跳繩的成績（單位：次）分別為：179，130，158，141．這組數據的中位數是（）A．130 B．158 C．160 D．1929．（3分）如圖，在△ABC中，點D，AC的中點．下列結論中，錯誤的是（）A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC10．（3分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），若x，則稱點P為“整點”，特別地，當（其中xy≠0），稱“整點”P為“超整點”．已知點P（2a﹣4，a+3）在第二象限（）A．a＜﹣3 B．若點P為“整點”，則點P的個數為3個 C．若點P為“超整點”，則點P的個數為1個 D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11．（3分）計算：﹣（﹣2024）＝．12．（3分）有四枚材質、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機翻開一枚”的概率是．13．（3分）分式方程＝1的解為．14．（3分）若等腰三角形的一個底角的度數為40°，則它的頂角的度數為°．15．（3分）若關于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有兩個相等的實數根，則k的值為．16．（3分）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即f＝（k為常數，k≠0），振動頻率f為200赫茲，則k的值為．17．（3分）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，BC上分別截取線段BE，BF；分別以點E，F為圓心EF的長為半徑畫弧，在∠ABC內，作射線BP，交AD于點M，AD＝4MD，則AM＝，18．（3分）如圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì），圖2為其平面示意圖．已知AB⊥CD于點B，AB與水平線l相交于點O，OB＝12分米，∠BOE＝60°分米（結果用含根號的式子表示）．三、解答題：本題共8小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（6分）計算：|﹣3|+（﹣）0+cos60°﹣．20．（6分）先化簡，再求值：?+，其中x＝3．21．（8分）某校為了解學生五月份參與家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生進行調查．家務勞動的項目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學校德育處根據調查結果制作了如下兩幅不完整的統計圖：請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次被抽取的學生人數為人：（2）補全條形統計圖；（3）在扇形統計圖中，“4項及以上”部分所對應扇形的圓心角度數是°；（4）若該校有學生1200人，請估計該校五月份參與家務勞動的項目數量達到3項及以上的學生人數．22．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，．請從“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件（填序號），再解決下列問題：（1）求證：四邊形BCDE為平行四邊形；（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝1023．（9分）某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富．已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？24．（9分）某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形ABCD，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作GH⊥CE，并沿EH方向前進到點F，用皮尺測得EF的長為4米；③在點F處用測角儀測得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用計算器計算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：（1）求線段CE和BC的長度；（2）求底座的底面ABCD的面積．25．（10分）已知二次函數y＝﹣x2+c的圖象經過點A（﹣2，5），點P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函數的圖象上的兩個動點．（1）求此二次函數的表達式；（2）如圖1，此二次函數的圖象與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，交AB于點D，連接AC，PQ．若x2＝x1+3，求證：的值為定值；（3）如圖2，點P在第二象限，x2＝﹣2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標為x1﹣1，過點M作MN⊥x軸于點N，求線段MN長度的最大值．26．（10分）【問題背景】已知點A是半徑為r的⊙O上的定點，連接OA，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉α（0°＜α＜90°），連接AE，過點A作⊙O的切線l，使得∠CAE為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當α＝60°時，∠CAE＝°；【問題探究】（2）以線段AC為對角線作矩形ABCD，使得邊AD過點E，連接CE，BD相交于點F．①如圖2，當AC＝2r時，求證：無論α在給定的范圍內如何變化②如圖3，當AC＝r，＝時，請補全圖形的值．

1．C．2．B．3．A．4．B．5．D．6．A．7．C．8．B．9．D．10．C．11．2024．12．．13．x＝8．14．100．15．2．16．180．17．6．18．．19．解：原式＝3+1+﹣2＝．20．解：原式＝?+＝+＝，當x＝8時，原式＝＝．21．100；（2）（3）36；（4）1200×＝300（人），答：估計該校五月份參與家務勞動的項目數量達到3項及以上的學生人數大約為300人．22．解：（1）選擇①或②，證明如下：選擇①，∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE，∵AB∥CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形；選擇②，∵AE＝BE，∴BE＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形；故答案為：①或②；（2）由（1）可知，四邊形BCDE為平行四邊形，∴DE＝BC＝10，∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，∴AE＝＝＝6，即線段AE的長為7．23．解：（1）設臍橙樹苗的單價為x元，黃金貢柚樹苗的單價為y元，由題意得：，解得：，答：臍橙樹苗的單價為50元，黃金貢柚樹苗的單價為30元；（2）設可以購買臍橙樹苗m棵，則購買黃金貢柚樹苗（1000﹣m）棵，由題意得：50m+30（1000﹣m）≤38000，解得：m≤400，答：最多可以購買臍橙樹苗400棵．24．解：（1）∵GH⊥CE，EF的長為4米，∴，∴CE＝7（米）；∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4米，∴CB＝CE﹣BE＝7（米）；（2）過點A作AM⊥GH于點M，如圖所示：∵∠AFG＝21.8°，∴，∵AM＝BE＝4米，∴MF＝10米，∴AB＝ME＝10﹣6＝6米，∴底座的底面ABCD的面積為：3×3＝18（平方米）．25．（1）解：將點A的坐標代入拋物線表達式得：5＝﹣4+c，則c＝5，即拋物線的表達式為：y＝﹣x2+9；（2）證明：為定值，理由：令y＝﹣x6+9，則x＝±3，3），由點A、B的坐標得，設點P、Q、D的表達式分別為：（x1，﹣+9）2，﹣+9）7，﹣x1+3），則S△PDQ＝PD×（xQ﹣xP）＝（﹣7﹣3）（x2﹣x2）＝（﹣1+2），同理可得：S△ADC＝CD×（xD﹣xA）＝（﹣1+6），則＝7為定值；（3）解：點P、Q的表達式分別為：（x1，﹣+9）1，﹣6+8），由點P、Q的坐標得1（x﹣x1）﹣+9＝xx6﹣2+9，則MN＝yM＝（x1﹣8）x1﹣2+9＝﹣（x5+）3+≤，故MN的最大值為：．26．（1）解：∵α＝60°，OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°，∵AC與圓相切，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE＝30°．故答案為：30．（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AC＝2r，∴OA＝OE＝CF＝DF＝r，∵∠OAC＝∠ADC＝90°，∴∠OAE+∠CAD＝∠ACD+∠CAD，∴∠OAE＝∠ACD，∵OA＝OE，CF＝DF，∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF，在△OAE和△FCD中，，∴△OAE≌△FCD（AAS），∴AE＝CD，∵AD＝AE+ED，∴BC＝CD+ED．即無論α在給定的范圍內如何變化，BC＝CD+ED總成立．（3）解：補全圖形如圖，∵AC是切線，∴∠OAC＝90°，∵AC＝，∴tanα＝．設OA＝4m，則AC＝，OC＝3m，∵＝，OE＝OA＝6m