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文檔簡介
費馬點與施權費馬點評X總年
知識點梳理
【希黑費與點】
【加權費馬點】
普通費馬點最值問題
加權費馬點?單系數型
里三加權費馬點?多系數型
滿分?技巧/
知識點梳理
【雷加費馬點】
【問題提出】如圖AABC所有的內角都小于120度,在△力BC內部有一點P,連接P4PB、PC,
當PA+PB+PC的值最小時,求此時/力PB與/APC的度數.
【問題處理】如圖1,將A4CP繞著點C順時針旋轉60度得到ATTCP,則A4CP絲A4CP',CP=CP,,AP=A,P,,
又;NPCP,=60°,.?.△PCP'是等邊三角形,:.PP'=PC,:.PA+PB+PC^P,A,+PB+PP,,
如圖2,當且僅當點B、P、P\4共線時,P4+PB+PC最小,最小值為力'B,此時/BPC=/4PC=/APB=
【問題歸納】如費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.費馬點結論:
①對于一個各角不超過120。的三角形,費馬點是對各邊的張角都是120。的點,所以三角形的費馬點也叫三
角形的等角中心;
@對于有一個角超過120。的三角形,費馬點就是這個內角的頂點.
【如何作費馬點】如圖3,連接44,,我們發現△4C4為等邊三角形,點P在4B上,同理,我們可以得到等邊
△及1月,點P也在CB,上,因此,我們可以以A4BC三角形任意兩邊為邊向外構造等邊三角形,相應連線的交
點即為費馬點。(最大角小于120°時)
【例1】如圖,在△4BC中,ZACB=9Q°,AB=AC=1,尸是△/3C內一點,求刃+P2+PC的最小值.
【答案】遙+班
2
【分析】如圖,以NC為邊構造等邊△/&),連接8。,8。的長即為以+P3+PC的最小值.至于點P的位
置?這不重要!
如何求BD?考慮到4ABC和4ACD都是特殊的三角形,過點D作DH±BA交BA的延長線于H點,根
據勾股定理,8加=即2+。”2即可得出結果.
【練習1】如圖,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點/為矩形內一點,點E為2c邊上任意一點,則MA+MD+ME
的最小值為.
【分析】依然構造60°旋轉,將三條折線段轉化為一條直線段.
分別以為邊構造等邊△/DF、等邊△4WG,連接尸G,
易證絲△/GF,:.MD=GF
:.ME+MA+MD=ME+EG+GF
過/作FH±BC交BC于H點、,線段的長即為所求的最小值.
【加權費馬點】
如果所求最值中三條線段的系數有不為1的情況,我們把這類問題歸為加權費馬點問題,解決方法類似,也
是通過旋轉進行線段轉化,只不過要根據系數的情況選擇不同的旋轉或放縮方法。
【知一單系期》
當只有一條線段帶有不為1的系數時,相對較為簡單,一般有兩種處理手段,
一種是旋轉特殊角度:、門對應旋轉90°,百對應旋轉120°
另一種是旋轉放縮,對應三角形三邊之比
【例3】在等邊三角形ABC中,邊長為4,P為三角形ABC內部一點,求4P+8尸+J5尸。的最小值
A
BC
原圖
【簡析】本題有2種解題策略,旋轉特殊角和旋轉放縮
【策略一:旋轉特殊角】如圖1,ZV1PC繞點C逆時針旋轉90。,易知PP=&PC,4B即為所求
圖1
方法一:如圖2,B,P,P\4共線時取最小,此時NBPC=N4PC=135°,易知BP=4P'=2右,
PC=CH-PH=273-2,:.PP'=2底-2叵,PB+PP,+A,P,=276+2^
方法二:作力于易知N4cH=30°,:.AH=2,CH==BH=4+2框,由勾股可得力'B=
2A/6+2A/2
【策略二:旋轉放縮】可按如下方法去旋轉放縮(方法不唯一)
如圖4,將三角形BPC繞點B旋轉45°,再擴大為原來的血■倍,得到△BPC'
則AP+BP+拒PC=AP+PP'+P'C>AC'
補充:也可以按圖5方式旋轉
A
【練習2】在Rt^ABC中,AC=3,BC=2#),P為三角形ABC內部一點,求。的最小值
【策略一:旋轉特殊角】如圖1,△力PC繞點C逆時針旋轉120。,則有PP'=GPC,
AP+BP+PC^AP'+BP+PP'WA'B=2幣
圖1
【策略二:旋轉放縮】如圖2,AAPC繞點/逆時針旋轉30。,再擴大為原來的倍,
則AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',計算略
圖2
【知二多不峰】
其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時,都是符合加權費馬點的條件的。
以不同的點為旋轉中心,旋轉不同的三角形得到的系數是不同的,對于給定的系數,我們該如何選取旋轉
中心呢?我們總結了以下方法:
1.#?小系數發■知
2.中國大小的系奧?定Mr比例;
3.最大章卻?定*修中心(例*最大系"PA1T面,就以A為*修中心),於橋系數不為1的■條謂盤南
荏的三雋都.
【例3】如圖,在AABC中,4C5=60。,BC=3,ZC=4,在AABC內部有一點P,連接尸4PB,PC,
則(1)!尸/+@尸8+尸。的最小值為;(2)立尸/+工必+尸。的最小值為
2222
A
【簡答】(1)將最小系數;提到括號外,得到;(R4+GPB+2PC)
A
中間大小系數為百,故放大倍數為百倍,最大系數在PC前面,故以點c為旋轉中心,旋轉APBC.
如圖1,將APBC繞點C逆時針旋轉90°,并放大為石倍,B'P'=y/3BP,PP'=2PC.
;(PA+布PB+2PC)=;(PA+PP'+P'B')N;AB'=^~.
(2)將最小系數;提到括號外,得到;(也24+必+2PC),
圖2
如圖2,將4APB繞點C逆時針旋轉90°,并放大為倍,A'P'=y/3AP,PP'=2PC.
g?PA+PB+2PC)=P」BP+PP'zgA'B=回
【練習3】如圖,在△力BC中,/。5=60°,3。=36,/。=6,在448。內部有一點「,連接尸4PB,PC,
則2PA+PB+亞PC的最小值為.
P'A=2PA,PP'=>/5PC
2PA+PB+也PC=AP+P'P+PB>AB,A'C=2AC=12,N/'C3=90°+60°=150°,
:.AH=-AC=6,CH=—AC=6S/3,BH=9也,由勾股定理可得AB=3A/31,
22
2PA+PB+小PC的最小值為3用.
■,/核心?題型/
普通費馬點最值問題
1.(2021濱州)如圖,在中,/ACB=90。,ZBAC=30°,AB=2,點P是內一點,則
p/+PB+PC的最小值為?
B
CA
【答案】J7
【解析】將4ABP繞點A順時針旋轉60。到△ABP,連接PT,B'C.
則AB,=AB=2,PB=PB,NBAB』60。,PA=P,A,NPAP,=60。,
.?.△PTA是等邊三角形,/.PA=P,P.
??ZBAC=30°,ZB,AC=90°,
VZACB=90°,:.AC=與AB=6
?"-BC=JAC?+BM=S-
:PA+PB+PC=P'P+P'B'+PC》B'C,
APA+PB+PC的最小值為J7.
2.問題背景:如圖1,將△力BC繞點A逆時針旋轉60°得到△力DE,DE與BC交于點P,可推出結論:PA
+PC=PE.
問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,ZM=75°,MG=4JL點。是△MNG內一點,則點。到4
MNG三個頂點的距離和的最小值是
圖2
【解析】過點“作HQJ-NM交NM延長線于Q點,根據NNMG=75。,NGMH=60。,可得NHMQ=45。,
是等腰直角三角形,;.MQ=HQ=4,,麗=行砂=時記=2回
3.如圖,在△力BC中,ZCAB=90°,AB=AC=2,P是△ABC內一點,求必+PB+PC的最小值.
【解析】如圖1,以4D為邊構造等邊△4CD,連接BD,BC的長即為R4+PB+PC的最小值.
考慮到AXBC和A4CD都是特殊的三角形,所以構造特殊直角三角形
如圖2,過點。作交胡的延長線于H點,根據勾股定理,BD2=BH2+DH2=46+y/2
/%
定一二:死D
//
、
圖1圖2
4.已知,在△力BC中,ZACB=30°,AC=4,AB=/j(CB>CA)點P是"BC內一動點,則PA+PB+PC
的最小值為________
///?
//?
//'
/二/i
//\
4//
,/
BZ-------------------------------------------^C4H2昭0
原圖圖1
【解析】如圖1,將△力PC逆時針旋轉30。,得“PC,BC卿以+PB+PC最小值,考慮到Z
BCA=3Q°,;.NBCC'=90。,作力H_LBC,可得8。=36,:.BC=743
5.如圖,已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,點M為矩形內一點,點E為BC邊上任意一點,則M4+MD+
ME的最小值為.
【解析】如圖1,依然構造60。旋轉,將三條折線段轉化為一條直線段.分別以4。、4M為邊構造等邊△ADR
等邊△力MG,連接FG,易證△AMD/ZkAGF,:.MD=GF:.ME+MA+MD=ME+EG+GF
如圖2,過F作FH_LBC交BC于”點,線段FH的長即為所求的最小值.FG=4+優
6.4B、C、。四個城市恰好為一個邊長為2a正方形的四個頂點,要建立一個公路系統使得每兩個城市之
間都有公路相通,并使整個公路系統的總長度CAP+BP+PQ+DQ+CQ)最小,則應當如何修建?最小
長度是多少?
【解析】如圖1,A4BP繞點B逆時針旋轉60。,得到同樣,將AOCQ繞點C順時針旋轉60。,得到
△D'CQ’,連結力2、D'D,貝IAABA、ADCD'均為等邊三角形,連結PP'、QQ,,則ABPP',
△QCQ'均為等邊三角形,AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,
/~~>D'
//
,///
BC
圖1
如圖2,當點4,P,P,Q,Q',£>'共線時,整個公路系統的總長取到最小值,為線段4'。'的長,此時點P,
Q在"'上,最小值為R+2百"
尹--二》。
--
BC
圖2
2023?隨州中考真題
7.1643年,法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題:給定不在同一條直線上的三個點4B,C,求平
面上到這三個點的距離之和最小的點的位置,意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明,
該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”,該問題也被稱為“將軍巡營”問題.
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法,請補充以下推理過程:(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,
②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空,③處填寫角度數,④處填寫該三角
形的某個頂點)
當的三個內角均小于120。時,
如圖1,將△4PC繞,點C順時針旋轉60°得到“'PC,連接PP',
由尸。=尸‘怎"CP'=60°,可知△尸CP為①三角形,板PP'=PC,又P/=PA,故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,
由②可知,當B,P,P',4在同一條直線上時,以+必+尸。取最小值,如圖2,最小值為48,此時
的P點為該三角形的“費馬點”,且有NAPC=NBPC=NAPB=③;
已知當“BC有一個內角大于或等于120。時,“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/A4C2120。,
則該三角形的“費馬點”為④點.
(2)如圖4,在△48c中,三個內角均小于120。,且2。=璜5。=4食44以=30°,已知點P為。8c的“費
馬點”,求尸/+尸3+尸。的值;
(3)如圖5,設村莊4B,C的連線構成一個三角形,且已知4。=41?11食3。=2瓜111食乙4。8=60。.現欲
建一中轉站P沿直線向4B,C三個村莊鋪設電纜,已知由中轉站P到村莊4B,C的鋪設成本分別為a
元/km,a元/km,0a元/km,選取合適的P的位置,可以使總的鋪設成本最低為元.(結果
用含a的式子表示)
【答案】(1)①等邊;②兩點之間線段最短;③120。;④A.
(2)5
(3)2V13a
【解題思路】(1)根據旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論;
(2)根據(1)的方法將△/PC繞,點C順時針旋轉60°得到AZ'P'C,即可得出可知當B,P,P,4在
同一條直線上時,PA+PB+PC取最小值,最小值為A'B,在根據ZACB=30°可證明
ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求即可,
(3)由總的鋪設成本=a(P/+P8+0PC),通過將繞,點C順時針旋轉90。得到AHP'C,得到等
腰直角APPC,得到CPC=PF,即可得出當B,P,P,4在同一條直線上時,尸'/'+尸5+尸尸'取最小值,
即R4+P5+血尸。取最小值為AB,然后根據已知和旋轉性質求出H2即可.
【詳解】(1)解:PC=P'C^ZPCP'=60°,
△尸CP為等邊三角形;
PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,
又尸'4=尸4,^PA+PB+PC=PA'+PB+PP'2A'B,
由兩點之間線段最短可知,當B,P,P',4在同一條直線上時,尸/++取最小值,
最小值為/'2,此時的P點為該三角形的“費馬點”,
ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,
ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,
又:"PC=AA'P'C,
:.ZAPCZAP'C=120°,
:.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,
NAPC=ZBPC=/APB=120°;
NB4czi20°,
:.BC>AC,BC>AB,
:.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,
二三個頂點中,頂點4到另外兩個頂點的距離和最小.
又:已知當^ABC有一個內角大于或等于120。時,“費馬點”為該三角形的某個頂點.
該三角形的“費馬點”為點4,
故答案為:①等邊;②兩點之間線段最短;③120。;④A.
(2)將△4PC繞,點C順時針旋轉60°得至IAA'P'C,連接PP,
由(1)可知當B,P,P',4在同一條直線上時,尸/+尸3+尸。取最小值,最小值為H2,
,/AACP=ZA'CP',
:.ZACP+ZBCP=NA'CP'+NBCP=ZACB=30°,
又:ZPCP'=60°
ZBCA'=ZA'CP'+NBCP+ZPCP'=90°,
由旋轉性質可知:AC=A'C=3,
A'B=^BC2+A'C2=4+32=5,
P/+PB+PC最小值為5,
(3):總的鋪設成本=PA-a+PB-a+PC?五a=a(PA+PB+也PC)
當R4+P8+五尸。最小時,總的鋪設成本最低,
將繞,點C順時針旋轉90。得到A/'PC,連接PP,A'B
由旋轉性質可知:P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,4C=/C=4km,
:?PP=0PC,
PA+PB+42PC=PA+PB+PP',
當B,P,P',力在同一條直線上時,PH+尸8+PP取最小值,即上4+。5+內(取最小值為42,
f
?:ZACB=60°,ZACA=90°f
:.ZACH=30。,
:.A'H^-A'C^2km,
2
?*-HC=ylAC2-AH2=A/42-22=2?km),
?.BH=BC+CH=2y/3+2百=4有(km),
A'B=4AH'+BH2=J(4A/3)2+22=2而(km)
++0PC的最小值為2jilkm
總的鋪設成本=PA-a+PB>a+PC?缶=a{PA+PB+gPC)=2岳a(元)
廣東省江門市一模
8.如圖,在。BC中,ZBAC=90°,AB=5,AC=243>點尸為“8C內部一點,則點尸到。8C三個頂點
之和的最小值是.
[分析】將4ABp繞著點4順時針旋轉60°,得至1^AEH,連接EP,CH,過點C作CN,,交HA的
延長線于N,由旋轉的性質可得484P=Ntt4E,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,易得
△/EP是等邊三角形,可得AE=AP=EP,進而得到/P+3P+PC=EP+E〃+PC,當點、H、E、P、C共
線時,/尸+8尸+尸(?有最小值〃7,再求出CN和HV的長度,由勾股定理可求解.
【詳解】解:將“AP繞著點4順時針旋轉60°,得到△/£〃,連接EPCH,過點C作CN14",交際
的延長線于N,
,NBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,
:.ZHAB=ZEAP=60°,
:.△/£尸是等邊三角形,
AE=AP=EP,
:.AP+BP+PC=EP+EH+PC,
當點H、E、P、C共線時,/P+5P+尸C有最小值〃C.
???ZNAC=1800-ZBAH-ZBAC=180°-60°-90°=30°,AC=243,
:.CN=;AC=C,
:.AN=yjAC2-CN2=_(可=3,
:.HN=AH+AN=5+3=S.
在RtACW中,CH=y]HN2+CN2=^82+(名/
即點P到△48c三個頂點之和的最小值是J而
武漢中考
9.問題背景:如圖1,將△NBC繞點/逆時針旋轉60°得到DE與BC交于點、P,可推出結論:
PA+PC=PE.
問題解決:如圖2,在△〃、心中,MN=6,ZM=75°,MG=4^2,點。是△"△燈內一點,則點。到
三個頂點的距離和的最小值是.
圖2
【答案】2月
【分析】本題的問題背景實際上是提示了解題思路,構造60°的旋轉,當然如果已經了解了費馬點問題,
直接來解決就好了!
如圖,以MG為邊作等邊aMGH,連接NH,則NH的值即為所求的點O到GIVING三個頂點的距離和的最
小值.(此處不再證明)
過點H作HQ_LNM交NM延長線于Q點,
根據NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45°,
Z.AMHQ是等腰直角三角形,
,\MQ=HQ=4,
NH=^NQ2+HQ2=V100+16=2A/29.
2023?四川宜賓?中考真題
10.如圖,拋物線y=a?+bx+c經過點/(-3,0),頂點為刊(-1,加),且拋物線與丁軸的交點B在(0,-2)和
(0,-3)之間(不含端點),則下列結論:
II/
1/
/
f(
1/
'6;
?l
①當一3?尤41時,y<0;
②當的面積為)叵時,a=也;
22
③當為直角三角形時,在“。8內存在唯一點P,使得尸2+尸。+尸8的值最小,最小值的平方為
18+93
其中正確的結論是.(填寫所有正確結論的序號)
【答案】①②
【解題思路】根據條件可求拋物線與X軸的另一交點坐標,結合圖象即可判斷①;設拋物線為
y=a(%-l)(x+3),即可求出點M的坐標,根據割補法求面積,判斷②;分三種情況討論,然后以點。為
旋轉中心,將“08順時針旋轉60°至^AOA,連接AA,PP,AB,得到PA+PO+PB=PA+PP+PB>AB,
判斷③.
【詳解】解::拋物線y=o%2+6x+c經過點/(-3,0),頂點為/(-1,根),
:.對稱軸x=-l,
?,?拋物線與x軸的另一交點坐標為(1,0),
由圖象可得:當—時,y<0;
???①正確,符合題意;
,?,拋物線與x軸的另一交點坐標為(1,0),
.二設拋物線為歹=〃(%—1)(%+3),
當%=-1時,y=-4a,當x=0時,y=-3a,
??."(—1,-4Q),B(0,-34/),
如圖所示,過點M作平行于y軸的直線/,過點力作ZE1/,過點、B作BNJJ,
設直線45的解析式為y=k'x+b,
/\/\1―3左'+//=01左'=―〃
把30,-3〃,/一3,0代入得:,解得:
[b=-3a[匕=-3a
J直線Z5的解析式為y=-QX-3Q,
當x=T是,y=~2a,
?(T—2〃),
MF=2a,
.」233=也
22
解得:a=—,故②正確;
2
點B是拋物線與y軸的交點,
???當x=0時,y=~3af
8(0,-3a),
,?4ABM為直角三角形,
當N/Affi=90°時,
AM2+BM2=AB2^
,?*AM=,J(-2)2+(-4a)2="+16/,BM=,J(-1)2+(-a)2=J1+/,AB=J(-3,+(-3甫=,9+9八,
;?4+16/+1+/=9+9/,整理得:8a2=4,
解得:a=—^~—(舍)
22
.?.jo,-等],
I27
當ZABM=90°^,
AB2+BM2=AM2,
A4+16a2=9+9a2+l+a2,整理得:6o2=6
解得:。=1或-1(舍)
.*.5(0-3),
當/跖13=90。時,
**-AB2+AM-=BM\
;?4+16/+1+/=9+9/,無解;
以點。為旋轉中心,將“。8順時針旋轉60°至A/O/',連接44',pp,/B,如圖所示,
:.OP=PP',AP=AP',
:.PA+PO+PB^P'A'+PP'+PB>A'B,
/為等邊三角形,/(TO)
x.-,y,=—xtan60°=,
/2乙22
“I"
當30,--時,
、2>
549&
---+------
42
當5(0,—3)時,
2
“郎=|+爵+3、18+95此時不符合題意故③錯誤;
故答案為:①②.
一題四問,從特殊到一般
11.背景資料:在已知“BC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是
法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的,所求的點被人們稱為“費馬點如圖
1,當“3C三個內角均小于120。時,費馬點尸在418c內部,當//尸3=/4?。=/。%=120。時,則
尸/+尸3+尸C取得最小值.
(1)如圖2,等邊03C內有一點尸,若點尸到頂點/、B、C的距離分別為3,4,5,求必的度數,為
了解決本題,我們可以將A/BP繞頂點/旋轉到處,此時A/CP'WA/3?這樣就可以利用旋轉變換,
將三條線段尸/、PB、PC轉化到一個三角形中,從而求出;
知識生成:怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢?為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三
角形并連接等邊三角形的頂點與“8C的另一頂點,則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下問
題.
⑵如圖3,A48c三個內角均小于120。,在A48c外側作等邊三角形連接CB',求證:C8'過A48c
的費馬點.
(3)如圖4,在中,ZC=90°,AC=l,ZABC=30°,點P為“8C的費馬點,連接/尸、BP、CP,
求尸/+P3+PC的值.
(4)如圖5,在正方形4BCD中,點E為內部任意一點,連接NE、BE、CE,且邊長N8=2;^AE+BE+CE
的最小值.
【答案】(1)150。;(2)見詳解;(3)療;(4)76+5/2.
【分析】(1)根據旋轉性質得出四△/CP,得出NBAP=NCAP\ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,
根據及48。為等邊三角形,得出N3/C=60。,可證A/PP為等邊三角形,PP'=AP=3,ZAP'P=60°,根據勾股
定理逆定理尸P?+PC2=32+42=25=2。2,得出APPC是直角三角形,NPP,C=90。,可求乙4PC=NNPP+
ZPPC=60°+90°=l50°即可;
(2)將A/PB逆時針旋轉60°,得到A48P,連結尸P,根據AAPB/AAB'P',AP=AP',PB=PB',AB=AB',
根據NR4P'=NBAB'=60°,A/PP和及423'均為等邊三角形,得出PP'=AP,根據PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,
根據兩點之間線段最短得出點C,點尸,點P,點皮四點共線時,PA+PB+PCt,.=CB',點尸在C8'上即
可;
(3)將AAPB逆時針旋轉60°,得到△NP8',連結BB',PP',得出A4PBq△APB,,可證和A/BB'均
為等邊三角形,得出PP'=4P,BB'=AB,ZABB'=60°,<<PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得點C,點尸,
點尸',點夕四點共線時,PA+PB+PCt,.=CB',利用30。直角三角形性質得出48=2/C=2,根據勾股定理
BC=-JAB2-AC2=A/22-12=V3,可求BBIB=2,根據NC8B'=N/3C+NABB'=300+60°=90°,在R3C25'
中,皮c73c2+叱=J陰Q22=a即可;
(4)將ABCE逆時針旋轉60。得到ACEB,,連結EE\BB,,過點皮作2戶J_4B,交延長線于尸,得出4臺方
支CEB,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證AECE'與△3C3'均為等邊三角形,得出EE=EC,BB'=BC,Z
B'BC=60°,AE+BE+CE^AE+EE'+E'B',得出點C,點、E,點E',點2'四點共線時,
AE+BE+CE^AE+EE'+E'B't,.=AB根據四邊形/BCD為正方形,得出/B=2C=2,ZABC=9Q°,可求
NF8夕=180。-/48c-NCB夕=180。-90。-60。=30。,根據30。直角三角形性質得出BF=-BB'^-x2=l,勾股定
22
理BF=4BB,2-B'F2=A/22-12=V3,可求AF=AB+BF=2+石,再根據勾股定理AB'=
y/AF2+B'F2=?2+⑷+B="+及即可.
【詳解】(1)解:連結PP',
,:AABPg△NCP,
:.NBAP=NCAP',N4PB=NAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,
△/8C為等邊三角形,
ZBAC=60°
:.NR4P'=NR4C+NCAP'=NR4C+NBAP=6Q°,
:.為等邊三角形,
,:.PP'=AP=3,NAP'P=60°,
在APPC中,PC=5,
PP'-+P'C2=32+42=25=PC2,
:.APP'C是直角三角形,NPP'C=9Q°,
ZAP'C=NAPP+ZPPC=60°+90o=150°,
ZAPB=ZAP'C=150°,
故答案為150。;
(2)證明:將A/PB逆時針旋轉60。,得到△48P,連結PP,
':AAPB^^AB'P',
:.AP=AP',PB=PB',AB=AB',
,:ZR4P'=ZBAB'=6Q0,
:./XAPP'^"BB,均為等邊三角形,
:.PP'=AP,
,:PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,
.?.點C,點P,點P,點皮四點共線時,PA+PB+PCtll.=CB',
.,.點P在C9上,
CB'過"BC的費馬點、.
(3)解:將及4依逆時針旋轉60。,得到及4P夕,連結BB,,PP',
:.AAPBmAAPB,
:.AP'=AP,AB'=AB,
,:ZR4P'=ZBAB'=60°,
/.ZUPP和A4B9均為等邊三角形,
:.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,
,/PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC
.,.點C,點P,點尸',點2'四點共線時,PA+PB+PC^,.=CB',
?:ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,
22
:.AB=2AC=2,根據勾股定理BC=y/AB-AC=五=6
:.BB'=AB=2,
?.,NCWN/BC+NABB,=30o+60o=90。,
在RtzxCBB'中,B'C=ylBC2+BB'2=不⑹+2?=不
:.PA+PB+PC最4、=CB'=ypj;
(4)解:將A8CE逆時針旋轉60。得到△CEB,,連結EE。BB',過點皮作8尸_L/8,交延長線于產,
/.△BCEmACEE,
:.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',
,:ZECE'=ZBCB'=60°,
:./XECE'^j4BCB'均為等邊三角形,
:.EE'=EC,BB'=BC,N83c=60。,
:AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',
.,.點C,點、E,點點8'四點共線時,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB
?.?四邊形/BCD為正方形,
:.AB=BC=2,ZABC=9Q°,
/.NFBB'=18Q°-NABC-Z。3夕=180。-90。-60。=30。,
':B'FA.AF,
?*-BF=;89=]x2=1,BF=^BB^-B'F2=《2?-I2=73,
:.AF=AB+BF=2+^3,
/.AB'=ylAF2+B'F2=J(2+可+F=a+也,
AE+BE+CEt,.j.=AB'=a+0.
B'
加權費馬點?單系數型
2023?武漢?慧泉中學校月考
3
12.如圖,RtZi/BC中,/CAB=30。,BC=~,點尸為內一點,連接PA,PB,PC,則尸。+尸8+有川
【答案】-V13
2
【分析】作輔助線如詳解圖,根據等腰三角形的性質和勾股定理可求得。尸=內/尸,于是所求
PC+PB+上PA的最小值轉化為求。E+尸。+尸3的最小值,根據兩點之間線段最短可得DE+PD+PB的最
小值即為線段匹的長,然后求出防的長即可解決問題.
【詳解】解:將△ZC尸繞點/逆時針旋轉120。,得到連摟DP,EB,過點E作E尸_L8/交A4的延
長線于點尸,過點/作尸于點Af,如圖,
則AD=AP,DE=CP/DAP=120°,ZEAC=120°,
??AMVDP,
:.DM=PM,ZADM=NAPM=30°,
AM=-AP,
2
:.PM=y]AP2-AM2=—AP,
2
/.DP=2PM=&P,
PC+PB+y/3PA=DE+PD+PB>EB,即PC+P3+的最小值為樂的長(當點E、D、P、2四點
共線時取最小值),
3
,「RtZkZBC中,ZG4S=30°,BC=~,
2
?JZ7-A^-3石
??A.E=AC----f
2
?:ZCAS=30°,ZEAC=120°,
???/EAF=30。,
則在直角三角形4E1尸中,EF=LAE=^,AF=6EF=2,
244
921i--------------------------
???斯=3+7下:.BE7BF、EF2=」而
2
西安市鐵一中二模
13.已知,如圖在A/BC中,44c8=30。,BC=5,AC=6,在內部有一點。,連接D/、Z)B、Z)C.則
DA+DB+-J1DC的最小值是
【分析】把ACD8順時針旋轉90。到△(??夕,過夕作夕E_L/C,交/C延長于E,則CD=C。,BD=B'D',Z
CDD'=ZCD'D=45°,可求。。=亞CD,在R於CEB,中,可求CE=g,AE=y,BE=乎,當點/、D、
D'、9四點在一直線時,/夕最短,可求AB'=BD+&CD+/Z)=JM.
【詳解】解:把ACDB順時針旋轉90。到ACD皮,過夕作夕E_L/C,交4c延長于E,
則CD=CD',BD=B'D',NCDD=NCD'D=45。,
:.DD'=CD^cos45°=直CD,
NACB=30°,ZB'CB=90°,
/.ZB'CE=180°-ZACB-NBC8'=180°-30°-90°=60°,
在RMCEB,中,
:.CE=B'Ccos600=5x-=-,
22
517
AE=AC+CE=6+,
22
BE=B'Csm600=5xB=短,
22
當點/、D、D\3,四點在一直線時,最短,
:.AB'^=yjAE2+B'E2==回,
AB^B'D'+D'D+AD=BD+6CD+AD=791.
故答案為:屈.
2023?成都市鄲都區中考二模
14.如圖,矩形/3CD中,48=2,8c=3,點E是N3的中點,點廠是8C邊上一動點.將NBEF沿著斯
翻折,使得點B落在點"處,若點尸是矩形內一動點,連接PC、PD,則P84揚5C+QD的最
小值為.
【答案】V26-1
【分析】將△CD尸繞點C順時針旋轉90。得到ACDP,連接尸P,連接E/T,由等腰三角形CPP得出
PP'=yf2PC,再由折疊得出點夕的軌跡在點E為圓心,班為半徑的圓周上,所以EB'+PB'+PP'+P'D'的
最小值為EZT,即PB*gPC+PD的最小值為ED-EB',經計算答出答案即可.
【詳解】解:將尸繞點C順時針旋轉90。得到ACDP,
連接尸尸',連接ED',
則B,C,D'共線,PD=P'D',
:.CD'=CD=AB=2,
:.PP'=42PC,
???點、E是4B的中點,
:.EB=-AB=-x2=l,
22
■:BD'^BC+CD'=3+2=5,
.-.ED'^^BE1+D'B-=712+52=國
由ABEF折疊成△YEP,
:.EB=EB'=EA,
.,.點8在以點E為圓心,班為半徑的圓上,
:.EB'=i,
???兩點間線段最短,
:.ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',
即ED'&EB'+PB'+6PC+PD
:.^26<l+PB'+y/2PC+PD,
PB'+42PC+PD2足-1,
則PB'+6PC+PD的最小值為降-L
故答案為:V26-1.
,型三加權費馬點?多系數型
1、/5
15.在邊長為4的正△ABC中有一點P,連接P4PB、PC,求(-4P+BP+"-PC)?的最小值
22
原圖
【解析】如圖1,44PC繞點C逆時針旋轉90。,取P'C,4'C的中點M,N
易知PM=^-PC,MN=-P,A,=-PA,
222
A
圖1
則^AP+BP+與PC=MN+BP+PM《BN,BN2=20+86即為所求
16.在等邊三角形ABC中,邊長為4,P為三角形ABC內部一點,求3ap+4BP+5PC的最小值
A
A
BC
原圖
△力PC繞點C逆時針旋轉90。,在P'C,4c上取M,N,使CM=-CP,CN=
533
易知PM=—PC,MN=—P4=—E4,3AP+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN
444
A
B
圖1
成都七中育才學校月考
17.在A/3C中,AB=3,AC=4,/3/C的角平分線交8c于E,過C作射線NE的垂線,垂足為D,連
3PC+4PD+5PA
接5。,當S#-5段即取大值時,在A/C。內部取點尸,則的最小值是.
4
【答案】>/29
【分析】延長CD交4g于點尸,過點A作BC邊上的高///,得出A4D/絲A/DC,則3尸=1,根據4D是
BF3
/胡。的角平分線,得出設S△皿=3S,則S?c=4S,過點。分別作/尸,4。的垂線,垂足為姐N,
EC4
得出S=2S“BC,S&ACK-S&BKD=2\S,則當鼠瘀最大時,以仆-S△曲取得最大值,進而可得當
3
/C/5=90°時,S/Bc取得最大值,則/。/。=45°,延長氏4至C',使得/。'=彳/。=3,^P'ALPA,
3
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