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文檔簡介

費馬點與施權費馬點評X總年

知識點梳理

【希黑費與點】

【加權費馬點】

普通費馬點最值問題

加權費馬點?單系數型

里三加權費馬點?多系數型

滿分?技巧/

知識點梳理

【雷加費馬點】

【問題提出】如圖AABC所有的內角都小于120度,在△力BC內部有一點P,連接P4PB、PC,

當PA+PB+PC的值最小時,求此時/力PB與/APC的度數.

【問題處理】如圖1,將A4CP繞著點C順時針旋轉60度得到ATTCP,則A4CP絲A4CP',CP=CP,,AP=A,P,,

又;NPCP,=60°,.?.△PCP'是等邊三角形,:.PP'=PC,:.PA+PB+PC^P,A,+PB+PP,,

如圖2,當且僅當點B、P、P\4共線時,P4+PB+PC最小,最小值為力'B,此時/BPC=/4PC=/APB=

【問題歸納】如費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.費馬點結論:

①對于一個各角不超過120。的三角形,費馬點是對各邊的張角都是120。的點,所以三角形的費馬點也叫三

角形的等角中心;

@對于有一個角超過120。的三角形,費馬點就是這個內角的頂點.

【如何作費馬點】如圖3,連接44,,我們發現△4C4為等邊三角形,點P在4B上,同理,我們可以得到等邊

△及1月,點P也在CB,上,因此,我們可以以A4BC三角形任意兩邊為邊向外構造等邊三角形,相應連線的交

點即為費馬點。(最大角小于120°時)

【例1】如圖,在△4BC中,ZACB=9Q°,AB=AC=1,尸是△/3C內一點,求刃+P2+PC的最小值.

【答案】遙+班

2

【分析】如圖,以NC為邊構造等邊△/&),連接8。,8。的長即為以+P3+PC的最小值.至于點P的位

置?這不重要!

如何求BD?考慮到4ABC和4ACD都是特殊的三角形,過點D作DH±BA交BA的延長線于H點,根

據勾股定理,8加=即2+。”2即可得出結果.

【練習1】如圖,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點/為矩形內一點,點E為2c邊上任意一點,則MA+MD+ME

的最小值為.

【分析】依然構造60°旋轉,將三條折線段轉化為一條直線段.

分別以為邊構造等邊△/DF、等邊△4WG,連接尸G,

易證絲△/GF,:.MD=GF

:.ME+MA+MD=ME+EG+GF

過/作FH±BC交BC于H點、,線段的長即為所求的最小值.

【加權費馬點】

如果所求最值中三條線段的系數有不為1的情況,我們把這類問題歸為加權費馬點問題,解決方法類似,也

是通過旋轉進行線段轉化,只不過要根據系數的情況選擇不同的旋轉或放縮方法。

【知一單系期》

當只有一條線段帶有不為1的系數時,相對較為簡單,一般有兩種處理手段,

一種是旋轉特殊角度:、門對應旋轉90°,百對應旋轉120°

另一種是旋轉放縮,對應三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形ABC中,邊長為4,P為三角形ABC內部一點,求4P+8尸+J5尸。的最小值

A

BC

原圖

【簡析】本題有2種解題策略,旋轉特殊角和旋轉放縮

【策略一:旋轉特殊角】如圖1,ZV1PC繞點C逆時針旋轉90。,易知PP=&PC,4B即為所求

圖1

方法一:如圖2,B,P,P\4共線時取最小,此時NBPC=N4PC=135°,易知BP=4P'=2右,

PC=CH-PH=273-2,:.PP'=2底-2叵,PB+PP,+A,P,=276+2^

方法二:作力于易知N4cH=30°,:.AH=2,CH==BH=4+2框,由勾股可得力'B=

2A/6+2A/2

【策略二:旋轉放縮】可按如下方法去旋轉放縮(方法不唯一)

如圖4,將三角形BPC繞點B旋轉45°,再擴大為原來的血■倍,得到△BPC'

則AP+BP+拒PC=AP+PP'+P'C>AC'

補充:也可以按圖5方式旋轉

A

【練習2】在Rt^ABC中,AC=3,BC=2#),P為三角形ABC內部一點,求。的最小值

【策略一:旋轉特殊角】如圖1,△力PC繞點C逆時針旋轉120。,則有PP'=GPC,

AP+BP+PC^AP'+BP+PP'WA'B=2幣

圖1

【策略二:旋轉放縮】如圖2,AAPC繞點/逆時針旋轉30。,再擴大為原來的倍,

則AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',計算略

圖2

【知二多不峰】

其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時,都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心,旋轉不同的三角形得到的系數是不同的,對于給定的系數,我們該如何選取旋轉

中心呢?我們總結了以下方法:

1.#?小系數發■知

2.中國大小的系奧?定Mr比例;

3.最大章卻?定*修中心(例*最大系"PA1T面,就以A為*修中心),於橋系數不為1的■條謂盤南

荏的三雋都.

【例3】如圖,在AABC中,4C5=60。,BC=3,ZC=4,在AABC內部有一點P,連接尸4PB,PC,

則(1)!尸/+@尸8+尸。的最小值為;(2)立尸/+工必+尸。的最小值為

2222

A

【簡答】(1)將最小系數;提到括號外,得到;(R4+GPB+2PC)

A

中間大小系數為百,故放大倍數為百倍,最大系數在PC前面,故以點c為旋轉中心,旋轉APBC.

如圖1,將APBC繞點C逆時針旋轉90°,并放大為石倍,B'P'=y/3BP,PP'=2PC.

;(PA+布PB+2PC)=;(PA+PP'+P'B')N;AB'=^~.

(2)將最小系數;提到括號外,得到;(也24+必+2PC),

圖2

如圖2,將4APB繞點C逆時針旋轉90°,并放大為倍,A'P'=y/3AP,PP'=2PC.

g?PA+PB+2PC)=P」BP+PP'zgA'B=回

【練習3】如圖,在△力BC中,/。5=60°,3。=36,/。=6,在448。內部有一點「,連接尸4PB,PC,

則2PA+PB+亞PC的最小值為.

P'A=2PA,PP'=>/5PC

2PA+PB+也PC=AP+P'P+PB>AB,A'C=2AC=12,N/'C3=90°+60°=150°,

:.AH=-AC=6,CH=—AC=6S/3,BH=9也,由勾股定理可得AB=3A/31,

22

2PA+PB+小PC的最小值為3用.

■,/核心?題型/

普通費馬點最值問題

1.(2021濱州)如圖,在中,/ACB=90。,ZBAC=30°,AB=2,點P是內一點,則

p/+PB+PC的最小值為?

B

CA

【答案】J7

【解析】將4ABP繞點A順時針旋轉60。到△ABP,連接PT,B'C.

則AB,=AB=2,PB=PB,NBAB』60。,PA=P,A,NPAP,=60。,

.?.△PTA是等邊三角形,/.PA=P,P.

??ZBAC=30°,ZB,AC=90°,

VZACB=90°,:.AC=與AB=6

?"-BC=JAC?+BM=S-

:PA+PB+PC=P'P+P'B'+PC》B'C,

APA+PB+PC的最小值為J7.

2.問題背景:如圖1,將△力BC繞點A逆時針旋轉60°得到△力DE,DE與BC交于點P,可推出結論:PA

+PC=PE.

問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,ZM=75°,MG=4JL點。是△MNG內一點,則點。到4

MNG三個頂點的距離和的最小值是

圖2

【解析】過點“作HQJ-NM交NM延長線于Q點,根據NNMG=75。,NGMH=60。,可得NHMQ=45。,

是等腰直角三角形,;.MQ=HQ=4,,麗=行砂=時記=2回

3.如圖,在△力BC中,ZCAB=90°,AB=AC=2,P是△ABC內一點,求必+PB+PC的最小值.

【解析】如圖1,以4D為邊構造等邊△4CD,連接BD,BC的長即為R4+PB+PC的最小值.

考慮到AXBC和A4CD都是特殊的三角形,所以構造特殊直角三角形

如圖2,過點。作交胡的延長線于H點,根據勾股定理,BD2=BH2+DH2=46+y/2

/%

定一二:死D

//

圖1圖2

4.已知,在△力BC中,ZACB=30°,AC=4,AB=/j(CB>CA)點P是"BC內一動點,則PA+PB+PC

的最小值為________

///?

//?

//'

/二/i

//\

4//

,/

BZ-------------------------------------------^C4H2昭0

原圖圖1

【解析】如圖1,將△力PC逆時針旋轉30。,得“PC,BC卿以+PB+PC最小值,考慮到Z

BCA=3Q°,;.NBCC'=90。,作力H_LBC,可得8。=36,:.BC=743

5.如圖,已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,點M為矩形內一點,點E為BC邊上任意一點,則M4+MD+

ME的最小值為.

【解析】如圖1,依然構造60。旋轉,將三條折線段轉化為一條直線段.分別以4。、4M為邊構造等邊△ADR

等邊△力MG,連接FG,易證△AMD/ZkAGF,:.MD=GF:.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如圖2,過F作FH_LBC交BC于”點,線段FH的長即為所求的最小值.FG=4+優

6.4B、C、。四個城市恰好為一個邊長為2a正方形的四個頂點,要建立一個公路系統使得每兩個城市之

間都有公路相通,并使整個公路系統的總長度CAP+BP+PQ+DQ+CQ)最小,則應當如何修建?最小

長度是多少?

【解析】如圖1,A4BP繞點B逆時針旋轉60。,得到同樣,將AOCQ繞點C順時針旋轉60。,得到

△D'CQ’,連結力2、D'D,貝IAABA、ADCD'均為等邊三角形,連結PP'、QQ,,則ABPP',

△QCQ'均為等邊三角形,AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

/~~>D'

//

,///

BC

圖1

如圖2,當點4,P,P,Q,Q',£>'共線時,整個公路系統的總長取到最小值,為線段4'。'的長,此時點P,

Q在"'上,最小值為R+2百"

尹--二》。

--

BC

圖2

2023?隨州中考真題

7.1643年,法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題:給定不在同一條直線上的三個點4B,C,求平

面上到這三個點的距離之和最小的點的位置,意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明,

該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”,該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法,請補充以下推理過程:(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空,③處填寫角度數,④處填寫該三角

形的某個頂點)

當的三個內角均小于120。時,

如圖1,將△4PC繞,點C順時針旋轉60°得到“'PC,連接PP',

由尸。=尸‘怎"CP'=60°,可知△尸CP為①三角形,板PP'=PC,又P/=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',4在同一條直線上時,以+必+尸。取最小值,如圖2,最小值為48,此時

的P點為該三角形的“費馬點”,且有NAPC=NBPC=NAPB=③;

已知當“BC有一個內角大于或等于120。時,“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/A4C2120。,

則該三角形的“費馬點”為④點.

(2)如圖4,在△48c中,三個內角均小于120。,且2。=璜5。=4食44以=30°,已知點P為。8c的“費

馬點”,求尸/+尸3+尸。的值;

(3)如圖5,設村莊4B,C的連線構成一個三角形,且已知4。=41?11食3。=2瓜111食乙4。8=60。.現欲

建一中轉站P沿直線向4B,C三個村莊鋪設電纜,已知由中轉站P到村莊4B,C的鋪設成本分別為a

元/km,a元/km,0a元/km,選取合適的P的位置,可以使總的鋪設成本最低為元.(結果

用含a的式子表示)

【答案】(1)①等邊;②兩點之間線段最短;③120。;④A.

(2)5

(3)2V13a

【解題思路】(1)根據旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論;

(2)根據(1)的方法將△/PC繞,點C順時針旋轉60°得到AZ'P'C,即可得出可知當B,P,P,4在

同一條直線上時,PA+PB+PC取最小值,最小值為A'B,在根據ZACB=30°可證明

ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求即可,

(3)由總的鋪設成本=a(P/+P8+0PC),通過將繞,點C順時針旋轉90。得到AHP'C,得到等

腰直角APPC,得到CPC=PF,即可得出當B,P,P,4在同一條直線上時,尸'/'+尸5+尸尸'取最小值,

即R4+P5+血尸。取最小值為AB,然后根據已知和旋轉性質求出H2即可.

【詳解】(1)解:PC=P'C^ZPCP'=60°,

△尸CP為等邊三角形;

PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又尸'4=尸4,^PA+PB+PC=PA'+PB+PP'2A'B,

由兩點之間線段最短可知,當B,P,P',4在同一條直線上時,尸/++取最小值,

最小值為/'2,此時的P點為該三角形的“費馬點”,

ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又:"PC=AA'P'C,

:.ZAPCZAP'C=120°,

:.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

NAPC=ZBPC=/APB=120°;

NB4czi20°,

:.BC>AC,BC>AB,

:.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

二三個頂點中,頂點4到另外兩個頂點的距離和最小.

又:已知當^ABC有一個內角大于或等于120。時,“費馬點”為該三角形的某個頂點.

該三角形的“費馬點”為點4,

故答案為:①等邊;②兩點之間線段最短;③120。;④A.

(2)將△4PC繞,點C順時針旋轉60°得至IAA'P'C,連接PP,

由(1)可知當B,P,P',4在同一條直線上時,尸/+尸3+尸。取最小值,最小值為H2,

,/AACP=ZA'CP',

:.ZACP+ZBCP=NA'CP'+NBCP=ZACB=30°,

又:ZPCP'=60°

ZBCA'=ZA'CP'+NBCP+ZPCP'=90°,

由旋轉性質可知:AC=A'C=3,

A'B=^BC2+A'C2=4+32=5,

P/+PB+PC最小值為5,

(3):總的鋪設成本=PA-a+PB-a+PC?五a=a(PA+PB+也PC)

當R4+P8+五尸。最小時,總的鋪設成本最低,

將繞,點C順時針旋轉90。得到A/'PC,連接PP,A'B

由旋轉性質可知:P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,4C=/C=4km,

:?PP=0PC,

PA+PB+42PC=PA+PB+PP',

當B,P,P',力在同一條直線上時,PH+尸8+PP取最小值,即上4+。5+內(取最小值為42,

f

?:ZACB=60°,ZACA=90°f

:.ZACH=30。,

:.A'H^-A'C^2km,

2

?*-HC=ylAC2-AH2=A/42-22=2?km),

?.BH=BC+CH=2y/3+2百=4有(km),

A'B=4AH'+BH2=J(4A/3)2+22=2而(km)

++0PC的最小值為2jilkm

總的鋪設成本=PA-a+PB>a+PC?缶=a{PA+PB+gPC)=2岳a(元)

廣東省江門市一模

8.如圖,在。BC中,ZBAC=90°,AB=5,AC=243>點尸為“8C內部一點,則點尸到。8C三個頂點

之和的最小值是.

[分析】將4ABp繞著點4順時針旋轉60°,得至1^AEH,連接EP,CH,過點C作CN,,交HA的

延長線于N,由旋轉的性質可得484P=Ntt4E,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,易得

△/EP是等邊三角形,可得AE=AP=EP,進而得到/P+3P+PC=EP+E〃+PC,當點、H、E、P、C共

線時,/尸+8尸+尸(?有最小值〃7,再求出CN和HV的長度,由勾股定理可求解.

【詳解】解:將“AP繞著點4順時針旋轉60°,得到△/£〃,連接EPCH,過點C作CN14",交際

的延長線于N,

,NBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,

:.ZHAB=ZEAP=60°,

:.△/£尸是等邊三角形,

AE=AP=EP,

:.AP+BP+PC=EP+EH+PC,

當點H、E、P、C共線時,/P+5P+尸C有最小值〃C.

???ZNAC=1800-ZBAH-ZBAC=180°-60°-90°=30°,AC=243,

:.CN=;AC=C,

:.AN=yjAC2-CN2=_(可=3,

:.HN=AH+AN=5+3=S.

在RtACW中,CH=y]HN2+CN2=^82+(名/

即點P到△48c三個頂點之和的最小值是J而

武漢中考

9.問題背景:如圖1,將△NBC繞點/逆時針旋轉60°得到DE與BC交于點、P,可推出結論:

PA+PC=PE.

問題解決:如圖2,在△〃、心中,MN=6,ZM=75°,MG=4^2,點。是△"△燈內一點,則點。到

三個頂點的距離和的最小值是.

圖2

【答案】2月

【分析】本題的問題背景實際上是提示了解題思路,構造60°的旋轉,當然如果已經了解了費馬點問題,

直接來解決就好了!

如圖,以MG為邊作等邊aMGH,連接NH,則NH的值即為所求的點O到GIVING三個頂點的距離和的最

小值.(此處不再證明)

過點H作HQ_LNM交NM延長線于Q點,

根據NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45°,

Z.AMHQ是等腰直角三角形,

,\MQ=HQ=4,

NH=^NQ2+HQ2=V100+16=2A/29.

2023?四川宜賓?中考真題

10.如圖,拋物線y=a?+bx+c經過點/(-3,0),頂點為刊(-1,加),且拋物線與丁軸的交點B在(0,-2)和

(0,-3)之間(不含端點),則下列結論:

II/

1/

/

f(

1/

'6;

?l

①當一3?尤41時,y<0;

②當的面積為)叵時,a=也;

22

③當為直角三角形時,在“。8內存在唯一點P,使得尸2+尸。+尸8的值最小,最小值的平方為

18+93

其中正確的結論是.(填寫所有正確結論的序號)

【答案】①②

【解題思路】根據條件可求拋物線與X軸的另一交點坐標,結合圖象即可判斷①;設拋物線為

y=a(%-l)(x+3),即可求出點M的坐標,根據割補法求面積,判斷②;分三種情況討論,然后以點。為

旋轉中心,將“08順時針旋轉60°至^AOA,連接AA,PP,AB,得到PA+PO+PB=PA+PP+PB>AB,

判斷③.

【詳解】解::拋物線y=o%2+6x+c經過點/(-3,0),頂點為/(-1,根),

:.對稱軸x=-l,

?,?拋物線與x軸的另一交點坐標為(1,0),

由圖象可得:當—時,y<0;

???①正確,符合題意;

,?,拋物線與x軸的另一交點坐標為(1,0),

.二設拋物線為歹=〃(%—1)(%+3),

當%=-1時,y=-4a,當x=0時,y=-3a,

??."(—1,-4Q),B(0,-34/),

如圖所示,過點M作平行于y軸的直線/,過點力作ZE1/,過點、B作BNJJ,

設直線45的解析式為y=k'x+b,

/\/\1―3左'+//=01左'=―〃

把30,-3〃,/一3,0代入得:,解得:

[b=-3a[匕=-3a

J直線Z5的解析式為y=-QX-3Q,

當x=T是,y=~2a,

?(T—2〃),

MF=2a,

.」233=也

22

解得:a=—,故②正確;

2

點B是拋物線與y軸的交點,

???當x=0時,y=~3af

8(0,-3a),

,?4ABM為直角三角形,

當N/Affi=90°時,

AM2+BM2=AB2^

,?*AM=,J(-2)2+(-4a)2="+16/,BM=,J(-1)2+(-a)2=J1+/,AB=J(-3,+(-3甫=,9+9八,

;?4+16/+1+/=9+9/,整理得:8a2=4,

解得:a=—^~—(舍)

22

.?.jo,-等],

I27

當ZABM=90°^,

AB2+BM2=AM2,

A4+16a2=9+9a2+l+a2,整理得:6o2=6

解得:。=1或-1(舍)

.*.5(0-3),

當/跖13=90。時,

**-AB2+AM-=BM\

;?4+16/+1+/=9+9/,無解;

以點。為旋轉中心,將“。8順時針旋轉60°至A/O/',連接44',pp,/B,如圖所示,

:.OP=PP',AP=AP',

:.PA+PO+PB^P'A'+PP'+PB>A'B,

/為等邊三角形,/(TO)

x.-,y,=—xtan60°=,

/2乙22

“I"

當30,--時,

、2>

549&

---+------

42

當5(0,—3)時,

2

“郎=|+爵+3、18+95此時不符合題意故③錯誤;

故答案為:①②.

一題四問,從特殊到一般

11.背景資料:在已知“BC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是

法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的,所求的點被人們稱為“費馬點如圖

1,當“3C三個內角均小于120。時,費馬點尸在418c內部,當//尸3=/4?。=/。%=120。時,則

尸/+尸3+尸C取得最小值.

(1)如圖2,等邊03C內有一點尸,若點尸到頂點/、B、C的距離分別為3,4,5,求必的度數,為

了解決本題,我們可以將A/BP繞頂點/旋轉到處,此時A/CP'WA/3?這樣就可以利用旋轉變換,

將三條線段尸/、PB、PC轉化到一個三角形中,從而求出;

知識生成:怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢?為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與“8C的另一頂點,則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下問

題.

⑵如圖3,A48c三個內角均小于120。,在A48c外側作等邊三角形連接CB',求證:C8'過A48c

的費馬點.

(3)如圖4,在中,ZC=90°,AC=l,ZABC=30°,點P為“8C的費馬點,連接/尸、BP、CP,

求尸/+P3+PC的值.

(4)如圖5,在正方形4BCD中,點E為內部任意一點,連接NE、BE、CE,且邊長N8=2;^AE+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。;(2)見詳解;(3)療;(4)76+5/2.

【分析】(1)根據旋轉性質得出四△/CP,得出NBAP=NCAP\ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

根據及48。為等邊三角形,得出N3/C=60。,可證A/PP為等邊三角形,PP'=AP=3,ZAP'P=60°,根據勾股

定理逆定理尸P?+PC2=32+42=25=2。2,得出APPC是直角三角形,NPP,C=90。,可求乙4PC=NNPP+

ZPPC=60°+90°=l50°即可;

(2)將A/PB逆時針旋轉60°,得到A48P,連結尸P,根據AAPB/AAB'P',AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根據NR4P'=NBAB'=60°,A/PP和及423'均為等邊三角形,得出PP'=AP,根據PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根據兩點之間線段最短得出點C,點尸,點P,點皮四點共線時,PA+PB+PCt,.=CB',點尸在C8'上即

可;

(3)將AAPB逆時針旋轉60°,得到△NP8',連結BB',PP',得出A4PBq△APB,,可證和A/BB'均

為等邊三角形,得出PP'=4P,BB'=AB,ZABB'=60°,<<PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得點C,點尸,

點尸',點夕四點共線時,PA+PB+PCt,.=CB',利用30。直角三角形性質得出48=2/C=2,根據勾股定理

BC=-JAB2-AC2=A/22-12=V3,可求BBIB=2,根據NC8B'=N/3C+NABB'=300+60°=90°,在R3C25'

中,皮c73c2+叱=J陰Q22=a即可;

(4)將ABCE逆時針旋轉60。得到ACEB,,連結EE\BB,,過點皮作2戶J_4B,交延長線于尸,得出4臺方

支CEB,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證AECE'與△3C3'均為等邊三角形,得出EE=EC,BB'=BC,Z

B'BC=60°,AE+BE+CE^AE+EE'+E'B',得出點C,點、E,點E',點2'四點共線時,

AE+BE+CE^AE+EE'+E'B't,.=AB根據四邊形/BCD為正方形,得出/B=2C=2,ZABC=9Q°,可求

NF8夕=180。-/48c-NCB夕=180。-90。-60。=30。,根據30。直角三角形性質得出BF=-BB'^-x2=l,勾股定

22

理BF=4BB,2-B'F2=A/22-12=V3,可求AF=AB+BF=2+石,再根據勾股定理AB'=

y/AF2+B'F2=?2+⑷+B="+及即可.

【詳解】(1)解:連結PP',

,:AABPg△NCP,

:.NBAP=NCAP',N4PB=NAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

△/8C為等邊三角形,

ZBAC=60°

:.NR4P'=NR4C+NCAP'=NR4C+NBAP=6Q°,

:.為等邊三角形,

,:.PP'=AP=3,NAP'P=60°,

在APPC中,PC=5,

PP'-+P'C2=32+42=25=PC2,

:.APP'C是直角三角形,NPP'C=9Q°,

ZAP'C=NAPP+ZPPC=60°+90o=150°,

ZAPB=ZAP'C=150°,

故答案為150。;

(2)證明:將A/PB逆時針旋轉60。,得到△48P,連結PP,

':AAPB^^AB'P',

:.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

,:ZR4P'=ZBAB'=6Q0,

:./XAPP'^"BB,均為等邊三角形,

:.PP'=AP,

,:PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

.?.點C,點P,點P,點皮四點共線時,PA+PB+PCtll.=CB',

.,.點P在C9上,

CB'過"BC的費馬點、.

(3)解:將及4依逆時針旋轉60。,得到及4P夕,連結BB,,PP',

:.AAPBmAAPB,

:.AP'=AP,AB'=AB,

,:ZR4P'=ZBAB'=60°,

/.ZUPP和A4B9均為等邊三角形,

:.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,

,/PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

.,.點C,點P,點尸',點2'四點共線時,PA+PB+PC^,.=CB',

?:ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

22

:.AB=2AC=2,根據勾股定理BC=y/AB-AC=五=6

:.BB'=AB=2,

?.,NCWN/BC+NABB,=30o+60o=90。,

在RtzxCBB'中,B'C=ylBC2+BB'2=不⑹+2?=不

:.PA+PB+PC最4、=CB'=ypj;

(4)解:將A8CE逆時針旋轉60。得到△CEB,,連結EE。BB',過點皮作8尸_L/8,交延長線于產,

/.△BCEmACEE,

:.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

,:ZECE'=ZBCB'=60°,

:./XECE'^j4BCB'均為等邊三角形,

:.EE'=EC,BB'=BC,N83c=60。,

:AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.,.點C,點、E,點點8'四點共線時,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB

?.?四邊形/BCD為正方形,

:.AB=BC=2,ZABC=9Q°,

/.NFBB'=18Q°-NABC-Z。3夕=180。-90。-60。=30。,

':B'FA.AF,

?*-BF=;89=]x2=1,BF=^BB^-B'F2=《2?-I2=73,

:.AF=AB+BF=2+^3,

/.AB'=ylAF2+B'F2=J(2+可+F=a+也,

AE+BE+CEt,.j.=AB'=a+0.

B'

加權費馬點?單系數型

2023?武漢?慧泉中學校月考

3

12.如圖,RtZi/BC中,/CAB=30。,BC=~,點尸為內一點,連接PA,PB,PC,則尸。+尸8+有川

【答案】-V13

2

【分析】作輔助線如詳解圖,根據等腰三角形的性質和勾股定理可求得。尸=內/尸,于是所求

PC+PB+上PA的最小值轉化為求。E+尸。+尸3的最小值,根據兩點之間線段最短可得DE+PD+PB的最

小值即為線段匹的長,然后求出防的長即可解決問題.

【詳解】解:將△ZC尸繞點/逆時針旋轉120。,得到連摟DP,EB,過點E作E尸_L8/交A4的延

長線于點尸,過點/作尸于點Af,如圖,

則AD=AP,DE=CP/DAP=120°,ZEAC=120°,

??AMVDP,

:.DM=PM,ZADM=NAPM=30°,

AM=-AP,

2

:.PM=y]AP2-AM2=—AP,

2

/.DP=2PM=&P,

PC+PB+y/3PA=DE+PD+PB>EB,即PC+P3+的最小值為樂的長(當點E、D、P、2四點

共線時取最小值),

3

,「RtZkZBC中,ZG4S=30°,BC=~,

2

?JZ7-A^-3石

??A.E=AC----f

2

?:ZCAS=30°,ZEAC=120°,

???/EAF=30。,

則在直角三角形4E1尸中,EF=LAE=^,AF=6EF=2,

244

921i--------------------------

???斯=3+7下:.BE7BF、EF2=」而

2

西安市鐵一中二模

13.已知,如圖在A/BC中,44c8=30。,BC=5,AC=6,在內部有一點。,連接D/、Z)B、Z)C.則

DA+DB+-J1DC的最小值是

【分析】把ACD8順時針旋轉90。到△(??夕,過夕作夕E_L/C,交/C延長于E,則CD=C。,BD=B'D',Z

CDD'=ZCD'D=45°,可求。。=亞CD,在R於CEB,中,可求CE=g,AE=y,BE=乎,當點/、D、

D'、9四點在一直線時,/夕最短,可求AB'=BD+&CD+/Z)=JM.

【詳解】解:把ACDB順時針旋轉90。到ACD皮,過夕作夕E_L/C,交4c延長于E,

則CD=CD',BD=B'D',NCDD=NCD'D=45。,

:.DD'=CD^cos45°=直CD,

NACB=30°,ZB'CB=90°,

/.ZB'CE=180°-ZACB-NBC8'=180°-30°-90°=60°,

在RMCEB,中,

:.CE=B'Ccos600=5x-=-,

22

517

AE=AC+CE=6+,

22

BE=B'Csm600=5xB=短,

22

當點/、D、D\3,四點在一直線時,最短,

:.AB'^=yjAE2+B'E2==回,

AB^B'D'+D'D+AD=BD+6CD+AD=791.

故答案為:屈.

2023?成都市鄲都區中考二模

14.如圖,矩形/3CD中,48=2,8c=3,點E是N3的中點,點廠是8C邊上一動點.將NBEF沿著斯

翻折,使得點B落在點"處,若點尸是矩形內一動點,連接PC、PD,則P84揚5C+QD的最

小值為.

【答案】V26-1

【分析】將△CD尸繞點C順時針旋轉90。得到ACDP,連接尸P,連接E/T,由等腰三角形CPP得出

PP'=yf2PC,再由折疊得出點夕的軌跡在點E為圓心,班為半徑的圓周上,所以EB'+PB'+PP'+P'D'的

最小值為EZT,即PB*gPC+PD的最小值為ED-EB',經計算答出答案即可.

【詳解】解:將尸繞點C順時針旋轉90。得到ACDP,

連接尸尸',連接ED',

則B,C,D'共線,PD=P'D',

:.CD'=CD=AB=2,

:.PP'=42PC,

???點、E是4B的中點,

:.EB=-AB=-x2=l,

22

■:BD'^BC+CD'=3+2=5,

.-.ED'^^BE1+D'B-=712+52=國

由ABEF折疊成△YEP,

:.EB=EB'=EA,

.,.點8在以點E為圓心,班為半徑的圓上,

:.EB'=i,

???兩點間線段最短,

:.ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即ED'&EB'+PB'+6PC+PD

:.^26<l+PB'+y/2PC+PD,

PB'+42PC+PD2足-1,

則PB'+6PC+PD的最小值為降-L

故答案為:V26-1.

,型三加權費馬點?多系數型

1、/5

15.在邊長為4的正△ABC中有一點P,連接P4PB、PC,求(-4P+BP+"-PC)?的最小值

22

原圖

【解析】如圖1,44PC繞點C逆時針旋轉90。,取P'C,4'C的中點M,N

易知PM=^-PC,MN=-P,A,=-PA,

222

A

圖1

則^AP+BP+與PC=MN+BP+PM《BN,BN2=20+86即為所求

16.在等邊三角形ABC中,邊長為4,P為三角形ABC內部一點,求3ap+4BP+5PC的最小值

A

A

BC

原圖

△力PC繞點C逆時針旋轉90。,在P'C,4c上取M,N,使CM=-CP,CN=

533

易知PM=—PC,MN=—P4=—E4,3AP+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

A

B

圖1

成都七中育才學校月考

17.在A/3C中,AB=3,AC=4,/3/C的角平分線交8c于E,過C作射線NE的垂線,垂足為D,連

3PC+4PD+5PA

接5。,當S#-5段即取大值時,在A/C。內部取點尸,則的最小值是.

4

【答案】>/29

【分析】延長CD交4g于點尸,過點A作BC邊上的高///,得出A4D/絲A/DC,則3尸=1,根據4D是

BF3

/胡。的角平分線,得出設S△皿=3S,則S?c=4S,過點。分別作/尸,4。的垂線,垂足為姐N,

EC4

得出S=2S“BC,S&ACK-S&BKD=2\S,則當鼠瘀最大時,以仆-S△曲取得最大值,進而可得當

3

/C/5=90°時,S/Bc取得最大值,則/。/。=45°,延長氏4至C',使得/。'=彳/。=3,^P'ALPA,

3

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