2025年中考數學總復習《平行四邊形的動點問題》專項測試

卷(附答案)

學校:姓名：班級：考號：

1.在平行四邊形ABCD中，對角線AC、3D交于點。,尸是線段OC上一個動點(不與點。、

點C重合)，過點尸分別作AD、CD的平行線，交8于點E,交BC、BD于點、F、G,連接

EG.

(2)如圖2,如果/A5C=90。，^=|,且△DGE與，尸CF相似，請補全圖形，并求黑的

值；

(3)如圖3,如果&1=BG=3C,且射線EG過點A.請補全圖形，并求ZABC的度數.

2.如圖，在RtZXABC中，點D是斜邊AB上的動點(點。與點A不重合)，連接CD,以CD

為直角邊在CD的右側構造RtATDE,ZDCE=9Q,連接BE,笑=笑=機.

圖3

(1)如圖1,當租=1時，3E與AD之間的位置關系是,數量關系是.

(2)如圖2,當加#1時，猜想8E與4。之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

⑶在(1)的條件下，點f與點C關于OE對稱，連接。尸，EF,BF,如圖3.已知AC=3,

設AD=x,四邊形CDFE的面積為九

①求y與尤的函數表達式，并求出y的最小值；

②當8尸=1時，請直接寫出A￡＞的長度.

3.如圖1,矩形ABC。中，AB=4s/3,BC=4,動點E,尸分別從點8,。同時出發，以

每秒1個單位長度的速度沿54,0c向終點A,C運動，過點A作直線所的垂線，垂足為

圖2

(1)當D尸=FG時，AD與AG的數量關系為

(2)如圖2,若AG平分NTMB,運動時間為f秒，求砂的長及t的值;

⑶當運動時間/=君時，直接寫出AG的長.

4.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E是AD邊上的動點，從點A沿向點￡＞運動，以

BE為邊,在BE的上方作正方形8EFG,連接CG.請探究:

(1)線段AE與CG是否相等？請說明理由.

⑵若aABEs_DEH,請給出證明；若設=DH=y,則當尤取何值時，＞最大？

(3)連接初，當點E運動到的何位置時，一BEHsq&vE?請直接寫出結論.

5.(1)如圖1,正方形ABCD中，點E、歹分別是BC、CZ)的中點，連接AE、BF,交于

點、P.請寫出線段的與所之間的關系，并證明；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接PC,試說明PC平分/E尸產；

(3)如圖3,若點E、尸分別是BC、C。上的動點，且AB=1,BE=DF,則AE+3尸的

最小值為?

6.【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點反。是直線丁=也(。>0)上第一象限內的兩個動點

k

(OD>OB),以線段8。為對角線作矩形ABCD,AD〃x軸.反比例函數y=—的圖象經過

(1)求證：函數y=工的圖象必經過點C.

X

⑵如圖2,把矩形A2CZ)沿3D折疊，點C的對應點為E.當點E落在，軸上，且點3的坐

標為(1,2)時，求上的值.

7.已知在矩形ABC。中,AB=8cm,3c=16cm,AC的垂直平分線跳'分別交A。、BC

于點E、F,垂足為0.

備用圖

(1汝口圖1,連接AF、CE,求證:四邊形AFCE為菱形;

(2)如圖2,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AEB和CDE各邊勻速運動一周,

即點尸自A停止，點。自CfC停止.在運動過程中，已知點尸的

速度為每秒5cm,點。的速度為每杪4cm,運動時間為f秒，當A、C、P、。四點為頂點

的四邊形是平行四邊形時，求才的值.

8.已知，如圖，。為坐標原點，在四邊形。4BC中，BC〃OA,5c=24,A（26,0）,C（0,12）,

點。是Q4的中點，動點尸在線段BC上以每秒2個單位長度的速度由點C向3運動.設動

（用含，的式子表示）;

（2）當P運動秒，四邊形PEAfi是平行四邊形；

（3）在直線CB上是否存在一點Q,使得以0、。、Q、尸四點為頂點的四邊形是菱形？若存

在，求/的值，并求出。點的坐標；若不存在，請說明理由；

⑷在線段尸8上有一點Af,且PM=6,四邊形。4Mp的最小周長是.

9.如圖，在正方形ABC。中，點M是中心，點P是邊AB上一動點，連接并延長交C。

于點E,將△（?正￡沿PE翻折得到△CPE,作△CPE的外接圓（。交邊AD于點/，交PC

于點G.

（1）求證：CEG為等腰三角形；

⑵當。與8相切時，求黑的值;

（3）若正方形的邊長為6,設BP=x,當點P在邊A8上運動時.

①求證：點A始終在〈。上；

②設￡（F=y,當0<%<3時，求y關于x的函數關系式，并求）的最大值.

10.在正方形ABCD中，點E是BC上一動點（不與點B,C重合），連接AE,將AE繞點E

在平面內按順時針方向旋轉90。至EF位置，連接AF,交C。于點G.

圖1圖2

⑴如圖1,當點G為CD的中點時，若正方形的邊長為4,求班的長.

(2)如圖2,過點E作EPLAF于點P,其延長線交于點Q.

①連接OP,求證：DP平分ZADC；

②當不二="時，求犬的值.

DGPE

11.【問題背景】

(I)如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=5,3c=12,點。是對角線BO上

的動點，連接。4、OC,則OA+OC的最小值為；

【問題探究】

(2)如圖2,在邊長為2的等邊VABC中，點。是AC上一點，D,E分別是AB、BC邊上

的動點，且BD=CE,連接OD、OE,求OD+OE的最小值；

【問題解決】

(3)如圖3,正方形是某植物園規劃的一個花四，對角線AC、是其中的兩條觀

賞小路，在AC、5。的交點O處有一個涼亭(大小忽略不計)，現要在A3和BC上分別設

立一個游客服務中心及F,且鉆=CF,再沿。/和OE鋪設兩條石子小路，為節約成本,

要求兩條石子小路的長度之和最小，已知AB=60m,請你幫助植物園規劃人員求出兩條石

子小路長度之和的最小值.(即+DE的最小值)

12.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=4,。為8C中點.動點P以每秒

百個單位長度從點A出發，沿A3向終點8運動，設點P的運動時間為［（秒）?>0）.

BC

（備用圖）

⑴用含r的代數式表示點P到BC的距離為.

（2）點P關于AC的對稱點為Q.

①當四邊形尸為中心對稱圖形時，求四邊形尸的面積S.

②當四邊形尸QCD與VABC重疊部分圖形的面積是VABC面積的一半時，直接寫出/的值.

（3）當點尸不與點A、B重合時，在VA2C的邊上存在點E（點E不與點A、B、C重合），

使四邊形CDPE為軸對稱圖形，直接寫出此時線段AP的長.

13.在矩形ABCZ）中，=點E是C。邊上不與端點C、。重合的動點，于

H,

【課本再現】（1）如圖（1）當左=1時，CH交線段AD于點/，求證：BCE^CDF-

【類比遷移】（2）如圖（2）在（1）的條件下，CH交線段8。于點G,若點E是。的中

點，求器的值；

Cr7

【拓展延伸】（3）如圖（3）若DE=kCE,直接寫出tan/HDE的值_____（結果用含有左的

式子表示）.

14.已知：ABCD中，E在BC上，尸在C。上，ZAEF=ZABC.

(2)如圖2,若方為CO中點，CE=3BE,求

AB

(3)如圖3,ABCD中，ZDBC=30°,尸為對角線80上一動點，過尸作直線所使得

/BPE=120。,分別交直線AD、BC于點尸、E,若30=6,請直接寫出M+DE的最小值.

15.在平面直角坐標系中，點4(0,。)、點30,0)分別在y軸和x軸的正半軸上，并且

,一3|+僅一5)2=0.點尸在第一象限，PA=PB,且PA_LP3.

(1)如圖1,直接寫出點尸的坐標.

(2)如圖2,若點A運動到A的位置，點B運動到用的位置，保持尸4,尸耳，求-OA的

值；

(3)如圖3,若點尸不變，點A,點3分別運動至軸，軸，點A關于x軸的對

稱點為點H,點A關于直線P8的對稱點為點C,點。是直線AB上的動點，作尸尺=尸0,

PR1PQ,連接CP,CB,RH,CQ,當CQ+R”取最小值時，求R點坐標.

參考答案

1.(1)見解析；

0P9

(2)見解析，—；

rCO

⑶見解析，72°

【分析】(1)根據平行四邊形的性質得到黃=黑=；,則黑=柒，由此即可求解；

（2）根據題意可證DGEsPFCjABC,設CE=4M哪么PE=6k,PG=9k,由

OPPG=二9即可求解;

OCCD17

(3)根據題意作圖，可證平行四邊形ABC。為菱形，設,FB=FG=a,PF=FC=CE=b,

得到屋好±1(負根已舍)，貝I］變=2=避二1,可證DGA^DAB,設

b2GBa2

ZDAG=ZDBA=ZADB=a,那么NB4G=N5G4=2e,求出&=36。即可求解.

【詳解】(1)證明：???PC=2PO,PGCD,

.OGOP_1

^~6D~~OC~3"

在平行四邊形ABCD中，OA=OCf

,CPCP1

，，^A~2CO~3,

又?:PE//AD,

.CPCE_1

*CA-CD-3

.OGCE

t~OD~~CD

:.EG//OC；

(2)解：如圖2,

圖2

*.*/ABC=90。，

???平行四邊形ABC。為矩形.

：.OC=OD,

：.ZGDE=ZPCE=ZCPF,

又?；/CFP=ZABC=90。,且ND￡Gv90。，

???只能ZDGE=90。，ZDEG=ZPGE=APCF,

：.此時有：DGEs.pFCs,ABC,

設CE=43那么PE=6￡PG=93

,EG=/PE2+PG=3屈左，DE=13k,

.OPPG_9

??工一五一石'

.OP_9

??--；

PC8

(3)解：補全圖形如下,

BA=BC,

，平行四邊形A5CD為菱形，

設FB=FG=a,PF=FC=CE=b,

GP=a—b,

■:GP//CE,

.PGAPBF

**CE-AC-BC?

.a-b_a

??一,

ba+b

??/—cib—A2=0,

2

M_￡_I=0,

{bjb

Afl=75+l（負根已舍）.

b2

?DG_b由

^~GB~~a~2

,DG_BGy/5-]

■麗—茄—2'

.DGDA

**DA~DB1

又「ZADG=ZBDAf

：.^DGA^DAB,

???設ZZMG=ZDBA=ZAT）5=a,那么NBAG=N5G4=2a,

???5a=180。，

a=36°,

???ZABC=72°.

【點睛】本題主要考查四邊形的綜合，掌握矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質,

菱形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識的綜合是解題的關鍵.

2.WAD±BE,AD=BE;

(2)BE=mAD,AD±BE；證明見解析；

(3)①y與X的函數表達式為y=Y-30x+9(o<x430),②AD;也或顯

22

【分析】(1)由票=察=1,證明VAC?/BCE,即可得出AD,BE,AD=BE;

(2)由已知得出.ADCsaBEC,即可得出跖=加4￡),AD±BE；

(3)①由己知得出四邊形CD?芯是正方形，由勾股定理即可得出

y=x2-3^2x+9(0<x<3y/2),數形結合即可求解；

②過。作O7/LAC于X,則ADH是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可.

【詳解】(1)解：AD±BE,AD=BE,

..CECB

.而=怎=1'

：.CE=CD,CB=CA,

NACB=NDCE=90,

AZACD=ZBCE,ZA=ZABC=45°,

在.ACD和5CE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE

CD=CE

：..ACD^.,BCE(SAS),

：.AD=BE,ZCBE=ZA=45°f

：.ZABE=ZCBE+ZABC=90°,ADA.BE,

故答案為：AD工BE,AD=BE;

(2)BE=mAD,AD±BE；

證明：???/AC3=/OCEI=90,

???ZACB=ZBCE,

P?.CECB

CDCA

：.’ADCs耳BEC,

BECBl.

-----=—=m,NCBE=ZA,則BE=mAD,

ADCA

又ZA+ZABC=90°f

???ZCBE+ZABC=90°f

ZABE=90°,

AD±BE；

（3）①連接Cb交。E于O,由（1）知，AC=BC=3,ZACB=90°,

AB=3A/2,

***BD=3^2-％且AD=BE=x,Z.DBE=90°,

JDE2=BD2+BE2=（3V2-x）2+x2,

???點尸與點C關于OE對稱，

???。巴垂直平分”，

：.CE=EF,CD=DF,

VCCD=CE,

：.CD=DF=EF=CE,

ZDCE=90。,

???四邊形CDFE是正方形，

y=^=~（3A/^—X）+X2=x2—3y/2x+9,

???丁與x的函數表達式為y=爐—3缶+9（0<x<30）,

（05丫

由y=-3^2x+9=x——+—,

9

???其最小值為

②過。作。H_LAC于"，貝是等腰直角三角形,

AH=DH=—AD=-x,

22

連接OB,由直角三角形性質得OB=OE=OD=OC=OF,

：.OB=-CF,

2

：.ZCBF=90°,

VAC=BC=3,BF=1,

CF=y/BC2+BF2=V32+l2=710，

則,

22

,/CH2+DH2=CD2,

.,八5A/2V2

??A.D----或—.

22

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質和相似三角形的綜合應用，熟記全等三角

形的判定與性質和相似三角形判定與性質是解題的關鍵.

3.⑴AD=AG

(2)EF=4>/2,f=2殍2

小、6叵

7

【分析】(1)連接AF,證明RtADF^RtAGP(HL)可得結論；

(2)過石作￡?，。。于尸，則四邊形BEPC為矩形,可得PC=BE,EP=BC=4,證明

△EFP為等腰直角三角形.貝|EP=?=4,￡F=4A/2;由"。尸=PC=；(C。一尸尸)求解即

可；

(3)如圖2,先根據勾股定理求得所=2近，AE=3A/3,再證明AGE^EPF,利用相

似三角形的性質求解即可.

【詳解】(1)解:AD^AG.

證明：連接A尸，

F

DC

圖1

???四邊形ABC。是矩形，AG.LEF,

：.m=/AG產=90。，

?:DF=FG,AF=AF,

ARtAOF^RtAGF(HL),

：.AD=AG；

(2)解：:四邊形ABC。是矩形，

ZDAE=ZC=ZB=90°,AB//CD,CD=AB=46

過E作￡P_LOC于P,則N￡PC=N5=NC=90。.

???四邊形BEPC為矩形,

：.PC=BE,EP=BC=4,

???AG平分/RIB,

???ZG4E=45°.

ZAGE=ZAGF=90°,

???ZAEG=900-ZGAE=45°.

■:DC//AB,

???ZEFP=ZAEG=45°,

???為等腰直角三角形.

/.EP=FP=4.

EF=yjEP2+PE2=A/42+42=4^/2；

由題意得：BE=DF=t.

14、6-4「

???DF=PC=-(CD-PF)=-^—=273-2,

即r=2后-2；

FP

Z)iC

1

圖2

(3)解：如上圖2,則PC=BE=DF=g,PF=CD-2DF=2y/3,PE=BC=4,

EF=y/PF2+PE2=J(2回+42=2幣,AE=AB-BE=36,

?/DC//AB,

ZAEG=Z.EFP,又ZAGE=Z.EPF=90°,

.AGEs?EPF,

.AGAEHnAG34

PEEF42A/7

.-AG=^.

7

【點睛】本題考查矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、

勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用，利用相

似三角形的性質求解線段長是解答的關鍵.

4.(1)AE=CG,見解析

(2)見解析；當尤=:時，y有最大值;

(3)點E運動到AD的中點

【分析】本題考查了考查正方形的性質、二次函數的性質、相似三角形的判定與性質等，靈

活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

(1)先證明/ASE=/CBG,即可用SAS證明△A5E四△CBG即可得出結論；

r)pjr)p

(2)先利用兩角對應相等的兩個三角形相似證明一也硝，進而可得=即

AEAB

可求出函數解析式y=-f+x,繼而求出最值；

(3)要使，BEHS,BAE,需空=器,又因為‘ABESWEH,所以黑=器=:，即

ABBEBEAE2

1

二^=彳，所以當E點是4。的中點時，BEH^BAE.

AB2

【詳解】(1)解：AE=CG,

理由:

???四邊形ABCD,跳EG都是正方形，

；?AB=CB,BE=BG,ZABC=/EBG=90。,

：.ZABE+ZEBC=ZEBC^ZCBG=90°,

：.ZABE=ZCBG,

.??A5石空C5G(SAS),

：.AE=CG；

(2)如圖，

,/正方形ABC。和正方形BEFG,

???ZA=/D=/FEB=90。,

Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

Z1=Z3.

又??Z=ZD,

；?ABEs^DEH,

,DHDEy1-X

?kF即

,_2(1Y1

??y=-%+x=-lx--I+-，

當時，y有最大值為:；

24

(3)解：當E點是AD的中點時，_BEHs二BAE.

理由如下：

E是AD中點，

AE=—AD=—,

22

文lABEsDEH,

.EHPH1

"BE-AE-2'

又，，AE=!

乂.AB2,

.AEEH

又Z.DAB=/FEB=90°,

；?BEHyBAE.

5.(1)AE=BF,AE±BF,見解析；(2)見解析；(3)百

【分析】(1)證明△ABE/△■BCF,得到AE=3尸，44E=NFBC,進而推出/BPE=90。，

得到即可；

(2)過點C作尸,CNLPE,易得四邊形CVPM為矩形，證明,CMF烏OVE,得到

CM=CN,即可得出結論；

(3)在C。上截取CG=DF,連接AG,證明,.71Z)Gm3CR,得到M=AG,連接BG,

同法可得.ABEWBCG,得到AE=BG,延長BC至點H,使CH=BC,連接AH,易得CG

垂直平分3",得到3G="G,進而推出AE+防uAE+AGuAG+BGuAG+HGNAH,

利用勾股定理求出A”的長即可得出結論.

【詳解】解：(1)AE=BF,AEA.BF,理由如下：

,正方形ABCZ),

:.AB=BC=CD,ZABE=NBCF=90。,

；點E、尸分別是2C、CO的中點，

/.BE=-BC=-CD=CF,

22

AABE"4BCF,

/.AE=BF,ZBAE=ZFBC,

：.ZAEB+NFBC=ZAEB+NBAE=90。,

：.ZBPE=90°,

，AE±BF；

(2)過點C作如圖，

圖2

由(1)知：AE-LBF,

：./NPM=90。,

?.*CM±BF,CN±PE,

：.ZCMF=ZCNP=/CMP=Z.NPM=90°,

???四邊形0vpM為矩形，

/.ZNCM=90。,

,/NBCF=90。,

：.ZNCE=ZFCM=90°-ZECM,

??,點E、/分別是3C、CD的中點，BC=CD,

：.CE=CF,

：.:CMFm&CNE,

：.CM=CN,

又CM_LBF,CN工PE,

：.PC平分NEPF；

(3)在CO上截取CG=。/"連接AG,

?.?BE=DF,BC=CD,

：.CE=CF,

'：AD=BC,/D=NBCD=90°,

ADG^,BCF,

：.BF=AG,

，AE+BF^AE+AG,

連接3G,同法可得：ABE-BCG,

：.AE=BG,

：.AE+BF=AE+AG=AG+BG,

延長BC至點H,使CH=BC,連接A4,

則：CG垂直平分3”,

BG=HG,

，AE+BF=AE+AG=AG+BG=AG+HG>AH,

在Rt/XAB/f中，

AB=1,BH=2BC=2,

AH=Vl2+22=6,

，AE+BF的最小值為：石.

故答案為：75.

【點睛】本題全等三角形的判定和性質，角平分線的判定，中垂線的判定和性質，勾股定理

等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造特殊三角形和全等三角形是解題的關鍵.

6.(1)見解析

⑵甘

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，反比例函數的性質，矩形的性質，軸對

稱的性質，熟練掌握其性質，合理作出輔助線是解決此題的關鍵.

(1)設3(祖,〃依)，貝用含機，人的代數式表示出再代入y=8驗證

即可得解；

DF

(2)先由點5的坐標和左表示出OC=k-2,再由折疊性質得出2==，如圖，過點。作

BE

k

軸，過點8作即Uy軸，證出.DHEs&EFB,由比值關系可求出班7=2+—,最

4

后由5=DC即可求解.

【詳解】(1)解：設3(W加a),則A,,51,

?/AD〃彳軸，

...￡>點的縱坐標為上k,

m

?,?將》=上代入產依中得：士=ax得,

mm

kk

.??將％=一代入y=_中得出y=

amx

k

???函數y=勺的圖象必經過點C；

(2)二點5(1,2)在直線'=◎上,

?〃=2,

,y=2x,

.A點的橫坐標為1,C點的縱坐標為2,

?函數y='的圖象經過點A,C,

X

.CDA(1㈤,

.D(^,k

?DC=k—29

?把矩形ABC。沿5。折疊，點。的對應點為E,

k

?BE=BC=一一1,/BED=/BCD=90°,

2

DCk-2=2=匹

.BCBE，

2-1

如圖，過點D作。軸，過點3作5尸，y軸,

?/AD〃x軸,

???〃，A,。三點共線，

???NHED+NBEF=90°,ZBEF+ZEBF=90°,

ZHED=ZEBF,

?：/DHE=/EFB=90。,

：?_DHEs工EFB,

.DHHEDEc

??---=-----=-----=2,

EFBFBE

k

?；BF=1,DH=-

2

k

AHE=2,EF=~,

4

HF=2+-,

4

由圖知，HF=DC,

：.2+-=k-2,

4

.._16

??k=—；

3

7.(1)見解析

⑵f=|

【分析】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，線段垂直平分線的性質，菱形的判定，平

行四邊形的性質等等：

(1)由矩形的性質得到4D〃CF,則N0LE=NOCF,ZOEA=ZOFC,再由相等垂直平

分線的性質得到Q4=OC,AE=CE,證明Q4E絲。CF(AAS),得到AE=C尸，即可證

明四邊形AFCE是菱形；

(2)根據矩形性質得出？390?,根據垂直平分線的性質得出AF=CF,設&尸=b=xcm,

則3/=。6-x)cm,在RtAB尸中，由勾股定理得：82+(16-x)2=%2,求出AF=10cm,

再分情況討論可知，當尸點在跳■上、Q點在即上時，才能構成平行四邊形，根據平行四

邊形的性質列出方程求解即可.

【詳解】(1)解：四邊形AFCE是菱形，理由如下：

:四邊形是矩形，

AD//CF,

：.ZOAE=ZOCF,ZOEA=ZOFC,

???AC的垂直平分線所分別交A。，BC于點E、F,垂足為0,

OA=OC,AE=CE,

.OAE^,OCF(AAS),

：.AE=CF,

???四邊形AFCE是平行四邊形，

AE=CE,

；?四邊形AFCE是菱形；

(2):四邊形ABCD是矩形，

：.7B90?,

,/AC的垂直平分線是EF,

AF=CF,

設AF=CF=xcm,則BF=(16—x)cm,

...在RtAB尸中，由勾股定理得AB2+B尸=4尸

82+(16-X)2=%2,

解得x=10,

AF=10cm；

顯然當尸點在"上時，。點在CD上，此時A、C、P、。四點不可能構成平行四邊形;

同理尸點在上時，。點在OE或CE上或P在即，。在C。時不構成平行四邊形，

只有當尸點在即上、Q點在即上時，才能構成平行四邊形，

...以A、C、P、。四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA,

,點尸的速度為5cm/s,點。的速度為4cm/s,

PC=5r-10+10=5tem,QA=16-（4r-8）=（24-4r）cm,

，5t=24—4/,

Q

解得：

Q

...以A、C、尸、。四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，f=|.

8.(1)26,2t

(2)5.5

(3)f=2.5時,2(18,12)；/=9吐。(5,12)；4=4時,2(-5,12)

(4)32+4兩

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的性質、勾股定理、軸對稱的性質以及

坐標系的相關知識，掌握平行四邊形的性質是解答本題的關鍵.

(1)根據點的坐標先求出49、OC,根據運動求出PC長即可；

(2)根據四邊形是平行四邊形得到=根求出時間t即可；

(3)根據。點在直線上，P點在線段BC上，即可知。、D、。、P四點為頂點的菱形有

兩條邊為和0D，分為。點在尸點的右邊，。點在尸點左側且在3c線段上，。點在尸點

左側且在BC延長線上三種情況，根據菱形的性質列方程解答即可；

(4)作點A關于直線BC的對稱點4(26,24)，將點H向左平移6個單位得到點N(20,24),

連接NO,交C8于點尸，點尸向右6個單位得到點此時，四邊形Q4Mp的周長最小,

根據勾股定理求出ON長即可.

【詳解】(1)解：；A(26,0),C(0,12),

:.OA=26,OC=8,

由運動知，PC=2t,

故答案為：26,2t；

(2)解：：點。是OA的中點，

:.OD=-OA=13,

2

:BC=24,

BP=BC—PC=24—2t,

:四邊形PDAB是平行四邊形，

，PB=AD=13,

.-.24-2r=13,

解得f=5.5,

.?.當/值為5.5時，四邊形也她是平行四邊形.

故答案為：5.5；

(3)解：分三種情況：

①當。點在P點的右邊時，如下圖,

?.?四邊形。。QP是菱形，

OD=OP=PQ=13,

...在RtOPC中，由勾股定理得：PC=5,

?**2t=5,解得t-2.5,

。(18,12)；

②當。點在尸點左側且在線段上時，如圖,

圖2

同理①得尸C=18,

即2%=18,

解得:9,

<2(5,12)；

③當。點在尸點左側且在BC延長線上時，如圖3,

杖

QcpB

'\'\\

__\____\____1.

~o\DAX

圖3

同理①求出QC=5,PC=13-5=8,

即2f=8,

解得"4,

.-.2(-5,12)；

綜上，t=2.5時,0(18,12)；f=9時，2(5,12)；f=4時，2(-5,12)；

(4)解：作點A關于直線BC的對稱點4(26,24),將點A向左平移6個單位得到點N(20,24),

連接NO,交CB于點。，點P向右6個單位得到點M,此時，四邊形。4Mp的周長最小，

理由：

PN=A,M.PM=6,OA=26,

???四邊形Q4MP的周長

=AM+PM+OP+OA

=AM+PM+OP+OA

=PN+PM+OP+OA

=NO+6+26

=NO+32,

由點N的坐標得，ON=,24?+2(y=4761，

四邊形Q4Mp的周長最小值為32+4府，

故答案為：32+4A/6T.

9.(1)見解析

I3

(3)①見解析；②y=-/+x(O<x<3),y最大值為了

【分析】本題考查了正方形和圓的對稱性，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形、相似三角

形的判定和性質，“一線三等角”模型，二次函數的性質等知識點，構造全等三角形及相似三

角形求出相關的邊角關系是解答本題的關鍵.

(1)根據圓內接四邊形對角互補以及鄰補角的性質可得=再由翻折圖形的對

稱性可得ZPCE=ZPCE,進而通過ZPCE=NCGE證得結論.

(2)通過構造/EG"=90。，結合圓周角定理及同角的余角相等證明△CPEs^CEG,進而

推出△CPE也為等腰三角形，然后由等腰三角形和正方形的性質推出=即可求出

答案.

(3)①根據正方形的性質及翻折的對稱性推出當△CEM,然后得到44Mp=NC%E,

再結合垂徑定理推論推出ZAMO=NCMO,最后通過證明△AMO/△GMO得出AO=CO,即

點A在。上.

②作輔助線構造RtZSEWRtZ/E得到窄=當，然后代值可得尸-人+》,再通過配方

rl3

法求出y最大值.

【詳解】(I)證明：四邊形GECP為。內接四邊形，

/.ZPGE+ZPCE=180°,

ZPGE+ZCGE=180°,

:.ZPCE=ZCGE.

根據題意△CP岸,則ZPCE=ZPCE.

:.ZPCE=ACGE,

??「CEG為等腰三角形.

(2)解：如圖，連接石。并延長交。于點H,作尸/LCD,/為垂足.

EH是:。的直徑,

CIED

:"EGH=9伊,

由于。與CE相切，/CEH=90。,根據同角的余角相等可得NCEG=NGHE.

NCPE=/GHE,

:.ZCPE=ZCEG,

ZECP=ZGCE,

ACPEs叢CEG.

由（1）知&CEG為等腰三角形，則△CPE也為等腰三角形，CP=PE.

由等腰三角形的性質可得CI=IE,

根據平行線間距離相等可得BP=CI,

如圖，連接30,

H

點M是正方形中心,

.?.BD必定經過點且BM=DM,

BP//DE,

...ZBPM=ZDEM,

ZPMB=AEMD,

APA16^A￡MD(AAS),

:.BP=ED.

.AB=CD=CI+IE+ED=2CI+ED=2BP+ED=3BP.

1

——BP=-.

AP2'

(3)①證明：如圖，連接正方形ABC。的對角線AC,CM=AM.

根據（2）中論述可得=CE=PA.

由翻折圖形關于折線軸對稱的性質可得CW=CM,CE=C'E.

:.PA=C'E,AM=CM.

AAPM^AC'EM（SSS）.

.\ZAMP=ZCME.

點M是。中弦PE的中點.

:.OMLPE.

根據等角的余角相等可得ZAMO=ZCrMO.

OM=OM,

ZkAMO^ACW(SAS).

:.AO=CO,

.,?點人在《。上；

:.PF為。的直徑.

/.ZPEF=90°.

ZDEF+ZPEI=90°,

ZIPE+ZPEI=90°f

:.ZDEF=ZIPE.

RtADEF^RtA/PE.

.DFDE

,,1E~~PF?

PI=BC=6,DE=BP=X,DF=y,IE=CD-CI-DE=6-2DE=6-2x

X-11333

/.y=-x(6-2x)=__x2+x=——(zx——)2+—<—.

633244

33

當時，符合x所在范圍，y有最大值

24

I3

故y=-彳尤2+尤(。<%<3),y最大值為7.

34

4

10.WBE=-

(2)①見解析；②=.

PE〃+1

【分析】本題主要考查了旋轉、四邊形和全等三角形綜合，解題關鍵是構造K字形全等證

明AH=PK,EK=HP.

⑴過點后作良上鉆于點兒過點尸作胸上也于點小交加于點長構造長字形全等,

可得A"=PK,EK=HP,進而可得HP=HD=EK=KC,再根據點G為CD的中點時，

HP1

^^trnZPAH=—=—=-,由此得出A/f=2印^27ro,進而可得

ADAH2

4

AD=AH+HD=3HD=4,由此求出//￡>=,,再根據8E=3C—EK—KC即可求出；

（2）①過點尸作HK_LA。于點H,交BC于點K,過點尸作月0，8于點”，由（1）可

證明四邊形"PMD是正方形，再根據到角兩邊距離相等的點在角的平分線上即可得出結論;

②由已知可得2.=*=緇=/再根據比〃皿可彳嚕糕—,

PQHP1

即可得出

PE~AH~n+\

【詳解】（1）解：過點E作于點尸，過點P作砍_1_4）于點“，交BC于點K

由旋轉可知：ZAEF=90°,AE=AF,

：.NE4F=45。，

VZAPE=90°,

???ZAEP=ZEAP=45°,

^AP=EP,

■:/EPK+ZAPH=ZPAH+ZAPH=90°,

IZEPK=ZPAHf

???在正方形ABCD中，NC=NZ)=90。，AD=CD,

???四邊形C/)"K是矩形，

：.ZAHP=ZPKE=90°f

：.二AHP均PK石(AAS),

?AH=PK,EK=HP,

?四邊形CD/火是矩形,

；?HK=CD=AD=4,HD=KC,

PK+HP=AH+HD=4,

：.HP=HD=EK=KC,

??,當點6為8的中點時，正方形的邊長為4,

：.DG=GC=2,

./“EDGHP1

??tan--------=~,

ADAH2

IAH=2HP=2HD,

：.AD=AH+HD=3HD=4,

.4

.??HD=~,

3

4

???HP=HD=EK=KC=-,

3

444

BE=BC-EK-KC=4---------=—.

333

(2)①過點石作￡?，詼于點P,過點尸作”于點交3C于點K,過點尸作

PMLCD于點M,

圖2

由(1)可知：HP=HD,NPHD=NHDM=90°,

四邊形HPMD是正方形，

/.HP=PM,

：.平分NADC,

②當隼=〃時，即CG="OG,

DG

：.AD=CD=CG+DG=(n+I)DG,

：.tanNDAG=—=

ADn+1

HP1

------tan/DAG-------

AH〃+1

,在正方形ABC。中，BC//AD,

.PQHP

??一,

PEPK

由（1）得PK=AH,

.PQHP1

"PE~AH~71+1,

11.(1)13；(2)OE+OD的最小值為2；(3)兩條石子小路長度之和的最小值為30Mm.

【分析】(1)如圖,連接AC,先求解AC=752+122=13，結合當A。，C三點共線時，AO+CO

最短，從而可得答案；

(2)過點B作3尸〃AC,S.BF=OC,連接Ob,OF,OF交AB于點G.證明

△COE四△37*(SAS),可得當。、D、尸三點共線時，OD+小最小，此時點。與點G重

合，OE+OD=OF,從而可得答案；

(3)過點A作AG〃flD,S.AG=OC,連接GE,DG,DG交AB于點、H.證明

△AGE/ACOF(SAS),可得OF+DE=GE+DENGD,當點G、E、。三點共線時，GE+DE

最小，此時點E與點H重合，0/+上=3。，過點G作GWLAD交D4的延長線于點M.再

進一步求解即可.

【詳解】解：(1)如圖，連接AC,

C

VZABC=90°,AB=5,3c=12,

AC='52+12?=13,

:點。是對角線8。上的動點，

.,.當A,O,C三點共線時，AO+CO最短，

AO+CO最小值為13.

(2)過點B作3尸〃AC,且BR=OC,連接Ob,OF,。/交A8于點G.

A

四邊形3C0P是平行四邊形，則OF=BC=2.

：VABC是等邊三角形，BF//AC,

：.ZABF=ZA=ZC=60°.

在COE和△BED中，CE=BD,NECO=NDBF,CO=BF,

：.ACOE^ABFr>(SAS),

OE=FD,

，OE+OD=FD+OD>OF,

...當。、。、下三點共線時，OD+DF最小,此時點。與點G重合，OE+OD=OF,

OE+OD的最小值為2.

(3)過點A作AG//3D,且AG=OC,連接GE,DG,DG交AB于點H.

:四邊形ABCD是正方形，AG//BD,

：.Z.GAB=ZABD=/BCA=Z.BAC=Z.DAC=45°.

在AGE和二COP中，AG^CO,ZGAE=ZOCF,AE=CF,

：.AAGE^ACOF(SAS),

GE=OF,

：.OF+DE^GE+DE>GD,

當點G、￡、D三點共線時，GE+DE最小,此時點E與點“重合，OF+DE^GD.

過點G作GMLAD交ZM的延長線于點M.

:四邊形ABCD是正方形，AB=60m,

AD=AB=60m,AC=BD=60s