2025年中考數(shù)學二輪復習考前預測：圖形的對稱

選擇題（共10小題）

1.（2025?雁塔區(qū)校級模擬）在剛剛過去的第33屆夏季奧運會中，中國健兒創(chuàng)造了新的境外參加奧運會的

最佳成績.在以下給出的運動圖標中，屬于軸對稱圖形的是（）

中

出八

2.（2025?安陽模擬）如圖，將一個正方形紙片沿圖中虛線剪成四部分，恰能拼成一個沒有縫隙且不重疊

的等腰三角形，則這個正方形的邊長與等腰三角形的底邊長的比為（）

C+]口+1

4,5

3.（2025?河北模擬）如圖，DABC。中，AB=5,AD=8,將口48。沿對角線8。折疊，使點A落在平面

上A'處.若AC=5,則8。長為（

C.7.8D.375

4.（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，正方形ABC。的邊長為6,將正方形折疊，使頂點。落在邊上的點

E處,折痕為GH若點E恰好是BC的中點，則線段的長為（）

D

B

''IB.V3C.3*

5.（2024?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標系中，點A（2,-3）與點8（a,b）關于y軸對稱，則（）

A.a=2,b~~~3B.a=2,b~~3C.-2,b~~~3D.-2,b~~3

6.（2024?山西模擬）如圖，將一張圓形紙片對折三次后，沿圖④中的虛線剪下（點A和8為半徑的

中點），得到兩部分，去掉有圓弧的部分，剩余部分展開后得到的平面圖形的內角和為（）

7.（2024?橋西區(qū)模擬）如圖，已知AD〃8C,AB±BC,AB=6,點E為射線BC上一個動點，連接AE,

將△ABE沿AE折疊，點8落在點尸處，過點P作的垂線，分別交AD,于M,N兩點.

①當點P為的中點時，NE=M；

②當點P為MN的三等分點時，NE=&或夏豆;

5

③當NP=9時，ZBAP=120°.

以下選項正確的為（）

AMD

B'"ENC

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.（2024?涼州區(qū)三模）如圖，在長方形A8CD中，點E是CD上一點，連接AE,沿直線AE把△&￡）￡；折

疊，使點。恰好落在邊BC上的點尸處.若AB=8,CE=3,則折痕AE的長度為（）

A.573B.10c.5V5D.15

9.（2024?武漢模擬）對于平面直角坐標系xOy中的任意線段MN,給出如下定義：線段MN上各點到x

軸距離的最大值，叫做線段MN的“軸距”，記作dMN.例如，如圖，點M（-2,-3）,N（4,1）,則

線段的''軸距”為3,記作dMN=3.已知點E（-l,M,F（2,/M+2）,線段所關于直線y=2

的對稱線段為GH.若dGH=3,則機的值為（）

C.7或-1D.1或5

10.（2024?邯山區(qū)校級三模）①?⑥是三個三角形的碎片，若組合其中的兩個，恰能拼成一個軸對稱圖形,

則應選擇（）

二.填空題（共5小題）

11.（2025?汕頭模擬）如圖，在直角三角形ABC中，NC=90°,ZBAC=60°,AC=6,點。是BC邊

上的一點（不與8、C重合），連接A。，將△ACD沿折疊，使點C落在點E處，當△8OE是直角

三角形時，CD的長為

12.（2025?登封市一模）如圖，在矩形A8CD中，48=4,8C=8,點E是射線8C上一點，眼=?,連接

CE

AE,將AABE沿AE翻折，得到△APE,延長AF,交CD的延長線于點M,則DM

13.（2025?崇明區(qū)一模）四邊形A8C。中，AD//BC,ZABC=90°,AB=5,BC=12,AD=8,將A8沿

過點A的一條直線折疊，點8的對稱點落在四邊形ABC。的對角線上，折痕交邊8C于點P（點P不與

14.（2025?虹口區(qū)一模）如圖，在RtZkABC中，ZABC=90°,AC=5,tanC=2,。是AC上的動點，將

△BCD沿2。翻折，如果點C落到△ABD內（不包括邊），那么CD的取值范圍

是.

15.（2025?普陀區(qū)一模）△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點。在邊8C上，CD=2,如圖所

示.點E在邊AB上，將△8OE沿著。E翻折得OE,其中點8與點8對應，夕E交邊AC于點G,

B'。交AC的延長線于點如果HG是等腰三角形，那么2￡=

A

16.(2025?雁塔區(qū)校級一模)如圖所示，在邊長為1的小正方形網格中，AAOB的頂點都在格點上.

(1)8點關于y軸的對稱點的坐標為；

(2)將△AOB向左平移3個單位長度得到△40181,請畫出△4。出1；

(1)若與△481。關于y軸的對稱，則4、21的坐標分別是

(2)請僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.

①在圖1中，找一格點尸，使得NAPO=45°；

②在圖2中，作出△A8O的高AQ.

18.(2024?南寧一模)如圖，在平面直角坐標系中，AABC的三個頂點坐標分別為A(1,1),B(3,4),

C(4,2).

(1)在圖中畫出△ABC關于無軸對稱的△481C1；

(2)通過平移，使C1移動到原點。的位置，畫出平移后的△AzB2c2.

(3)在△A8C中有一點P6w,w),則經過以上兩次變換后點尸的對應點P2的坐標為

19.(2024?香坊區(qū)校級四模)如圖是4X4的正方形網格，請僅用無刻度尺的直尺按要求完成以下作圖.

(1)在圖1中作四邊形48C。，使點C,D在格點上，并且四邊形ABC。為軸對稱圖形.(畫出一種即

可)

(2)在圖2中的線段上作點Q,使PQ最短.(用實線保留作圖痕跡)

圖1圖2

20.(2024?豐臺區(qū)二模)如圖，在等邊△ABC中，過點A在AB的右側作射線AP,設(60°<

a<90°),點B與點E關于直線AP對稱，連接AE,BE,CE,且BE,CE分別交射線AP于點F.

(1)依題意補全圖形；

(2)求NA7茶的大小；

(3)用等式表示線段ARCF,。尸之間的數(shù)量關系，并證明.

2025年中考數(shù)學二輪復習考前預測：圖形的對稱

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?雁塔區(qū)校級模擬）在剛剛過去的第33屆夏季奧運會中，中國健兒創(chuàng)造了新的境外參加奧運會的

最佳成績.在以下給出的運動圖標中，屬于軸對稱圖形的是（）

A,B中

【考點】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】B

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：選項A、C、。的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

選項B的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對稱圖形；

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.（2025?安陽模擬）如圖，將一個正方形紙片沿圖中虛線剪成四部分，恰能拼成一個沒有縫隙且不重疊

的等腰三角形，則這個正方形的邊長與等腰三角形的底邊長的比為（）

2345

【考點】圖形的剪拼；等腰三角形的判定與性質；正方形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】c

【分析】如圖，等腰三角形紙片沿圖中虛線剪成四塊圖形，能拼成一個沒有縫隙的正方形和矩形，根據

題意得Q+6）2=b（b+a+b）,設a=l,求出匕上應，進而求出正方形的邊長與等腰三角形的底邊

2

長的比.

【解答】解：如圖，等腰三角形紙片沿圖中虛線剪成四塊圖形，能拼成一個沒有縫隙的正方形和矩形,

b

設〃=1,

根據題意，得（〃+/?）2=b（b+〃+8）,

解得（負值舍去），

2

正方形的邊長與等腰三角形的底邊長的比為：

（a+b）：2b=（1芍匠）：（2X邛恚含

故選：C.

【點評】本題主要考查一元二次方程與圖形有關的應用，解此題的關鍵在于將等腰三角形拆解拼成另一

個沒有縫隙的矩形，再利用面積相等得到相關邊的長度關系.

3.（2025?河北模擬）如圖，口42。中，AB=5,A￡>=8,將口ABC。沿對角線2。折疊，使點A落在平面

上A'處.若AC=5,則BD長為（）

A.8B.5^3C.7.8D.375

【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；平行四邊形的性質；矩形的判定與性質.

【答案】c

【分析】由平行四邊形和折疊得到A2=A'B=C￡)=5,AO=A'D=BC=8,/ADB=/A'DB=NCBD,

過C作CF_L8。于F,過A'作A'E1,BD于E,再證明△BCFgZklM'E(AAS),得到A'E=CF,

DE=BF,即可得到。尸=BE,四邊形A'EFC是矩形，A'C=EF=5,DF=BE=x,貝I]

=5+尤，BD=DF+BF=5+2x,再在RtzXBC尸和RtADCF中，利用勾股定理得至ljC尸="呼-8尸=Z)C2

尸，代入列方程求解即可.

【解答】解：過C作C以于凡過A'作A'E_LBD于E,則NA'EB=NA'ED=NCFB=NCFD

=90°,

/E7/

A"B

由題意可得：AB=CD=5,AD=BC=8,AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

:由折疊的性質可得：

：.AB=A'B=5,AD=A'0=8,ZADB=ZA'DB,

：.AB=A'B=CD=5,AD=A'D=BC=S,/ADB=NA'DB=ZCBD,

VZAZED=ZCFB=90°,A'D=BC=8,ZA'DB=ZCBD,

:.ABCF當ADA'E(A4S),

E=CF,DE=BF,

:.DE-EF=BF-EF,

即DF=BE,

VZAZED=NCFB=90°,

：.A'E//CF,

'：A'E=CF,

...四邊形A'EFC是矩形，

：.A'C=EF=5,

設。尸=8E=x,貝U8F=EP+BE=5+x,BD=DF+BF=5+2x,

：.CF2=BC2-BF2=82-(5+x)2,

CF2=DC2-。尸2=52_/,

82-（5+無）2—52-x2,

；.8￡）=5+2x=7.8.

故選：C.

【點評】本題考查平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，折疊的性質，勾股定理，根據題意，作出輔

助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

4.（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，正方形ABC。的邊長為6,將正方形折疊，使頂點。落在8c邊上的點

E處,折痕為GH.若點￡恰好是BC的中點，則線段的長為（）

A.3B.A/3C.3D.9

24

【考點】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱.

【答案】D

【分析】根據折疊可得DH=EH,在直角中，設CH=x,則DH=EH=6-x,根據E是BC的

中點，可得CE=3,可以根據勾股定理列出方程，從而解出C/Z的長.

【解答】解：設CH=x,則DH=EH=6-尤，

:點E恰好是BC的中點，BC=6,

.?.CE=_1BC=3,

2

在RtAECH中,Elf=EC2+CH1,

（6-無）2=32+X2,

解得：x=—,

4

即CH=2.

4

故選：D.

【點評】本題主要考查正方形的性質以及翻折變換，折疊問題其實質是軸對稱變換.在直角三角形中,

利用勾股定理列出方程進行求解是解決本題的關鍵.

5.（2024?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標系中，點A（2,-3）與點8（a,b）關于y軸對稱，則（）

A.〃=2,b--3B.。=2,b=3C.a=-2,b--3D.a—-2,b=3

【考點】關于X軸、y軸對稱的點的坐標.

【專題】平面直角坐標系；符號意識.

【答案】C

【分析】根據“關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”即可求出a、b的值.

【解答】解：在平面直角坐標系中，點A（2,-3）與點8（a,b）關于y軸對稱，貝Ua=-2,b=-3.

故選：C.

【點評】本題考查了關于y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關于y軸

對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù).

6.（2024?山西模擬）如圖，將一張圓形紙片對折三次后，沿圖④中的虛線剪下（點A和B為半徑的

去掉有圓弧的部分，剩余部分展開后得到的平面圖形的內角和為（）

B

圖①圖③圖④

A.360°B.720°C.1080°D.1440°

【考點】剪紙問題.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】C

【分析】由題意得出剩余部分展開后得到的平面圖形是正八邊形，再根據多邊形的內角和公式計算即可

得出答案.

【解答】解：將一張圓形紙片對折三次后，沿圖④中的虛線AB剪下（點A和8為半徑的中點），得到

兩部分，去掉有圓弧的部分，剩余部分展開后得到的平面圖形是正八邊形,

剩余部分展開后得到的平面圖形的內角和為（8-2）X18O0=1080°,

故選：C.

【點評】本題考查了多邊形的內角和，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用.

7.（2024?橋西區(qū)模擬）如圖，已知AO〃8C,AB1.BC,A8=6,點E為射線BC上一個動點，連接AE,

將△ABE沿AE折疊，點B落在點尸處，過點P作的垂線，分別交AD,于N兩點.

①當點尸為MN的中點時，NE=6；

②當點尸為MN的三等分點時，NE=6或旦Y1；

5

③當NP=9時，ZBAP=120°.

以下選項正確的為（）

A_______M。

工

BENC

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考點】翻折變換（折疊問題）；平行線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】由AD〃8C,AB±BC,證明/8=NZMB=90°,而MN_LBC于點N,則/MN8=90°,可

證明四邊形ABNM是矩形，所以NAMN=90°,MN=AB=6,可證明NEPN=則膽=tanN

PN

EPN=tan/B4M=里,由折疊得AP=AB=6,當點P為MN的中點時，則PM=PN=3,所以3y,

AM

求得NE=PM'PN=y,可判斷①正確；當點尸為MN的三等分點，且PM=1MN=2,則PN=4,所

AM3

以AM=4芯,求得NE=PM"FM=&；當點尸為A/N的三等分點，且PM=2MN=4,則PN=2,所

AM3

以AM=2娟，求得N￡=叩N=生Zl_,可判斷②錯誤；若PN=9,則PM=PN-MN=3,所以sin

AM5

/必加=里=工，則/E4M=30°,求得N8AP=120°,可判斷③正確，于是得到問題的答案.

AP2

【解答】解：,：AD//BC,AB1,BC,

：.ZB=90°,

AZDAB=180°-ZB=90°,

■:MNLBC于點、N,交A￡＞于點M,

:./MNB=90°,

四邊形ABNM是矩形，

?.ZAMN=90°,MN=AB=6,

：.ZEPN=ZPAM^90°-ZAPM,

.'.I?.=tanZEPN=tanZPAM=里，

PNAM

由折疊得AP=A3=6,

如圖1,點尸為MN的中點，則尸M=PN=JLMN=3,

2

收=7AP2-PM2=762-32=3心

,2V￡=P1PPN=3X3=^)

AM373

故①正確；

如圖2,點尸為MN的三等分點，且PM=1MV=2,則PN=2MN=4,

33

：.AM==VAP2-PM2=V62-22=4^2)

：.NE=PM?PN=2X4尸應

AM4V2

如圖3,點尸為MN的三等分點，且PM=ZvW=4,則PN=LMN=2,

33

：.AM==VAP2-PM2=V62-42=2^5,

PM'PN_4X2_4V5

：.NE=

AM2V55

：.NE=&或

5

故②錯誤；

如圖4,PN=9,則PM=PN-MN=9-6=3,

■:/AMP=NMNB=90°,

sinZB4M=^.=A=A,

AP62

：.ZPAM=30°,

ZBAP=ZDAB+ZPAM=90Q+30°=120°,

故③正確,

故選：B.

圖4

AMD

B~~~ENC

圖3

圖1

【點評】此題重點考查平行線的性質、軸對稱的性質、矩形的判定與性質、同角的余角相等、勾股定理、

銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，證明4M并且推導出嶇=更是解題的關鍵.

PNAM

8.（2024?涼州區(qū)三模）如圖，在長方形A8CD中，點E是C。上一點，連接AE,沿直線AE把△ADE折

疊，使點。恰好落在邊上的點尸處.若AB=8,CE=3,則折痕AE的長度為（）

A.5?B.10C.5V5D.15

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】C

【分析】由矩形的性質得出CD=AB=8,AD=BC,由折疊的性質得EF=DE=CD-CE=5,

在RtzXCEE中，由勾股定理得C.=4EF2_CE2=4,設8C=AO=AF=X，則8尸=尤-4,在RtZXAB尸

中，由勾股定理解出方程，即可求出AE得到答案.

【解答】解：???四邊形A8CD是矩形，

：.CD=AB=8,AD=BC,ZC=ZB=90°,

由折疊的性質得：AF^AD,EF=DE=CD-CE=8-3=5,

在RtZ^CE尸中，由勾股定理得：C.=在茨2_a2=4,

設BC=AD=AF=x,貝!|BF=x-4,

在尸中，由勾股定理得：82+(尤-4)2=?,

解得：x=10,

.\AD=10,

在RtZXAOE中，

AE=22

VAD+DE=V102+52=5找’

故選：c.

【點評】本題考查了翻折變換的性質、矩形的性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握翻

折變換和矩形的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

9.(2024?武漢模擬)對于平面直角坐標系xOy中的任意線段MN,給出如下定義：線段上各點到x

軸距離的最大值，叫做線段MN的“軸距”，記作dMN.例如，如圖，點M(-2,-3),N(4,1),則

線段MN的“軸距”為3,記作dAW=3.已知點E(-l,M,F(2,m+2),線段所關于直線y=2

【考點】坐標與圖形變化-對稱.

【專題】平面直角坐標系；推理能力.

【答案】D

【分析】先求出G、X的坐標，然后根據軸距的定義，構建方程.

【解答】解:；點、E(-1,加)，F(xiàn)(2,機+2),

：.E,尸關于直線y=2的對稱點G(-1,-〃?+4),H(2,-m+2),

當|4-加|2|2-刑時，dGH—3,

；.|4-M=3,

.■.772=1或=7,

當|4-m]<2-詞時，dGH=3,

；.[2-冽=3,

.'.m—-1或=5,

綜上所述%=1或=5,

【點評】考查了軸坐標與圖形變化-對稱，線段PQ的“軸距”的定義等知識，解題的關鍵是理解新定

義，屬于中考常考題型.

10.(2024?邯山區(qū)校級三模)①?⑥是三個三角形的碎片，若組合其中的兩個，恰能拼成一個軸對稱圖形,

【考點】利用軸對稱設計圖案.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】B

【分析】根據三角形內角和是180。且利用圖形己知的兩個角的度數(shù)分別求出另一個角的度數(shù)，然后利

用等腰三角形定義及等腰三角形是軸對稱圖形判斷即可

【解答】解：；②180°-(30°+75°)=75°,④圖形一個角是75°,

...②和④可以組成一個三角形，且這個三角形是等腰三角形，是軸對稱圖形,

:⑤180°-（30°+35°）=115°,③圖形一個角是115°,

...③和⑤可以組成一個三角形，這個三角形三個角都不相等，故不是軸對稱圖形，

V18O0-（90°+63°）=27°,①圖形一個角是27°,

...①和⑥可以組成一個三角形，這個三角形三個角都不相等，故不是軸對稱圖形.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形內角和和軸對稱圖形，熟練掌握三角形內角和定理和軸對稱圖形的定義是解

題的關鍵；

填空題（共5小題）

11.（2025?汕頭模擬）如圖，在直角三角形A3C中，NC=90°,ZBAC=60°,AC=6,點。是邊

上的一點（不與8、C重合），連接AD,將△AC。沿折疊，使點C落在點E處，當△班汨是直角

三角形時，CD的長為6或2y.

【考點】翻折變換（折疊問題）；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據勾股定理得到5C=7AB2-AC2=6^31根據已知條件得到當△8DE是直角三角形時，

/BDE=90°或/BED=90。，①當/8。￡=90°時，則/CD￡=90°,根據折疊的性質得到/ADC=

NADE=45°,于是得到CD=AC=6,②當/BED=90°時，根據折疊的性質得到NAED=NC=90°,

ZCAD=ZEAD,AC^AE,推出點“在AB上，根據勾股定理即可得到結論.

【解答】解：在中，ZBAC=60°,AC=6,

AZABC=30°,

：.AB=2AC=12,

,'*BC=VAB2-AC2=6^3,

:點。是BC邊上的一點，

AZDBE^90°,

...當△BDE是直角三角形時，NBDE=90°或N8EO=90°,

①當/BDE=9Q°時，則NCDE=90°,

:將△AC。沿AD折疊，使點C落在點E處,

：.ZADC=ZADE=45°,

：.CD=AC=6,

②當/BED=90°時，

:將△AC。沿折疊，使點C落在點E處，

AZAED=ZC=90°,ZCAD=ZEAD,AC=AE,

：.ZAED+ZBED=180°,

.,.點E在AB上，如圖，

：.AE=AC=6,BE=AB-AE=6,ZCAD=ZBAD,

:.CD=DE,

:。5+8￡2=3。2,

：.CD2+62^（6A/3-CD）2,

:.CD=2M，

綜上所述，CO的長為6或2?,

故答案為：6或2禽.

【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握折疊的性質是解

題的關鍵.

12.（2025?登封市一模）如圖，在矩形A8CD中，AB=4,BC=8,點E是射線8C上一點，巫=?,連接

CE

AE,將△ABE沿AE翻折，得到△AFE,延長AF,交。的延長線于點則也■或理

-3-3-

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】巨或理.

33

【分析】情形①如圖當點E在線段BC上時，情形②如圖當點E在線段8c的延長線上時分別求解即可

解決問題；

【解答】解：情形①如圖當點E在線段2C上時，

：8C=8,BE=3EC,

：.EC=2,E8=EF=6,：四邊形A8CO是矩形，

AZADC=ZADM=90°,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB=ZAEG,

J.AG^EG,設AG=EG=x,

在RtZXAFG中，ZAFG=90°,AF=AB=4,FG=6-x,

.'.X2=42+(6”x)2,

.?人r=-1-3-,

3

:.FG=EF-EG=旦,

3

■an/ZMM=H=典，

AFAD

5_

.T=DM

"TT'

：.DM=^-,

3

情形②如圖當點E在線段BC的延長線上時，

：.EC=4,EB=EF=n,

???四邊形ABC。是矩形，

ZADC=ZADG=90°,AD//BC,

：.NDAE=ZAEB=NAEG,

：.AG=EGf設AG=￡G=x,

在RtZXAbG中，ZAFG=90°,Ab=A3=4,FG=U-x,

.*.X2=42+(12-x)2,

?丫=20

3

：.FG=EF-EG=^-,

3

?：tanZDAM=^-=^-,

AFAD

16

?V=DM

"V1"，

:.DM=31,

3

故答案為：蛇或絲.

33

【點評】本題考查翻折變換（折疊問題）、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、等腰三

角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題,屬于中考填空題中的壓軸題.

13.（2025?崇明區(qū)一模）四邊形A8C。中，AD//BC,ZABC=90°,AB=5,BC=12,AD=8,將AB沿

過點4的一條直線折疊，點B的對稱點落在四邊形ABC。的對角線上，折痕交邊BC于點P（點P不與

點8重合），那么尸C長為空或迫.

—3—8―

【考點】翻折變換（折疊問題）；平行線的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】空或工1.

38

【分析】分點3的對稱點夕落在對角線AC上和落在對角線8。上兩種情況，分別畫出圖形解答即可求

解.

【解答】解：如圖，當點B的對稱點9落在對角線AC上時，

BpC

由折疊可得，A8=A8=5,PB』PB,ZAB'P=ZABP=90°,

：.ZCB'P=90°,

VZABC=90°,AB=5,BC=12,

?，-AC=VAB2+BC2=752+122=13;

：.B'C=AC-AB=13-5=8,

i^P'B=PB=x,貝!JPC=12-x,

,:PB,2+B,C2=PC2,

.*.X2+82=(12-x)2,

解得=也，

3

如圖，當點2的對稱點8'落在對角線3。上時，設AP與2D相交于點G,

AD

B

由折疊可得，APLBD,

：.ZAGB=ZBGP=90°,

,:AD〃BC,ZABC=90°,

：.ZBAD=180°-ZABC=180°-90°=90°,

BD=VAB2+AD2=7B2+82=V89，

..11

,SAABD^-BD'AG=yAB-AD-

?,-j-xV89XAG=yX5X8-

?…40西

,?AG=------，

89______________

?"二1口2-2lc2/40V89.225789

,：ZBAG+ZABG^90°,ZPBG+ZABG^9Qa,

：.ZPBG=ZBAG,

,：ZBGP=ZAGB=90°,

:.△BGPs^AGB,

25幅

.BPBG明BP89

ABAG540V89

89

BP號，

o

，CP=BC-BP=12湊嘴;

綜上，PC長為空或11,

38

故答案為：空或工I

38

【點評】本題考查的折疊的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，運用分類討論思想解答是解題

的關鍵.

14.（2025?虹口區(qū)一模）如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,AC=5,tanC=2,。是AC上的動點，將

△8CO沿8。翻折，如果點C落到△A8。內（不包括邊），那么CD的取值范圍是1<C￡）<立

【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】1<CD<5.

3

【分析】由/ABC=90°,tanC=2,AC=5,求出AB=2遙,BC=&,設C的對應點為C,當C

在AC上時，求出C￡>=1；當C在AB上時，過。作于X,求出。￡>=至_,即可得

33

【解答】解：,.?/A8C=90°,tanC=2,

：.AB=2BC,

'：AC=5,

：.AB2+BC1=5,

.-.AB=2V5-BC=遍，

設c的對應點為c,

:將△88沿3。翻折，

：.ZBDC=ZBDC=90°,

；.tanC=^=2,即BD=2CD,

CD

,：BD2+CD2^BC2,

：.(2CD)2+CD2=5,

：.CD^1；

當。在AB上時，過D作_LAB于X,如圖:

:將△BC。沿翻折，

:.BC=BC='J^,NCB￡)=NC3D=1/ABC=45°,CD=C'D,/C=/BCD,

2

.?.△BOH是等腰直角三角形，tan/BCD=2,

:.BH=DH,DH=2CH,

設C7/=無，則。//=28=2方

'：C'H+BH=BC=4^,

??x+2x

:V5

解得x3一

V52V5

33

CD=^CH2+DH2=f>

o

：.CD=^-；

3

落到△ABO內（不包括邊），

l<CD<.§.；

3

故答案為：l<CD<a.

3

【點評】本題考查直角三角形中的翻折問題，涉及解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是求出

臨界點時CD的值.

15.（2025?普陀區(qū)一模）ZkABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點。在邊8C上，CD=2,如圖所

示.點E在邊AB上，將△8OE沿著。E翻折得△夕OE,其中點8與點B對應，3,E交邊AC于點G,

B'D交AC的延長線于點凡如果△48G是等腰三角形，那么8E=—冬

【考點】翻折變換(折疊問題)；等腰三角形的性質；勾股定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】42.

5

【分析】先畫出圖形，過點H作HP,"E于點F,確定如果A8HG是等腰三角形，則只能是8,H

=GH,設8'E=BE=x(0<x<10),貝i]AE=10-x,再證出△A￡GSA4CB,根據相似三角形的性質

可得AG生紅，EG望也，然后證出△印7GsA4EG,根據相似三角形的性質可得HG=35X-200,

3324

從而可得C",的長，最后在RtZ\C。"中，利用勾股定理求解即可得.

【解答】解：由題意，畫出圖形如下：過點〃作H5E于點R

VZACB=90°,

：.ZDCH=90°,

???8E交邊AC于點G,8。交AC的延長線于點H,

：./BHG=NDCH+/CDH=9U0+ZCDH>90°,

???如果HG是等腰三角形，則只能是N8"G為頂角，B'H=GH,

由對頂角相等得：/AGE=/BGH,

：.ZAGE=ZB\

由折疊的性質得：/B=NBL

：.NAGE=NB,

???在△ABC中，ZACB=90°,AC=6,5C=8,CD=2,

ZA+ZB=90°,AB=VAC2+BC2=10,BD=BC-CD=6,

ZA+ZAGE=90°,

AZAEG=90°,BPB'E±AB,

由折疊的性質得：B'E=BE,B'D=BD=6,

設3'E=8E=x(0<x<10),貝!]-8E=10-x,

在△AEG和△AC2中，

[NAEG=NACB=90°,

lZA=ZA

AAEG^AACB,

???A-G二--E-G---A-E,叩--A-G~--E-G~--1-0--x-,

ABBCAC1086

解得：匐=5°』,而=40%,

33

740

???CG=AC-AG=5XJ2,B，G=B'E-EG=X">

oo

'：B'H=GH,HFLB'E,

XVB'EXAB,HFLB'E,

:.AB〃HF,

:.小HFGs叢AEG,

7x~40

-HG_FG即HG=6,

"AG~"EG，50-5x40-4x

~3~

解得HG=35X；：00,

DBH=B'口毋與產,CH=HG-CG=比薩

2424

在RtACDH中，CH2+CD2=HD2,即(56-5x)2+92=(344-35X)2

、24J、24J

解得x，>或x&>10(不符合題意，舍去)，

55

即BEW，

故答案為：42.

5

A

E

【點評】本題考查了折疊的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、一元二次方程的應用、等腰三

角形的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖所示，在邊長為1的小正方形網格中，△AOB的頂點都在格點上.

(1)B點關于y軸的對稱點的坐標為（-3,2）

(2)將△A08向左平移3個單位長度得到△40181,請畫出△40181；

；請求出△△01。的面積.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）首先根據坐標系確定8點坐標，再根據關于y軸的對稱點的坐標橫坐標相反，縱坐標不變

可得答案;

（2）首先確定A、B、O三點向左平移3個單位長度后的對應點位置，再連接即可;

（3）根據坐標系寫出點4的坐標，再利用正方形的面積減去周圍多余三角形的面積可得答案.

【解答】解:（1）B點關于y軸的對稱點的坐標為（-3,2）,

故答案為:(-3,2)；

(2)如圖所示:

(3)點4的坐標為(-2,3),

△AiOiBi的面積：3X3--1x3X1-AxiX2-工X2X3=3.5.

【點評】此題主要考查了作圖--平移變換，作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照

平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形.

17.(2025?南山區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,2),8(-4,-1).

(1)若△AB。與△ALBI。關于y軸的對稱，則4、81的坐標分別是(3,2),(4,-1)；

(2)請僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.

①在圖1中，找一格點P,使得/APO=45°；

②在圖2中，作出△48。的高AQ.

【考點】作圖-軸對稱變換.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】(1)(2)作圖見解析部分.

【分析】(1)利用軸對稱的性質分別作出A,8的對應點4,為即可；

(2)①構造等腰直角三角形解決問題即可；

②取格點M,N,連接MN交網格線于J,連接AJ延長A7交于點。，線段A。即為所求.

【解答】解：(1)如圖,△A1B10即為所求,則A1、力的坐標分別(3,2),(4,-1)；

(2)①如圖1在，點尸即為所求(答案不唯一，(2,2),(0,-1)也滿足條件)；

②如圖2中，線段AQ即為所求.

【點評】本題考查作圖-軸對稱變換，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合

的思想解決問題，屬于中考常考題型

18.(2024?南寧一模)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,1),B