模塊三重難點題型專項訓練

專題38二次函數與幾何圖形綜合題（7大壓軸類型）

考查類型一與線段有關的問題

考查類型二與圖形面積有關的問題

考查類型三角度問題

考查類型考查類型四與特殊三角形判定有關的問題

考查類型五與特殊四邊形判定有關的問題

考查類型六與三角形全等、相似有關的問題

考查類型七與圓有關的運算

新題速遞

考查類型一與線段有關的問題

M題招宛

甌］（2020?吉林長春?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0,2）,點8的坐標為

31

（4,2）.若拋物線>=一］（尤-〃）2+%（〃、%為常數）與線段交于C、。兩點，且=則上的值

網2（2020?山東濱州?中考真題）如圖，拋物線的頂點為AS，-1）,與y軸交于點點網2,1）

為其對稱軸上的一個定點.

（1）求這條拋物線的函數解析式；

（2）已知直線/是過點C（0,—3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點尸⑺，力到直線/的距離

為d,求證：PF=d；

（3）已知坐標平面內的點。（4,3）,請在拋物線上找一點。，使△。尸。的周長最小，并求此時△。尸。周長

的最小值及點。的坐標.

二次函數中求線段問題：

1.直接求解線段長度表達式型

2.線段轉化型

3.將軍飲馬問題、胡不歸問題、阿氏圓問題等

4.瓜豆原理最值問題，圓中的線段最值

,曾就硼繞

【變式1］（2022?廣東珠海?珠海市九洲中學校考一模）如圖，二次函數y=-/+2x+〃z+l的圖象交x軸于點

A（a,0）和8（b,0）,交y軸于點C,圖象的頂點為。.下列四個命題：

①當x>0時，y>0；

②若a=-1,則b=4；

③點C關于圖象對稱軸的對稱點為E,點M為無軸上的一個動點，當機=2時，△MCE周長的最小值為2；

④圖象上有兩點尸（XJ,yj）和。（無2，y2），若X7<1<X2，且制+必>2,則以>以，

其中真命題的個數有（）

【變式2］（2022?廣東東莞?校考一模）如圖，拋物線y=-x，x+6交x軸于A、B兩點（A在B的左側），交丁軸

于點C,點O是線段AC的中點，點尸是線段A3上一個動點，沿DP折疊得△A'PD,則線段AB的

最小值是.

【變式3］（2022.云南文山?統考三模）已知拋物線y=??+（i—3a）x-3與x軸交于A、2兩點（點A在點B

左側），頂點坐標為點。（1,相）.

⑴求他的值；

（2）設點P在拋物線的對稱軸上，連接3尸，求。尸+、后8尸的最小值.

考查類型二與圖形面積有關的問題

H（2021.山東淄博.統考中考真題）己知二次函數y=2f一版+6的圖象交尤軸于A,B兩點.若其圖象上

有且只有幾￡出三點滿足=S、AB號=5捕歐=機，則機的值是（）

3

A.1B.-C.2D.4

2

雨（2022?山東淄博?統考中考真題）如圖，拋物線y=-N+云+c與％軸相交于A,8兩點（點A在點3

4

的左側），頂點。（L4）在直線/：y=-x+t±.,動點P（加，n）在x軸上方的拋物線上.

（冬用圖）

（1）求這條拋物線對應的函數表達式；

⑵過點P作尸軸于點M,PN，/于點N,當1＜根＜3時，求PM+PN的最大值；

⑶設直線AP,B尸與拋物線的對稱軸分別相交于點E,F,請探索以A,F,B,G（G是點E關于x軸的對

稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著尸點的運動而發生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，

說明理由.

命題相破

解決二次函數動點面積問題，常用的方法有三種

方法一：鉛垂高法。

如圖1,過4ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，鉛垂高穿過的線段兩端點的橫坐標之差叫

△ABC的水平寬(a),中間的這條平行于v軸或垂直于x軸的直線在4ABC內部線段的長度叫4ABC的鉛垂高

(h).此時三角形面積的計算方法：即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半(s=1/2ah)

方法二，平行法。平行法最關鍵的知識點，是平行線之間高的問題，一般這種情況都是平移高到與坐標軸

交點處，最后用相似求值。

方法三，矩形覆蓋法。這是最容易想到的方法，但也是計算最麻煩的方法。利用面積的大減小去解決，一

般不太建議使用這種方法，龐大的計算量很容易出錯。

,觀泰硼繞

【變式1](2022.河北?校聯考一模)如圖，在-中，NACB=90。，邊在x軸上，A(-l,4),B(7,0).點

P是AB邊上一點，過點尸分別作PELAC于點E,PD_LBC于點D,當四邊形CDPE的面積最大時，點尸

【變式2］（2022?江蘇鹽城?一模）如圖，拋物線>=-/+4為+1與y軸交于點P,其頂點是4,點p的坐標

是（3,-2）,將該拋物線沿PP方向平移，使點尸平移到點P，則平移過程中該拋物線上尸、A兩點間的部分

【變式3］（2022?四川瀘州?瀘縣五中校考一模）如圖，拋物線y=d+6x+c經過點A（-LO）,點3（2,-3）,

與y軸交于點C,拋物線的頂點為D

⑴求拋物線的解析式；

⑵當0<x<4時，y的取值范圍是；

（3）拋物線上是否存在點P,使APBC的面積是△3CD面積的4倍，若存在，點P的坐標；若不存在，請說

明理由.

考查類型三角度問題

M題招更

題］（2021.江蘇連云港.統考中考真題）如圖，拋物線y=g2+（加。+3卜—（6機+9）與無軸交于點A、B,

與y軸交于點C,已知8（3,0）.

（1）求相的值和直線BC對應的函數表達式；

（2）P為拋物線上一點，若S&BC=S*8C，請直接寫出點尸的坐標；

（3）。為拋物線上一點，若ZACQ=45。，求點。的坐標.

亟（2020?黑龍江?統考中考真題）如圖，已知二次函數y—f+bx+c的圖象經過點4（-1,0）,8（3,0）,

與>軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點P,使"4B=ZABC,若存在請直接寫出點P的坐標.若不存在，請說明理由.

角度問題涵蓋的題型

1.角度相等問題

2.角度的和差倍分關系

3.特殊角問題

4.非特殊角問題

方法點評：由特殊角聯想到直接構造等腰直角三角形，通過全等三角形，得到點的坐標，從而得到直線解

析式，聯立得到交點坐標.這個方法對于特殊角30度、60度90度都是適用的，是一種通用方法.

1Q

【變式1](2022秋.浙江寧波.九年級校考期中)如圖，拋物線，=#+(-3與x軸交于點A和點8兩點,

與y軸交于點C,D點為拋物線上第三象限內一動點，當NACD+2NABC=18O。時，點。的坐標為()

A.(-8,-3)B.(-7,--)C.(-6,-7)D.(-5,-8)

3

【變式2](2020?江蘇無錫?無錫市南長實驗中學校考二模)如圖，一次函數y=gx-2的圖象交x軸于點A,

交y軸于點3,二次函數y=-的圖象經過A、8兩點，與X軸交于另一點C.若點M在拋物線的

對稱軸上，且則所有滿足條件的點M的坐標為.

【變式3](2022?四川綿陽?東辰國際學校校考模擬預測)如圖，以的邊和A3邊上高所在直線建立

平面直角坐標系，已知AB=4,C(0,-3),tanZCAB+tanZCBA-4,拋物線y=*+廄+。經過4B,C

三點.

(1)求拋物線解析式.

(2)點G是x軸上一動點，過點G作軸交拋物線于點拋物線上有一點0,若以C,G,Q,H為

頂點的四邊形為平行四邊形，求點G的坐標.

(3)點P是拋物線上的一點，當/PCB=NACO時，求點P的坐標.

考查類型四與特殊三角形判定有關的問題

甌(2022-山東東營?統考中考真題)如圖，拋物線y=*+服_3(〃w0)與x軸交于點A(-l,0),點8(3,0),

與y軸交于點C.

⑴求拋物線的表達式；

(2)在對稱軸上找一點。使AACQ的周長最小，求點。的坐標；

(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側拋物線上的一點，當是以PB為腰的等腰直角

三角形時，請直接寫出所有點M的坐標.

亟(2022.山東濟南.統考中考真題)拋物線丫=加+?彳-6與x軸交于A&0),8(8,0)兩點，與y軸交

于點C,直線>=依一6經過點3.點P在拋物線上，設點尸的橫坐標為伍.

⑴求拋物線的表達式和t,k的值;

(2汝口圖1,連接AC,AP,PC,若AAPC是以CP為斜邊的直角三角形，求點尸的坐標;

(3)如圖2,若點尸在直線BC上方的拋物線上，過點尸作PQLBC,垂足為。，求CQ+：P。的最大值.

厚命題出醴

【模型解讀】

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存

在性問題”.

【相似判定】

判定1:三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3：有兩組角對應相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據題目給的已知條件選擇恰當的判定方

法，解決問題.

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、

“雙動點”兩類問題.

【思路總結】

根據相似三角形的做題經驗，可以發現，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判

定2、3可以發現，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關鍵點也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1：兩相等角的兩邊對應成比例；

思路2：還存在另一組角相等.

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優先考

慮思路1.

一'如何得到相等角？

二、如何構造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個問題就可以了.

.觀盅硼演

【變式1］（2022.河北邢臺?統考一模）如圖，已知拋物線經過點3（-1,。）,4（4,0）,與y軸交于點C（0,2）,

P為AC上的一個動點，則有以下結論：①拋物線的對稱軸為直線1=93；②拋物線的最大值為95；③

2o

ZACB=90°；④。尸的最小值為逑.則正確的結論為()

5

C.①②③D.①③④

【變式2](2022?江蘇南京?模擬預測)已知二次函數y=渥-2依-4o(a>0)圖象與y軸交于點A,點C在

二次函數的圖象上，且AC〃彳軸，以AC為斜邊向上作等腰直角三角形A3C,當等腰直角三角形ABC的

邊與x軸有兩個公共點時。的取值范圍是.

【變式3](2022?山東荷澤?荷澤一中校考模擬預測)如圖，己知拋物線y=-gx2+bx+4與x軸相交于A、B

兩點，與y軸相交于點C,若已知A點的坐標為4(-2,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段BC所在直線的解析式；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△ACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點坐標；若不

存在，請說明理由.

考查類型五與特殊四邊形判定有關的問題

H(2021.廣西來賓.統考中考真題)如圖，己知點43,0),5(1,0),兩點C(-3,9),。(2,4)在拋物線y=x?

上，向左或向右平移拋物線后，C,。的對應點分別為C',D0,當四邊形ABCD的周長最小時，拋物線

的解析式為.

網2(2022?內蒙古?中考真題)如圖，拋物線y=^?+x+c經過8(3,0),兩點，與x軸的另一

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式和點C的坐標；

⑵若點M在直線2C上方的拋物線上運動(與點8,C不重合)，求使AMBC面積最大時M點的坐標，并求

最大面積；(請在圖1中探索)

⑶設點。在y軸上，點尸在拋物線上，要使以點A,B,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足

條件的點尸的坐標.(請在圖2中探索)

命題出破

掌握平行四邊形、矩形和菱形的判定方法，結合二次函數的性質即可解決此類問題，但要注意分類討

論，核心在于把握確定的邊是特殊四邊形的邊長還是對角線即可；

【變式11（2022?四川眉山?校考一模）如圖，矩形0ABe，點A的坐標為（2,0）,AB=1.若拋物線y=2d+c

與矩形0ABe的邊界總有兩個公共點，則實數c的取值范圍是（）.

A.c>8或c<—1B.-l<c<8C.c>l或c<—8D.-8<c<l

【變式2］（2022?吉林長春?統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=依2-》一］與x軸正半軸交于

點A（3,0）.以。4為邊在x軸上方作正方形0ABC,延長CB交拋物線于點。，再以為邊向上作正方形

BDEF.則點E的坐標是.

【變式3］（2022廣東佛山校考三模）已知拋物線>=加_2辦-3°（0<0）交苫軸于點48（4在3的左側）,

交》軸于點C.

⑴求點A的坐標；

⑵若經過點A的直線y=kx+k交拋物線于點D.

①當左＞0且。=-1時AD交線段BC于E,交》軸于點尸，求-S^CE》的最大值;

②當左＜0且左=a時，設P為拋物線對稱軸上一動點，點。是拋物線上的動點，那么以A,D,P,。為頂

點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點尸的坐標，若不能，請說明理由.

考查類型六與三角形全等、相似有關的問題

0氟題招究

甌］(2022?四川綿陽?統考中考真題)如圖，拋物線＞=加+灰+。交x軸于4(-1,0),3兩點，交y軸于

(1)求拋物線的解析式；

(2)在y軸的負半軸上是否存在點尸使/APB+NACB=180。.若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明

理由；

(3)過點C作直線/與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E,連接AD,AE,DE,在直線/下方的拋物線上

是否存在一點過點M作垂足為R使以M,F,E三點為頂點的三角形與zUDE相似？若存在，

請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由.

例2(2022.廣西玉林.統考中考真題)如圖，已知拋物線：y=-2/+法+，與天軸交于點A,8(2,0)(A

在8的左側），與y軸交于點C,對稱軸是直線x=j,P是第一象限內拋物線上的任一點.

備用圖

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。為線段0C的中點，則△尸OD能否是等邊三角形？請說明理由；

（3）過點尸作x軸的垂線與線段8C交于點垂足為點若以P,M,C為頂點的三角形與V或〃相似,

求點P的坐標.

掌握三角形的全等判定方法和相似的判定方法，注意要分類討論;

■曾巾硼演

【變式1］（2018?陜西寶雞?統考二模）拋物線y=ax1+3ax+b（a<0）,設該拋物線與x軸的交點為4（-5,0）和

B,與y軸的交點為C,若AACOSACBO,貝UtanNG4s的值為（）

13

【變式2］（2020?浙江?模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線了二-不/-］尤+2與x軸交于A,8兩點,

與y軸交于點C,點。在該拋物線上,且位于直線AC的上方,過點。作DF1AC于點尸，連結8,若△CTO

【變式3](2022?內蒙古包頭?模擬預測)如圖，已知正方形。RC的邊OC,Q4分別在x軸和y軸的正半軸

上，點B的坐標為(4,4).二次函數yn-Jd+bx+c的圖象經過點A,且x軸的交點為E,F.點尸在

6

線段E尸上運動，過點。作0"，”于點直線OH交直線BC于點Z),連接AD.

⑴求b,。的值及點E和點尸的坐標；

(2)在點尸運動的過程中，當AAOP與以A,B,。為頂點的三角形相似時，求點P的坐標；

(3)當點尸運動到OC的中點時，能否將AAOP繞平面內某點旋轉90。后使得AAOP的兩個頂點落在x軸上方

的拋物線上？若能，請直接寫出旋轉中心M的坐標；若不能，請說明理由.

考查類型七與圓有關的運算

匣(2022?四川雅安?統考中考真題)已知二次函數丫=加+法+<:的圖象過點A(-1,0),B(3,0),且

備用圖

(1)求此二次函數的表達式及圖象頂點D的坐標；

(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點E,使AACE為及△,若存在，試求點￡的坐標，若不存在，請說明

理由;

(3)在平面直角坐標系中，存在點P,滿足用，P。，求線段P8的最小值.

網2(2020?西藏?統考中考真題)在平面直角坐標系中，二次函數》=1^2+灰+0的圖象與工軸交于4-2,

0),B(4,0)兩點，交y軸于點C,點尸是第四象限內拋物線上的一個動點.

(1)求二次函數的解析式；

(2)如圖甲，連接AC,PA,PC,若S"AC=孩，求點尸的坐標；

(3)如圖乙，過A,B,尸三點作。過點尸作PEL尤軸，垂足為。，交。M于點E.點P在運動過程中

線段。E的長是否變化，若有變化，求出。E的取值范圍；若不變，求。￡的長.

甌（2022?江蘇鹽城?統考中考真題）【發現問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓,

描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發現這些點的位置有一定的規律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續畫圓描點，所描的點都在某二次函數圖像上.

圖1圖2

備用圖

⑴【分析問題】

小明利用已學知識和經驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為X軸，過點。且垂直于橫線的直線為

y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示.當所描的點在半徑為5的同

心圓上時，其坐標為.

⑵【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

（3）【深度思考】

小明繼續思考：設點2（。，m），機為正整數，以0P為直徑畫是否存在所描的點在。M上.若存在，

求洸的值；若不存在，說明理由.

厚命題線破

掌握圓的性質，結合二次函數的圖象解決此類問題；

勤客自硼繞

【變式1】（2021?山東濟南?統考二模）二次函數y=-/+2x+8的圖象與無軸交于8,C兩點，點。平分8C,

若在x軸上側的A點為拋物線上的動點，且NA4c為銳角，則的取值范圍是（）

A.3<AD<9B.3<AD<9C.4<AZK10D.3<AD<8

【變式2］（2022?浙江衢州?統考一模）“一切為了是常山在趕考共同富裕道路上，最新確定的城市品牌.已

知線段AB,對于坐標平面內的一個動點尸，如果滿足NAP3=30。，則稱點尸為線段A3的“U點”，如圖，

二次函數>=：/+3彳+1與x軸交于點A和點B.（1）線段的長度為；（2）若線段A3的“tT

點落在y軸的正半軸上，則該“U點”的坐標為.

【變式3］（2022.江蘇常州?校考二模）已知二次函數圖象的頂點坐標為4（2,0）,且與y軸交于點（0,1）,B

點坐標為（2,2）,點C為拋物線上一動點，以C為圓心，CB為半徑的圓交無軸于M,N兩點（M在N的左

（2）當點C在拋物線上運動時，弦的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不發生變化，求出弦

的長；

⑶當與446N相似時，求出"點的坐標.

【新題速遞】

2

1.（2022秋?陜西西安?九年級交大附中分校校考期末）在同一平面直角坐標系中，拋物線L：y=x-4X+m

關于>軸對稱的拋物線記為V,且它們的頂點與原點的連線組成等邊三角形，已知L的頂點在第四象限，

則加的值為（）

A.26B.4+26C.4D.4-2>/3

2.（2020秋?九年級統考期末）拋物線是由、=-：尤2平移得到，它經過原點o,且交無軸正半軸于點。，A

為。。上一點，C為拋物線上一點，以Q4,0c為邊構造口。LBC,點8（6,"）恰好落在拋物線上，連接8

交AB于點E,若CE=DE,貝I]”等于（）

A.2亞B.3C.6D.9

3.（2022春.全國?九年級專題練習）如圖，已知拋物線y=-尤2+px+g的對稱軸為x=-3,過其頂點〃的一

條直線>與該拋物線的另一個交點為點P的坐標為（0,1）,則的面積為（）

4.（2023?河北?九年級專題練習）如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC邊在x軸上，4（-1,4）,8（7,0）.點尸

是AB邊上一點，過點P分別作PELAC于點E,PDLBC于點D,當四邊形Q）尸E的面積最大時