第16關等腰三角形與直角三角形

基礎練

考點1等腰三角形

“2024甘肅蘭州］如圖，在△ABC中,AB=AC,/BAC=13(T,DA_LACJI!!!/ADB=()

A

BDC

A.100°B.115°

C.130°D.145°

2.[2024云南]已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點F到直線AB的距離為3,則點F到直線AC的

距離為()

37

A.-B.2C.3D.-

22

3.[2024山東泰安]如圖，直線l〃m,等邊三角形ABC的兩個頂點B,C分別落在直線1,m上，若NABE=21。,

則NACD的度數是（）

A.45°B.39°

C.29°D.21°

4.[2024青海]如圖，在RtAABC中,D是AC的中點,NBDC=6（T,AC=6,則BC的長是（）

BC

A.3B.6

C.V3D.3V3

5.[2024湖南]若等腰三角形的一個底角的度數為40°,則它的頂角的度數為,

6.[2024貴州]如圖，在△ABC中以點A為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，交BC于點D,連接AD.若AB=5,

則AD的長為

A

考點2直角三角形

7.[2024陜西]如圖在△ABC中.NBAC=9(r,AD是BC邊上的高,E是DC的中點，連接AE廁圖中的直角三角形

共有)

B.3個

C.4個D.5個

8.[2024四川眉山]如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，是由四

個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4,現將這四個直角三角形拼成圖2,

則圖2中大正方形的面積為()

D.44

9.[2024江蘇南京校級模擬]下列各組數中是勾股數的為)

A.V3V4,V5,B.1,1,V2C.7,8,9D.13,84,85

10.[2024廣東佛山二模]如圖，在RtAABC中,NABC=90。,點D是AC邊的中點，則下列結論一定成立的是

()

A.BC=BDB.CB=CD

C.DB=DCD.AD>BC

11.[2024吉林]圖1中有一首古算詩、根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖2,

其中AB=AB\ABXB'C于點C,BC=0.5尺,BC=2尺.設AC的長度為x尺，可列方程為

g詩文：波平如鏡一湖面、

半尺高處生紅蓮.亭亭多

姿湖中立.突遭狂風吹一

邊.離開原處二尺遠，花

貼湖面像睡蓮.

圖1圖2

12.[2024新疆如圖在RtAABC中,/C=90。,NA=30。,AB=8.若點D在直線AB上（不與點A,B重合），且/BCD

=30。,則AD的長為

提升練

13.2024四川涼山州〕如圖在RtAABC中,NACB=9（F,DE垂直平分AB交BC于點D,若△ACD的周長為

50cm,則AC+BC=（）

B.45cm

C.50cmD.55cm

14.[2024安徽]如圖，在RtAABC中,AC=BC=2點D在AB的延長線上，且CD=AB,則BD的長是（）

B.V6-V2

C.2V2-2D.2V2-V6

15.[2024四川自貢面圖，等邊△ABC鋼架的立柱CD,AB于點D,AB長12m.現將鋼架立柱縮短成DE、ZB

ED=60。,則新鋼架減少用鋼（）

X.（24-12V3）mB.（24-8V3）m

C.（24-6V3）mD.（24-4V3）m

16.[2024江蘇南京二模]如圖,用3個棱長為1的正方體搭成一個幾何體,沿著該幾何體的表面從點A到點

B的所有路徑中，最短路徑的長是（）

X.V13B.V2+V5

C.3D.4

17J2024江蘇揚州一模］象棋是中國的傳統棋種，如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中

的位置出發，按照"馬走日'的規則，走一步之后的落點與“帥”的最大距離是（）

A.5B.V5

C.V13D.V17

18.［2024山西陽泉一模］某社區為了讓居民享受更多“開窗見景，推門見綠”的環境,決定將一塊四邊形區域改

造為兒童游樂場.圖1是該區域的設計圖，圖2是該四邊形區域的幾何示意圖,AB=25m,BC=9m,CD=12m,DA=20m,

ZC=90°,按照計劃要先在該區域鋪設塑膠，已知鋪設1平方米塑膠需要200元，則鋪滿該區域需要的費用是

()

圖1圖2

A.40800元B.91600元

C.60800元D.48000元

19.[2024重慶B卷]如圖，在△ABC中,AB=AC,/A=36o,BD平分/ABC交AC于點D.若BC=2廁AD的長度

為.

C

占

20.[2024黑龍江綏化]如圖,AB〃CD,NC=33O,OC=OEJ0UNA=°.

21.［2024江蘇宿遷二模］如圖，在正方形網格中，點A,B,P是網格線的交點則NPAB+/PBA='

?II?I

?IipIII

22.［2024陜西］如圖，在△ABC中,AB=AC,E是邊AB上一點，連接CE,在BC的右側作BF〃AC,且BF=AE,連接

CF.若AC=13,BC=10廁四邊形EBFC的面積為

AEB

23.［2024甘肅臨夏州］如圖.等腰△ABC中,AB=AC=2,NBAC=12(T^AABC沿其底邊上的中線AD向下平移，

使A的對應點A，滿足AA三|AD,則平移前、后兩三角形重疊部分的面積是_______.

c,

24J2024黑龍江大慶］如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形AB

C；分別以點A,B,C為圓心，以AB的長為半徑作BC,AC,AB.三段弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形.若該“萊

洛三角形”的周長為3兀，則它的面積是.

25.［2024湖北武漢］如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直

角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD.直線MP交正方形ABCD的兩邊于點E,F,記正

方形ABCD的面積為Si,正方形MNPQ的面積為S?.若BE=kAE(k>l)廁用含k的式子表示$/一：/的值是

26.[2023江蘇蘇州]如圖,NBAC=9（T,AB=AC=3VI過點C作CDLBC延長CB到E,使BE=#D,連接AE,ED.

若ED=2AE,則BE=.（結果保留根號）

AC

27.［2024黑龍江大慶］如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40。和50。，其三邊上分別有一個正方形.執行下面

的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40。和50。的直角三角形、再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊作

正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”.若圖①

中的直角三角形斜邊長為2、則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為.

圖③

28.〔2024黑龍江齊齊哈爾］如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”形的美麗圖案,

他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為(0,0),點B的坐標為(1,0),點C在第一象限,NO

BC=120^^AOBC沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應點為

點C的對應點為C',OC與OC的交點為Ai,稱點Ai為第一個“花朵”的花心，?點A2為第二個“花朵”的花心;……;

按此規律,△OBC滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花朵”的花心的坐標為

29.［2024廣東潮州一模］如圖所示,△ABC和4DEF都是等腰直角三角形,NACB=NDFE=90。。是AB的中點,(

CF^\FG,EG=V2.

(1)求證:NCDF=45。;

⑵求AB的長.

30.[2024甘肅蘭州]觀察發現：勞動人民在生產生活中創造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師

傅的“木條畫直角法”.如圖1,他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：

①木條的兩端分別記為點M,N,先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置

記為點B,連接AB；

②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點A,B,

C不在同一條直線上）；

③連接CB并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在CB延長線

上的落點記為點D；

④用另一根足夠長的木條畫線，連接AD,AC，則畫出的/DAC是直角.

操作體驗：⑴根據“觀察發現’中的信息重現劉師傅的畫法.如圖2,BA=BC.請畫出以點A為頂點的直角，記作

ZDAC.

推理論證：⑵如圖1,小亮嘗試揭示此操作的數學原理，請你補全括號里的證明依據.

證明:：AB=BC=BD,

AABC與4ABD是等腰三角形.

/BCA=/BAC,/BDA=NBAD.（依據1）

ZBCA+ZBDA=ZBAC+ZBAD=ZDAC.

NDAC+NBCA+/BDA=180。,（依據2）

/.2ZDAC=180°.

ZDAC=90°.

依據1：；

依據2:.

拓展探究：（3）小亮進一步研究發現，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規作圖的方法可以減

少誤差如圖3,點0在直線1上，請用無刻度的直尺和圓規在圖3中作出一個以0為頂點的直角，記作/POQ,

使得直角邊0P（或0Q）在直線1上.（保留作圖痕跡，不寫作法）

A(AD

C

A

圖2

0

圖3

第16關等腰三角形與

直角三角形

1.B解析:在SBC中,AB=AC,

.,.zB=zC,

?.zBAC=130°,

一當j,

-.-DA±AC,.-.zDAC=90°,

NADC=90°-25°=65°,

NADB=180°-^ADC=180°-65°=115°.

2.C解析:因為AF是等腰AABC底邊BC上的高，所以AF平分NBAC根據角平分線的性質可得點F到直線

AB,AC的距離相等，所以點F到直線AC的距離為3.

3.B解析:過點A作AF吐（F在A右側）

1,直線Ilim/.AFlim,

?"ABC是等邊三角形,，NBAC=60°,

?.AFlll,.,.zBAF=zABE,

..NABE=21°,...NBAF=21°,

NCAF=ZBAC-ZBAF=60°-21°=39°,

'.AFIIm,.,.zACD=zCAF=39°.

4.A5.1006.5

7.C解析:?./BAC=90。,

."ABC是直角三角形.

「AD是BC邊上的高

NADB=NADC=90°,

MBD,AAED,AACD都是直角三角形、

，圖中的直角三角形共有4個.

8.D解析：如圖1,設直角三角形的兩直角邊長分別為a,b(a>b),斜邊長為c,

國1圖2

???圖1中大正方形的面積是24,

:.a2+b2—c2=24,

???小正方形的面積是4,

(a—b)2=a2+b2-2ab=4,?t.ab=10,

二圖2中大正方形的面積為+4x,6=24+2x10=44.

9.D解析:A.遮和而不是正整數，所以這組數不是勾股數，故本選項不符合題意；

B.&不是正整數，所以這組數不是勾股數，故本選項不符合題意；

C.因為72+82=49+64=113,92=81,所以72+8292,,所以這組數不是勾股數,故本選項不符合題意;

D.因為132+842=169+7056=7225,85?=7225,

所以132+842=852,又因為13,84,85都是正整數，所以13,84,85是勾股數，故本選項符合題意.

故選D.

10.C解析:在RfABC中/ABC=90°,點D是AC邊的中點，則BD是斜邊AC上的中線，所以CD=BD=AD.

只有當，NA=30。時，BC=lAC=CD=BD=AD,故只有選項C符合題意.

11.X2+22=（X+0.5）2

12.6或12

解析:在RbABC中,sinA=箓=巳，

???BC=”=4，

AC=V82-42=4V3.

當點D在CB左側時，

7

CA

?.NACB=90°/A=30°,

zABC=60°.

又.NBCD=30。,

ANBDC=60°-30°=30°,

..BD=BC=4,..AD=8+4=12.當點D在CB右側時,

?.zABC=60°,zBCD=30°,

..NCDA=90。.

在RtAACD中.cosA=^="Y，AD=x4V3=6.

綜上所述，AD的長為6或12.

13.C解析:?；DE垂直平分AB交BC于點D,;.AD=DB,

“ACD的周長為50cm,gpAC+AD+CD=50cm,;.AC+BC=AC+CD+DB=AC+CD+AD=50cm.

14.B解析作CELAB于E點

?.AC=BC=2/ACB=90°,/.AB=&AC=2&/A=NCBA=45°,

..CD=AB=2V2,AACE是等腰直角三角形BE=AE—CE—=V2.

在RbCED中，ED=VC￡>2-CE2=我=I=V6,.-.BD=V6-VI故選B.

方法技巧..

解這類含有直角、求線段長度的幾何題，往往會用到勾股定理，通常需要作垂線構造直角三角形.

15.D解析:「△ABC是等邊三角形，

..NABC=6(T,AB=BC=AC=12,

,.CD±AB,..BD=6,.,.CD=6V3

.NBED=60°,

???DE=2V3,BE=AE=4V3,

，新鋼架減少用鋼(AB+AC+BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE=(24-4V3)m.

16.A解析:如圖1,AB=V32+22=V13,

???V17>?.最短路徑的長是vis

17.A解析：馬走一步之后的落點與"帥”的距離最大時的位置如圖所示,

埠|||||||

三田三三

，最大距離為V32+42=5.

18.A解析:連接BD,

?.BC=9m,CD=12m,zC=90°,

BD=VBC2+CD2=V92+122=15(m),

又.：AB=25m,AD=20m,

AD2+BD2=AB2,

.?.zADB=90°,

二四邊形ABCD的面積=ix12x9+1x20x15=204(m2),

.-.204x200=40800(元).

19.2

解析:1,AB=AC"'.NABC=NC,

?.zA+zABC+zC=180°,zA=36°,

.-.zABC=zC=72o,

?.BD平分NABC,

.-.zCBD=zABD=36o,

.?.zBDC=180°-zC-zCBD=180°-72°-36°=72°,

.'.zBDC=zC,.,.BD=BC=2,

?.zA=36°,zABD=36°,

.,.zA=zABD,.'AD=BD=2.

20.66

解析：.OC=OE/C=33。，

.-.zE=zC=33°,

.-.zDOE=zE+zC=66°,

?.?ABllCD,/.zA=zDOE=66°.

21.45

解析：如圖，延長AP至點C,連接BC,

貝！ICP=CB=V22+l2=V5,

BP—V32+l2=VTo,

V(V5)2+(V5)2=(VTU)；即cp2+CB2=BP2,

."PCB是等腰直角三角形，

.".zBPC=45o,

zPAB+zPBA=zBPC=45o.

22.60

解析:,.AB=AC,，NABC=NACB,「BFIIAC,.-.ZACB=ZCBF,.-.ZABC=ZCBF,BPBC平分NABF,過點C作CM±AB

于點M,CN_LBF于點N,

見|CM=CN,

1'1S^ACE—'CM,S^CBF~CN,且.BF=AE,S^CBF—ShACE,

?'?四邊形EBFC的面積=S4CBF+S^CBE=SAACE+S4CBE=S^CBA,

.AC=13,..AB=13,設AM=x，則BM=13-x,由勾股定理，得CM2AC2-AM2=BC2-BM2,

132—x2=102—(13—久產解得x=詈，

(詈丫審

SACBA=5AB-CM=60.

二四邊形EBFC的面積為60.

23”

9

解析:.AB=AC,NBAC=120°,

.-.zB=zC=30o.

又「AD是AABC的中線

.-.AD±BC.

在RtMBD中,sinB=^=1,

???*X2X

'11

???A4=-AD=

33

'12

AD=1--=-.

33

設AB與BD的交點為M,AC與CD的交點為N,

由平移可知/A'MD=NB=30°,A'M=A'N,

在Rt△A'DM中tan/4MD=—=―,MD=^=—.

MD3V33

3

???AM=AN,MN=2MD=—,

，3

c124A/3

S重變部分~3--,

24.也-些

22

解析：由題知，該"萊洛三角形"的周長可轉化為半徑為AB的圓周長的一半，所以"2兀?4B=3兀，則AB

=3,所以等邊△ABC的邊長為3.

過點A作BC的垂線，垂足為M,

貝！J5M=|BC=j.

在RtAABM中，

AM=卜一(I?=誓.

所以該"萊洛三角形"的面積為|TTX32

c1c3V397r9^3

-2x-x3x—=----------.

2222

25fc2+1

,("1)2

解析作EG,AN于點G,不妨設MN=a,EG=l.

?.?四邊形MNPQ是正方形，

.".zPMN=45°,/.zEMG=zPMN=45°,

.-.EG=MG=1.

在MEG和AABN中/EAG=NBAN,LAGE=NANB=90°,

AEG△AABr-iNKr,>,.—AE=—EG=—AG

ABBNAN

?.-BE=kAE(k>l)z/.AB=AE+BE=(k+l)AE.

AE1AG

—,BN=/c+1.

ABBNAN

由題意可知,ADAM%ABN,

..AM=BN=k+L

..AG=AM-GM=l+k-l=k.

.AG__ZG_k_1

??AN-AM+MN-k+l+a—k+1/

???a=k2—1,

AN=AM+MN=k+1+k2-1=k2+k

?.正方形ABCD的面積Si=AB2=BN2+AN2=(fc+l)2+(fc2+k)2=(fc+l)2(fc2+l),

222222

正方形MNPQ的面積52=MN=a=(fc-l)=(fc+l)(fc-I).

.也_(k+l)2(k2+i)

22

"S2~(k+l)(k-l)'

26.1+V7

解析:過點A作AH^BC于點H,在RtMBC中，AB=AC=3vx

.■.BC=6,.-.AH=BH=3.

設.BE=x(x>0),AE=y(y>0)廁CD=3x,DE=2y.

22

在RbAEH中，AE=EH+即y2=(3+xy+32x2+6x+18(^)

在RtACDE中，DE2=CE2+CD2,BP(2y)2=(6+x)2+(3x)2=10x2+12%+36(2),

22

②-①x4得6x-12%-36=0,即x-2x-6=0,解得xt=1+V7,x2=1-V7(舍去)，=BE=1+y/7.

27.48

解析：如圖，把題圖②中各個小正方形標上字母，設正方形a的邊長為x,正方形b的邊長為y.

C

，正方形a的面積為x2,正方形b的面積為y2.

由題意得正方形c的邊長為2,并且是直角三角形的斜邊長.

，正方形c的面積為4.

根據勾股定理可得./+f=22=4.

，正方形a的面積+正方形b的面積=4,

，題圖①中所有正方形的面積和為4+4=8.