2025年中考數學考前復習專題04：二次根式

一、單選題

若。二,則下列各式正確的是()

1.

A.3<a<4B.2<a<3C.l<a<2D.Q<a<l

2.若a-b=2+6,b-c=2-5則代數式片+/+/一就一兒一〃。的值為()

A.15B.16C.17D.18

3.計算而xg正確的結果是()

A.2B.3C.4D.6

4.下列二次根式中，是最簡二次根式的是()

A.瓜B.C.J孫3D.表2+9

5.把邊長為5的正方形ABCD繞點A順時針旋轉45。得到正方形AB'C'D,邊2C與De'交于點0,

則四邊形A2OD的周長是()

C.5A/2D.5+50

6.當a<-3時，化簡“34-1)2+4”+3)2的結果是()

A.。一4B.—4a—2C.—3。一2D.3。+2

7.若實數a、b、c在數軸上的對應點如圖所示，則曲了+忸-4的結果是(

A.—ci+bB.—a—Z?+2cC.a+b—2cD.a—b

8.將二次根式4=。〃+1)(〃-3)+4(〃23且為整數)輸入到一個二次根式程序里進行運行，得到

以下結果：運行1次得到A=J(〃+3)4+4,運行2次得至iJ4=J(〃+5)A+4,運行3次得到

4=耳+7)4+4,運行k次得到&=&+2k+l)A-+4,....以此運行下去，下列說法:

①當〃=3時，A4=10；

②若A0G=2025,貝！J才=1826；

③若&=2025,則運行次數上的值有1012種情況.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

9.請寫出一個能與強合并的二次根式—.

10.已知.=有-2,則〃+2a=.

11.若二次根式二在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為.

12.魏晉時期劉徽在其撰寫的《九章算術注》中提到了“不加借算”開平方的方法：=二.當

。取正整數且H最小時，用“不加借算”的方法計算缶約為,用“不加借算”的方法計算面

積為308君n?的等邊三角形區域的邊長約為m.（精確到0.01）

13.已知機=代—2,n=A/3+2,則飛后+“?+2=.

14.計算：（而一26）x（Vn+V12）=.

15.如圖，要在長7dm、寬4.5dm的長方形木板上截兩個面積分別為8dm2和18dm2的正方形，是否可

行？.（填“可行”或“不可行”）

三、解答題

16.計算:

(1)^x72+7154-75;

(2)&2用義6一(布+⑹(小一6).

17.已知：x=1+A/2,y=1—'

⑴求孫的值；

(2)求V+y2的值.

18.閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道也是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此逝的小數部分我們不可能全部地寫出來，

于是小明用來表示虛的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有

道理，因為&的整數部分是1,將這個數減去其整數部分，差就是小數部分.

又例如：口〈出〈郎,即2＜甘＜3,

二百的整數部分為2,小數部分為近-2.

請解答：

(1)所■的整數部分是，小數部分是;

(2)若石的整數部分是。，小數部分為6,\c\=＞j5,求c(j)—4(c-2)的值.

19.定義：若（6+揚）（&-揚/c,c是有理數，則稱后+揚與揚是關于c的“美好數”例

如：（石+0）（白-0）=（白則稱百+血■與石-0是關于1的“美好數”.

⑴2+6關于1的“美好數”是;

⑵化簡：而LT+而:舊*+阿;后；

⑶若》是J記-1關于9的“美好數”，請直接寫出4y2_8y+2025的值.

20.如圖，張大伯家有一塊長方形空地ABCD,長方形空地的BC為月m,寬A3為用m,現要在

空地中劃出一塊長方形地養雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長方形養雞場的長為

(713+l)m,寬為(而一1)m.

AD

BC

（1）長方形ABCD的周長是多少？（結果化為最簡二次根式）

（2）若市場上某種蔬菜10元/千克，張大伯種植該種蔬菜，每平方米可以產20千克的蔬菜，張大伯如

果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為多少元？

21.如圖，在正方形ABCO中，E是邊上一動點(不與點A3重合)，點尸在8C的延長線上，且

CF=AE,連接E尸，交AC于點P,交CD于點。，連接八E、D尸.

(1)求證

①ADAE絲△￡)</；

?ZCPF=ZADE；

(2)若A3=3,b=l,求AP的長;

RP

⑶連接3P,在點E的運動過程中，黑的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請說明理由.

DF

《2025年中考數學考前復習專題04：二次根式》參考答案

題號12345678

答案AAADABBD

1.A

【分析】此題考查了二次根式的分母有理化和無理數的估算.先利用分母有理化化簡二次根式，再進

行無理數估算即可.

【詳解】解：飛一⑻"=2+6

：1〈退〈2,

；.3<2+g<4,

即3vav4；

故選：A.

2.A

【分析】本題考查了完全平方公式的變形計算，二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關

鍵.根據a-b=2+6，c=2—括，得a-c=4,結合/+/+/一〃力一〃。一.。

=1(2a2+2b2+2c2-lab-2bc-2ac)=1[(a-Z?)2+(Z?-c)2+(a-c)2],代入計算即可.

【詳解】解：:a-b=2+,b—c=2--\/3,

??a-c=4,

,a2+Z?2+c2—ctb—he—uc

=1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=1[(?-Z?)2+(^-c)2+(a-c)2],

：[(0-人)2+(b-c)2+(a-c)2J

T(2+可+(2一可+4?

4L_

=1[7+4A/3+7-4A/3+16]=15.

故選：A.

3.A

【分析】本題考查了二次根式的乘法，解題的關鍵是掌握二次根式的乘法法則.

直接利用二次根式的乘法運算求解即可.

【詳解】解：712X^|=^12X|=V4=2,

故選：A.

4.D

【分析】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

根據最簡二次根式的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A.般=2代,唬不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

B.5=/，A不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

C.府=聞而，而不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

D.正司是最簡二次根式，故該選項符合題意;

故選：D.

5.A

【分析】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，掌握旋轉的性質，正方形的性質是解題的關鍵，

由題意利用勾股定理的知識求出3C'的長，再根據等腰直角三角形的性質，勾股定理可求30,8',

從而可求四邊形ABOD的周長.

【詳解】解：連接3C',

,/旋轉角ZBAB'=45°,ABAD'=45°,

.?.8在對角線AO上，

,/B'C'=AB'=5,

在RtAAB'C'中，AC=yjAB^+B'C'2=5夜，

BC'=50-5，

在等腰RtAOBC,中，OB=BC'=572-5,

在直角三角形03c中，。（7=0（5痣-5）=1。-5應,

：.OD=5-OC=50-5,

四邊形A3OD’的周長是：2AD'+OB+OD'=10+5后-5+5直-5=10后.

故選：A.

6.B

【分析】本題考查了不等式的性質，二次根式的性質，先根據不等式的性質判斷3°-1,a+3的正負，

再根據二次根式的性質化簡即可.

【詳解】解：

??3av—9,a+3v-3+3,

***3a—1<—10v0,a+3<0,

??-1)++3)

=-(3d-1)-(a+3)

=—3a+1-a—3

=-4a—2.

故選B.

7.B

【分析】本題考查根據數軸判斷式子符號及根式的性質，根據數軸判斷出。-〃>0力-。<0,再根據

二次根式的性質化簡即可得到答案；

【詳解】解：由數軸可得，a<b<0<c,\^>\b\>\c\,

:.c—a>b—c<0,

—+|/?-c|=|c—47|+|/?—c|=c—a-\-c—b=—a—b-\-2fc,

故選：B.

8.D

【分析】本題考查找規律，涉及整數乘法運算、因式分解及二次根式性質等知識，先對題中的進

行化簡得到規律&=〃+2左-1,再根據不同說法，代值驗證即可得到答案.讀懂題意，根據相關運算

找準規律是解決問題的關鍵.

【詳角星】解：AQ=+3)+4=y/n2—2n+1=J("-1丫,

3且為整數，

.\A0=n-lf則A=((幾+3)&+4={(九+3)(〃-1)+4=J/+2〃+1=《(n+l?=〃+1,

4=J(〃+5)A+4=J(〃+5)(〃+l)+4=J匕2+6〃+9=J(幾+3)=〃+3,

A={(幾+7)4+4=J(〃+7)(M+3)+4=JL2+10幾+25=+5)=〃+5,

+2k+1）Ajt-i+4=〃+2k—1,

當〃=3時，A4="+7=3+7=10,故①正確；

若AOO=2O25,則幾+199=2025,解得〃=1826,故②正確；

若&=2025,貝！J/+2左一1=2025,則。=1013-：,

〃23且為整數，上為非負整數，

n

1013—>0,解得34”42026,且〃為偶數，

2

2026-4

則運行次數上的值有一--+1=1012種情況，故③正確；

2

綜上所述，說法正確的是①②③，共3個，

故選：D.

9.V2（答案不唯一）

【分析】此題考查了同類二次根式：含有相同的被開方數的最簡二次根式，正確掌握同類二次根式的

定義是解題的關鍵.可以合并的二次根式即為同類二次根式，據此解答.

【詳解】解：枇=2母

可以與2應合并的二次根式是企，

故答案為：V2（答案不唯一）.

10.3-2V3/-2V3+3

【分析】本題考查了代數式求值，二次根式的混合運算，把.=b-2代入原式中，求解即可，掌握相

關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：??0=b-2,

,?a~+2a

二（百—2『+2x（G—2）

=3-473+4+273-4

=3-25

故答案為：3-2^3.

1

11.x>-

2

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數為非負數，列出不等式,

解不等式即可.

【詳解】解：：二次根式＞/^7二1在實數范圍內有意義，

**?4九一2之0,

解得：

2

故答案為：x~^'

12.5.135.10

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質、勾股定理及二次根式的性質，解題的關鍵是理解“不加借

算”的意義；因此此題可根據“不加借算”的意義進行求解即可.

【詳解】解：由題意得：

區=152+1=5+,=5.1；

2x5

如圖，VA2C是等邊三角形，過點A作ADSBC于點。，

BD=-BC=~a,

22

AD=4AB2-BD?=—a,

2

/.S.=-BC-AD=—a2,

ABRCr24

,/S的=308晶2,

4=1232,

Aa=V1232=V352+7=35+^—=35.10m；

2x35

故答案為5.1；35.10.

13.4

【分析】本題考查了二次根式化簡求值，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式的變形進行二次根式的

運算.

將加和〃的值代入二次根式，利用完全平方公式進行化簡即可.

【詳解】解：將,"=,-2,ri=6+2代入+”2+2得

Vm2+n2+2

=716

=4

故答案為：4.

14.-711-2^/-273-711

【分析】本題考查了二次根式的乘法運算、平方差公式、積的乘方、同底數幕的乘法，熟練掌握二次

根式的性質、二次根式的乘法法則和積的乘方與平方差公式是解決問題的關鍵.

【詳解】解：(加一26廣葭(而+屈廣

=[(而-巫卜(瓦+巫)-*(舊+配)

「00-12023

=(Vn)-(Vi2)X(VIT+VT2)

=(ii-i2)2023x(7n+Vi2)

=(-I)2023X(^T+^2)

=Tx(如+疫)

=-VH-2s/3

故答案為：_舊-2拒.

15.不可行

【分析】本題考查了二次根式的應用，根據正方形的面積公式可以分別求得兩個正方形的邊長是20

和3&，顯然只需比較兩個正方形的邊長的和與7的大小即可.此題要能夠正確求得每個正方形的邊

長，并能夠正確比較實數的大小.

【詳解】解：A/8+^18=5^/2,

QA/49<V50<A/64,

.-.7<572<8.

則截兩個面積為8dm2和18dm2的正方形，不可行.

故答案為：不可行.

16.(1)35/3

⑵-1

【分析】本題主要考查二次根式的運算，靈活運用二次根式的運算法則是解答本題的關鍵.

(1)原式先計算二次根式的乘法和除法，然后再合并即可得到答案；

(2)原式先根據單項式乘以多項式和平方差公式進行運算，去括號后再合并即可.

【詳解】(1)解：南義四十岳千也

=〃x2+J15+3

=273+73

=3A/3;

(2)解：A/8—2^—Jx^/2—+^/2j^^/5—\/2j

=A/8^2-2^1x2-(75)2+(72)2

=4-2-5+2

=—l.

17.⑴-I

(2)6

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

(1)利用平方差公式計算即可；

(2)利用完全平方公式計算即可.

【詳解】(1)x=1+\[2,y=1-,

.?.孫=(1+點)(1-閭=1-2=-1；

(2)x+y=++=2,

貝!Jx2+y1=(x+‘J—2xy=22—2x(-1)=6

18.(1)4,炳-4

(2)3或13

【分析】本題考查二次根式估值，絕對值計算，二次根式混合計算等.

（1）根據題意可得J話〈后，繼而得到本題答案；

（2）由題意得a=2,b=s[5-2,c=土垂，再將字母的值代入式子的值計算即可.

【詳解】（1）解：：9＜后＜莊，

??.J萬的整數部分是4,

A/17小數部分是而'-4,

故答案為：4,V17-4；

（2）解：2＜仃＜3,=6

.?.喬的整數部分。=2,小數部分6=6-2,c=±5

當C=A/^時,c（a-匕）-4（c-2）,

=c（a-b—4）+8,

=國2-遙+2-4）+8,

=-5+8,

=3；

當c=時，/?）—4（c—2）,

=c（〃—b—4）+8,

=-V5（2-V5+2-4）+8,

=5+8,

二13；

「?c（a—Z?）—4（c—2）=3或13.

19.⑴2-g；

（2）4；

（3）2061.

【分析】本題考查了“美好數”的新定義，分母有理化，二次根式的運算，因式分解的應用，掌握知識

點的應用是解題的關鍵.

（1）利用"美好數''的新定義，分母有理化解答即可求解；

（2）利用“美好數''的新定義，分母有理化解答即可求解；

（3）利用“美好數”的新定義，分母有理化求出九再把4y2一8丫+2025變形為4（y-1）2+2021,最后

代入求值即可.

【詳解】（1）解：由“美好數”的新定義可得，

則2+相關于1的“美好數”是金石=2-73,

故答案為：2-6；

“111

(2)解,~產---1=H------1=---------7^^+'?~\------/---------.

,后+而A/TT+V13A/T19+7T2T

=1(-A/9+A/1T-VT1+V13+-^/TT9+^/i2T)

=*3+11)

=4；

9

（3）解：癡-1關于9的“美好數”>=而==710+1

.\4y2-8y+2025

=4（y-l）2+2021

=4（屈+1-1『+2021

=4x（亞丁+2021

=4x10+2021

=2061.

20.⑴20&m

（2）7200元

【分析】本題考查二次根式實際應用，二次根式混合計算，平方差公式計算等.

（1）根據題意利用長方形周長公式列式計算即可；

（2）先計算出種植蔬菜部分的面積，再求出銷售收入即可.

【詳解】（1）解：根據題意可知：

2x（"+夜）=2x（60+40）=2O0（m）.

??.周長是：20夜m;

(2)解：732-(713+1)x(713-1),

=48-(13-1),

=36(nf),

36x10x20=7200(元)，

...張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為7200元.

21.(1)①證明見解析；②證明見解析

(2)272

⑶日，理由見解析

【分析】(1)①根據SAS證明即可.②由全等三角形的性質可得=ZADE=ZCDF,證明

ZDEF=ZDFE=45°,結合/￡)C4=45°=/DEE,NCQP=NDQF,