2025年中考數學總復習《有關待定系數法求二次函數解析式

存在性問題》專項測試卷及答案

學校:姓名：班級：考號：

1.已知拋物線曠=/+—+。的對稱軸為％=5點（3,10）在拋物線上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點尸（背,粉，。（*加（勿，A是實數，謬加在拋物線上，且（加1）（A-1）

-/=1,當點P、。使AN有最大值時，在拋物線的對稱軸上是否存在點E,使得以點E、

A。為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點￡所有的坐標；若不存在，請說明

理由.

2.如圖，在直角坐標系中有一Rt△力仍，。為坐標原點，OA=\,tanN掰。=3,將此三角形

繞原點。逆時針旋轉90°,得到△〃%,拋物線尸aV+bx+c經過點4B,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點夕是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t,是否存在一點R使的

面積最大？若存在，求出△閱9面積的最大值；若不存在，請說明理由.

第1頁共19頁

3.如圖，在平面直角坐標系中，繞原點。逆時針旋轉90。得到△〃仍，其中OA=1,

OC=3.

（1）若二次函數經過4B、。三點，求該二次函數的解析式；

（2）在（1）條件下，在二次函數的對稱軸/上是否存在一點已使得為+/T最小？若點

月存在，求出點刀坐標；若點尸不存在，請說明理由.

4.如圖，已知二次函數y=—|/+5久+c的圖象經過N（1,0）、8（0,-3）兩點.

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△為8的周長最小？若存在，請求出點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

第2頁共19頁

5.如圖，已知拋物線y=x?+加+c經過/(-1,0)、6(3,0)兩點.與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點刀為拋物線上一點，若見腌=10,求出此時點月的坐標；

(3)在對稱軸上是否存在點0,使△力0c周長最小，若存在，求出點0坐標和△N0C周長,

若不存在，請說明理由.

6.如圖，拋物線y=ax^bx+c(a,b為常數，aWO)經過點J(-1,0),B(5,-6),C

(6,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，在直線N8下方的拋物線上是否存在點尸使四邊形為"的面積最大？若存在,

請求出點月的坐標；若不存在，請說明理由.

J'A

第3頁共19頁

7.已知拋物線y=+b%+c的頂點坐標為（0,1）.

（1）拋物線的解析式為;

（2）已知點［（0,2）,點8（1,3）,點夕在拋物線上，設點刀的橫坐標為出求線段必

的長（用含有字母力的式子表示）；

（3）拋物線上是否存在點R使得⑸+用的值最小，若存在，直接寫出點夕的坐標，若

不存在，說明理由.

8.已知拋物線與x軸交于48兩點（點/在點8的左邊），與y軸交于點C.

（1）若點46的坐標分別為（-2,0）和（2,0）,且。（0,4）,請直接寫出該拋物線

的解析式及開口方向、頂點坐標.

（2）將（1）中的拋物線沿水平方向平移，設平移后的拋物線與y軸交于點￡,而移動前

的點8,卻落在點尸上，問：是否存在。￡=a七0的情形？若存在，請求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

第4頁共19頁

9.已知二次函數y=-1%2+b%+c的圖象經過力（2,0）,B（0,-6）兩點.

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）若。點坐標為（6,0）,拋物線上是否存在點〃使△力切的面積為4?若存在，求

出。點坐標；若不存在，請說明理由.

10.如圖，拋物線y=af+力x+c過點［（0,3）,B（1,0）,。（-1,8）,頂點為四

（1）求該二次函數的解析式；

（2）求頂點〃的坐標；

（3）x軸上是否存在一點R使得以+7W的值最小？若點尸存在，求出點。的坐標.

第5頁共19頁

11.如圖，在RtAABC,ZABC=9Q°,該三角形的三個頂點均在坐標軸上.二次函數y=

ax+bx+citA（-1,0）,B（0,2）,C（4,0）.

（1）求二次函數的解析式；

（2）點月為該二次函數第一象限上一點，是否存在點R使△比？的面積為4,若存在,

求出月點的坐標；若不存在，說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+3與拋物線/=系+及+。交于點N,8,點/在y

軸上，拋物線的對稱軸是直線x=2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得y?若存在，請直接寫出點刀的

坐標；若不存在，請說明理由.

第6頁共19頁

13.如圖，拋物線y=f+9+c經過點J(-1,0),點B(2,-3),與y軸交于點C,拋物

線的頂點為〃

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點R使5k.=4邑頷，若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

14.在平面直角坐標系中，已知二次函數、=一1%2+6%+。的圖象經過坐標原點。和點/

(4+a,0),其中心0.

(1)當a=0時，求y關于x的函數表達式，并求出當x為何值時，y有最大值，最大值

是多少？

(2)當a>0時，在0Wx<4范圍內，y是否存在最大值10?若存在，求出相應的a和x

的值；若不存在，請說明理由.

第7頁共19頁

15.如圖，二次函數y=ax2+力x+c(aWO)的圖象過力(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

三點，點。是二次函數圖象上一點，點。的橫坐標是R,直線久=jni與x軸交于點￡,且

0V7V3.

(1)求二次函數的表達式；

(2)過點〃作。G_L直線％=于點G,作以_Lx軸于點式，并交8C于點〃.

①當7H=|時，求出的長；

②是否存在點〃使。G+如最大？若存在，求出。點坐標，若不存在，請說明理由.

參考答案

1.解：(1)由題意得，一3=也

/.b=-1.

y=x-x+c.

又點(3,10)在拋物線上

.*.9-3+c=10.

c=4.

???所求拋物線的解析式為：y=/-^+4.

(2)(TT+1)(77-I)-m=\

：.n-1-m=\.

：.n=2+/n.

又M=nt-nf+4,N=n-n+4

:.M-N=m-/+4-n+T?2-4=序-n-(/-T?2)=(/-T?2)(in+n-1)=-2(2序+1)

第8頁共19頁

=-4石-2.

■:希

?，?-4/W0.

/.一4/一2W一2.

???當力2=0時，〃-N的最大值為-2,止匕時^=2+勿2=2

/.J/=49N=6.

???點尸為(0,4),點。為(2,6).

:.PQ=*+(4-6)2=8.

設￡弓，力，則以點￡、P、0為頂點的直角三角形，共有三種情形.

①若/以。=90。，則￡。+加=聞.

+(6-t)2+(|-0)2+(t-4)2=8.

t=5±—.

2

：.E(士5+—)或￡己，5--).

2222

②若/"0=90。，貝U四+切=￡仇

(0--)2+(t-4)2+8=(2--)2+(6-t)2.

22

.*.4^=14.

③若N￡4W=90。，貝I］威+%=》.

二(2—工)2+(6-t)2+8=(i-0)2+(t-4)2

22

/.-4方=-30.

綜上所述，E為(工，5+包)或(工，5-亙)或(工，-)或(工，

22222222

2.解：(1)在Rt△力如中，OA=\

：.A(1,0)

tanN掰0=3

：.OB=3.

：.B(0,3)

是由△力仍繞點。逆時針旋轉90°而得到的

:.△D0MXA0B.

OC=OB=3,OD=(24=1.

C(-3,0)D(0,1)；

第9頁共19頁

(a+b+c=OCL=-1

把/、B、。的坐標代入解析式得19。—3b+c=0,解得：b=—2.

(c=3(c=3

???拋物線的解析式為y=-/-2x+3；

(3)如圖

設直線5的解析式為尸由題意，得『3”"二°

3=1

解得：卜書.

也=1

...直線切的解析式為：尸打+1.

設冏/與切的交點為“則點N的坐標為(焉|t+l)

1

：.NM=-t+1.

3

：.PN=PM-NM=-1？-21+3-dt+l)=-1?--t+2.

33

?S/\PCD=SAPC點SRPDN

2

：.S^pc^-PN*CM+-PN*OM^-PN{CM^OAf)=-PN'OC^-x3C-干_乙+2)=--(t+-)+—.

2222232624

?,?當Z=—1時，Wvr〃的最大值為唱1.

624

3.解：(1)由題意得，點從。的坐標分別為：(-1,0)、(0,-3)

?；△4%繞原點。逆時針旋轉90°得到△。仍

：.OC=OB=3,即點8(3,0)

設拋物線的解析式為：y=a(x-3)(x+1)—a(f-2x-3)

把。點坐標代入解析式，則-3a=-3

解得：a=l

故拋物線的解析式為：y=/-2x-3；

(2)由拋物線的對稱性可以得出點48關于拋物線的對稱軸對稱

第10頁共19頁

...連接BC交對稱軸于點R則點夕是所求的點.

y=x-2x-3=（x-1）二4

，對稱軸為直線x=l

???夕點的橫坐標為1.

設直線的解析式為丁=磔+〃（"WO）

將8（3,0）、。（0,-3）代入尸必x+〃，得：戶m+[=°

tn=—3

???直線歐的解析式為尸才-3

?\當x=l時，y=x-3=-2

???點尸的坐標為（1,-2）.

4.解：（1）???二次函數y=—6比+。的圖象經過/（1,。）、夕（0,-兩點.

f—|+b+c=O

Ic=一3

解得：1二5

L=-3

??.二次函數的解析式為：y=—3久2+（%—3；

（2）存在，理由如下：

由條件可知點6關于對稱軸的對稱點W的坐標為（7,-3）

連接W力交對稱軸于點R連接即，此時△為8的周長最小.

設直線W/的解析式為把W（7,-3）和/（1,0）代入得:

k+b=0

7k+b=-3

k=L

解得『21

2

夕點的橫坐標為（

第11頁共19頁

.?，點的坐標為|).

5.解：(1)由題意得：y=(x+1)(x-3)=/-2x-3；

(2)?.?拋物線y=x2-2x-3經過/(-1,0)、B(3,0)兩點

：.AB=^

設點刀的縱坐標為m

,**S&PAB=10

?\m\—10,Bp|x4x\m\—10,解得：m=±5；

當R=5,有5=f-2x-3,解得：x=-2或4

???點0的坐標為(-2,5)或(4,5)；

當-5,有-5=系-2^-3,即系-2x+2=0

A=(-2)2-4X2=-4<0

...方程x-2x+2=0無解.

綜上，點夕的坐標為(-2,5)或(4,5).

(3)?拋物線y=x-2x-3

對稱軸為x=l,C(0,-3)

如圖：作點。關于對稱軸為x=l的對稱點Q,則Q(2,-3),連接力G

QC=QCi

...陽=//陽

周長為AC+AQ^QC=AC+AQ^QCl=AC+ACi,此時△4%的周長最小

'：A(-1,0),C(0,-3),Q(2,-3)

2222

.".AC-Vl+3——V10,AC1-y/(—1—2)+3——3A/2

.?.△4%的周長最小為V1U+3V2；

由點/、C的坐標得，直線NG的解析式為y=-x-1

令x=l,可得y=-2,即點0(1,-2)；

綜上，△4%的周長最小為m+3企，點0的坐標為(1,-2).

6.解：(1)設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-6)(aWO)

把8(5,-6)代入：a(5+1)(5-6)=-6

a=l

...拋物線的解析式為尸(x+1)(x-6)=x-5x-6；

(2)存在

如圖，分別過只8向x軸作垂線9和隴垂足分別為孤N

設尸(加，ffl-5ffl-6),四邊形為⑵的面積為S

第12頁共19頁

則-石+5加6,AM=研1,MN=3-m,CN=6-5=1,BN=3

??S——Sx4旃+S梯形PMNB^S/\BNC

=-(-nf+596)(加1)+-(6-TZ^+5加6)(5-加+-xlX6

222

=-3/+12加36

=-3(%-2)2+48

當勿=2時，S有最大值為48,這時序-5/-6=2?-5X2-6=-12

：.P(2,-12).

7,解：(1)由條件可知，拋物線的對稱軸為p軸，則6=0；

把點(0,1)代入y=]/++。中得：c=i

???y=-1x2+?q1；

4

故答案為：y=\x2+1；

4

(2)???點P的橫坐標為〃且在拋物線上

.'.P(m,^m2+1)；

由勾股定理得P&-Jm2+(^m2+1—2)2=^m2+1；

(3)存在點R使得為+期的值最小，理由如下：

如圖，過點R8分別作x軸的垂線，垂足分別為￡,D；

'：PA+PB=PE+PB^BD

當月在劭上時，為+所取得最小值，此時點尸的橫坐標為1

???點戶的縱坐標為工x/+i=g

44

...點0的坐標為(1,|).

8.解：(1)設拋物線解析式為y=a(x+2)(x-2)

將C(0,4)代入y=a(x+2)(x-2),得4=-4a

第13頁共19頁

解得a=-1

y=-(x+2)(x-2)=-x+4

開口向下，頂點坐標為(0,4)；

(2)存在，理由如下：

設平移后二次函數的解析式為y=(x-力)2+4

當x=Q時，y=-力2+4

/.OE=\-斤+41

由平移可得：點尸的坐標為(2+h,0)

：.OF=\2+h\

：.|-方+4|=|2+引

解得力=1或3

：.F(5,0)或(3,0).

9.解：(1)?.?拋物線產一/+力x+c經過/(2,0),B(0,-6)兩點

.(—2+2b+c=0

**tc=—6

這個二次函數的解析式為尸-#+4x-6.

(2)存在

設。點的坐標為(力，〃)

,：A(2,0),C(6,0)

：.AC=&-2=4

,*,SAAC產-x4I7?|=4

:.n=2或n=-2

點的坐標為Qm,2)或(加，-2)

若點。(勿，2)在拋物線尸-|歲+4"6上，則-/?+4/-6=2

解得?=磔=4

：.D(4,2)；

若點。(加，-2)在拋物線尸-]+4x-6上，則-/+4勿-6=-2

解得血=4+2或，ffi2=4-2V2

：.D(4+2V2,-2)或。(4-2或，-2)

綜上所述，。點坐標為(4,2)或(4+2V2,-2)或(4-242,-2).

10.解：(1)..?拋物線y=a/+5x+c過點力(0,3),B(1,0),。(-1,8)

=3

?**ja+b+c=0

(。一b+c=8

第14頁共19頁

fa—1

解得(b——4

(c=3

???拋物線的解析式為y=/-4x+3；

(2)(2)由(1)得y=*-4x+3=(x-2)2-1

，頂點〃的坐標為(2,-1).；

(3)存在.理由如下：

如圖，連接力必與x軸交于點R即以+用的值最小.

設直線的解析式為尸kx+b

3

把/(0,3)和點〃(2,-1)代入解析式得《J4b=_i

解得｛憶了

???直線的解析式為y=-2x+3.

當y=0時，由-2x+3=0得％=|

???吟0).

11.解：(1)?.?二次函數y=ax2+/?x+c過/(-1,0),B(0,C(4,0)

a—b+c=0

?**c=2

16a+4b+c=0

(a—

解得2

d3

???拋物線的解析式為y=—3/+1%+2；

(2)設直線的解析式為尸Ax+2

：Ak+2=0,解得上=一］

直線BC的解析式為y=-3%+2

過夕點作閥〃y軸交布于點Q

設P(t，—|t2+|t+2),則Q(t,—|t+2)

第15頁共19頁

.?.PQ=++|t+2+/-2=-衿+2亡

.，.S=|x4x(-|t2+2t)=-t2+4t=4

當右=七=2時，△閱的面積為4

此時尸(2,3).

12.解：(1)當x=0時，y=x+3=3

：.A(0,3)

把力(0,3)代入y=f+6x+c得c=3

?.?拋物線的對稱軸是直線x=2

一毫二2

解得力=-4

???拋物線解析式為尸系-4x+3；

(2)存在.

48與直線x=2相交于點Q,如圖

當x=2時，y=x+3=5

：.Q(2,5)

解方程組y=x+3

(y=%2—4%+3

：.B(5,8)

設P(2,t)

??q_15

?，叢AB產~

.\-x|t-5|X5=—

22

解得t=2或t=8

.??夕點坐標為(2,2)或(2,8).

第16頁共19頁

13.解：(1)???拋物線p=f+於+c過點4(-1,0),點8(2,-3)

.(1—b+c=0

??(4+2力+c=-3

解得仁二

???拋物線的解析式為：y=/-2^-3.

(2)存在，理由如下：

''y=x-2^-3=(x-1)2-4

.?"點坐標為(1,-4)

令x=0,則尸系-2x-3=-3

點坐標為(0,-3)

又點坐標為(2,-3)

.,.8C〃x軸

S&BC尸X2X1=1

設拋物線上的點尸坐標為(〃ri-2m-3)

=

S^PBCX2X|ffl-2ffl-3-(-3)|=|-2m\

當|石-2m\=4X1時

解得7Z7=1±V5

當加=1+武時，a-2TZZ-3=0

當R=1—隗時，in-2m-3=0

綜上，夕點坐標為(1+V5,1)或(1-V5,1).

14.解：(1)當a=0時，A(4,0)

把0(0,0),A(4,0)代入尸一|*+力x+c得：

(c=0

1—8+4b+c=0

邛二3

1c=0

“關于x的函數表達式為y=+2x.