第21關圓的有關概念及性質

基礎練

考點1圓的有關概念和垂徑定理

“2024湖南長沙］如圖，在OO中，弦AB的長為8,圓心O到AB的距離OE=4,則。O的半徑長為

B.4V2

2.［2024內蒙古通遼］如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經過

拱門所在圓的圓心，若AB=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為（）

ADB

A.1.25mB:1.3mC.1.4mD.1.45m

3.［2024四川涼山州］數學活動課上,同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在

工件圓弧上任取兩點A,B,連接AB,作AB的垂直平分線CD交AB于點D,交AB于點C,測出AB=40cm,CD=l

0cm,則圓形工件的半徑為

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

4.［2023湖南常德］沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如

圖，AB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧,C是弦AB的中點,D在AB上,CD_LAB.“會圓術”給出AB長1的近似值

s的計算公式：s=4B+霄當OA=2,ZAOB=90°at|l-s|=.（結果保留一位小數）

5.［2024江西撫州校級模擬］圖1是某育花苗圃的木制大門，門上面一部分是半圓形，下面一部分是長方形.現有

一輛裝滿貨物的小貨車要從該木制大門（大門相關尺寸見圖2）開進該苗圃，車高2.5m,寬1.6m.問：這輛小貨車能否

通過該苗圃的木制大門?

圖1圖2

考點2圓心角、圓周角、弧、弦之間的關系

6.[2024湖南]如圖,AB,AC為。O的兩條弦，連接OBQC,若NA=45。,則NBOC的度數為（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

7.[2024重慶B卷]如圖,AB是。O的弦QCLAB交。O于點C,點D是。O上一點，連接BD,CD.若/D=28。,

則/OAB的度數為（）

A.28°B.34°C.56°D.62°

8.〔2024北京〕如圖,。O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）.若/D=35。,則NC='

9.[2024江蘇連云港]如圖,AB是圓的直徑,/1、N2、N3、Z4的頂點均在AB上方的圓弧上,/1、Z4的一

邊分別經過點A、B,則Nl+N2+/3+/4='

10.[2024四川南充]如圖,AB是。O的直徑，位于AB兩側的點C,D均在。0上,NBOC=30。,貝!|/ADC=

度.

D

11.[2024內蒙古包頭]如圖,AB是。O的直徑,BC,BD是。。的兩條弦，點C與點D在AB的兩側,E是OB上

一點（OE>BE）,連接OC,CE,且/BOC=2/BCE.

⑴如圖L若BE=1,CE=V5,求。O的半徑；

⑵如圖2,若BD=2OE,求證:BD〃OC.（請用兩種證法解答）

考點3圓內接多邊形

12.[2024黑龍江牡丹江]如圖,四邊形ABCD是。O的內接四邊形，AB是0O的直徑，若/BEC=20。,則/A

DC的度數為（）

A.1000B.1100C.1200D.1300

第12題團第13題圖

13.[2024吉林]如圖,四邊形ABCD內接于。O,過點B作BE〃AD,交CD于點E.若/BEC=5。。廁/ABC的

度數是（）

A.50°B.1000C.130°D.150°

14.［2024四川宜賓］如圖,△ABC內接于0O,BC為。O的直徑,AD平分/BAC交00于D,則唱絲的值為

)

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

15.［2024山東濱州］如圖,四邊形ABCD內接于。O,若四邊形OABC是菱形，則ND

16.［2024江西上饒一模］平面上有4個點，它們不在同一直線上，過其中3個點作圓，可以作出n個不重復的圓,

則n的值不可能為（）

A.4B.3C.2D.1

17.R024新疆］如圖,AB是。O的直徑,CD是。O的弦,ABJ_CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長為（

)

A.1B.2C.3D.4

18.［2024河南開封一模］如圖，一圓弧過方格的頂點A,B,C,試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐

標為（24）,點B的坐標為（-4,2）,則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）

A.(-l,2)

D.(2,l)

19.［2024湖北武漢一模］如圖，皿和歡分別是以ABAC為直徑的兩個半圓其中AC是半圓。的一條弦，

E是AC的中點，D是近的中點.若AB=6,DE=1,_,且AO3廁AC的長為（）

X.3+V3B.4+V3

C.3+V2D.4+V2

20J2024陜西］如圖,BC是。O的弦，連接OB,OC,NA是BC所對的圓周角，則NA與NOBC的度數的和是.

21.［2024江西］如圖,AB是OO的直徑,AB=2,點C在線段AB上運動，過點C的弦DELAB,將喙沿DE翻折

交直線AB于點F,當DE的長為正整數時，線段FB的長為.

22.［2024浙江瑞安二模］圖1是圓形置物架，示意圖如圖2所示.已知置物板AB〃CD〃EF,且點E是BD的中

點.測得AB=EF=12cm,CD=18cm,/BAC=9(F,/ABG=60。,則該圓形置物架的半徑為cm.

圖1圖2

23.如圖，在圓內接四邊形ABCD中、AD<AC、/人口(2</8人口延長人口至點以使人￡=人匚延長8人至點兄連

接EF,使/AFE=/ADC.

⑴若/AFE=60。.CD為直徑求/ABD的度數.

(2)求證:①EF〃:BC;②EF=BD.

AO

C

'B

24.[2024安徽馬鞍山一模]如圖，在。O中,AB、AC為弦,CD為直徑,ABLCD于E,BFEMC于F,BF與CD相交

于G.

⑴求證：ED=EG-

(2)若AB=4V5,OG=2,求。O的半徑.

25.[2024安徽蚌埠二模]如圖，OO中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點P.AB經過點O,E是AC的中點，連

接EP并延長，交BD于點F.

(1)若AB=10,OE=VTU,求AC的長；

(2)求證:EF_LBD.

D

26J2024遼寧大連一模］參考資料：對角互補的四邊形的四個頂點一定在同一個圓上.

請利用上述結論解決以下問題：

如圖,AB為。01與。。2的公共弦，連接01A并延長交。于C連接BC、0102.

⑴請探究01,CQ,B四點是否共圓，若是.請證明并使用尺規作圖，作出四邊形OiCO2B的外接圓，保留作圖

痕跡；若不是，請說明理由.

⑵若。1。2-AC=BC-O2B,寫出CB與OOi的位置關系，并證明.

1.B

2.B解析:連接0A,

?.D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經過拱門所在圓的圓心，AB=lm,

.-.CD±AB,AD=BD=0.5m,

設拱門所在圓的半徑為rm,

?.CD=2.5m,/.OD=(2.5-r)m,

r2=0.52+(2.5-r)2,解得r=1.3,

二拱門所在圓的半徑為1.3m.

3.C解析:設圓心為0,連接0B,

/CD垂直平分AB,AB=40cm,

，點0在直線CD上,BD=20cm,

設圓形工件的半徑為rem,則0C=0B=

rem,

?.CD=10cm,/.OD=(r-10)cm,

???NODB=90°,0D2+BD2=OB2,

??.(r-10)2+202=*解得r=25,即圓形工件的半徑為25cm.

4.0.1解析：連接OC、

.OA=2,NAOB=90°、

AOB=2,AB=2近、

??C是弦AB的中點，

.-.CO±AB;.CD±AB,.-.DSC,0共線，

CO=y[2,CD=2-y[2,

■■s=AB+—,???s=2V2+(2-‘)=3,

OA2

,907rx2

I=----------=7T,

180

.-.|l-sl=|n-3|~3.14-3~0.1.

5.能通過

解析二?車寬1.6m,1.6<2,

，要判斷小貨車能否通過，只要比較距大門中軸線0.8m處的門高與車高即可.如圖過點0作0P1,EF于點

P,在PF上取點H,使得PH=0.8m,過點H作HM^AB于點D,交半圓AB于點M.

易知DH=OP=2.3m,OM=OB=lm,OD=PH=0.8m.

在RbOMD中，由勾股定理可得，MD=VOM12-OD2=V12-0.82=

，MH=MD+DH=0.6+2.3=2.9(m),

??-2.9>2.5,

二.這輛小貨車能通過該苗圃的木制大門.

1

ZA--ZBOC.

2

又"二45。，

/.zBOC=2x45°=90°.

7.B解析:「4=28°,

.-.zBOC=2zD=560.

-,OC±AB,

二點C為AB的中點,

AC^BC,

..NAOC=NBOC=56。，

NOAB=90°-56°=34°.

8.55

9.90

解析：:AB是圓的直徑，

.■.AB所對的弧是半圓，所對圓心角的度數為180°,所對的圓周角的度數為90°,?21/2/3/4所對的弧的

和為半圓，

1

44④+N4=士x180°=90°.

2

11.⑴3⑵見解析

解析:⑴過點。作OH，BC于點H.

-,OC=OB,OH±BC,

.-.zCOH=zBOH,CH=BH,

?.zBOC=2zBCE,

zBOH=zBCE,

?.zBOH+zOBH=90°,

.?.zBCE+zOBH=90°,

.?.zCEB=90°,

???BC=y/EC2+EB2=V5T1=A/6,

CH=BH=

2

BHEBY1

cosNOnDBUH=—=—=-p,

OBBCOBA/6

.QB=3,：OO的半徑為3.

⑵證法一:過點O作OK,BD于點K,則BK=DK,

?.BD=2OE,/.OE=BK,

?.zCEO=zOKB=90°,OC=OB,

RfOEC2RtABKO(HL),

..NCOE=NOBK,

.-.BDllOC.

證法二:過點0作OKLBD于點K,則BK=DK,

?.BD=2OE,.-.OE=BK,

D1Z

???cosZCOE=—oc,cosNOBK=—OB,0C=OB,

.,.coszCOE=coszOBK,

.-.zCOE=zOBK,

/.BDllOC.

12.B解析:連接AC,

/AB是。0的直徑,.zACB=90。，

.NBEC=20°,

.-.zCAB=zBEC=20°,

NABC=90°-NBAC=70°,

1?四邊形ABCD是。。的內接四邊形，

zADC=180°-zABC=110°.

13.C解析:「BEIIAD,

..NADC=NBEC=50。，

1.四邊形ABCD內接于。0,

.?.zABC=180°-zADC=130°.

14.A解析:如圖，連接BD,CD,

；BC是。。的直徑，

..NBAC=NBDC=90°,

/AD平分NBAC,

.,.zBAD=zCAD,

BD=DC,

.■.BD=CD,

在四邊形ABDC中，

zACD+zABD=180°,

將AADC繞D點逆時針旋轉90。得到△ADB,點A的對應點為點A）則A,B,A，三點共線,

A

..AB+AC=AB+A'B=AA',由旋轉可知NA'DB=NADC,A'D=AD,

zA'DA=NA'DB+NBDA=NADC+.NBDA=NBDC=90°,

..在等腰直角三角形A'DA中，sinA'=sin45°=—=^,

AA乙

.AB+AC_AA_rr

??AD-AD-'

15.60

解析二?四邊形ABCD內接于。0,

.,.zB+zD=180o,

..四邊形OABC是菱形，

.,.zB=zAOC,

.-.zAOC+zD=180o,

由圓周角定理得ND即NAOC=2ND,

，2ND+ND=180。，

zD=60°.

16.C解析：分為三種情況：①當四點都在同一個圓上時，如圖1,此時n=l;

②當三點在一條直線上時，如圖2,過A,B,C或A,C,D或A,B,D作圓,共可作3個圓，即n=3;

③當A,B,C,D四點不共圓，且其中的任何三點都不共線時，如圖3,

過A,B,C或B,C,D或GD,A或D,A、B作圓，共可作4個圓，即n=4.

故n的值不可能是2,故選C.

17.B解析:?：AB是。0的直徑，且AB±CD,

?"E=Q=4.

在RtADOE中，OE—V52-42=3,.1BE=5-3=2.

18.C解析:如圖所示，

?.AW=1,WH=3,

AH-Vl2+32——V10,

■,BQ=3,QH=1,

???BH=Vl2+32=V10,

..AH=BH,同理AD=BD,

.■■DH為線段AB的垂直平分線，易得WH為線段AC的垂直平分線，

??.H為圓的兩條弦的垂直平分線的交點，

則BH=AH=HC,H為圓心.

貝m亥圓弧所在圓的圓心坐標是（-1,1）.

19.D解析:連接DA,DC,EO,BC,OE交AC于點F,

'.E是AC的中點/.OE垂直平分AC,

；.F是AC的中點.

.AC為OF的直徑,;.NADC=90°.

是麗的中點，

???FD垂直平分AC,

，D,E,F,。在同一條直線上,DA=DC,NDFA=90°,..NDAF=45°；DF=AF.設EF=x，則.DF=AF=CF=x+l,OF=|x

6—x=3—x,.".AC=2x+2,

???F是AC的中點,0是AB的中點，

.■.OF是MBC的中位線,

.'.BC=2OF=6-2x.

.AB為。O的直徑"?zACB=90°,在RfABC中,根據勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

62=(2x+2/+(6—2%)2,x—1+/或x=1—

?.AC>3,.,.2x+2>3,.,.x>|,.'.x=l+冬

AC=2x+2=4+V2.

20.90°

解析:「NA是BC所對的圓周角，

NA--NO.

2

-,OB=OC,

.,.zOBC=zOCB.

X-.zO+zOBC+zOCB=180°,

.?.zO+2zOBC=180°,

：.-z0+NOBC=90",

2

SPzA+zOBC=90°.

21.2-百或2或：2+V3

解析:17X8=2,AB是。O的直徑

.-.0<DE<2,

VDE的長為正整數，

??.DE的長為1或2,

分情況討論：

①當DE=1且DE在點O右側時，連接OD,如圖1,

由題意得DC=CE=^,OB=OD=|X5=1,

OC=y/OD2-DC2=—,

2

???CB=0B-OC=1--,

2'

FB=2CB=2.-43.

②當DE=2時，如圖2,FB=20B=2.

③當DE=1且DE在點0左側時，連接OD,如圖3,

由題意得DC=CE=^,0B=0D=|48=1,

OC=y/OD2-DC2=—,

2

BCOB+OC=1+—,

2

???FB=2CB=2+V3.

綜上,線段FB的長為2-遮或2或2+V1

解題關鍵

根據DE4AB,可得DE=1或2,利用勾股定理進行解答即可，進行分類討論是解題的關鍵.

22.14

解析：如圖，延長FE交AC于點J,過點B作BT±CD于點T.

?.ABIIE"CD,BE=ED.，AJ=JC,NCJO=NCAB=90°.

，FJ垂直平分線段AC,

，圓心。在EJ上，連接AO,設AO=OF=rcm.

易得EJ丑(4B+CD)=|(12+18)=15(cm),

.■.FJ=EJ+EF=12+15=27(cm),

.NCAB=NACD=NBTC=90°,

二四邊形ACTB是矩形，

「.AB=CT=12cm,

..DT=CD-CT=18-12=6(cm),

.ABIICD,:NBDT=NABG=60。，

???BT=V3DT=V3x6=6V3(cm),

AC=BT=6y/3cm,

A]=C]=3y/3cm,

2__

在RSAOJ中，產=(3V3)+(27-r)2,，r=14,即圓形置物架的半徑為14cm.

23.(1)30°

(2)①見解析②見解析

解析:Q)；CD為直徑，,zCAD=90°,

?.zAFE=zADC=60°,

ZACD=90°-60°=30°,

.?.zABD=zACD=30°.

⑵證明:①..?四邊形ABCD是圓內接四邊形，

.?.zADC+zABC=180°,

X/zAFE=zADC,

..NAFE+NABC=180。，

.-.EFllBC.

②過點D作DGUBC交。O于點G,連接AG,CG,

??,DGllBC"?.易得BD=CG,

.-.BD=CG,

1?四邊形ACGD是圓內接四邊形，

，易得NGDE=NACG,

EFIIBC.EFIIDG,.".NDEF=NGDE、

.,.zDEF=zACG,

?.zAFE=zADC,zADC=zAGC,

..NAFE=NAGC、

.AE=AC,.”AEF學ACG(AAS),

.-.EF=CG,.-.EF=BD.

24.(1)見解析⑵g

解析：Q)證明:連接BD,

?.AB±CD于E,BF，AC于F,

..NCFG=NGEB=90°,

又.?NCGF=NBGE,..NC=NGBE,

???AD=AD,

.,.zC=zDBE,

..NGBE=NDBE,

?.AB±CD,

..NGEB=NDEB=90°,

.-.zBGE=zBDE,

.■.B