2025年中考數學總復習《全等三角形之一線三等角模型》專項測試卷(帶答案)

學校:班級：姓名：考號：

1.如圖，點C在線段8。上，ZABD=ZBDE=ZACE=90°,BC=DE.

(1)如圖1,求證：AB+DE=BD；

(2)如圖2,連接AE,點M為AE中點.連DM,分別交AC,CE于G.H,猜想瀏■/與DM關系，并加以

證明;

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接G"；求證：GH//BD.

2.如圖，等邊VABC的邊長為2,過點A作直線MN〃3C,點P在直線MN上，連接將3P繞點B順時針旋

轉90。得到8。，連接CQ,PQ.

備用圖

(1)如圖1,當點。在邊上時，求C0的長.

⑵將線段沿著射線3C方向平移，使點3與點C重合，點。的對應點為點H,得到線段CH,連接PH,QH.

①如圖2,當AAB尸是等邊三角形時，求證：四邊形8CHQ是菱形；

②當點尸在射線AN上時，若人尸。〃的面積為26，求AP的長；

③當點P在射線AM上時，是否存在點P,使得APQH的面積為26？若存在，請直接寫出AP的長；若不存在,

請說明理由.

3.綜合與實踐：

(1)某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形.如圖1.已知：在VA8C中.ABAC=90°,

AB=AC,直線/經過點A,BD/直線/,CEL直線/,垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)組員小劉對圖2(N54C=90。，AB=AC,直線/經過點A,比>1直線/,CEL直線/,垂足分別為點。、E.)

進行了探究，他發現線段DE、BD、CE之間也存在著類似的數量關系，請你自談寫出這個發現.

數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：

(3)如圖3,已知VABC,四是BC邊上的高，=1.過VABC的邊43、AC向外作正方形A5DE和正方形AC尸G,

延長物交EG于點/,若4=2,請序撰寫出△AEG的面積.

(4)如圖4,在VABC中，Z54C是鈍角，AB=AC,ZBAD>ZCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,直線機與BC的

延長線交于點R若BC=2CF,VA3C的面積是12,請申毯寫出△板)與△口方的面積之和.

DAEEADm

Si圖2圖3圖4

4.(1)【問題提出】如圖1,在RtZ\ASC和RIACED中，ZACD=ZB=ZE=90°,AC=CD,B,C,E三點在一

條直線上，AB=3,DE=4,則AC的長度為；

BCEBCBA

圖1圖2圖3

(2)【問題探究】如圖2,在中，ZABC=90°,BC=3,AC±CD,且AC=CD,求點。到3C的距離;

(3)【問題解決】如圖3,在四邊形ABCD中，/ABC=NC4B=NADC=45。，AC=2A/10,AD=6①,求△BCD

的周長.

5.已知一次函數y=-§x+2的圖象與X軸、y軸分別交于點A、B.

⑴求VA03的面積及點。到直線的距離；

⑵若第三象限存在一點C,如圖2所示，使得BC=fi4,且/AfiC=90。，求點C的坐標；

⑶在(2)的條件下，雙曲線》圖像上有一點M,滿足工ABM=S,ABC，直接寫出所有滿足條件的點河坐標.

X

6.如圖，在VABC中，AB=AC=2,N3=NC=40。，點O在線段上運動(。不與8、C重合)，連接AD,

作ZAZ?=40。，DE交線段AC于E.

⑴當N8D4=115。時，NEDC=°,ZDEC=°;點。從8向C運動時，/3ZM逐漸變(填“大”或“小”)；

(2)當。C等于多少時，LABD必DCE,請說明理由；

(3)在點Z)的運動過程中，VADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數.若不可以，請說

明理由.

7.某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的全等模型.

【模型初識】如圖1,已知：在VA2C中，NB4c=90。，AB=AC,直線/經過點A,加工直線/于點CEL直

線I于點、E.易證："BD冬ACAE.

(1)如圖1,若BD=3,CE=5,則OE=；

【模型應用】

(2)如圖2,平面直角坐標系中，ZAOB=90°,04=03,點B的坐標為(1,2),則點A的坐標為；

【模型拓展】

（3）如圖3,以VABC的邊AB,AC向外分別作正方形AB￡>E和正方形ACFG,則44E=NC4G=90。，AE=AB,

AG=AC,4/是3c邊上的高，延長HA交EG于點/.

①過點E作仞0，印于點M,過點G作GNL小于點N,試說明EAf=GN；

②若BH=4,CH=6,請求出4/的長.

8.如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,CB=CA.過A作AO，￡D于點D,過8作于點E.可

證得ABEC絲AQM.我們將這個模型稱為“一線三等角”或者叫“K形圖”.

【問題初探】如圖2,已知直線y=2x+2與y軸，x軸分別交于A,3兩點，以3為直角頂點在第二象限作等腰

RtAABC,求點C的坐標及直線AC的表達式；

【應用探究】如圖3,在平面直角坐標系內，已知直線，=-4尤+4與y軸交于點尸，與X軸交于點Q,將直線P。繞

尸點沿順時針方向旋轉45。后，所得的直線交X軸于點R.求APQR的面積.

【拓展延伸】

隨著城市建設的發展，街心花園越來越多地出現在人們的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善環境，漸漸發

展為休閑、娛樂、運動、餐飲一體化的市民游息場所，為居民幸福生活提供越來越豐富的作用.為了提升居住環境

水平，高新區準備對區內一個街心花園進行改造，如圖4,設計師標記公園原址為長方形A08C,并以點0為原點

建立平面直角坐標系，已知A、8的坐標分別是（0,30）,（20,0）.設計師準備在原花園的兩邊和OB上分別選取

點。和點E,以。E為斜邊在。E的左下側（包括左側和下側）修建一個等腰直角三角形DEE區域作為餐飲角，由

于點C處是地鐵站，為方便市民出行，設計師想確定點歹的位置，使得點尸到點C的距離最小，請你利用所學知識

幫助設計師找到點F的位置，并求出C/的最小值.

9.如圖，VABC中，ZB=ZC=30°,ZDEF=30°,且點E為邊BC的中點.將NDEF繞點E旋轉，在旋轉過程

中，射線。E與線段4?相交于點尸，射線族與射線C4相交于點Q,連結P。.

(1)如圖1,當點。在線段C4上時

①求證：ABPES《EQ；

②線段BE,BP,CQ之間存在怎樣的數量關系？請說明理由;

(2)當△AP。為等腰三角形時，求坐的值.

10.在VABC中，ZACB=90°,AC^BC,直線MN經過點C,且AD_LMN于。，BE_LMN于E.

①AADC會ACEB；

②DE=AD+BE；

⑵當直線跖V繞點C旋轉到圖(2)的位置時，求證:DE=AD-BE；

⑶當直線"N繞點C旋轉到圖(3)的位置時，請直接寫出。E,AD,8E之間的等量關系.

11.(1)問題發現：如圖1,在VA2C中，ZABC=a,將邊AC繞點C順時針旋轉a得到線段CE,在射線上

取點。，使得NCDE=a,線段8C與。E的數量關系是；

(2)類比探究：如圖2,若(z=9O。，作NACE=90。，且CE=；AC,其他條件不變，寫出變化后線段2c與DE的

數量關系，并給出證明；

(3)拓展延伸：如圖3,正方形A3。的邊長為6,點E是邊AD上一點，且AE=2,把線段CE逆時針旋轉90。得

到線段跖，連接所，直接寫出線段所的長.

12.在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E,在直線m上方有AB=AC,且滿足ZBDA=ZAEC=ABAC=a.

AEmAEmF

⑴如圖1,當<z=90。時，猜想線段DE,BD,CE1之間的數量關系是_；

(2)如圖2,當0<a<180。時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)應用：如圖3,在VABC中，是鈍角，AB=AC,NBADcNCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,直線機與CB

的延長線交于點R若BC=3FB,VABC的面積是12,求與"久的面積之和.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點以4力)是第二象限內一點.

⑴若a、6滿足等式(a+3)2+|6-2|=0,求點B的坐標;

⑵如圖1,在(1)的條件下，動點C以每秒2個單位長度的速度從。點出發，沿無軸的負半軸方向運動，同時動

點A以每秒1個單位長度的速度從。點出發,沿y軸的正半軸方向運動，設運動的時間為f秒，當f為何值時，NABC

是43為斜邊的等腰直角三角形；

(3)如圖2,CA分別是x軸負半軸和y軸上正半軸上一點，且VA5C是以A8為斜邊的等腰直角三角形，若E是線

段OC上一點，連接BE交AC于點。，連接AE,當AE=CE,NOAE=45。，①求證：BE平分/ABC；②設

的長為a,AADB的面積為S.請用含a的式子表示S.

14.(1)如圖①.已知：在VA3C中，ABAC=90°,AB=AC,直線機經過點A,應＞1直線加，CE_L直線,

垂足分別為點。、E.則線段DE、80與CE之間的數量關系是

C

圖1圖2圖3

(2)如圖②，將(1)中的條件改為：在VABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線機上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中。為任意銳角或鈍角.請問：(1)中的結論是還否成立？如成立，請你給出證明；

若不成立，請說明理由.

(3)拓展與應用：如圖③，D,E是D,A,E三點所在直線機上的兩動點(DA,E三點互不重合)，點、F為/BAC

平分線上的一點，且A4B尸和均為等邊三角形，連接2。、CE.若NBDA=ZAEC=NBAC,試判斷ADEF的

形狀，并說明理由.

15.如圖，ZABC=90°,于點A,點。在直線43上，AD=BC,AF=BD.

(1)如圖1,若點。在線段A3上，判斷與0c的數量關系和位置關系，并說明理由；

(2)如圖2,若點。在線段43的延長線上，其他條件不變，試判斷(1)中結論是否成立，并說明理由.

16.綜合與實踐

數學活動課上，老師讓同學們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數學探究.

(1)操作發現：如圖甲，在RtAABC中，ABAC=90°,S.AB=AC,直線/經過點A.小華分別過8、C兩點作直線

/的垂線，垂足分別為點E.易證△MD—CAE,此時，線段。E、BD、CE的數量關系為：；

(2)拓展應用：

如圖乙，VABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,已知點C的坐標為(-2,0),點8的坐標為(1,2).請利用小華的

發現直接寫出點A的坐標：―；

⑶遷移探究：

①如圖丙，小華又作了一個等腰VABC,AB=AC,且N54CW90。，她在直線/上取兩點D、E,使得

NBAC=NBDA=ZAEC,請你幫助小華判斷(1)中線段OE、BD、CE的數量關系是否變化，若不變，請證明;

若變化，寫出它們的關系式并說明理由；

②如圖丁，VABC中，AB=2AC,ZBACV90。，點。、E在直線/上，1.ABAC=ABDA=ZAEC,請直接寫出線

段DE、BD、CE的數量關系.

圖丙圖丁

17.在平面直角坐標系中A、3兩點的坐標分別為A(a,O)、B(O,b),且a、6滿足/一12。+Jb-8+36=0,點C為

x軸負半軸上一點，AB=AC.

(1)求點C的坐標；

⑵動點尸從點A出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，同時動點。從點8出發，以每秒2個單位的速度

沿y軸向下運動，設運動的時間為f秒，連接AQ、PQ,△APQ的面積為S,請用含f的式子表示S,并直接寫出f

的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當f=3時，在坐標平面內以線段尸。為斜邊作等腰直角APQM,求點M的坐標.

18.(1)如圖1,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機經過點A,8。，直線機，CE_L直線相，垂足分別為

點、D、E.求證：AABD義/XCAE；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB^AC,D、A、￡三點都在直線機上，并且有NAEC

=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結論△A3。之△C4E是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，

請說明理由.

(3)拓展應用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線機上的兩動點(D,A,E三點互不重合)，點、F為/BAC

平分線上的一點，且AABF和△AC尸均為等邊三角形，連接CE,若N2D4=NAEC=NBAC,求證：&DEF

是等邊三角形.

19.已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC.BE、A。分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為￡>,E.

學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1，若AO=2.5C7〃，DE=1.7cm,求BE的長；然后，張老

師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉到△ABC的外部，BE、與直線CE的垂直關系不變，如圖2,

猜想A。、DE、BE三者的數量關系，并給予證明.

圖1圖2

20.感知：（1）數學課上，老師給出了一個模型:

如圖1,ZBAD=ZACB=ZAED=90°,由N1+N2+NK4D=180。，Z2+Z￡>+ZA￡D=180°,可得N7=ZD；又

因為ACB=NA￡D=90。，可得△ABCsaDAE,進而得到絲=.我們把這個模型稱為“一線三等角"模型.

應用：（2）實戰組受此模型的啟發，將三等角變為非直角，如圖2,在VABC中，AB=AC=1O,BC=12,點尸

是3c邊上的一個動點（不與2、C重合），點。是AC邊上的一個動點，且NAPD=NB.

①求證：AABPs^pcD；

②當點P為2C中點時，求CD的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2,當為等腰三角形時，請直接寫出8尸的長.

21.（1）如圖（1）,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機經過點A,直線加，CE,直線相，

垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

（2）如圖（2）,將（1）中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,Z）、A、E三點都在直線機上，并且有NBD4=NAEC=NB4C=

a，其中a為任意銳角或鈍角.請問結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展與應用：如圖（3）,是D、A、￡三點所在直線加上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點、F為/BAC

平分線上的一點，且和△ACF均為等邊三角形，連接跳）、CE,若/BDA=/AEC=/BAC,試判斷△DEF的

形狀.

cc

DA

（圖1）（圖2）（圖3）

22.問題背景：(1)如圖①，已知VABC中，N54c=90。，AB=AC,直線機經過點A,直線機，CEL直

線加，垂足分別為點。，E,易證：DE=+.

(2)拓展延伸：如圖②，將(1)中的條件改為：在VABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線機上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC,請求出。E,BD,CE三條線段的數量關系，并證明.

(3)實際應用：如圖③，在△AC3中，ZACB=90°,AC^BC,點C的坐標為(-2,0),點A的坐標為(-6,3),請

直接寫出8點的坐標.

參考答案

1.（1）證明：???ZABD=ZBDE=ZACE=90°

.-.ZBCA+ZECD=90°=ZBCA+ZBAC

:.ZBAC=ZECD

又?:BC=DE

:AACB%CED(AAS)

:.AB=CD

/.AB+DE—BC+CD=BD；

(2)解：BM=DM,BM±DM,理由:

如圖，連接MC

,/^ACB=^CED

:.AC=CE,/BAC=/DCE.

???/AC石=90。，點M是A石的中點

：.AM=CM=ME,ZCAE=ZACM=ZECM=45°CMLAE

:.ZBAM=ZMCD

又?:AB=CD

\&ABM沿&DM母AS)

,\ZAMB=ZCMD,BM=DM

ZAMB+ZBMC=ZBMC+ZDMC=90°

.\ZBMD=9Q°

:.BM.LDM；

(3)證明：略

2.(1)解：如圖

由旋轉得，BP=BQ,/PBQ=9。。

???等邊VA3C邊長為2

.?.AB=BC=29Z.l=60°

,:MN〃BC

：.N1=N2=60°,ZAPB=180?！猌PBQ=90°

???在RtaARB中，BP=A5xsin/2=2x3=百

2

/.CQ=BC-BQ=2-6；

(2)①證明：?；AABP是等邊三角形

，BP=BA

由(1)得3A=BC,BP=BQ

：.BQ=BC

由平移得：BQ//HC,BQ=HC

四邊形BCHQ是平行四邊形

,/BQ=BC

二平行四邊形BCHQ是菱形；

②解：過點P作PG1.Q”于點“，過點B作血，AM于點/,交H。延長線于點T

?.?四邊形BC//Q是平行四邊形

Z.QH=BC=2,QH//BC

,:MN〃BC

MN//BQ

：.ZT=180°-ZPZB=90°

VBIA.AM,PG1QH

：.IT=PG

VSAPQH=^QHxPG

：.2石」x2xPG

2

PG=IT=273

由(1)得BI=Q

BT=IT-BI=6

?.,ZPBQ=ZAIB=ZT=90°

：.Z3=Z4=900-ZPBI

：.△必BBQT(AAS)

PI=BT=y/3

'：AI=ABxcosZMAB=2x-=l

2

AP=PI-AI=y/3-l;

③解：存在，理由見解析：

過點。作。于點K,交跖V于點X,過點8作于點/,過點尸作尸R，3c交CB延長線于點R

同理可得MN//BC//QH,QH=BC=2

?：S?PQH=；QHXQX

：.2A/3=1x2xQX

QX=2A/3

VBIYAM,PRLBC

：.PR//BI

；?四邊形PR"為平行四邊形

/?PR=BI=由,PI=BR

同理可證明：兇口為平行四邊形

/.IB=XK=s/3

同理可得：APRBmABKQ(AAS)

：.QK=BR=QX+KX=2.y/3+y/3=3y/3

PI=BR=3A/3

/.AP=AI+PI=3y/3+l.

3.(1)證明：直線/,CEL直線/

ZBDA=ZCEA=90°

,：ABAC=90°

???ZBAD^-ZCAE=90°

u：ZBAD+ZABD=90°

：.ZCAE=ZABD

在“IDB和△CE4中

ZABD=ZCAE

<NBDA=/CEA

AB=AC

：.△ADB^ACE4(AAS)

:.BD=AE,AD=CE

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(2)解：DE=BD—CE,理由如下:

直線/,CE,直線/

???ZBDA=ZCEA=90°

ABAC=90°

：.ZBAD+ZCAE=90°

9：ZBAD^rZABD=90°

：.ZCAE=ZABD

在△ADB和△CE4中

ZABD=ZCAE

<NBDA=ACEA

AB=AC

：.AADB^ACE4(AAS)

??.BD=AE,AD=CE

：.DE=AE-AD=BD-CE.

(3)解：如圖3,過E作石MLm于M,GN,小的延長線于N

圖3

???ZEMI=AGNI=90°

由(1)和(2)的結論可知￡M=AW=GN=1,AM=BH,AN=HC

在AEA〃和△GNZ中

ZEIM=AGIN

</EMI=AGNI=90°

EM=GN

：.△EMZ也△GAY(AAS)

?**IM=IN,S?M=S

：.BC=BH+HC=AM+AN=AI-IM+A1+1N=2AI=^

則NAEG=S^AE/+SAAGI

~S“￡；M+S^EIM+S&AGN_SANGI

=^/XAEM+SAAGN

二S/\ABH+S/^ACH

=5AABC=|XBC-AH=1X4X1=2.

(4)?:NBDA=ZAEC=NBAC,ZCAD=ZAECZACE=ZCABZBAD

：.ZACE=ZDAB

又；AB=AC

：.^BDA^^AEC

?q=q

一*BDA_*AEC?

1

=-BC-AM=n,SB?AM.

2AACr2

?*S^ACf=S.CEF+S&CEA~SACEF+^ABD=6

:AABD與LCEF的面積之和為6.

4.解：(1)VZACD=ZE=9Q°

???ZACB=90°-ZDCE=ZD

在VA5C和△(7石D中

ZB=ZE=90°

</ACB=/CDE

AC=CD

：.△ABC/△CED(AAS)

:?AB=CE=3,BC=ED=4

47=)32+42=5；

故答案為：5；

(2)過。作交BC延長線于E,如圖:

VDE1BGCD±AC

：.ZE=ZACD=90°

：.ZACB=90。—ZDCE=ZCDE

在VA5C和△CED中

ZABC=ZCED=90°

<ZACB=ZCDE

AC=CD

：.△ABC^ACED(AAS)

BC=ED=3

?,?點。到5c的距離為3；

(3)過A作AELCD于E,過8作57」CD交OC延長線于尸，如圖:

???VADE是等腰直角三角形

'/AD=672

???DE=AE=6,

;AC=2M

-CE=YJAC2-AE2=2

ZABC=ZCAB=45°

???ZACS=90。，AC=BC

：.ZACE=90°-NBCF=ZCBF

在ZkACE和VCB尸中

ZAEC=ZCFB=90°

<ZACE=ZCBF

AC=CB

：.△ACE^ACBF(AAS)

/.BF=CE=2,CF=AE=6

??BC-V22+62=2-\/10，BD=小2。+(6+2+6)=10A/2

???△5CD的周長為3C+CO+3O=2M+8+10后.

5.(1)解：*.*y=——x+2

J當兀=0時，y=2,當y二°時，一;犬+2=0,解得：x=6

：.A(6,0),B(0,2)

OA=6,OB=2

?**AB=V62+22=2^/10

???5AOB=|OA.OB=1X2X6=6

設點。到直線A5的距離為九

則：S^AOB=^AB-h=6

.,3^/10

??n=---；

5

點。到直線AB的距離為皿.

5

(2)過點B作x軸的平行線OE,作

則：AE=OB=2,BE=OA=6,/D=/E=90°

ZABC=90°

：.ZDCB=ZABE=90。—NCBD

9：AB=BC

^CDB=^BEA

：.CD=BE=6,BD=AE=2

：.C（-2,2-6）,即：C（-2,-4）；

（3）①過點C作48的平行線，設解析式為＞=-；x+b

把C（-2,T）代入，得：-4=j+/7

,，―114

「?當點M在直線y=上時，^^ABM=SXABC

114

y二——x---

33

聯立16.,解得:

y二一

IX

.?.”（一8,-2）或加［一6,-||；

②將直線48向上平移2+0=三個單位，得到直線尸_3+2+/=-++當

則：當點A/在直線y=-丁+9上時,S&ABM=S&ABC

126

y=——x-\---x=24

33"；或,

聯立,解得:2

16y=8y=—

>=一

x3

??.河（2,8）或〃（24,￡|；

(2)當DC=2時，△ABD^ADCE

(3)可以；的度數為110°或80°

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)由已知平角的性質可得N￡?C=180。-NAD3-NADE,再利用三角形內角和定理進而求得NDEC,即可判斷

點。從8向C運動過程中，/BD4逐漸變??；

(2)當￡?C=2時，由已知和三角形內角和定理可得NZ)￡C+/EDC=140。，ZADB+ZEDC=140°,等量代換得

ZADB=NDEC,又由AB=AC=2,可得△ABD絲△￡>€￡(AAS)；

(3)根據等腰三角形的判定定理，利用三角形內角和定理求解即可.

【詳解】(1)解：ZEDC=1800-ZADB-ZADE=180°-U5°-40°=25°

/DEC=180。—ZEDC-ZC=180°-25°-40°=115°

點。從8向C運動時，ABDA逐漸變小

故答案為：25；115；?。?/p>

(2)解：當。C=2時，△ASD^ADCE

理由：?.?"=40°

.-.ZDEC+ZEDC=140°

又?.,ZADE=4O。

：.ZADB+Z￡DC=140°

:.ZADB=ZDEC

又NB=NC,AB=DC=2

△ABZ涇△DCE(AAS)；

(3)解：當/8D4的度數為110°或80。時，VADE的形狀是等腰三角形;

理由：???NBD1=11O。時

/.ZADC=70°,ZEDC=70°-40°=30°

???ZC=40°

/.ADAC=70°,ZAED=ZC+ZEDC=30°+40°=70°

:.ZDAC=ZAED

二?VADE是等腰三角形；

???NBD4=80。時

.\ZADC=100°

???ZC=40°

.\ZDAC=40°

:.ZDAC=ZADE

VADE的形狀是等腰三角形.

7.(1)8；(2)A(-2,l)；(3)①證明見解析，②5

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，坐標與平面，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

(1)根據垂直的定義得到NBZM=NCE4=90。，根據余角的性質得到NC4E=NABD,根據全等三角形的性質得

到=AD=CE,于是得到結論；

(2)如圖2,過A作AC，1軸于C,過5作軸于。，根據垂直的定義得到NACO=NB0O=9O。，根據余角

的性質得到NC4O=NBOD,根據全等三角形的性質即可得到結論；

(3)①如圖3,過后作￡M_Lm于"，GV_L印的延長線于N.根據正方形的性質得到AE=AB,ZBAE=90°f根

據全等三角形的性質得到AM==4,EM=AH,同理，AN=CH=6,GN=AH,即可證明；根據全等三角形

的性質得到MI=NI=~MN=g(A7V-AM),再由4=+M求解.

【詳解】(1)解：直線/,直線/

JZBDA=ZCEA=90°

*.?ABAC=90°

：.ZBAD+ZCAE=90°

9：ZBAD^ZABD=90°

：.ZCAE=ZABD

在△ADB和△CE4中

ZABD=ZCAE

</BAD=ZCEA

AB=AC

???AADB^ACEA(AAS)

：.AE=BD,AD=CE

：.DE=AE+AD=BD+CE

?；BD=3,CE=5

：.DE=8

故答案為：8；

(2)解：如圖2

過A作AC_Lx軸于C,過8作軸于。

ZACO=ZBDO=90°

ZAOB=90°

???ZCAO+ZAOC=ZAOC+ZBOD=90°

:.ZCAO=ZBOD

在△ACO與△Q05中

ZCAO=/DOB

<ZACO=ZODB

AO=BO

：.AACO^AODB(AAS)

AAC=OD,OC=BD

???點5的坐標為(1,2)

OD=1,BD=2

：.AC=l,OC=2

???A(-2,l)；

(3)①證明：如圖3,??,過后作石以，印于GV,印的延長線于N.

圖3

ZEMI=AGNI=90°

丁四邊形ABDE是正方形

AAE=AB,ZBAE=90°

9：AHIBC

：.AHB=ZAHC=90°

：.ZEAM+ZMEA=AEAM+ZBAH=90°

ZAEM=ZBAH

：.△A￡M^ABAH(AAS)

***AM=BH=4,EM=AH

同理，AN=CH=6fGN=AH

：.EM=GN；

②解：在八FMT和AGN/中

ZGIN=ZEIH

<EM=GN

AGNI=/EMI

：.△￡MT^GA7(AAS)

A

MI=NI=^MN=^(AN-AM)=i

：.AI=AM+MI=4+1=5,

134

8.【問題初探】：y=§x+2；【應用探究工景；【拓展延伸】25近

【分析】(1)過點C作CHJ_x軸于點由AAS可證△CHB/△3Q4,可得3H=。4=2,CH=OB,可求點C坐

標，由待定系數法可求直線AC的表達式；

(2)過Q作瓶〃》軸，過。作QWL尸。交PR于W,作P作PT_LKT于T,過W作WK_LKT于K,由待定系數法

可求CB解析式，可求點E坐標，由等腰三角形的性質可求CB=9,可求點。坐標，即可求解；

(3)過產作G"〃丁軸交x軸于“，過。作。G_LGH于G,由SG尸絲AFHE^AAS),知DG=FH,^DG=FH=x,

則尸(-x,x),可得C「=J(20+X)2+(30-X)2=J2(X-5)2+1250,即可得到答案.

【詳解】（1）解：令x=0,則＞=2,令y=0,貝ljx=—1,則點A、8的坐標分別為：（0,2）、（-1,0）

過點。作CH_L%軸于點H,如圖所示:

???NHCB+NCBH=90。,ZCBH-hZABO=90°

X?/ZCHB=ZBOA=90°,BC=BA

△CHB/BQ4(AAS)

.\BH=OA=2,CH=OB=1

：.。//=l+2=3

則點C（-3,1）

直線AC的的解析式為＞=如+",將點A、。的坐標代入一次函數表達式：＞=如+匕得：

Jb=2

[1=—3m+b

|1

L,m=—

解得：3

b=2

故直線AC的表達式為：y=；x+2；

（2）過Q作軸，過。作QW_LPQ交網于W,作P作PT_LAT于T,過W作WKJ_KT于K,如圖:

把y=0代入V=-4x+4得：0=-4x+4,解得：x=l

把y=0代入丁=-4%+4得：y=4

???p(o,4),2(1,0)

:OP=TQ=4,PT=OQ=}

???直線P。繞尸點沿順時針方向旋轉45。后，所得的直線交x軸于點H

，APQW是等腰直角三角形

由閱讀材料：“K形圖”可知：APT維AQAW(AAS)

：.WK=TQ=4,QK=PT=\

：.WK=A-\=3

設直線PW的解析式為：y=kx+4

把W(-3,-l)代入得：-l=-3k+4

解得：^=|

直線尸W的解析式為y=gx+4

512

在y=1%+4中，令y=0得x=-■—

11744

??.APQR的面積為；乂,小黃

(3)過下作G//〃y軸交x軸于H,過。作DGLG"于G,如圖:

△DEF是等腰直角三角形

HOEBx

同理可得：AOGF四△EHE(AAS)

:.DG=FH

設DG=FH=x,則尸（_x,x）

?.?A（0,30）,8（20,0）

.'.C（20,30）

:.CF=J（20+xy+（30-x）2=J2（x-5）2+1250

，當尤=5時，CP取最小值也而=25夜

.■.F(-5,5),CT的最小值為25啦.

【點睛】本題考查一次函數的綜合應用，三角形全等的判定和性質，兩點間距離公式，旋轉的性質，涉及“K形圖”，

解題的關鍵是讀懂題意，能靈活應用“K形圖”證明三角形全等.

9.(1)①見解析；@BE2=BPCQ

(2)1或3

【分析】(1)①推導角度關系可得NCEQ=N8PE,結合/B=NC即可得出結論.

②由①中相似可得會=警，結合3石=上即可得出結論.

(2)。點可能在線段C4上或者線段C4的延長線上，分兩種情況討論，結合(1)中的相似三角形即可得出結果.

【詳解】(1)解：①；NDEF=30°,ZB=30°

/BED+ZCEQ=150°,ZBED+ZBPE=150°

NCEQ=NBPE

'：/B=NC

：.ABPES^CEQ■

@BE2=BPCQ,理由如下：

*.*△BPE^^CEQ

?_B_E___B__P

^~CQ~~CE

：.BECE=BPCQ

???點E為邊5。的中點

:.BE=CE

：.BE2=BPCQ；

(2)解：①當點。在線段AC上時

VZA=180°-ZB-ZC=120°,為鈍角

???AAP。為等腰三角形時有AP=AQ

,/Zfi=ZC

???AB=AC

：.BP=CQ

???絲=1;

BP

②當點。在線段C4的延長線上時，如圖：連接尸。，AE

F

BEC

NBA。=120。

：.ZBAQ=60°

當△AP。為等腰三角形時，有△APQ為等邊三角形

???NB=NC=30。，點石是5C的中點

AE±BC

^AB=AC=2a

在Rt/XABE中，AE=—AB=—x2cl=a,BE=y[3AE=y/3a

:?BC=2島,BE=CE=6a

AQ=AP=x,則C。=2a+x,3P=2a—%

由（1）得：BE2=BPCQ

:?（6。）=（2〃+x）（2〃-x）

解得：x=a

BP=a,CQ=3a

q=3

BP

綜上，器的值為1或3.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，相似三角形的判定和性質，含30。角的直角

三角形的性質，掌握等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

10.（1）①見解析；②見解析

⑵見解析

@DE=BE—AD,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質，證明三角形全等是解此題的關

鍵.

（1）①根據ADJLMN,BE得出ZADC=NACB=90。=/CEB,從而得出NC4D=/BCE,再利用AAS即可

證明△ADC四△CEB；②由全等三角形的性質可得CE=AT>,CD=BE,即可得證；

（2）根據AD_LMV,3￡'1.肱7得出加9=/曲=/4。5=90。，從而得出NCAD=NBCE,再利用AAS證明

△ADC沿ACEB,得出CE=A￡）,CD=BE,即可得證；

(3)根據得出/4DC=NC?=ZACB=90。，從而得出NC4D=NBC￡,再利用AAS證明

△ADC%MEB,得出CE=AD,CE=AD,即可得解.

【詳解】(1)解：①???AT>_L肱V,BE±MN

：.ZADC=ZACB=90°=ZCEB

???NC4D+ZACD=90。，/BCE+ZACD=90。

：./CAD=/BCE

???在人位元和中

ZCAD=ZBCE

</ADC=NCEB

AC=BC

：.△AZX運△CEB(AAS)；

②?：AADC沿MEB

；?CE=AD,CD=BE

：.DE=CE+CD=AD+BE；

(2)證明：*:ADLMN,BE上MN

：.ZADC=NCEB=ZACB=90。

???NG4D+ZACD=90。，/BCE+ZACD=9。。

：./CAD=/BCE

???在八包丸;和△CEB中

/CAD=/BCE

</ADC=NCEB

AC=BC

：.△ADC^AC￡B(AAS)；

：.CE=AD,CD=BE

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)解：當肱V旋轉到題圖(3)的位置時，AD,DE,班所滿足的等量關系是：DE=BE-AD.

理由如下：VADLMN,BELMN

：.ZADC=NCEB=ZACB=90。

：.ZCAD+ZACD=90°,/BCE+ZACD=90。

：./CAD=/BCE

???在和△CEB中

ACAD=ZBCE

<NADC=NCEB

AC=BC

：.△ADC均CEB(AAS)

/.CE=AD,CE=AD

：.DE=CD—CE=BE—AD.

11.(1)BC=DE；(2)BC=2DE,證明見解析；(3)2國

【分析】(1)結合“一線三等角”推出AABC之△CDE,從而證得結論即可；

(2)利用條件證明△ABCs△CDE,然后根據相似三角形的性質證明即可；

(3)作FHL班延長線于H點，過E點作GTL切，交BC于G點、,交FH于T點、,結合“一線三垂直”證明

△FTE沿AEGC,從而利用全等三角形的性質求出出/和EH,最后利用勾股定理計算即可.

【詳解】(1)解：???將邊AC繞點C順時針旋轉a得到線段CE

AC=CE,ZACE=a

VZABC=ZCDE=ZACE=afZACD=ZACE+ZECD=ZABC+ZBAC

：.ZA=ZECD.

在VA5C和△CD七中

NABC=NCDE

<ZA=ZDCE

AC=CE

：.AABC均CDE(AAS)

:.BC=DE.

故答案為：BC=DE

(2)BC=2DE.

證明：同(1)可得，ZA=ZECD,ZABC=ZCDE

：.AABC^ACDE

.BCAC

"'~DE^~CE

?：CE=-AC

2

.SCAC.

??-----------2

DECE

：.BC=2DE.

(3)如圖所示，作延長線于H點，過￡點作GT,切，交BC于G點，交FH于T點、

則m=3G=AE=2,EG=AB=6,AH=TE

由(1)同理可證，力絲A￡GC(AAS)

；.FT=EG=6,AH=TE=GC=6—2=4

：.FH=FT+TH=6+2=8,BH=BA+AH=6+4=10

BF=ylFH2+BH2=782+102=2萬?

【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，掌握一

線三等角全等和相似模型，并熟練運用是解題關鍵.

12.(1)DE=BD+CE

(2)仍然成立，理由見解析

(3)4

【分析】本題考查了圖形變換問題，全等三角形的判定與性質，三角形的面積計算，正確理解圖形變換問題中各小

題間的內在聯系是解題的關鍵.

(1)先證明"54=NE4C,再根據全等三角形的判定證明△■DA4=△E4C,得到AD=CE,BD=AE,由此即得

答案；

(2)同(1)的思路證明"54=NE4C,同樣得到得到AD=CE,BD=AE,由此即得答案；

(3)根據(1)(2)的解題思路，同樣可證明/AC4E,所以S.ABD=SqE，根據3c=38/，可知S.那下=4,

由此即可進一步求得答案.

【詳解】(1)DE=BD+CE,理由如下

ZBDA=ABAC=ZAEC=90°

ZBAD+ZEAC=NBAD+NDBA=90°

ZDBA=ZEAC

AB=AC

.?.△。區4/4c(AAS)

:.AD=CE,BD=AE

DE=AD+AE=BD+CE；

故答案為：DE=BD+CE.

(2)DE=BD+CE仍然成立,理由如下

-.?ZBDA=ZBAC=ZAEC=a

ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=1800-a

:.ZDBA=ZEAC

AB=AC

/.△Z)BA^AE