2025年中考數學解答題系列：平面直角坐標系綜合

1.如圖，在平面直角坐標系中，三角形ABC的頂點坐標分別為A(0,-2),3(2,3),C(0,l).

⑴畫出三角形ABC；

(2)若三角形A與G是由三角形ABC平移后得到的，且耳的坐標是(-2,4),請你畫出三角形A4G，

并寫出點4與點G的坐標.

2.如圖，在平面直角坐標系中，點A3的坐標分別是(-2,0),(4,0),現同時將點48向上平移2個

單位長度，再向右平移2個單位長度，得到A8的對應點C,D.連接AC,CD,DB.

(1)點C的坐標為，點。的坐標為,四邊形ABDC的面積為

(2)在x軸上是否存在一點E,使得三角形。EC的面積是三角形誨面積的2倍？若存在，請求出點E

的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標系中，。是原點，四邊形。鉆C是邊長為5的正方形，點A,C分別在x軸，

y軸正半軸上，P為邊。4上任意一點(不與點。，A重合)，連接CP,過點尸作PMLCP,交AB

于點。，且尸河=CP,過點〃作MN/Q4,交80于點N,連接N￡>,BM,設OP=a.

(1)求點M的坐標：(用含。的代數式表示)

(2)試判斷線段的長是否隨點尸位置的變化而變化，并說明理由.

4.如圖所示，在平面直角坐標系中，點C的坐標是(-U).

⑴直接寫出點A、8的坐標；

(2)將三角形ABC先右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到三角形A'B'C',在坐標系

中畫出三角形AB'C',并寫出A、B\C'三點的坐標；

⑶點P(a,。)是三角形ABC內的一點，當三角形ABC平移到三角形A'B'C'后，若點尸的對應點P,

則點P'的坐標為.

5.在平面直角坐標系xOy中，點尸的坐標為(%,%),點。的坐標為(%,%),且玉片馬，切片丫2，若

P,。為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P,。的“相關矩

形”，如圖為點尸，。的“相關矩形”示意圖.

卜歹

66-6

5-5-5-

4-；_______Q4-4-

3-3-3-

2p2-2

11-1

??????ii?i??111111A1i11ii111111A

-6-5-4-3-2-1^.123456X-6-5-4-3-2-1^_123456X-6-5-4-3-2-1^_123456X

--7-

--3-

--4-

--4-

--O-

圖①備用圖備用圖

⑴已知點A的坐標為(-LO),

①若點B的坐標為(3,2),點A,B的“相關矩形”的面積是」

②點C在直線y=-2x+2上，若點A,C的“相關矩形”為正方形，求點C的坐標.

⑵已知點"的坐標為(m,-5),若在二次函數y=/-2x-3圖象上存在點N,使得點M,N的“相關矩

形”為正方形，求相的取值范圍.

6.綜合與實踐

【問題背景】

在平面直角坐標系中，點A坐標為(0,租)，點8坐標為(",0),點C坐標為(G"?).

(1)求VABC的面積.

【解決問題】

(2)若〃z=3,n=-2,c=-4,求四邊形AOBC的面積.

【深入探究】

(3)在(2)的條件下，過03中點“作直線MN〃y軸交A3于點N,求點N的坐標.

【拓展延伸】

(4)在(2)的條件下，點尸的坐標為在x軸上是否存在點M,使三角形的面積等于

四邊形O尸54面積的3倍？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

7.如圖，平行四邊形0WC在平面直角坐標系中，A（4,o）、c（l,3）.

⑴求B點的坐標;

⑵若尸是線段A3上的動點，問/P「蓑R:黑/PDA是否為定值？若是,求出其值；若不是，求其范圍.

s+s

⑶若尸是線段A3上的動點,卡—叱是否為定值？若是，求出其值；若不是，求其范圍.

3四邊形OABC

8.如圖1,平面直角坐標系中，直線交x軸于點A（a,O）,交y軸于點80,6）,且|。-4"7^二！=0

⑴求。、6的值并寫出A、8兩點的坐標；

（2）點C在x軸上，三角形03c的面積是三角形01B面積的一半，求點C的坐標；

⑶如圖2,點C（-2,0）在x軸負半軸，CD//AB,交y軸于點。，直接寫出點。的坐標.

9.在平面直角坐標系中,點A、B、C坐標分別為（T0）、（4,0）、（0,2）,連接AC、BC.

⑴如圖1,求證：BC=2AC；

（2）如圖1,求證：ACLBC-,

（3）如圖2,點G在C4延長線上，連接BG,尸是上一點，過點尸作8G的垂線交》軸于點。，D

點坐標（0,7）,垂足為E,當DE=3E+3G時，求下點坐標.

10.如圖1,在平面直角坐標系中，。為原點，是等腰直角三角形，?B90?,點4（42,0）,

點B在第一象限，長方形OCDE的頂點E（-3,0）,C（0,1.2）,點。在第二象限.

（1）點。的坐標為；長方形OCDE的面積為；

⑵將長方形OCDE沿x軸向右平移，得到長方形，點。，C,D,E的對應點分別為O',C,加,

￡.長方形O'C'D'E'與重疊部分的面積為S.

小王同學猜想：當點以恰好落在08邊上時（如圖2）S最大；

小張同學猜想：當長方形恰好平移到等腰直角△OAB的中央位置（如圖3）,即O'E'的中點與。4的

中點恰好重合時S最大.

請你探究一下這兩種位置中，哪一種位置的S比較大，并說明理由（提示：設54與長方形的邊力C'、

C'。分別交于M、N兩點，可令圖2中的MC'=a）

11.用一條直線分割一個三角形，如果能分割出一個等腰三角形，那么就稱這條直線為該三角形的一

3c=3.

（填“是”或“不是”）.

（2）如圖2,點尸是邊AC上一個動點，當直線是VABC的等腰分割線時，求尸C的長度.

（3）如圖3,若將VA3C放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點。是邊上的一點，如果直線CQ是

VABC的等腰分割線，則點。的坐標為一.（直接寫出答案）.

12.如圖1,在平面直角坐標系中，A(-3,0),ZOBC=60°,3c與>軸正半軸交于點C,且BC=4.

(1)B點的坐標是

(2)如圖2,點尸從點A出發，沿射線方向運動，同時點。在邊BC上從點B向點C運動，在運動

過程中：

①若點尸的速度為每秒2個單位長度，點。的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當△PQ8

是直角三角形時，求才的值；

②若點尸、。的運動路程分別是。，b,當△PQB是等腰三角形時，求出。與6滿足的數量關系.

《2025年中考數學解答題系列：平面直角坐標系綜合》參考答案

1.（1）畫圖見解析

（2）畫圖見解析，4（Y,T），6（Y，2）

【分析】（1）根據點A、B、C的坐標描出各點，再相連即可；

（2）根據用的坐標可知三角形ABC先向左平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度得到三角形

A4G，據此可畫出圖形，再根據圖形寫出點A與點G的坐標即可；

本題考查了坐標與圖形，圖形的平移，掌握以上知識點是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：如圖所示，三角形A8C即為所求；

（2）解：如圖所示，三角形A耳G即為所求，由圖可得，G（T,2）.

2.(1)(0,2),(6,2),12

⑵在x軸上存在一點E（l,0）或（7,0）,使得三角形OEC的面積是三角形DEB面積的2倍，

【分析】（1）根據平移的性質解答即可求解；

（2）設點E的坐標為（x,0）,則3E=|x-4|,可得2xgx|x-4|x2=6,解方程求出x即可求解;

本題考查了點平移，坐標與圖形，掌握平移的性質是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：由平移得，點C的坐標為（0,2）,點。的坐標為（6,2）,

AB=4-(-2)=6,

/.四邊形ABDC的面積=6x2=12,

故答案為：(0,2),(6,2),12；

(2)解：在x軸上存在一點E(l,0)或(7,0),使得三角形DEC的面積是三角形加面積的2倍，理

由如下：

設點E的坐標為(無,0),則骸=歸-4|,

?/CD=AB=6,

SDEC=-X6X2=6,

:三角形DEC的面積是三角形DEB面積的2倍，

2x—x

2

/.|x—4|=3,

解得尤=1或%=7,

???點E的坐標為(1,0)或(7,0).

3.(1)(。+5,a)

(2)線段的長不隨點尸位置的變化而變化，為定值5,理由見詳解

【分析】本題主要考查了正方形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，坐標與圖形，平行四邊形

的性質與判定等知識點，解題的關鍵是熟練掌握以上性質和判定，并靈活應用.

(1)作旌_Lx軸于E,則NAffiP=90。，先證出NPME=NCPO,再證明得出

ME=PO=a,EP=OC=5,求出OE,即可得出點M的坐標；

(2)連接AAf,AB與MN交于點、F,先證明四邊形AEMF是正方形，得出NAME=45。=N3Q4,

AM//OB,再證出四邊形O4WN是平行四邊形，即可得出MN=Q4=5.

【詳解】⑴解:

如圖所示，過點M作ME_Lx軸于E,則/MEP=90。，ME//AB,

ZMPE+ZPME=90°,

四邊形Q4BC是正方形，

/.ZPOC=90°,OA=OC=AB=BC=5fZBOA=45°,

PM八CP,

：.^CPM=90°,

\?MPE?CPO90?,

:.ZPME=Z.CPO,

在AMP石和APCO中，

ZMEP=ZPOC=90°

<ZPME=ZCPO,

PM=CP

\一MPE".PCOgS),

\ME=PO=a,EP=OC=59

\OE=a+5,

點M的坐標為(a+5,a)；

(2)解：線段MN的長不隨點P位置的變化而變化，為定值5,理由如下:

如圖所示，連接AM,A3與腦V交于點尸，

MN//OA,ME//AB,ZME4=90°,

二?四邊形A￡MF是矩形，

又EP=OC=OA,

\AE=PO=a=MEf

四邊形AEMF是正方形，

\1MAE45??BOA,

\AM//OB,

.?.四邊形。是平行四邊形，

,-.MN=OA=5.

線段MN的長不隨點尸位置的變化而變化，為定值5.

4.(l)A(-2,3),3(—3,0)

(2)畫圖見解析,A(1,1),B,(O,-2),Cf(2,-1)

⑶(a+3,b-2)

【分析】本題考查了作圖一平移變換,平移的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)根據各點所在的象限，對應的橫坐標、縱坐標，分別寫出點的坐標；

(2)先確定平移后的點的坐標，再順次連接即可得出；

(3)根據坐標的平移方式(左減右加，上加下減)即可確定平移后的坐標.

【詳解】(1)解：根據圖形，得A(-2,3),5(-3,0)；

(2)解:如圖，A8C即為所求，

(3)解：?.?三角形A3C先右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到三角形A'3'C',

.,.點P(a,b)的對應點點P'的坐標為(。+3,6-2)

故答案為:(。+3/-2).

5.(1)①8；②點C的坐標為，,g)或(3,-4)

7一1

(2)機〉a或根＜]

【分析】(1)①首先畫出圖形，然后根據矩形面積公式求解即可；

②設C?,-2f+2),根據題意分兩種情況，然后根據正方形的性質列方程求解即可；

(2)設根據題意得到舊-〃?|="2-2〃+2,然后分兩種情況討論，分別根據判別式

求解即可.

【詳解】(1)①如圖所示,

杈

6-

5-

4-

?????ci_________111111A

-6-5-4-3-2-10.i23456X

.?.點A,8的“相關矩形”的面積是4x2=8；

②：點C在直線＞=-2元+2上，

.?.設2f+2)

,??點A,C的“相關矩形”為正方形

t-(—1)=-2t+2

解得f

當點C在C2位置時，

:點4C的“相關矩形”為正方形

1)=—(—2/+2)

解得7=3

C(3,T)；

(2)??,點N在二次函數產——2x—3圖象上

?,?設N("—2〃-3)

??,點M的坐標為(根5),點M,N的“相關矩形”為正方形

|zi-詞=〃2_2n_3-(_5)

/.\n-n^=/—2〃+2

當〃之小時，n—m=r^—2n+2

整理得，n2-3n+m+2=0

根據題意得，A=(—3)2—4(m+2)>0

解得；

4

當〃<加時，m—n=n2—2n+2

整理得，n2—n+2—m=0

根據題意得，△=(一1)2一4(2-帆)>。

,7

解得桃〉：；

4

71

綜上所述，機的取值范圍為相或加<7.

【點睛】此題考查了坐標與圖形，一次函數和二次函數的上點的坐標特點，正方形的性質，解題的關

鍵是正確畫出圖形表示出點的坐標.

6.(1)||cm|；(2)9；(3)

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，數量掌握圖形面積與點的坐標之間的關系是解題的關鍵.

(1)根據點的坐標可得AC=H，ACx軸，點8到AC的距離為|M，據此根據三角形面積計算公式

求解即可；

(2)根據(1)所求求出VABC的面積，再求出A、B坐標，進而求出的面積即可得到答案；

(3)先求出OM的長，則可得點N橫坐標，根據S*=SAOBN+SAOAN列式求出肋V的長即可得到答

案；

(4)求出SB”的面積，進而得到四邊形。尸54面積，則可得到三角形的面積，根據三角形面積

計算公式求出BM的長即可得到答案.

【詳解】解：(1):點A坐標為(0,〃。，點C坐標為(G〃?)

AC=|c|,ACx軸，

??,點5坐標為（〃,o）,

???點5到AC的距離為帆

???S同；

(2)當m=3,n=-2,c=T時，A(0,3),B(-2,0),S=6,

???O4=3,05=2,

S/Ai￡R>Cz=_0A-OB—3,

??S四邊形A08C=^AABC+^/XABO~9;

(3)???。3=2,點M是05中點，

sBOP=|OB-|yp|=1x2xl=11

??S四邊形0PB4—SAAOB+S/\BOP=4,

三角形畫的面積等于四邊形OPBA面積的3倍,

S^ABM=12,

：.-BM-OA=n,

2

：.-x3BM=12,

2

BM=8,

”(-2,0),

...加(一8,0)或“(6,0).

NPCB+/POA

⑵是定值,其值為1

NCPO

⑶號一次是定值，其值為9

D四邊形O4BC乙

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，找到角或面積之間的關系是解題的關鍵.

(1)由條件可知8點的縱坐標和C點的相同，延長交y軸于點。，可求得8。的長，可求得8點

的橫坐標；

(2)過點P作尸E//8C,交OC于點E,則由平行的性質可得出？PCB?POA?CPO,可得出結論；、

(3)設平行四邊形。4BC的AB邊上的高為。，則可表示出一3CP和一Q4P的面積和，表示出平行四

邊形0RC的面積，可找出其關系，得出結論.

【詳解】(1)解：

如圖1,延長BC交y軸于點。，

四邊形。鉆c為平行四邊形，

BC=OA=4,且C點坐標為(1,3),

:.CD=\,0D=3,

,3點坐標為(5,3)；

(2)解：

BC//OA,

\PE//OA,

\?BCP?CPE,1POA?OPE,\?OPC?CPE?OPE7BCP1POA,

、?PCB仲OA_CPO_1

WPO-CPO~'

、1PCB1POA曰一金甘后口,

'BCP。年值'其值為1；

SBCP=；2P?〃，

(3)解：設平行四邊形Q45C的A3邊上的高為〃，則SOAP=^AP?h,

c—.4.—Z?

0平行四邊形0ABe—?〃，

SBCP+SQAP=2(3P+AP)〃=5AS?/?2s平行四邊形OABC，

??.二二L

qV7

“四邊形。4BC口四邊形0A5C

C-I-c

\一維是定值，其值為J.

D四邊形048c乙

8.(l)a=4,6=2,A(4,0),3(0,2)

⑵(2,0)或(-2,0)

(3)(0-1)

【分析】本題考查了三角形的面積，平行線的性質，非負數的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參

數構建方程解決問題.

(1)利用非負數的性質求出a,b的值即可解決問題.

(2)設C(〃0).根據5.=；53=2構建方程求出機即可解決問題.

(3)如圖2中，連接BC,AD,由CD〃AB,推出5。然=，由此構建方程求出0D即可解決

問題.

【詳解】(1)I?：V|?-4|>0,7^2>0,5.|a-4|+^/^2=0,

a=4,b=2,

：.A(4,0),5(0,2)；

(2)解：設C(狽0).

VA(4,0),5(0,2),

.?.04=4,OB=2,

SOBC=-SAOB=2,

211

m=+2,

；.c的坐標為(2,0)或(—2,0).

(3)解：如圖2中，連接BC,AD,

：.CD//AB,

?,S/XABC=S&ABD'

.?.1x（2+4）x2=1（2+OZ））x4,

，OD=1,

：.0（0,-1）.

9.(1)見解析

⑵見解析

⑶(2,1)

【分析】(1)利用勾股定理求出AC=JOA?+OC?=E,BC=4OB。+=2石,即可而得出結論；

(2)由(1)知AC=6BC=2卮求出AB=4—(-1)=5,利用勾股定理逆定理即可證明結論；

(3)過點P作y軸的垂線，垂足為H,設5G與y軸交點為證明，ZX不名區4G(ASA),結合題

意證明3E=EF,求出BC=CG=2&',得至！JCT=AG=AC=6，再證明oCEH-ACO(AAS),推

出OC=HF=2,CH=OA=1,即可得到尸點坐標為(2,1).

【詳解】⑴解：；(-1,0)、(4,0)、(0,2),

/.OA=1,OB=4,OC=2,

AC=A/0A2+0C2=y/5,BC=^OB2+OC2=2右，

，BC=2AC；

(2)解：由(1)知AC=小,BC=2小,

'：AB="(-1)=5,

AC2+BC-=5+20=25=AB2,

ASC是直角三角形，且NACB=90。，

AC±BC；

(3)解：過點尸作y軸的垂線，垂足為H,設8G與y軸交點為M,

V0(0,7),

，CD=1-2=5,

：.CD=AB,

:DELBG,

：."EG=90°,

???NEDM+NDMB=90。,

,/ZABM+ZDMB=90°f

：.ZEDM=ZABM,

由(2)知NAC3=90。，

???ZBAG=AABC+AACB=ZABC+900,

,:ZDCF=ZABC+/BOC=ZABC+900,

：./BAG=/DCF,

:?；DCF"二BAGgZ,

；?DF=BG,CF=AG,

?；DE=BE+BG,

:.DE=BE+DF=DF+EF,

???BE=EF,

:?/DEB=/DEG=90。,

：.NCBG=45。,

：.N3GC=180。—ZACB—NCBG=45。，

???BC=CG=?5

丁AC=亞,

AG=CG-AC=5

CF=AG=AC=B

「ZCFH+ZBCO=ZACM+ZBOC=90°,

???/CFH=ZACM,

???ZCHF=ZCOA=90°,

.」CFHgqACO(AAS),

OC=HF=2,CH=OA=1,

歹點坐標為(2,1).

【點睛】本題考查坐標與圖形，勾股定理，三角形全等的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，正

確構造三角形全等時解題的關鍵.

10.⑴(-3,1.2),3.6

(2)小張同學猜想的位置的S比較大，理由見解析

【分析】本題考查矩形的性質，等腰直角三角形的性質，平移的性質，解題關鍵是利用等腰直角三角

形和長方形的性質，通過合理設未知數來計算重疊部分面積并比較大小.

(1)由E(TO),0),C(0,1.2),及四邊形A3CD是矩形即可得出答案；

(2)分別求出兩種情況的面積，再比較即可，具體減詳解.

【詳解】⑴解;磯―3,0),0),C(0,1.2),

:.OE=3,OC=1.2,

四邊形ABCD是矩形，

:.CD=OE=3,DE=OC=\2,ZD=DCO=DEO=90°,

點D的坐標為(-3,1.2)；長方形OCDE的面積為3x1.2=3.6,

故答案為:(-3,1.2),3.6；

(2)小王同學猜想：當點以恰好落在08邊上時(如圖2),

是等腰直角三角形，

ABOA=45°=NBA。=45°,

將長方形OCDE沿x軸向右平移,得到長方形O'C'D'E',

CD'//OA,

/BMD'=NBA。=45°,

OWN是等腰直角三角形，

:.MC=C'N=a,

2

.?uC'MN的面積=幺，

2

2

???長方形O'C'D'E'與鉆重疊部分的面積為長方形O'C'D'E'的面積-土；

2

小張同學猜想：當長方形恰好平移到等腰直角AOAB的中央位置(如圖3),

止匕時的MC'=C2V=芻，

2

.?.C'MN的面積=」x@xq=￡,

2228

22

「?長方形O'C'D'E'與重疊部分的面積為長方形OCDE的面積—幺—二=長方形O'C'D'E'的

88

2

面積-幺，

4

a2a.2

一＜一,

42

二小張同學的方法使得重疊部分的面積更大.

11.⑴是

⑵(7或3

O

⑶［-軻或儒耳或加或加

【分析】(1)根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得兩個等腰三角形；

(2)設CP=x,①當出=網=4-無，根據勾股定理列方程得：32+X2=(4-X)2,解出x即可，②

當CP=C3時；可得CP=3；

(3)分情況進行討論：先分qACQ是等腰三角形時，分三種情況討論，當4C=A。時可求出點

當CQ=AQ時，可求出當6=CQ時，Q不在邊上，舍去.再分△BCQ是

等腰三角形時，同理分三種情況討論可出點Q的坐標為［go］或；

【詳解】(1)解：/ACB=90。，O為A3中點，

在R3ACB中，==

2

△AOC和一BOC是等腰三角形，

則直線OC是VABC的等腰分割線；

故答案為：是.

(2)解：①當AP=BP時，BC=3,

設CP=x,

①當9=尸3=4—x,

在RtZXBPC中，BC-+PC2=PB2,

32+x2=(4-x)2,

7

解得：x=-,

o

即：CP=73

o

②CP=C8時，CP=BC=3；

7

即CP的長為/或3；

o

(3)解：ZACB=90°,AC=4,BC=3,

:.AB=7AC2+BC2=742+32=5，

S.=-B