第15關(guān)三角形及其全等

基礎(chǔ)練

考點1三角形的有關(guān)概念

1.[2024內(nèi)蒙古包頭]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC各頂點的坐標(biāo)分別是0(0,0),A(l,2)、B(3.3),

C(5,0),則四邊形OABC的面積為()

A.14B.llC.10D.9

2.[2024湖南長沙]如圖、在△ABC中,/BAC=60。,/B=50。,AD〃BC,則Nl的度數(shù)為()

A.50°B.60°

C.70°D.80°

3.[2024廣東]如圖,一把直尺、兩個含30。角的三角尺拼接在一起，則/ACE的度數(shù)為()

A.1200B.90°

C.600D.30°

4.[2024重慶校級模擬]如圖，在△ABC中,AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是

A.BF=CFB.ZC+ZCAD=90°

C./BAF=/CAFDSAABC=2sAABF

5.[2024四川南充三模]如圖所示，將含45。角的直角三角尺與含60。角的直角三角尺疊放在一起，若/1=70。,則/

2的度數(shù)為()

C.500D.95°

6.[2024河北石家莊二模]如圖，三角形中線段的長度x的值可能為)

A.10B.9C.7D.6

考點2全等三角形的性質(zhì)與判定

7.[2024四川遂寧]如圖1,A人：6(2與4AxBiCx滿足NA=NAi,AC=A1g,BC=BiG,我們稱這樣

的兩個三角形為“偽全等三角形”.如圖2,在^ABC中,AB=AC,點D,E在線段BC上，且BE=CD,則圖中共有“偽全

C.3對D.4先1

8.[2024甘肅臨夏州]如圖.在△ABC中，點A的坐標(biāo)為(0,1),點B的坐標(biāo)為(4,1),點C的坐標(biāo)為(3,4),點D在

第一象限(不與點C重合)，且4ABD與4ABC全等，點D的坐標(biāo)是.

9.[2024黑龍江牡丹江]如SUABC中,D是AB上一點,CF〃AB,D,E,F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件：

，使得AE=CE.（只添一種情況即可）

10.[2024云南]如圖，在△ABC和4AED中,AB=AE,NBAE=NCAD,AC=AD.

求證:△ABC^AAED.

11.[2024湖南長沙]如圖，點C在線段AD上,AB=AD,/B=ND,BC=DE.

⑴求證:△ABC^AADE;

⑵若/BAC=60。,求/ACE的度數(shù).

12.[2024吉林松原二模]如圖，已知AE，AB,BC，AB,EA=AB,D為AB上一點，連接ED,AC相交于F,ED=AC,

求證:R3EAD^RtAABC.

提升練

13.[2024甘肅蘭州]如圖，小張想估測被池塘隔開的A,B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點C,然后

步測出AC,BC的中點D,E,并步測出DE的長約為18m,由此估測A,B之間的距離為

()

A.18mB.24mC.36mD.54m

C

第13題圖第14題圖

14.[2024青海]如圖,0C平分NAOB,點P在OC上,PD±OB,PD=2,則點P到OA的距離是

()

A.4B.3C.2D.1

15.[2024廣東廣州]如圖，在△ABC中,/人=90。△8二八062為邊封的中點點E,F分別在邊AB,AC上,AE=CF,

則四邊形AEDF的面積為()

A

E

8

DC

A.18B.9V2D.6V2

16.［2024安徽合肥校級模擬］如圖,AD,BE,CF分別是△ABC的中線、高和角平分線,/ABC=9(F,CF交AD于點

G,交BE于點H,則下列結(jié)論一定正確的是

BD

A.ZABE=ZFCBB.ZGAC=ZGCA

C.FG=GCD.BF=BH

17.R024山東煙臺］如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別為對角線BD,AC的三等分點，連接AE并延長交C

D于點G,連接EF,FG.若NAGF=a，則ZFAG用含a的代數(shù)式表示為()

90°-a

D.---------

45°+a

D.TT/2

18.如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形(△ABECBCF,ACDG,ADAH)和中間一個小正方形EFGH

組成，連接DE.若AE=4,BE=3廁DE=

A.5B.2V6C.V17D.4

19.［2024江蘇無錫二模］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,4),B為x軸正半軸上的動點，以AB為邊在第一象限內(nèi)

作4ABC,使得NBAC=90。，S3ABe=12連接OC,則OC長的最大值為()

Bx

20.［2024遼寧大連校級模擬］如圖，在△ABC中,分別以A,B為圓心，AC,BC長為半徑作弧交于點C,連接B

C,AC,CC;在CB上取點M,以點C為圓心，CM長為半徑作弧交CC于點N,再分別以M,N為圓心，大于|M

N的長為半徑作弧交于一點，延長點C與這點的連線交BC于點P,交AB于I.若BC=2逐℃=4,則BP的長為

4號B.10(V5-2)

C.5V5+3D.10

21.[2024湖北]如圖，由三個全等的三角形(△ABE,△BCF,ACAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個大等

邊三角形ABC.連接BD并延長交AC于點G若AE=ED=2,則⑴NFDB的度數(shù)是_______42)DG的長是_________

22.如圖，在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O*=1線段AB與AE關(guān)于過點O的直線1對稱點B

DL)3

的對應(yīng)點B，在線段OC上,AB交CD于點E,則ABCE與四邊形OBED的面積比為.

23.[2024四川遂寧]在等邊△ABC三邊上分別取點D,E,F,使得AD=BE=CF,連接三點得到△DEF,易得△ADF0

△BED以ACFE,設(shè)S-BC=1，則?SADEF=1-3S“DF'

如圖①，當(dāng)￡=之時，SA.=1-3X；=5；

如圖②，當(dāng)筆=|時，ShDEF=l-3x|=i；

如圖③，當(dāng)?shù)诳冢簳r,SADEF=1-3X5=2；

直接寫出當(dāng)苦時,SADEF一

24.[2024四川南充]如圖.在△ABC中，點D為BC邊的中點，過點B作BE〃AC交AD的延長線于點E.

⑴求證:△BDE^ACDA;

(2)若AD_LBC,求證:BA=BE.

25.[2024寧夏]綜合與實踐

如圖1,在△ABC中,BD是NABC的平分線,BD的延長線交外角/CAM的平分線于點E.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】

結(jié)論1:/AEB=ZACB;

結(jié)論2:當(dāng)圖1中NACB=90。時，如圖2所示延長BC交AE于點F,過點E作AF的垂線交BF于點G,交AC

的延長線于點H,則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是________.

【應(yīng)用結(jié)論】

⑴求證:AH=GF;

(2)在圖2中連接FH,AG.延長AG交FH于點N,補全圖形，求證：FN=NH+五AE.

圖1圖2

第15關(guān)三角形及其全等

.D解析過A點作AE，x軸于E,過B點作Bhx軸于F,

四邊形0ABe的面積=SMOE+S+S^BCF=x1x2+x(3+2)x(3-1)+ix(5-3)x3=9.

悌形ABFE222

.C3.C

C解析:「AF是AABC的中線

，BF=CF,A說法正確,不符合題意；

'.AD是高,..NADC=90。，

???NC+/CAD=90°,B說法正確，不符合題意；

??AE是角平分線，

，NBAE=NCAE,，ZBAF與NCAF不相等,C說法錯誤,符合題意;

.BF=CF,

SMBC=2sA4BF,D說法正確i不符合題目?

故選C.

D解析：如圖，

?21=70。，、

.?23=180°-60°-<1=50°,舄八

.24=45°,

.?2=與+N4=50°+45°=95°.

B解析：由三角形三邊關(guān)系可得，在上方的三角形中,7-3<x<7+3,即4<x<10;

在下方的三角形中,11-4<X<11+4,即7<x<15.

故7<x<10,故選B.

7.D解析:?.?AB=AC,；.NB=NC.

又.BE=CD,?.AABE%ACD(SAS),..AD=AE.

?.AB=AB,NB=NB,AD=AE/BADHNBAE,

."ABD和AABE是一對"偽全等三角形".同理可得,MBD和AACD是一對"偽全等三角形"；^ACD和必

CE是一對"偽全等三角形"；AABE和AACE是一對"偽全等三角形".

所以"偽全等三角形"共有4對.

8.(1,4)

解析：?.點D在第一象限(不與點C重合)，且AABD與AABC全等，

.1△BAD當(dāng)ABC,

，AD=BC,BD=AC,如圖，

易知D(l,4).

9.DE=EF(或AD=CF)

解析:XFllAB,

.,.zA=zECF,zADE=zF,

..添加條件DE=EF,可以使得3DE當(dāng)CFE(AAS);

添加條件AD=CF,可以使得“DE%CFE(ASA).

10證明:../BAE=NCAD,

zBAE+zCAE=zCAD+zCAE,

即NBAC=NDAE.

在AABC和AAED中，

AB=AE,

{ZBAC=ZDAE,

AC=AD,

."ABC%AED(SAS).

11.(1)見解析⑵60。

解析：(1)證明:在MBC與AADE中,

AB=AD,

{ZB=ZD,

BC=DE,

所以AABC%ADE(SAS).

(2)因為AABC^ADE,所以AC=AE/CAE=NBAC=60°;所以AACE是等邊三角形.所以NACE=60°.

12.證明:?.AE，AB,BC，AB,

..NEAB=NABC=90°,

在RtAEAD和RbABC中,

ED=AC,

*=AB,

：.Rt△EAD^RtAABC(HL).

13.C

14.C解析:過P作PE^AO于E”O(jiān)C平分NAOB,點P在OC±,PD±OB,

PE=PD=2,

二點P到OA的距離是2.

15.C解析:連接AD.

?zBAC=90°,AB=AC=6,點D是BC的中點，

zBAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC.

?.?AE=CF,.”ADE學(xué)CDF.

S內(nèi)邊用(EDF=SAAED+SAAD,=S4CFD+S^ADF—^HADC=^^ABC'

1

又；SNBC=6x6x-=18,

ii

四邊用AEDT=-2S^&ABC=-2x18=9.

16.D解析:A.「NABC=90。，

.?.zABE+zEBC=90°,

?.zBEC=90°,

..NACB+NEBC=90°,

.?ZABE=NACB>NFCB,故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；

B.當(dāng)MBC為等腰直角三角形時，NBAC=NACB,ABHAC,

.AD是中線，

?AD不是角平分線，

NGAC豐—2^BAC,

又；ZGCA=^ACB,

???NGAC/NGCA,故本選項結(jié)論錯誤,不符合題意；

C./AD是AABC的中線，

.-.BD=DC,

當(dāng)FG=GC時,DG是ACBF的中位線，則GDllBF,不成立，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；

D./zACF=zBCF,NBFC=90°-ZBCF,ZBHF=ZEHC=90°-ZACF,

..NBFC=NBHF,

二.BF=BH,故本選項結(jié)論正確，符合題意.

故選D、

17.B解析:設(shè)AC,BD交于點0,連接0G,

???四邊形ABCD是正方形，點E為對角線BD的三等分點,

???AB\\CD,AB=CD喘=2,

/.△ABE^AGDE,

?_B_E—_A_B—_C_D—仁/

"ED~DG~DG~'

--G是CD的中點

又?.O是AC的中點,

.-.OGllBCllAD,易知NCOD=90O/DOG=NDBC=45O,NCOG=NCAD=45。，

.'.zDOG=zCOG.

易知OE=OF,

.1△OEG學(xué)OFG、

NEGO=NFGO=-ZEGF=

22

1go0—rr

ANFAG=NGOF-ZEGO=45°-％

22

18.C解析:.RtADA也RtAABE,

：.DH=AE=4,AH=BE=3,

.?.EH=AE-AH=4-3=L

??.四邊形EFGH是正方形，

.-.zDHE=90o,

DE=VDW2+EH2=V42+l2=V17.

19.C解析如圖作M2DB,使ACDB學(xué)BAC,作AEllx軸交CD于點E,取AE的中點F,連接CF,OF.

?.■ACBD^ABCA,/.ZABC=ZBCD,

?.zABC+zACB=90°,

.?.zACB+zBCD=90°,BPzACD=90°,-.zBAC=90°,

.,.zACD+zBAC=180°,.,.CDIIAB,X,.AEIIx軸，

.".zABO=zEAB=zAEC,

X-.zAOB=zACD=90°,

：.LAOBACE.：-—=—,

ACAE

即AOAE=ABAC,

1'"SAABC=12,5AB,AC=12,

.■,AB-AC=24,.-.AOAE=24.

X-.A(0,4),.-.AO=4.

..AE=24+4=6.

CF=AF=-AE=3.

2

在Rt△AFO中，OF2=AF2+OA2,

即。產(chǎn)=32+42=25,.-.OF=5（舍負）.

?.OC<OF+CF,gp0C<8,

」QC的最大值是8.

20.B解析:如圖，過點P作PE_LBC于點E,PF_LCC'于點F.

由題中作圖可知C'P平分NBCC,BC=BC'=2V5,

..PE=PF,

1,

,S^nc=嚴一BCPB

PC1

,△TCC￡cc.PFCC

PB2A/5V5

」?正=丁=h

PB=磊x2V5=10（V5-2）.

21.30。；￥

解析:「AABE學(xué)CAD,..BE=AD=4.

DEF為等邊三角形，

，ED=DF=EF=2/DFE=60°,

，BF=BE-EF=2=DF,

ANDBF=NFDB=^NDFE=30。.作CHJ_BG交BG的延長線于點H.易知CD=2,

.NCDH=NBDF=30°,

ACH=^CD=1,.-.DH=V22-l2=百，易知zADG=NH=90°,NAGD=NCGH,

.“AGDSACGH,

._DG日n4_DG

"CH-GH'1-V3-DGf

???D“G=4—陋.

5

22.-

3

解析:連接OE,AD,

.AB與AB關(guān)于直線I對稱，

，A在BD延長線上，

???'=9,.?.設(shè)AC=10k廁BD=6k,

BD3

,?四邊形ABCD為菱形,.QA=OC=5k,OB=OD=3k,

.AB與AB關(guān)于直線I對稱，

.?QA=OA'=5I<,OB=OB=3I<,

zA'=zBAC=zDAC=nDCA,

AD=BC=2k,

ZAED=NCEB,

.△A'ED斗CEB'(AAS)

.DE=B'E,

'

-.OE=OE/OD=OB/

「.△DOE當(dāng)B'OE(SSS),

S^DOE=S

△BOE

S,

ABCEBC2

S,3’

△BOE

S，21

△BCE_￡_￡

S,-6-3'

四邊形OBED

73

23.—

100

12—11

SADFF=l-3x;=l-3x—

AD

AB

23—11

^f=l-3x-=l-3x—

34—17

SADFF=l-3x-=l-3x—=-;

當(dāng)筆=￥寸SADEF=1_3x壁

故當(dāng)筆時,4由=1-3*條=爵

24.證明:⑴?;D為BC的中點BD=CD.

BEIIAC,/.zE=zDAC,zDBE=zC.

NE=ZDAC,

在ABDE和ACDA中，(/no?7...△BDEVACDA(AAS).