2025年中考數(shù)學解答題系列：實際問題與一元二次方程

1.綜合實踐一用矩形硬紙片制作無蓋紙盒.

如圖1,有一張長30cm,寬16cm的長方形硬紙片，裁去角上同樣大小的四個小正方形之后，折成圖

2所示的無蓋紙盒.(硬紙片厚度忽略不計)

(1)若紙盒的底面積為240cm?，請計算剪去的正方形的邊長;

(2)如圖3,小明先在原矩形硬紙片的兩個角各剪去一個同樣大小的正方形(陰影部分)，經(jīng)過思考他

發(fā)現(xiàn)，再剪去兩個同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個有蓋紙盒.若折成的有蓋長方體紙盒的

表面積為412cm2,請計算剪去的正方形的邊長.

2.某蔬菜種植基地計劃將其中100n?的土地全部種植甲、乙兩種有機蔬菜.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種蔬菜

的種植成本y(元/n?)與其種植面積x(m2)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中甲種蔬菜種植面積為

20<x<70,乙種蔬菜的種植成本為50元/n?.

(1)當甲種蔬菜的種植成本為32元/m2,求它的種植面積；

(2)如何分配兩種蔬菜的種植面積，使甲、乙兩種蔬菜的總種植成本為4250元.

3.其工廠采購藍莓并加工成藍莓蜜餞進行銷售，該工廠一年最多能生產(chǎn)200噸，已知藍莓的采購成

本價y（萬元/噸）與藍莓的采購量X（噸）成一次函數(shù)關(guān)系，其中的幾組數(shù)據(jù)如表2所示.每噸原材

料（藍莓）的加工費為1萬元，減重率為50%,藍莓蜜餞銷售價格會隨季節(jié)、市場供需等波動，從一

年中隨機抽取若干單交易作為樣本進行統(tǒng)計，并繪制了條形統(tǒng)計圖（如圖）.

表2

X（噸）50100150200

y（萬萬元元//噸噸））11..991.81.71.6

（1）求y與x的函數(shù)解析式（不寫定義域）；

⑵求樣本中藍莓蜜餞的平均銷售價；

（3）根據(jù)樣本中藍莓蜜餞的平均銷售價，該工廠一年能否恰好獲得780萬元的利潤：如果能，求需要

采購藍莓的重量；如果不能，請說明理由.

（備注：藍莓從新鮮狀態(tài)制成藍莓蜜餞后重量減輕，衡量這一變化的指標通常叫做“減重率”，其計算

原始重量-最終重量

公式:減重率=xlOO%）

原始重量

4.如圖，用長為20m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11m）圍成中間隔有一道籬笆的長

方形花圃.為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC邊上用其他材料做了寬為1m的兩扇小門.若花

圃的面積恰好為40n?.

墻長1Im

AD

B'■-H?____?'C

ImIm

⑴求此時花圃A3邊的長；

⑵花圃的面積能達到50m°嗎？若能，求出邊的長；若不能，請說明理由.

5.在我國，端午節(jié)作為傳統(tǒng)佳節(jié)，歷來有吃粽子的習俗.某食品加工廠擁有A,8兩條不同的粽子

生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線每小時加工粽子400個，3生產(chǎn)線每小時加工粽子500個.

(1)若生產(chǎn)線A,B一共加工11小時，且生產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于5000個，則8生產(chǎn)線至少加工多少小

時？

(2)原計劃A,B生產(chǎn)線每天均工作8小時.由于改進了生產(chǎn)工藝，在實際生產(chǎn)過程中，A生產(chǎn)線每小

時比原計劃多生產(chǎn)100〃個(a>0),3生產(chǎn)線每小時比原計劃多生產(chǎn)100個.若A生產(chǎn)線每天比原

計劃少工作2a小時，8生產(chǎn)線每天比原計劃少工作。小時，這樣一天恰好生產(chǎn)粽子6000個，求。的

值.

6.(1)如圖1,分別把兩個邊長為1cm的小正方形沿一條對角線裁開，得到4個小三角形，然后拼

成一個大正方形，則大正方形的邊長為_cm.

(2)如圖2,元旦手抄報展覽即將開始.為制作出精美的主題展覽作品，小華想用一張面積為400cm2

的正方形卡紙，沿著邊的方向裁出一張面積為300cm2的長方形卡紙，用于制作展覽作品的背景.若

設(shè)計長方形卡紙的長寬之比為5:3,小華能用這張卡紙裁出符合要求的長方形卡紙嗎？若能，請你幫

助小華設(shè)計裁剪方案；若不能，請說明理由.

7.如圖，這是某種藥物服用后在體內(nèi)濃度含量丁(單位：mg)和時間x(單位：乃之間的函數(shù)圖象,

41

其中在服用后前9/7,圖象是拋物線y=的一部分，9h后圖象為直線了=-于+6的一部分.

(1)若某個成年人在服藥后濃度最高可達到4mg.

①求a,b的值；

②求藥物在服用期間濃度不低于2mg持續(xù)的時間；

(2)若整個服藥期間，要求藥物在體內(nèi)殘留時間不低于12h,且不得超過16h,求。的取值范圍.

8.閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積

的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形.如圖，矩形是矩形ABC。的“減半”矩形.

請你解決下列問題：

D\寬：4C]

⑴當矩形的長和寬分別為1,7時，它是否存在“減半”矩形？若存在，請求出“減半”矩形的長和寬，

若不存在，請說明理由.

(2)邊長為。的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，請說

明理由.

9.小張從家具廠家購進了4、2兩種型號的木地板，已知每平米A型木地板的進價比每平米2型木

地板的進價多30元，用7500元購進A型木地板和用6000元購進8型木地板的面積相同.

(1)求每平米A型木地板和每平米B型木地板的進價各是多少元？

(2)在銷售過程中，A型木地板因為質(zhì)量更好高，更受消費者的歡迎.為了增大8型木地板的銷量，該

銷售商決定對B型木地板進行降價銷售.經(jīng)調(diào)查，當2型木地板的售價為每平方米180元時，平均每

天可賣出木地板的總面積為4平方米，在此基礎(chǔ)上，售價每降低5元，平均每天將多售出1平方米.要

使平均每天銷售B型木地板的利潤為320元，請問該銷售商應(yīng)將B型木地板的售價降低多少元.

10.如圖，在VA3C中，ZA=90°,AS=10cm,AC=16cm,點M從點8出發(fā)，以lcm/s的速度沿

著班運動；點N從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿著AC運動.已知兩點同時出發(fā)，當點N運動到點

C時，點”和點N的運動停止.

(1)經(jīng)過多長時間，MN的長為4&cm?

⑵經(jīng)過多長時間，AAMN的面積為24cm2?

(3)AAAW的面積會等于VABC面積的一半嗎？若會，請求出此時的運動時間；若不會，請說明理由.

11.為提高市民的宜居環(huán)境，某區(qū)規(guī)劃修建一個文化廣場(平面圖形如圖所示)，其中四邊形ABCD

是矩形，分別以AB,BC,CD,D4邊為直徑向外作半圓，若整個廣場的周長為628m,矩形的邊長

AB=ym,BC=xm.(注：取萬=3.14)

(1)試用含x的代數(shù)式表示y；

(2)現(xiàn)計劃在矩形A5CD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等，平均每平方米造價為428元，在四個半圓

的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖，平均每平方米造價為400元；

①設(shè)該工程的總造價為W元，求卬關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

2

②該工程要求矩形的邊BC的長不超過長的w，政府計劃投入1064.82萬元，問能否完成該工程的

建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計方案；若不能，請說明理由？

12.某商業(yè)體內(nèi)矩形停車場（平面圖如圖所示）規(guī)劃A、8、C三個矩形區(qū)域（東西方向?qū)挾认嗤?/p>

南北方向?qū)挾确謩e為。米，2a米，。米）作為停車區(qū)域和南北方向、東西方向各兩條行車道（車道寬

度相同），所有停車區(qū)域進行地面刷漆施工，面積為1000平方米.在停車區(qū)域內(nèi)劃完全相同的矩形

車位（不留間隙），車位南北方向邊長為。米，東西方向邊長為2.5米.

北

OU不A

A區(qū)t

行

行

行車道芽

車

車米

道

道B區(qū)30

行車道

C區(qū)V

南

⑴①求行車道的寬度；

②直接寫出。的值是;車位數(shù)量為個；

（2）在試營業(yè)期間停車場實行按天收費，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：按照每個車位每天收費12元的標準實施時，車位

全部被租完，當停車費每上漲1元時，出租車位的數(shù)量將減少5個.設(shè)停車費上漲x元（x為正整數(shù)），

停車場當天收費總金額為w元，求停車場當天收費總金額的最大值.

（3）通過對試營業(yè)期獲取的數(shù)據(jù)進行研究后，停車場確定（從1月1日起）收費標準為：每個車位每

天收費16元，同時將未出租的車位中的。個普通車位改裝為充電車位（充電車位必定能出租）.已

知充電車位改裝費為：5000元/車位.若停車場改裝。個車位后，要使得停車場的全年（按365天計）

總收入（全年停車收費扣除充電車位改裝費用）高于未改裝之前的全年（按365天計）停車場停車收

費總金額最大值，直接寫出。的最小值是.

《2025年中考數(shù)學解答題系列：實際問題與一元二次方程》參考答案

1.(l)3cm

(2)2cm

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)減去的正方形的邊長為xcm,則紙盒底面長方形的長為(3O-2x)cm,寬為(16-2x)cm,根

據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

(2)設(shè)剪去的正方形的邊長為acm,根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可得出答案.

【詳解】(1)解：設(shè)減去的正方形的邊長為xcm,則紙盒底面長方形的長為(30-2x)cm,寬為

(16—2x)cm,

由題意得：(30-2x)06-2x)=240,

解得：％=3或犬=20(舍去)，

剪去正方形的邊長為3cm；

(2)解：設(shè)剪去的正方形的邊長為“cm,

由題意得：a(16-2a)x2+a^30~2a^x2+(16-2a)x^30~2a^x2=412,

解得：a=2或。=-17(不符合題意，舍去)，

剪去的正方形的邊長為2cm.

2.(1)它的種植面積44m>

(2)當甲種蔬菜種植30m2,乙種蔬菜種植70m2或甲種蔬菜種植50m2,乙種蔬菜種植50m2總種植成本

為4250元.

【分析】本題考查了一次函數(shù)，一元二次方程，一元一次方程的應(yīng)用等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解

題的關(guān)鍵

11

(1)當20WXV60時，求出y與無之間的關(guān)系式為y=]X+10,當v=32元時，-x+10=32,求出

x=44即可；

(2)由題意得甲種蔬菜的種植面積為%n?,乙種蔬菜的種植面積為(100-x)m2,然后分①當

20W尤460時和②當60〈尤470時，然后解方程即可.

【詳解】(1)解：當20VxW60時，設(shè)J7與x之間的關(guān)系式為>=履+6,

把(20,20),(60,40)代入y=得,

20左+6=20k=-

，解得：＜2,

60k+Z?=40

。=10

?*.y與尤之間的關(guān)系式為y=Jx+10,

當y=32元時，-x+10=32,解得：x=44,

2

，它的種植面積44m°;

(2)解：???甲種蔬菜的種植面積為xn?,

.?.乙種蔬菜的種植面積為(100-x)m2,

①當204x460時，

根據(jù)題意，xQx+10^|+50(100-x)=4250,

解得再=30,巧=50,

當光=30時，100—九=70；當％=50時，100—％=50；

②當60Vx<70,

根據(jù)題意，得40x+50(100—x)=4250,

解得，=75,不符合題意，舍去，

答：當甲種蔬菜種植30m2,乙種蔬菜種植70m2或甲種蔬菜種植50m2,乙種蔬菜種植50m2總種植成本

為4250元.

3.(1)y=—0.002A*+2

(2)10萬元/噸

(3)需要采購藍莓的重量為300噸

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，求平均數(shù)，理解題意是解題的關(guān)鍵；

(1)設(shè)y與x的函數(shù)解析式為>=丘+可左HO),待定系數(shù)法求解析式，即可求解；

(2)根據(jù)條形統(tǒng)計圖，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求得平均數(shù)，即可求解.

(3)根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程，即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)y與x的函數(shù)解析式為丁=米+6代工0)

代入(100,1.8),(200,1.6),

.J1.8=100^+&

,?[1.6=200%+匕

k=-0.002

解得:

6=2

y=-0.002%+2

15x8+25x10+5x12+5x14

(2)解：依題意，平均銷售價為=10(萬元/噸)

15+25+5+5

(3)解：依題意，10x|-(-0.002x+2)x-lxx=780

原方程組整理得，尤2+1000x-390000=0

解得：為=300,%=-1300(舍去)

答：需要采購藍莓的重量為300噸

4.(1)花圃A3邊的長為4米.

(2)花圃的面積不能達到50n?,理由見解析

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式等知識點，靈活運用所學知

識解決實際問題成為解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)花圃A3邊的長為x,則花圃的邊的長為(22-3x)米，由墻的最大可用長度為11m,可知

x4,再根據(jù)題意列一元二次方程求解即可；

(2)令x(22-3x)=50,再運用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)花圃A3邊的長為x,則花圃的邊8C的長為(22-3力米，

墻的最大可用長度為11m,

22—3x<11,解得：x>—

由題意可得：x(22-3x)=40,

整理得：3x2-22x+40=0,解得：x=4或(舍棄).

答：花圃AB邊的長為4米.

(2)解：花圃的面積不能達到50n?,理由如下：

令x(22-3x)=50,

整理得：3/-22x+50=0,

因為A=(-22)2-4*3*40=-116<0,

所以方程3爐_22彳+50=0無解，即花圃的面積不能達到50m，

5.(1)8生產(chǎn)線至少加工6小時

(2)a的值為2

【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目

中所給的數(shù)量關(guān)系列出不等式和方程求解.

⑴設(shè)3生產(chǎn)線加工工小時，則A生產(chǎn)線加工(11-尤)小時，根據(jù)生產(chǎn)線A,3一共加工11小時，且生

產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于5000個，列不等式求解即可；

(2)根據(jù)一天恰好生產(chǎn)了6000個粽子，可列關(guān)于。的一元二次方程，解方程即可求出。的值.

【詳解】(1)解：設(shè)B生產(chǎn)線加工x小時，則A生產(chǎn)線加工(11-x)小時，

根據(jù)題意可得：500尤+400(11-?25000,

解得：x>6

答：B生產(chǎn)線至少加工6小時；

(2)解：由題意可得：(400+1。0。)(8-24)+(500+100)(8-。)=6000,

整理得：a2+3a-10=0,

解得q=2,%=-5(不符合題意，舍去)，

答：。的值為2.

6.(1)0；(2)小華不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片，理由見解析

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、算術(shù)平方根等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合

思想成為解題的關(guān)鍵.

(1)先求出大正方形的面積，然后求其算術(shù)平方根即可；

(2)設(shè)長方形紙片的長為5xcm,則寬為3xcm,再根據(jù)面積列一元二次方程求解，然后進行比較即

可解答.

【詳解】解：(1)由題意得：大正方形的面積=1+I=2cm2,

大正方形的邊長為&cm.

故答案為:&-

⑵..?長方形紙片的長寬之比為5:3,

???設(shè)長方形紙片的長為5xcm,則寬為3尤cm,

5x-3x=300,

.,.15X2=300,解得：X=±V20=±2A/5,

又：x>0,

x=26，

/.長方形紙片的長為10辰m，

又：（10向2=500>2。2,即：10有>20,

???小華不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片.

7.⑴①a=J,b=6；②6+30(h)

1129

⑵一UWaW—二

81243

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、方程求解及不等式的應(yīng)用.

(1)①根據(jù)拋物線頂點縱坐標公式求出。的值，再將x=9代入拋物線求出此時的y值，把該點代入

直線方程求出b的值；

②分別在拋物線和直線部分求出>=2時對應(yīng)的無值，進而求出濃度不低于2mg持續(xù)的時間；

(2)先求出拋物線與尤軸正半軸交點，再根據(jù)直線與尤軸交點的取值范圍列出關(guān)于。的不等式組求

解.

【詳解】(1)解：①由題意可知，拋物線最高點的縱坐標為4,

.,1

i3J，解得°-?

=49

4a

1、4

此時拋物線解析式為：y=-^x2+^x.

1041o4

當x=9時，代入拋物線解析式>=一72+§%=一192+§*9=3.

把(9,3)代入>=-++8,解得6=6.

._1-

??CL—,b—O.

9

②將y=2代入y=—gf+§了，解得X]=-3^5+6,x2=3^2+6(舍去)；

將y=2代入y=-gx+6,解得x=12,

故持續(xù)時間為：12-卜3忘+6)=(6+30)(h).

(2)由題意可知，當x=12時，y>0,

代入y=+6中，即一；xl2+6Z0,解得624；

當x=16時，”0.

代入y=-g尤+人中，即一;X16+6W0,解得

綜上，得4W6W^,

當x=9時，81a+12=b—3,此時》=81。+15,

；.4W81a+15w￡

3

解得——WQW--"-

81243

8?⑴存在，"減半'’矩形長和寬分別為2+日與2-%

(2)不存在，理由見解析。

【分析】本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關(guān)系.

(1)假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為無、y,根據(jù)如果存在另一個矩形，它的周長和面

積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解.

(2)正方形和其他的正方形是相似圖形，周長比是;2,面積比就應(yīng)該是:，所以不存在“減半”正方

形.

【詳解】(1)解：存在，“減半”矩形長和寬分別為2+3與2-正.

22

x+y=4①

假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為心兒則7…，

孫=]②

由①，得：y=4-x,③

7

把③代入②，得/一4xH—=0,

2

解得再=2+，X=2-.

12222

所以，，減半，，矩形長和寬分別為2+t與2-走.

22

(2)解:不存在，理由如下：

因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為;時，面積比必定是。，

所以正方形不存在“減半”正方形.

9.(1)每平米A型木地板和每平米8型木地板的進價分別為150元和120元

⑵將B型木地板的售價降低20元

【分析】本題涉及分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的實際應(yīng)用，重點考查學生建立方程模型解決實際

問題的能力.

(1)通過設(shè)定未知數(shù)，利用單價、總價、數(shù)量的關(guān)系建立分式方程，解方程求出兩種木地板的進價；

(2)根據(jù)利潤公式，結(jié)合售價與銷量的動態(tài)關(guān)系，建立一元二次方程并求解，注意驗證解的合理性.

【詳解】(1)解：設(shè)每平方米B型木地板的進價為尤元，則A型木地板的進價為(x+30)元,

75006000

由題意得:

x+30x

解得：x=120,

經(jīng)檢驗：％=120是原方程的根，且符合題意,

那么A型木地板的進價為120+30=150(元)，

答：每平米A型木地板和每平米B型木地板的進價分別為150元和120元；

(2)解:將8型木地板的售價降低加元，

由題意得：(180-m-120)^4+^=320,

解得：叫=加2=20,

答：將3型木地板的售價降低20元.

10.(l)2s

(2)4s或6s

⑶不會，理由見解析

【分析】本題考查的了勾股定理，列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用.

(1)設(shè)運動時間為左，貝AM=AB-BM=(10-rjcrn,AN=2tcm,利用勾股定理得出

關(guān)于/的方程，解方程即可；

(2)根據(jù)題意得;(10-。？2r24,解方程即可；

(3)當AAMN的面積會等于VA3C面積的一半時，則g(10T)?2f：?80,再根據(jù)△的值可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)運動時間為/S,則技0=/cm,AM=AB-BM=(10-^cm,AN=2tcm,

VZA=90°,腦V的長為4瓜m,

???在Rt、4AW中，AM2+AN2=MN2，即(10-『+(2/『=(4百？，

解得，=2,

即經(jīng)過2s,A/N的長為4J5cm；

(2)解：由(1)^AM=AB-BM=(^10-^cm,AN=2tcm,

^AMN的面積為24cm之，

/.S^NAMIAN24,即:(10-r)?2t24,

解得r=4或，=6,

???當點N運動到點。時，點〃和點N的運動停止，

t￡—,艮＜8,

2

???經(jīng)過4s或6s,&4AW的面積為24cm2；

(3)解：不會，理由如下：

由⑵知山“'=；(10-夕2/,

s=-AB?AC1創(chuàng)016=80cm2,

△AzR>Cc22

當AAMN的面積會等于VABC面積的一半時，則

1(10-r)?2rJ?80，

整理得產(chǎn)-10t+40=0,

此時D=(-10/-4創(chuàng)40=-60<0,

...AAMN的面積不會等于VABC面積的一半.

11.(l)y=200-x

2

(2)0w=200x-40000^+12560000;②能，設(shè)計的方案是：長為121m,長為79m,再分別

以各邊為直徑向外作半圓

【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，一元二次方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正

確列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式和方程是解題的關(guān)鍵.

(1)整個廣場的周長為兩個圓的周長，據(jù)此根據(jù)圓周長計算公式求解即可；

(2)①分別表示出矩形和兩個圓的面積，二者求和即可得到答案；②先根據(jù)題意求出尤的取值范圍，

再根據(jù)①所求令費用為1064.82萬元建立方程，解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意得，乃無+不丫=628,

：1=3.14,

x+y=200,

y=200-x；

W=428孫+400萬15+400萬值