2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用》專項(xiàng)檢測卷及答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,將矩形A3CD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,其中點(diǎn)E,尸分別是點(diǎn)8,C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

圖1圖2

⑴如圖1,連接DG,BE,則空的值為

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊C。上，連接3G交AE于點(diǎn)。，連接8E.

①求證：EB平分NAEC；②求證：OG=OB.

⑶若直線DG交于點(diǎn)、H,當(dāng)3E=8時(shí)，請(qǐng)直接寫出5"的長.

2.如圖1,。。是VABC的外接圓，A8是直徑，AB=6,延長AC到點(diǎn)G,使得/A=/CBG,半徑ODLAC與AC

交于點(diǎn)E,連接8。與AC交于點(diǎn)尸.

⑴求證：2G是。。的切線；

(2)若AC=3D,求BG的長度；

(3)若尸是的中點(diǎn)，如圖2,求tan/ABD.

3.如圖，以，.ABE的AB邊為直徑作O,交AE于點(diǎn)C,交BE于點(diǎn)連接C3,AM相交于點(diǎn)以，連接CM,

MC=MB.

(1)判斷一ABE的形狀，并證明；

3

⑵若cosZBAC=-,求CH:出/的值.

4.如圖，是。的直徑，2c是,；。的弦，D為。上一點(diǎn)，連接AD,ZD=2ZB,過點(diǎn)C作CE_L4D交DA

延長線于點(diǎn)E,連接。。并延長交BC于點(diǎn)G,交EC的延長線于點(diǎn)H.

⑴求證：EH是。的切線；

⑵若。的半徑為10,AE=5,求身的長.

5.綜合與探究

問題情境：

如圖1,兩塊全等的三角形紙片4BCOE尸疊放在一起，AB=AC=DE=DF=5,BC=EF=6.

初步探究：

(1)如圖2,將。所沿54方向平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，連接C尸.試判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理

由；

深入探究：

(2)將圖2位置的11GE尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ZXET.2/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是況F'.

①如圖3,當(dāng)所3c時(shí)，垂足為G,DP與BC交于點(diǎn)、H,求線段G”的長；

②當(dāng)EF'//C尸時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。夕到直線CF的距離.

6.如圖1,在四邊形ABCD中，ABC=90,AB=BC,連接AC、交于點(diǎn)尸，且滿足BbPC=PRPD.

BBB

￡￡

D

圖1圖2圖3

(1)求證：ZABD=ZACD-

CD3

⑵如圖2,已知花=“過點(diǎn)尸作于點(diǎn)瓦

PF

①求67；的值;

DC

②如圖3,連接DE,若5,即=8,求8。的長.

7.等腰Rt^ABC中，ZBAC=90?,A8=AC,點(diǎn)。是直線A5上一動(dòng)點(diǎn)，以C。為斜邊在其上方作等腰

RtCDE/DEC=90°,DE=CE,直線DE,AC交于點(diǎn)K.

(1)如圖1,若點(diǎn)。在線段AB上.

①求證：△ACE's△geo；

AK

②如圖2,若點(diǎn)O是線段48的中點(diǎn)，求得的值;

CK

A

⑵若黑=12直接寫出黑O的值.

CKoDD

8.如圖，ABCD的頂點(diǎn)A,C,〃在同一個(gè)圓上，點(diǎn)￡在AC上，S.AD=AE,連接CE并延長交AB于點(diǎn)尸，連接8E

并延長交CD于點(diǎn)G,交圓于點(diǎn)連接若DE為圓的直徑，

(1)求的度數(shù);

(2)求證：HG=BE.

9.在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,。為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且——=n(〃為正整數(shù))，在直線BC上方作VADE,

ZADE=90°,—=n,連接BE.

AD

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過程中，求證：AACDSAABE；

(2)如圖2,若AC=1,n=2,M為AB中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在射線CN上時(shí)，求C。的長；

(3)如圖3,若附=2,AE//BC,與CE交于點(diǎn)F，試探究線段"與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

10.如圖1,點(diǎn)M,N分別是菱形ABCZ)的邊BC,A8上的點(diǎn)，ZADM=/CDN.

⑴求證：AN=CM；

(2)如圖2,連接AC與DV相交于點(diǎn)H,連接HM,MN.

CMDC

⑴當(dāng)?shù)Z二次時(shí),求證：四邊形是平行四邊形;

AC

5)如圖3,9的延長線交AD于點(diǎn)G,若4G=G"ZABH^CD,求防的值.

11.已知：BC是。。的弦，點(diǎn)A是f。上的一點(diǎn)：豺=才(7，連接AO并延長交3c于點(diǎn)Z).

⑴如圖1,求證：AD工BC；

(2)如圖2,作直徑CE,過點(diǎn)A作AFLCE,垂足為點(diǎn)E連接8E,求證：BE+EF=CF；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G在。上，連接CG,DG,其中/3CG=/BCE,且NCGD=45。，若EF=5-#,

求線段DG的長.

12.如圖，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD,BD,且NADB=90。.

A

EA

A

-c

Q

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若點(diǎn)。在VABC內(nèi)部，ZABD=30°,延長AD交BC于X,若AO=6時(shí)，求。”的長；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在VABC內(nèi)部，將AD繞點(diǎn)A,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,直線。E與BC交于點(diǎn)E證明：族=CP；

(3)如圖3,點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP,將PA繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,連接DQ,CD,C。，若〃?=2,

當(dāng)CD,。。均取得最小值時(shí)，直接寫出二。。的面積.

13.如圖，在等邊VABC中，D、E分別為AC、BC上動(dòng)點(diǎn)，滿足45=CE.

(1)如圖1,連接OE,過3作BP2AC于點(diǎn)/，交DE于點(diǎn)G,若tan/EOC=孝，CD=6,求BG的長；

(2)如圖2,連接OE,P為BC中點(diǎn)，連接AP,G為邊BP上一點(diǎn),連接DG交AP于點(diǎn)F,尸恰為DG中點(diǎn)，將PG繞

點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到龍，連接HE,HD.求證：HD=43HE；

(3)如圖3,點(diǎn)M是平面內(nèi)直線3c上方一點(diǎn)，ZBMC=30°,0為直線右方一動(dòng)點(diǎn)，滿足/”30=NMCB+3O。，

BQ=BC,連接MQ,N為上一點(diǎn)，連接AN、AQ,當(dāng)取得最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)二M1Q為直角三角形

時(shí)空的值?

14.如圖，矩形ABC。內(nèi)接于＜O,8。是對(duì)角線，點(diǎn)E在AO上(不與點(diǎn)A,。重合)，連接EC分別交AD,即于點(diǎn)

H,G,BF工CE于點(diǎn)F,FG=FC,連接BE交AD于點(diǎn)P.

EE

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，即=2時(shí),

①求證：ZABE=NCBF.

②求EC的長.

3AP

⑵如圖2,若tan”加力求所的值.

15.在VABC中，AB=AC,/BAC=a，點(diǎn)。在AC邊上，連接50.

(2)如圖2,若a=60。，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE,連接CE,點(diǎn)產(chǎn)為CE的中點(diǎn)，連接AF,DF,

請(qǐng)?zhí)骄坎⒆C明線段AF與O尸之間的關(guān)系；

(3)如圖3,若a=90。，AB=AC=6,點(diǎn)K在A3邊上，連接CK,AK=CD,在CB邊上有一點(diǎn)尸，當(dāng)3D+CK取

得最小值時(shí)，直接寫出。P-也CP的最小值.

10

參考答案

3

1?⑴“

⑵①證明見解析；②證明見解析;

⑶的長為3括-4或+4.

【分析】⑴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AC=6,AB=AE=8,/DAG=/BAE,,求得當(dāng)=獎(jiǎng)=抵==,根據(jù)相似

ABAE84

三角形的性質(zhì)得到瓷=當(dāng)=1；

BEAE4

(2)①過點(diǎn)8作衣心_1隹于點(diǎn)M,由旋轉(zhuǎn)可知=得到Z4BE=NAEB,根據(jù)

平行線的性質(zhì)得到NABE=NC￡B,推出BE平分/AEC；

②根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到3C=BM,由旋轉(zhuǎn)可知，AG=AD=3C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OG=OB；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AG,AB=AE,NZMG=/BAE,求得NAD"+NASH=180。，得至lJ"HB=90。，得

到./“龍為等邊三角形，同理AAOG為等邊三角形，如圖2,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到

BH=BIsm600=6-空＞曰=3百-4,如圖3,同理可得HE=3百-4,得出BH=3有+4.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AD=AG=6fAB=AE=8,NDAG=NBAE,

.9_AG_6_3

,,AB-AE-8-4'

:ADAGsABAE,

DGAG3

'BE~AE~

3

故答案為：—；

4

(2)證明：①由旋轉(zhuǎn)可知，AB=AE,

:.ZABE=ZAEB,

'：AB//CD,

：.ZABE=/CEB,

：./CEB=ZAEB,

???5￡平分/AEC,

②如圖，過點(diǎn)3作于點(diǎn)M,

???ZC=90°,

又?.?5M_LAE,BE平分NAEC,

???BC=BM,

由旋轉(zhuǎn)可知，AG=AD=BCf

：.AG=BM,

在,AOG和△MOB中,

ZGAO=ZBMO=90°

<ZAOG=/MOB

AG=BM

：.AOG^MOB(AAS),

：.OG=OB；

(3)解：由旋轉(zhuǎn)得AD=AG,AB=AE,ZDAG=ZBAE,

ZADG=ZAGD=ZABE=ZAEB.

:ZABE+ZABH=180°,

AZADH+ZABH=180°f在四邊形中，ZDAB=90°,

：.ZDHB=90°,

9：AB=AE=BE=8,

???：W石為等邊三角形，

???ZDAG=ZBAE=60°,

9：AD=AG

???ZVIDG為等邊三角形，

ZADG=60°,

如圖,

同理可得HE=3有-4,

/.BH=HE+BE=36-4+8=3幣+4

綜上所述，出/的長為3石-4或36+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì),

解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.⑴見解析

⑵2百

⑶血

【分析】(1)根據(jù)A3是直徑，/A=/CBG,證明54J_3G即可；

(2)根據(jù)AC=3D得出AC=20,進(jìn)而得出AD=CO=2C，得出特殊角，再利用三角函數(shù)求解即可；

(3)證明DFE^BFC,再根據(jù)三角形中位線和三角函數(shù)求解即可.

【詳解】(1)證明：鉆是，。的直徑，

:.ZACB=90°,

：.ZABC+ZCAB=9Q0,

；/A=/CBG,

ZABC+NCBG=NABC+/A=90°,

即BA_L3G,

AB是(。的直徑，

:.BG是。的切線；

(2)解：ODLAC,

AD=CD，/AEO=90。，

又-AC=BD,

AC=BD，

...AD=CB

AD=CD=BC，

AAOD=60°9

/.ZBAC=30°,

BG=—AB=2y/3;

3

(3)解：AB為直徑，OD1AC,

:.ZAEO=ZC=9G0,

:.OD//BC,

:.ND=NFBC,

DF=BF.ZDFE=ZBFCf

DFE^BFC,

:.BC=DE、FC=EF,

又,AO=OB,

.?.OE是VA3C的中位線，

設(shè)。￡=/,則=O石=2%,

DE=DO-OE=3-t,

3—/=,

解得：t=l9

則。￡=3C=2、AC=dAB2—BC2=衣2-嗟=4梃,

.\EF=-EC=-AC=y[2,

24

OB=OD,

:.NABD=/D,

FFr-

則tan/ARD=tan/。=——=V2.

DE

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明，圓與三角函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)得出角和線段的關(guān)系，再運(yùn)

用三角函數(shù)求解.

3.(1)是等腰三角形，證明見解析

尾

【分析】(1)根據(jù)MC=MB,得出N54V=NC4〃，根據(jù)圓周角定理得出乙曲=90。,有e=90。，證出

ZABE=ZAEB,即可得AB=AE,即ME是等腰三角形.

Ar3

(2)過點(diǎn)C作CG，A〃，垂足為G.根據(jù)圓周角定理得出NACB=90。，在Rt中，cos/2AC=——=-,設(shè)

AB5

AB=5x,貝UAC=3X,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出=ME,證明VAGCsVRWE,NCGH^NBMH,即可求解.

【詳解】(1)解：,ABE是等腰三角形

理由如下：

"：MC=MB,

旅=股8，

：.ZBAM=ZCAM,

:AB是。的直徑，

ZAMB=90°,ZAME=180°-90°=90°,

/.ZABE+ZBAM=90°,ZAEB+ZCAM=90°,

ZABE=ZAEB,

AAB=AE,即ABE1是等腰三角形.

(2)解：過點(diǎn)C作CG，AM,垂足為G.

4cl3

在及ACB中，cosZBAC=——=-,

AB5

設(shè)AB=AE=5x,則AC=3x,

X'-9AB=AE,ZAMB=90°,

:.BM=ME,

ZAGC=ZAME=9Q0,

：.CG〃ME,

：.NAGC^NAME,

.CGAC3

ME~

■:CG//BM,

?.NCGH^NBMH,

.CHCGCG3

"BH~BM~ME~^'

【點(diǎn)睛】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),

解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

4.(1)見解析

⑵15

【分析】(1)連接OC,利用平行線的判定定理證明％〃龍，求得NOCH=NE=90。,據(jù)此即可證明E”是「。的

切線；

(2)連接OC,AC,證明ACE^ABC,推出AC=10,利用勾股定理求得BC=106,推出OAC是等邊三角

形，在RtCHG中，利用正切函數(shù)求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

ZAOC=2ZB,ZD=2ZB,

：.ZAOC=ZD,

OA=OD,

:./OAD=/D,

.\ZOAD=ZAOC,

/.OC//DE,

DEVEH,

:.ZOCH=ZE=90°f

oc是。的半徑，

???EH是。的切線；

ZOCA+ZACE=90°9

是。的直徑，

.-.ZACB=90°,

:.ZOCA+ZOCB=90%

:.ZACE=ZOCB,

QOC=OB,

:.ZOCB=ZOBCf

.\ZACE=ZOBC,

ZBCA=ZAEC=90°.

:.AACE^AABC,

.AEAC

IO的半徑為10,AE=5,

:.AB=20,

.5AC

…花一刀’

解得AC=10（負(fù)值已舍去），

..在中，BC=y]AB2-AC2=10^，

ABAC=60°,NOCB=ZB=30。

04=OC,

是等邊三角形，

OC//DE,

,\ZD=ZDAO=ZAOC=60°f

:.ZCOH=ZD=60°,

ZOGC=90°9

：.CG=BG=5C，

.NOCH=90。,

:,ZH=30°f

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形.正確引出輔

助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

5.(1)四邊形ACED是菱形，理由見詳解

8444

⑵①G"三；②點(diǎn)。倒直線W的距離為彳或行.

【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得到NABC=NACB=ND￡F=NDFE,由平移的性質(zhì)得到/。跖=445。，EFBC,

則NFEC=NACB=NDFE,DFAC,所以四邊形ACFD是平行四邊形，結(jié)合菱形的判定方法即可求解；

(2)①如圖所示，連接GH,過點(diǎn)H作廠'于點(diǎn)由勾股定理，銳角三角函數(shù)的計(jì)算得到

AG=A/AB2-BG2=752-32=4,則Gk=AF'—AG=6-4=2，tanZB=41=^在WPGF'中,

DLJJ

GH4448

tanZFr=tanZB=--=則=—G尸=—x2=—,由此即可求解；

GF'3333

②分類討論：第一種情況，如圖所示，EF與A3重合，則M'|C產(chǎn)，延長尸'，尸C交于點(diǎn)S,過點(diǎn)。作。'N_LW

延長線于點(diǎn)N,過點(diǎn)C作CTLF。'延長線于點(diǎn)T,延長AG交。尸于點(diǎn)R,則四邊形GR7C是矩形；第二種情況，

如圖所示，砂'與AD重合，連接DC,過點(diǎn)。，作D'ULAD,過點(diǎn)P作rVJ_AD；由勾股勾股定理，銳角三角函

數(shù)的計(jì)算，數(shù)學(xué)結(jié)合分析即可求解.

【詳解】解：(1)四邊形ACFD是菱形，理由如下，

,?AB^AC^DE^DF,

：.ZABC=ZACB=NDEF=NDFE,

??,將/￡尸沿及1方向平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,

，ZDEF=ZABC,

：.EFBC,

又EF=BC,

四邊形ABCF是平行四邊形，

CF=AB,

：.AB=AC=DE=DF=CF,

四邊形ACED是菱形；

(2)①如圖所示，連接GH,過點(diǎn)H作于點(diǎn)設(shè)。'廳與BC交于點(diǎn)尸,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，AF=AF'=BC=6,ZF'=ZDFE=ZACB=ZABC,

?：AB=AC,EF'±BC,

：.BG=CG=-BC=3,

2

在RfA3G中，AG=yjAB2-BG2=752-32

：.GF'=AF'-AG=6-4=2,

.『aS任4

BG3

4

在RtPGF'中，tan/F'=tan/B=-----

GF3

44c8

GH=-GF'=—x2=—

333

②由（1）可知，四邊形ACED是菱形,

BDCF,

第一種情況，如圖所示，EF與重合，則石尸卜。尸，延長交于點(diǎn)S,過點(diǎn)。作OWL/。延長線于點(diǎn)N,

過點(diǎn)。作尸D'延長線于點(diǎn)T,延長AG交D尸于點(diǎn)R,則四邊形GR7c是矩形,

43

AFf=AF=6,AG=4,sinZABG=-,cosZABG=-,

55

在H/AF&中，ZABG=ZAFfR,

：.sinZF=-=-,

AFf5AFr5

442433is

AR=-AFr=-x6=—,FfR=-AF,=-x6=—,

555555

187244

???D,R=DfF,-FfR=5——=-,GR=AR-AG=——4=-,

5555

4

：.GR=CT=~,

r

：.FSBCAFf且EF'CF,

???四邊形3尸SC,AK3是平行四邊形,

???BC=F'S=6,

：.D,S=F,S-FD,=6-5=1,

???ZCST=ZF,=ZD,SN,

D'N4

在&D'SN中,sinZZ)W=^=-,

DrS5

44

D'N=—D'S=—,

55

4

?,?點(diǎn)6到直線cr的距離為彳；

第二種情況，如圖所示，歷'與AO重合，連接DC,過點(diǎn)D'作。'U,AD,過點(diǎn)/作FV_LAT＞,

根據(jù)計(jì)算，D'U=AG=4,

:四邊形ACED是菱形，

/.0c=2AG=8,

?.S^=^AF.DC=AD.FV,

...F?V=-A-F-D-C=-6-x-8=—24,

2AD2x55

2444

D'U+FV=4+—=—,

55

44

點(diǎn)以到直線CF的距離為彳；

綜上所述，點(diǎn)6到直線C尸的距離為1或二.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，掌握旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合分析，分類討論思想是關(guān)鍵.

6.(1)見解析

4

⑵①］；②7

【分析】(1)證明△ABP4DCP,即可由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

(2)①先證明DCP,BPC,"0,得/4￡9=/4。_8=45。，從面可得/8＞尸=/547＞=45°,則/4￡＞。=90。，

PFAD4AF4

根據(jù)tan/ACD=tan/A8H則方二二大工二不，然后根據(jù)鉆=尸￡,則二，=三，即可求解；

BECD3AB7

ApRFAFAD4

②過點(diǎn)A作AFLBD交于點(diǎn)尸，連接斯，證明VArasVMC,得=則==再證明AF=。尸，

ADCDBFCD3

BF3

則怎；=7，然后證明上￡SFs得ZBEF=ZBAD,則￡F〃AD，從而得S=S他。=8，貝”

5=求得AF=4,則3/=3，由皮＞=。/+筋=”+陟求解即可?

【詳解】(1)證明：???B4,PC=P3-P。，

.PA_PB

??而一正’

■:ZAPB=/DPC,

???AABPs^DCP,

:?NABP=NPCD,W?ZABD=ZACD.

(2)解：@u：ABC=90,AB=BC,

：.ZBAC=ZACB=45°,

,：PAPC=PBPD,

.PAPD

??一,

PBPC

,:AAPD=ZBPC,

：.AAPD^ACPB,

；?ZADP=/BCP=45。,

由(1)知AABPsADCP,

AZCDP=ZBAP=45°,NABP=NPCD,

:.ZADC=ZADP+NCDP=90°,

PFAJ~)

tanZACD=tanZABF,即=

BECD

..CD_3

?~AD~4

.PEAD

??BE-CD-3'

??,尸石，鉆于點(diǎn)石，ZBAC=45°,

：.ZAPE=ZEAC=45°,

:?AE=PE,

.AEAE4

,*AB~AE+BE~7f

?；AB=BC,

.PEAE_4

②過點(diǎn)A作A產(chǎn)，交于點(diǎn)尸，連接班

B

D

則ZAFg=ZADC=90。，

'：AABP=AACD,

：.NAFB^NADC,

.AF_BF

??AD~CD'

..CD_3

*'AD~4"

.AFAD_4

??而一而一

VZA￡)P=45°,ZAFD=90°,

：.ZDAF=ZADP=45°,

AF=DF,

BF3

??=一,

BD7

..A^_4

?1,

AB7

?

?B?E_3=一,

AB7

.BFBE

??=,

BDAB

丁ZEBF=ZABD,

:.一EBFS&ABD,

???ZBEF=NBAD,

：.EF//AD,

?*-SAFD=SAED-8,

11

S=-DFAF=-AF92=8,

的ADF22

??.AF=4,

:.8尸=3,

，BD=DF+BF=AF+BF=4+3=7.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，平行線

間的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

AK1

7.⑴①見詳解；②二7）

CKJ

（2）^1

2

【分析】（1）①證明/4。￡=/6。。，孚=空，進(jìn)而得出結(jié)論;②延長即交CB的延長線于點(diǎn)尸，由八4。石6488,

得NC4E=NABC=45°,==進(jìn)而可得NC4E=NAC3,BD=gE，證明VADEABD尸(ASA),

設(shè)AE=a,則AD=B￡)=JLI,AD=2及a，證明VAEKSVC尸K,列比例式即可求解；

(2)延長ED交CB的延長線于點(diǎn)耳，證明YADEsYBDF、,NAEK^NCF.K,列比例式可得答案.

【詳解】(1)①證明：NS4c=90。，AB=AC,

ZACB=ZABC=45°,

AC“v。&

----=cos45=——，

BC2

RtCDE,ZDEC=90°,DE=CE,

ZDCE=ZCDE=45°,

CE…V2

/.----=cos45=——，

CD2

:"DCE=ZACB,

:.ZDCE-ZACD=ZACB-ZACD,

:.ZACE=/BCD,

CEACy/2

CD-BC-

:“CEsABCD；

②解：延長ED交CB的延長線于點(diǎn)F,

ZCAE=ZACB,BD=6AE，

:.AE//BC,

:.NDAE=ZDBF,

點(diǎn)。是線段AB的中點(diǎn)，

AD=BD，

在VADE和VBCF中，

'/DAE=/DBF

<AD=BD,

ZADE=ZBDF

.-.VAT>E^VBZ）F（ASA）,

:.AE=BF,

設(shè)AE=〃，則AO=3D=缶，AB=2。，

BC=y/2AB=4〃>

:.CF=5a,

AE//BC,

:.ZAEK=ZCFKf

ZCAE=ZACB,

:NAEK^NCFK,

.AKAE_a_1

,~CK~~CF~~5a~3"

（2）解：延長ED交CB的延長線于點(diǎn)片，

:.ZCAE=ZACB,BD=6AE，

:.AE//BC,

ZDAE=/DBF1,

Q/ADE=/BDF],

.NADEKBDF],

同理可證，VAEKKCF\K,

.AK_AE_1

'~CK~'CF\~6f

設(shè)AE=m,則。片=6根,

設(shè)AD=n，

BC=y[2AB=（BD+AD）=2m+V2zz,

BFX=CF1—BC=4m,

QNADE^NBDF,,

AEADmn

BF[BD'即4m-y/2n6m'

/.y/ln2—4mn+V2m2=0，

=+根(舍去)或"=(0—1)相,

A￡)_(0T)m_2—后

BD壺m2

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是尋

找可解的直角三角形.

8.(1)45°

(2)證明見解析

【分析】(1)由圓周角定理和平行四邊形的性質(zhì)先證,A￡F妾°CBF\得出即=斯，可求1ABE的度數(shù)；

(2)由圓周角定理、等腰三角性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)，證得四邊形CNAF為矩形，由AEF&CBF可知AF=CP,

則矩形CWLF為正方形，可得HN=BF,解直角三角形，可知"G=3E.

【詳解】(1)解：AE為圓的直徑，

ZDAE=ZDCE=90°.

四邊形ABC。為平行四邊形，

:.AD=BC,ABDC,ZADC=ZABC.

"CFB=ZDCE=90。.

ZAFC=180°-Z.CFB=90°.

AD=AE,

.\AE=CB.

ZADC+ZDAE+ZAEC+ZDCE=360°,

.\ZA￡)C+ZAEC=180o.

/AEF+/AEC=180。,

:.ZAEF=ZADC=ZABC.

在下和VCBb中

ZAEF=ZABC

</AFC=NCFB

AE=CB

AEF^iCBF(AAS).

:.EF=BF.

:.ZABE=ZBEF=45°.

(2)②證明：連接AH交。。于N.

DE為圓的直徑,

AD=AE,

:.ZADE=ZAED=45°.

...ZH=ZADE=ZABE=45。.

:.AH=AB,ZBAH=90°.

ZAFC=ZZ)CF=90°,

???四邊形。W1為矩形.

AEF^CBF,

:.AF=CF.

矩形QMF為正方形.

??.AN=AF.

:.AH-AN=AB-AF.

^HN=BF.

HG=HN=^2HN,BE=———=y[2BF,

cosZHcosZABE

\HG=BE.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓周角的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形兩銳角

互余，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(1)證明見解析;

2

(2)CO的長是§；

(3)4AF=5BF,理由見解析.

■八工/、上口口處―、十口人,日

3cDE,BCDE―ACBC?Ar,

【分析】⑴由而="'~=n,則n耘=而，即有而=而’然后證明△AC3S"OE’由性質(zhì)可得

\rAnATAD

ZCAB=ZDAE,法=瓦,則有石=瓦,43"由相似三角形的判定方法即可求證;

(2)作CGLAB于點(diǎn)G,則/AGC=90。，由AC=1,—=2,則BC=2,則42=占，根據(jù)直角三角形斜邊上

AC

的中線等于斜邊的一半得AM=BM=LAB=好，然后根據(jù)解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)即可求解;

22

(3)過5作于點(diǎn)H,證明四邊形AC皿是矩形，則AC=B",BC=AH,設(shè)AC=B"=〃，則

1HF11s

BC=AH=2a,KTWtanAABC=—=tanZ.HBE=---,貝lj有H￡=—〃，AE=AH+HE=laH—a=—a,再證明

2BH222

5

AFEsBFC,根據(jù)性質(zhì)可得4￡=任=貴=9,從而求解.

BF~BC~2a~4

【詳解】⑴證明「?就二〃，而=",

.BCDE

*AC-AD

.ACBC

?AD~DE'

：ZAC6=90°,NAZ）石=90。，

ZACB=ZADE=90°f

AACB^AADE,

ZCAB=ZDAE,簫筆,

ACAD

AE

/CAB—/BAD=/DAE—/BAD,

ZCAD=ZBAE,

AACD^AABE；

(2)解：如圖2,作CGLAB于點(diǎn)G,貝iJ/AGC=90。,

ZACB=90°,

：.ZACG=ZABC=90°-ABAC,

BC

'/AC=1,---二n

AC

BC=nAC=n,

,：n=2,

BC=2,

AB=y/AC2+BC2=Vl2+22=>/5>

為48中點(diǎn),

/.AM=BM=-AB=5

22

..AG../…AC1舊CG_/22#>

------=sinZACG=sinZABC=-----=—j==—,~~~=cosZACG=cosZABC=---=—=-------,

ACAB小5ACAB755

?A「一非A「一下乂1一下“一262石2石A「一非君一36

??ACr=AC=X1=,CCr=---AC=-------X1=------,AZCr=AJVL-ACr=------------=------,

5555552510

???AACD^AABE,

CDAC

???ZACD=ZABE=ZMGC=90°,ZBME=/GMC,

BE~AB

2A/5

亍二4

=tanZBME=tanZGMC=

35/53

BM------------------------------------MG~w

,BEBE42

??AB~IBM_2x3-3'

.CDBE2

**AC-AB-3?

222

CD=-AC=-xl=-,

333

2

CD的長是］;

(3)解：4AF=5BFf理由:

如圖，過5作于點(diǎn)H,

ZAHB=90°,

,?AE//BC,

：.ZACB+ZC4E=180°,ZABC=ZBAH,

：.ZACB=ZCAE=ZAHB=90°,

?二四邊形ACSH是矩形，

AAC=BHfBC=AH,

:.BC=2AC,

設(shè)AC=BH=a,貝UBC=AH=2〃，

由(1)得△ACDS^ABE,

???ZACD=ZABE=90°f

???ZABH+ZHBE=ZABH+ZBAH=90。,

：./HBE=ZBAH=ZACB,

iHF

：.tanZABC=—=tanZHBE=——,

2BH

.HE_1

,*V=2'

HE=—a,

2

AE-AH+HE—2QH—a——a,

22

■:AE//BC,

:.AFEsBFC,

5

AFAE_2a_5,

BF~BC_2a~4

即4AF=53F.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

10.⑴見解析

(2)⑴證明見解析；(ii)用

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，作出正確

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)證明一ADNgCDM(ASA)即可解答；

(2)⑴根據(jù)題意可得則/CH7W=NC4B,推出再證明AN〃8M且=,即

可解答；

(ii)證明一也在工AHB(SAS),得到=即可證明最后利用解直角三角形即可解答.

【詳解】(1)證明：四邊形A2CD是菱形，

:.AD=DC,ZDAN=ZDCM,

ZADM=Z.CDN,

:.ZADN=ZCDM,

在△ATW與VCDM中,

"DAN=ZDCM

<AD=CD,

ZADN=ZCDM

ADN"COM(ASA),

.\AN=CM；

(2)(i)證明：由(1)知，AN=CM,

.CMDCDC

*CM-A7V?

DC//AB,

:NDHC^NNHA,

.DCCH

,~AN~HAf

CMCH口口CMCH

---=——，即=——，

BMHACBCA

Q/HCM=ZACN,

/.ZCHM=ZCAB

:.HM//AB,

:.ZBAC=ZMHCf

ZMHC=ABAC=ZMCHf

.\MH=CM=ANf

.AN//HMf

二?四邊形4vMH是平行四邊形；

(ii)解：，在菱形ABC。中，AD=DC,

ZDAC=ZDCA=ZABH,

QAD=AB,ZDAH=/BAH,AH=AH,

「AHgAHB(SAS),

ZADH=ZABH=ZDAH,

:.AH=DH,

點(diǎn)G為AO中點(diǎn)，

.\HG.LAD,

/.ZG4B+ZABG=90°,

QZDAH=ZCAB=ZABGf

.\ZABG=ZGAH=ZBAC=30°,

:.ZDAC=ZDCA=30°,

如圖，作

QDA=DC,

AE=EC=-AC,

2

cosZDAE==cos30°=,

AD2

AC2AE

=A/3.

ADAD

n.（1）見解析

(2)見解析

(3)DG=2忘

【分析】（1）根據(jù)弧與弦的關(guān)系得到AB=AC,證明40垂直平分8C即可求證;

（2）連接A3,AC,AE,在b上截取CP=3E,連接AP,證明ABE^ACP（SAS）,則AE=AP,根據(jù)等腰三角

形三角形三線合一得到EF=PF,那么3E+￡F=CP+尸尸=CF；

（3）連接EG,過點(diǎn)。分別作DMLEG,DN1CG,DRLCE,垂足分別為M,N,R.由角平分線的性質(zhì)及判

定得到DM=DR=DN,根據(jù)角平分線得到/。￡。+/及五=45。，那么ZBDE=/DEC+NBCE=45。,貝1|

BE=BD=CD.令BE=m,則3c=2%,則在RtBCE中，由勾股定理得CE=6根，則sin/BCE=g,可得

BE+EF=CE—EF,那么m+5—A/5=君加―（5-0），解得〃?.=2^/5.在Rt^CDN中，sinZ.DCN=sinZBCE=~~，

求出。N=2,貝l]￡）G=2夜.

【詳解】（1）證明：如圖1,連接A8,AC,OB,OC,

...點(diǎn)4在BC的垂直平分線上，

'：OB=OC,

...點(diǎn)。在BC的垂直平分線上，

A0垂直平分

AADJ.BC,BD=CD；

(2)證明：如圖2,連接在Cf上截取CP=3E,連接釬.

VAB=AC,ZABE=ZACP,CP=BE,

：.ABEgACP(SAS).

，AE=AP,

又?:AF±EP,

EF=PF

：.BE+EF=CP+PF=CF；

(3)解：如圖3,連接EG,過點(diǎn)。分別作DMLEG,DNLCG,DRICE,垂足分別為M,N,R.

：.ZB=ZCGE=90°

■:/CGD=45。,

ZDGE=ZCGD=45°,

DM=DN

,：ZBCG=ZBCE=-ZECG,DNICG,DR±CE

2f

：.DN=DR,

DM=DR,

：./DEG=/DEC=-/CEG

2

9：/CEG+/ECG=9。。

：.ZDEC+ZBCE=1(ZCEG+NBCG)=45°

:.ZBDE=ZDEC+Z.BCE=45°

???ZBED=90°-45°=45°=ZBDE,

BE=BD=CD,

:.BC=2BE,令BE=m,則5C=2m

在RtBCE中，CE={BE?+BC?=萩+(2加『=晶,

BEy/5

sin/BCE=

~CE~~5

?：BE+EF=CF,

：.BE+EF=CE-EF,

m+5-岳=\/5m-^5-75j,

解得m=26.

在RtACDN中，sinZDCN=sin/BCE=—

5

.DNy/5

"^5