蘇科版2025年中考數學三輪沖刺專題一圓及其性

質

一'單選題

1.如圖，AB是。O的直徑，PA切。O于點A,線段PO交。。于點C,連結BC,若NP=40。，則

NB等于（）

C.25°D.30°

2.如圖，AB為。O的直徑，點C在。O上，NA=24。，則BC弧的度數為（）

C.33°D.24°

3.如圖，AB是。O的直徑，CD是。O的弦，連結AC、AD、BD,若NBAC=35。，貝ijNADC的

度數為

B.55°C.65°D.70°

4.如圖，AB是。O的直徑，。是圓心，弦CDLAB于E,AB=10,CD=8,則OE的長為（)

A

A.2B.3C.4D.5

5.如圖，點a,B,C,D在。。上，OB||CD,乙4=25°,則乙BOD等于（)

A.100°B.120°C.130°D.150°

6.如圖，AB是。O的直徑，點C在AB的延長線上，CD切。O于點D,若NA=25。，則NC的度

數是（）

A.40°B.50°C.55°D.65°

7.如圖，將等邊△ABC的邊AC逐漸變成以B為圓心、BA為半徑的AC,長度不變，AB、BC的

長度也不變，則/ABC的度數大小由60。變為（）

90)(

n

120)D.)

7171

8.如圖，從。0外一點A引圓的切線AB,切點為B,連接AO并延長交圓于點C,連接BC.若

NA=32。，則NACB的度數是（）

9.已知圓錐的母線長為12,底面圓半徑為6,則圓錐的側面積是（）

A.24兀B.36兀C.70兀D.72兀

10.如圖，已知AB是。O的直徑，點C,D在。。上，弧AC的度數為100。，則/D的大小為

c

A.30°B.40°C.50°D.60°

11.如圖，已知C為AB上一點，若NAOB=100。，則NACB的度數為（

A.50°B.80°C.100°D.130°

12.如圖，點A,B,C,D都在。O上，BD為直徑，若NA=65。，則NDBC的值是（)

A.65°B.25°C.35°D.15°

13.如圖，OC經過原點且與兩坐標軸分別交于點A與點B,點B的坐標為（-V3,0）,M是

圓上一點，NBMO=12（）o.OC的圓心C的坐標是（）

A.除B.名，一》

c（V/）D.（V，。

二、填空題

14.如圖，在AABC中，BC=6,以點A為圓心，2為半徑的。A與BC相切于點D,交AB于點

E,交AC于點F,點P是優弧EF上的一點，且NEPF=50。，則圖中陰影部分的面積

15.如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=4,扇形

的圓心角0=120。，則該圓錐母線1的長為.

16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A,B,C的坐標分別是(0,4),(4,0),(8,0),OM

是△ABC的外接圓，則點M的坐標為.

17.如圖，在正十邊形AiA2A3A4A5A6A7A8A9A10中，連接A1A4、A1A7,則NA4AIA?='

18.若△ABC的三邊長為3、4、5,則△ABC的外接圓半徑R與內切圓半徑r的差為.

19.如圖，四邊形ABCD內接于。0,AC平分NBAD.若NBDC=40。，則NBCD的度數

為°.

20.劉徽計算圓周率是從正六邊形開始的，易知圓的內接正六邊形可分為六個全等的正三角形，每

個三角形的邊長均為圓的半徑R.此時圓內接正六邊形的周長為6R,如果將圓內接正六邊形的周

長等同于圓的周長，可得圓周率為3.當正十二邊形內接于圓時，如果按照上述方法計算，可得圓周

22.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,則AABC的內切圓。/與外接圓。。的周長之比

為O

23.如圖，在四邊形2BCD中，AB//CD,AB=2,AD=4,以點A為圓心，AB為半徑

的圓與CD相切于點E,交AD于點F.用扇形ABF圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半

徑為.

24.如圖，AD是。。的直徑，C是。。上的點，過點C作。。的切線交AD的延長線于點B.若NA

=32°,則/B=°.

oB

25.THT2分別為。。的內接正六邊形和外切正六邊形.設TI的半徑r,Ti、T2的邊長分別為a、b,

Ti、T2的面積分別為Si、S2.下列結論：①r：a=l：1；②r：b=V3.-2；③a：b=l：V3；

@Si：S2=3：4.其中正確的有.（填序號）

26.如圖，扇形AOB,且0B=4,ZAOB=90°,C為弧AB上任意一點，過C點作CDLOB于點

D,設AODC的內心為E,連接OE、CE,當點C從點B運動到點A時，內心E所經過的路徑長

為O

三'解答題

27.如圖，已知。。的半徑為1,AC是。。的直徑，過點C作。0的切線BC,E是BC的中點,

AB交。。于D點.

（1）直接寫出ED和EC的數量關系：；

（2）DE是。O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；

（3）填空：當BC=時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點0、D、E、C為頂

點的四邊形是.

28.如圖，點C在以AB為直徑的。。上，NCAB=30。，點D在AB上由點B開始向點A運動，點

E與點D關于AC對稱，DFLDE于點D,并交EC的延長線于點F.

(1)求證：CE=CF；

(2)如果CDLAB,求證：EF為。O的切線.

E

29.用兩種方法證明“圓的內接四邊形對角互補”.

已知：如圖①，四邊形ABCD內接于OO.

求證：ZB+ZD=180°.

證法1：如圖②，作直徑DE交。0于點E,連接AE、CE.

：DE是。O的直徑，

.

,/ZDAE+ZAEC+ZDCE+NADC=360。，

ZAEC+ZADC=360°-ZDAE-NDCE=360°—90°—90°=180°.

ZB和NAEC所對的弧是ADC,

；.().

Z.ZB+ZADC=180°.

請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2.

證法2：

30.如圖，AB為。O直徑，C為。O上一點，點D是BC的中點，DELAC于E,DFLAB于F.

(1)判斷DE與。O的位置關系，并證明你的結論;

(2)若OF=4,求AC的長度.

31.如圖,過點A的直線DE和正三角形ABC的邊BC平行.

D

-----------------iC

(1)利用直尺和圓規作△ABC的外接圓O(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)求證：DE是。O的切線.

32.如圖，四邊形ABCD內接于。0,已知AB=AC,延長CD至點E,使CE=BD,連結AE.

(1)求證：AD平分NBDE；

(2)若AB〃CD,求證：AE是。O的切線.

33.如圖，點O為R3ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的。。與邊BC交于點D,與邊AC

交于點E,連接AD,且AD平分NBAC.

(1)試判斷BC與。O的位置關系，并說明理由;

(2)若/BAC=60。，OA=2,求陰影部分的面積(結果保留兀).

34.如圖，△ABC中，。。經過A、B兩點，且交AC于點D,連接BD,ZDBC=ZBAC.

(1)證明BC與。0相切；

(2)若。。的半徑為6,NBAC=30。，求圖中陰影部分的面積.

35.如圖，四邊形ABCD內接于。0,BD是。。的直徑，過點A作AELCD,交CD的延長線于點

E,DA平分NBDE.

(1)求證：AE是。0的切線；

(2)已知AE=8cm,CD=12cm,求。O的半徑.

36.如圖，以△ABC的邊AB為直徑作。O,交邊BC于點D,點E是皿上一點.

(1)若AC為。0的切線，試說明：ZAED=ZCAD；

(2)若AE平分NBAD,延長DE、AB交于點P,若PB=BO,DE=2,求PD的長.

37.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AC為直徑作。。交BC于點D,過點D作。。的切線，交

AB于點E,交CA的延長線于點F.

c

(1)求證：EFXAB；

(2)若NC=30。，EF=代，求EB的長.

38.如圖，已知線段AC為。。的直徑，PA為。。的切線，切點為A,B為。。上一點，且

BC〃PO.

(2)若。0的半徑為1,PA=3,求BC的長.

39.如圖，在R3ABC中，ZBAC=90°,AD是BC邊上的中線，過點D作BA的平行線交AC于

點0,過點A作BC的平行線交DO的延長線于點E,連接CE.

(2)作出△ABC外接圓，不寫作法，請指出圓心與半徑;

(3)若AO：BD=V3：2,求證：點E在△ABC的外接圓上.

40.如圖，AB為。O直徑，C、D為。。上不同于A、B的兩點，ZABD=2ZBAC.過點C作

CE±DB,垂足為E,直線AB與CE相交于F點.

(1)求證：CF為。0的切線;

(2)若。。的半徑為|cm,弦BD的長為3cm,求CF的

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】B

1L【答案】D

12.【答案】B

13.【答案】C

14.【答案】6-竽兀.

15.【答案】12

16.【答案】(6,6)

17.【答案】54

18.【答案】|

19.【答案】100

20.【答案】3.12

21.【答案】2V2

22.【答案】12：25

23.【答案】|

24.【答案】26

25.【答案】①②④

26.【答案】V27T

27.【答案】(1)ED=EC

(2)DE是。。的切線.理由如下:

連接OD,如圖,

VBC為切線,

AOCXBC,AZOCB=90°,BPZ2+Z4=90°,

VOC=OD,ED=EC,

AZ1=Z2,N3=N4,

.\Z1+Z3=Z2+Z4=9O°,即NODE=90。,

AOD±DE,ADE是。O的切線；

(3)2；正方形

28?【答案】(1)證明：??,點E與點D關于AC對稱,

.\CE=CD,

???ZECA=ZDCA,

又,.,DF_LDE,

?,.ZCDF=90°-ZCDE=90°-NE=NF,

ACD=CF,

.\CE=CF；

(2)證明：連接OC,

VZACB=90°,ZCAB=30°,

???ZCBA=60°,

VOB=OC,

AABOC是等邊三角形，

.??ZOCB=60°,

VCDXAB,

AZOCD=ZDCB=30°,

??,點E與點D關于AC對稱，

ACD=CE,

???ZECA=ZDCA=60°,

???ZECO=ZECA+ZOCA=60°+30°=90°,

???EF為。。的切線.

E

?「DE是。O的直徑，

???NDAE=NDCE=90。.

??,ZDAE+ZAEC+ZDCE+NADC=360。，

.?.ZAEC+ZADC=360°-ZDAE-ZDCE=360o-90o-90o=180°.

ZB和NAEC所對的弧是ADC,

???NAEC=NB..

.,.ZB+ZADC=180°.

證法2：連接OA、OC

D

???NB、N1所對的弧是ADC,

ND、N2所對的弧是ABC,

：.ZB=1Zl,ZD=1Z2

VZ1+Z2=36O°,

AZB+ZD=1(Zl+Z2)=1x360°=180°.

30.【答案】(1)解：DE與。O相切.

證明：連接OD、AD,

???點D是BC的中點,

：.BD=CD,

AZDAO=ZDAC,

VOA=OD,

AZDAO=ZODA,

???ZDAC=ZODA,

???OD〃AE,

VDE±AC,

ADE±OD,

???DE與。O相切.

(2)解：連接BC交OD于H,延長DF交。。于G,

由垂徑定理可得：OHLBC,BG=BD=DC,

：.DG=BC,

，DG=BC,

二弦心距OH=OF=4,

VAB是直徑，

，BC_LAC,

/.OH/7AC,

.?.OH是△ABC的中位線，

.,.AC=2OH=8.

31.【答案】(1)如圖，。0為所作；

(2)延長AO交BC于G,如圖，

VAB=AC,OB=OC,.二AG垂直平分BC.

VDE/7BC,/.AG±DE,；.DE是。O的切線.

32.【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD內接于。0

.,.ZABC+ZADC=180°

.*.ZABC=ZADE

AB=AC

.\ZABC=ZACB

VZACB=ZADB

.".ZADB=ZADE

，AD平分NBDE

(2)證明：AB〃CD,

AZADE=ZDAB,

ZADB=ZADE,

AZBAD=ZADB,

AAB=BD

,.?CE=BD,

AAB=CE

?.?AOAB,

AC=AB

連接OA并延長交BC于T

AATXBC,

?.?AB〃CE,AB=CE

???四邊形ABCE是平行四邊形，

???AE〃BC,

AATXAE,

JAE是。O的切線.

33?【答案】（1）解：BC與。。相切,

理由：連接OD,

VAD平分NBAC,

AZBAD=ZDAC,

VAO=DO,

???ZBAD=ZADO,

???ZCAD=ZADO,

:?AC"OD,

???A.ACD=90°,

AOD±BC,

???BC與。。相切；

(2)解：連接OE,ED,

???乙

BAC=60°,OE=OAf

.,.△OAE為等邊三角形，

???^.AOE=60°,

???￡.ADE=30°,

又VAOAD=^BAC=30。，

???Z-ADE=Z-OAD,

??.ED//AO,

=S△力0。,

...陰影部分的面積=s扇形ODE=6嚅X421

360=3

34.【答案】（1）證明：連接BO并延長交。O于點E,連接DE,

B

〈BE是直徑，AZEDB=90°,

???ZE+ZEBD=90°

?：BD=BD,：.ZE=ZA

又?.,NDBC=NBAC,AZDBC=ZE

AZDBC+ZEBD=90°,AZEBC=90°,.\BC_LEB.

又YOB是半徑(B在。O上)，???BC與。O相切.

(2)解：?:BD=BD,AZBOD=2ZA=60°

S陰影=S扇形OBD—SAOBD=TI36X—9V3=6兀-9V3.

35.【答案】(1)證明：連結OA.

VOA=OD,

JZODA=ZOAD.

〈DA平分NBDE,

.??NODA=NEDA.

???ZOAD=ZEDA,

?,.EC〃OA.

VAE±CD,

AOA±AE.

???點A在。O上，

???AE是。O的切線

(2)解：過點。作OFLCD,垂足為點F.

ZOAE=ZAED=ZOFD=90°,

???四邊形AOFE是矩形.

.\OF=AE=8cm.

XV0F1CD,

.\DF=1CD=6cm.

在RtAODF中，OD=VOF2+DF2=10cm,

即。O的半徑為10cm.

36.【答案】(1)證明：:AB是。O的直徑，

???ZADB=90°,

VAC是切線，

?,.ZCAB=90°,

AZDAB+ZDBA=90°,ZDAB+ZCAD=90°,

AZCAD=ZDBA,

VZDBA=ZAED,

AZAED=ZCAD.

(2)解：連接OE.

C

VAE平分/BAD,

AZDAE=ZEAB,

VOA=OE,

AZAEO=ZEAB,

AZDAE=ZAEO,

???AD〃OE,

.AO_DE_1

,?衣~DP~39

ADP=3DE=6.

37.【答案】(1)證明：連接AD、OD

：AC為。。的直徑，

/.ZADC=90°,

又：AB=AC,

.\CD=DB,又CO=AO,

，OD〃AB,

?；FD是。O的切線，

AODXEF,

AFEXAB

(2)解：VZC=30°,

/.ZAOD=60°,

.,.ZF=30°,

，OA=OD=1OF,

ZAEF=90°EF=遍，

.\AE=V2,

VOD/7AB,OA=OC=AF,

，OD=2AE=2V2，AB=2OD=4迎，

，EB=3V2

HC

1「

38.【答案】（1）證明：連接OB,,/ZBCA=^AOB,又

OA=OB

?.?BC〃OP,AZPOA=ZBCA,AZPOA=ZBOP,在AAOP與ABOP中,Z-POA=(BOP,