內(nèi)蒙古赤峰市2024-2025學年高一數(shù)學上學期第一次月考試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．命題“?x∈[-1,3]，x2-3x+2<0”的否定為（

A．?x∈-1,3，x2-3x+2≥0 B．C．?x∈-1,3，x2-3x+2≥0 D．2．已知集合U=R，集合A=x-3<x<1，B=x0≤x≤2A．x-3<x<0B．xC．x0<x<1 D．3．下列命題為真命題的是()A.?a>b>B.集合A=x∣C.若b<aD.所有的素數(shù)都是奇數(shù)4．設(shè)A=xx2-8x+15=0，B=xax-1=0，若A∩B=B，則實數(shù)A．15 B．3 C．0 D．5．已知1<A.1<ab<15B.2<a+b<86．向50名學生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度,有如下結(jié)果:贊成A的人數(shù)是全體的五分之三,其余的不贊成;贊成B的比贊成A的多3人,其余的不贊成;另外,對A,A.贊成A的不贊成B的有9人 B.贊成B的不贊成A的有11人C.對A,B都贊成的有21人 D.對7.下面命題正確的是（

）A．已知x∈R，則“x>1”是“1B．命題“若?x0≥1，使得xC．已知x,y∈R，則“x+yD．已知a,b∈R，則“a-3b=0”是“a8.已知a，b是實數(shù)，則“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》下卷有題:“今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之,剩二;五五數(shù)之,剩三;七七數(shù)之,剩二.問:物幾何?”現(xiàn)有數(shù)學語言表達如下:已知A=x∣x=3n+2A.8 B.23 C.37 D.12810.設(shè)a,b∈A={x∣x=3m+1,m∈Z},c∈B={x∣x=3k-1,k∈ZA．a(chǎn)+b∈A B．a(chǎn)b∈AC．a(chǎn)+b∈B D．a(chǎn)+c∈B11.已知實數(shù)a，b，c滿足a>b>c，且a+b+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)+b>0 B．a(chǎn)c<bcC．1a-b>三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知x=2在不等式k-1x13.已知M={x∈N∣614．設(shè)集合M=1,2,3,4,5,6，選擇M的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，滿足這樣條件的一個集合A與對應(yīng)的一個集合B稱為一組合，則不同的組合共有四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)設(shè)R為全集,集合A={(1)若a=3,求(2)若A?B,求實數(shù)16.(本小題滿分15分)(1)已知集合A={x∣a-1≤(2)命題p:m∈R，m+1≤0,命題q17.(本小題滿分17分)(1)設(shè)a,b,c∈R證明:a2+b(2)已知a,b都是正實數(shù),且a≠b,試比較a3+b18．已知命題p:對于?x∈R，x（1）求實數(shù)a的取值的集合A；（2）若?x∈{x|1≤x≤3}，使得x(mx-b)≤0(m≠0)成立，記實數(shù)b的范圍為集合B19．(本小題滿分17分)法國數(shù)學家佛朗索瓦·韋達，在歐洲被尊稱為“現(xiàn)代數(shù)學之父”，他最重要的貢獻是對代數(shù)學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展，由于其最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的跟與系數(shù)之間的關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理.韋達定理有著廣泛的應(yīng)用，是高中階段非常重要的知識內(nèi)容，為了致敬前輩數(shù)學家，請同學們利用韋達定理完成以下問題.(1)關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個實數(shù)根為-2，求另一實數(shù)根及實數(shù)(2)關(guān)于x的方程x2-k+1x+1若x1(4x2(3)已知a,b∈R集合A=xx2-2ax+b-2=0，集合B=xx2-2ax+b+1=0，且赤峰二中2024級高一上學期第一次月考數(shù)學試卷1．命題“?x∈[-1,3]，x2-3x+2<0”的否定為（

AA．?x∈-1,3，x2-3x+2≥0 B．C．?x∈-1,3，x2-3x+2≥0 D．2．已知集合U=R，集合A=x-3<x<1，B=x0≤x≤2，則圖中陰影部分表示的集合為（A．x-3<x<0B．x-1<x<0 C．x3．下列命題為真命題的是(C)A.?a>b>0,當B.集合A=x∣y=xC.若b<a<0D.所有的素數(shù)都是奇數(shù)4．設(shè)A=xx2-8x+15=0，B=xax-1=0，若A∩B=B，則實數(shù)A．15 B．3 C．0 D．5．已知1<a<5,A.1<ab<15C.-2<a-6．向50名學生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度,有如下結(jié)果:贊成A的人數(shù)是全體的五分之三,其余的不贊成;贊成B的比贊成A的多3人,其余的不贊成;另外,對A,B都不贊成的學生數(shù)比對A,B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1A.贊成A的不贊成B的有9人 B.贊成B的不贊成A的有11人C.對A,B都贊成的有21人 D.對A,B6【詳解】.贊成A的人數(shù)為50×35=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33.記50名學生組成的集合為U,贊成事件A的學生全體為集合A設(shè)對事件A,B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A,B都不贊成的學生人數(shù)為x3+1.贊成A而不贊成B的人數(shù)為贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x.依題意30-x+33-x7.下面命題正確的是（

D

）A．已知x∈R，則“x>1”是“1B．命題“若?x0≥1，使得xC．已知x,y∈R，則“x+yD．已知a,b∈R，則“a-3b=0”是“a【答案】D【難度】0.65【知識點】判斷命題的必要不充分條件、充要條件的證明、特稱命題的否定及其真假判斷、既不充分也不必要條件【分析】利用充分不必要條件的定義判斷A；利用存在量詞命題的否定判斷B；利用既不充分也不必要定義判斷C；利用必要不充分條件的定義判斷D.【詳解】對于A，當1x<1時，x<0或x>1，故x>1能推出1x<1，但所以“x>1”是“1x對于B，由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：命題“若?x0≥1，使得x對于C，由x+y>0得x≠0或y≠0，故x但是當x>0時，x+y≥x+0=所以“x+y>0對于D，已知a,b∈R，當a=b=0時，滿足a-3b=0，但是不滿足a反之，當ab=3時，則a=3b，即所以“a-3b=0”是“ab故選：D8.已知a，b是實數(shù)，則“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的（

A

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【難度】0.85【知識點】判斷命題的充分不必要條件、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)充分必要條件的關(guān)系,結(jié)合不等式性質(zhì)即可判斷.【詳解】當a>1且b>1時,ab+1-a+b=a-1b-1>0,即a>1當ab+1>a+b時,即ab+1-a+b=a-1b-1>0解得a>1且綜上可知,“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的充分不必要條件故選:A【點睛】本題考查了不等式比較大小,充分必要條件的關(guān)系及判斷,屬于基礎(chǔ)題.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》下卷有題:“今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之,剩二;五五數(shù)之,剩三;七七數(shù)之,剩二.問:物幾何?”現(xiàn)有數(shù)學語言表達如下:已知A=x∣x=3n+2,n∈N*,A.8 B.23 C.37 D.1289.【詳解】因為23=3×7+2=5×4+3=7×3+2,故23∈A∩B∩C;128=3×42+2=5×25+3=7×18+2,故128∈A∩B∩C;因8=7×1+1,則8?C;37=3×12+110.設(shè)a,b∈A={x∣x=3m+1,m∈Z},c∈B={x∣x=3k-1,k∈ZA．a(chǎn)+b∈A B．a(chǎn)b∈AC．a(chǎn)+b∈B D．a(chǎn)+c∈B【答案】BC【分析】利用數(shù)的特征及元素與集合的關(guān)系計算即可.【詳解】設(shè)a=3u+1,b=3v+1,c=3w-1u、v、w∈而a+b=3u+vab=9uv+3a+c=3u+1+3w-1=3u+w?故選：BC.11.已知實數(shù)a，b，c滿足a>b>c，且a+b+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)+b>0 B．a(chǎn)c<bcC．1a-b>【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知條件可逐項分析得到答案.【詳解】a+b+c=0且a>b>c，則a>0，c<0，則a+b>0，A正確；因為a>b，c<0，所以ac<bc，B正確；因為a>b>c，a-b>0,b-c>0，a-b-當b>0時，0<a-b<b-c，則1a-b>1b-c；當b<0時，a-b>b-c>0，則1a-b<1因為a-cb-c當且僅當a=-12c時，等號成立，此時由a+b+c=0可得b=-所以-a+12c2故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知x=2在不等式k-1x2-12.k≥4或[4,+∞)12.【詳解】因為x=2在不等式的解集中,把x=2帶入不等式得:413.已知M={x∈N∣66-x∈N}13.【詳解】解:因為66-x∈N,所以又x∈N,所以x=0,3,4,5,所以集合M={0,14．設(shè)集合M=1,2,3,4,5,6，選擇M的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，滿足這樣條件的一個集合A與對應(yīng)的一個集合B稱為一組合，則不同的組合共有【答案】129【分析】討論A中最大的數(shù)，分別求出A和B的非空子集，從而求得正確答案.【詳解】當A中最大的數(shù)為1時，B可以是2,3,4,5,6的非空子集，有25當A中最大的數(shù)為2時，A可以是2或1,2，B可以是3,4,5,6的非空子集，有2×2當A中最大的數(shù)為3時，A可以是3，1,3，2,3或1,2,3，B可以是4,5,6的非空子集，有4×2當A中最大的數(shù)為4時，A可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4,或1,2,3,4，B可以是5,6的非空子集，有8×2當A中最大的數(shù)為5時，A可以是：5，1,5,1,2,5,1,3,5,1,2,3,4,5，B是6，有16×1=16（種）選擇方法.所以滿足條件的集合共有31+30+28+24+16=129（種）不同的選擇方法.故答案為：129【點睛】思路點睛：解題的突破口在于“B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)”，解題的思想方法是分類討論的數(shù)學思想方法，根據(jù)集合A中最大的數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)設(shè)R為全集,集合A={(1)若a=3,求(2)若A?B,求實數(shù)a16.(1)由題意可得B={y∣-2≤y≤當a=3時,A所以A∩B因為CRA={x∣x<4,或x>7所以CRA∩B={x∣-2(2)由(1)知,B={y∣-2若A=?,即a+1>2a+1,解得a<0,此時滿足若A≠?,要使A?B,則a+1≤2a+1a+綜上,若A?B,所求實數(shù)a的取值范圍為a∣a≤521316.(本小題滿分15分)(1)已知集合A={x∣a-1≤x≤a+1},B(2)命題p:m∈R，m+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+116.(1)由x∈An是x∈Bn的充分不必要條件,得A而A=a-1,a于是a-1≥-1a+所以a的取值范圍為0,2(2)當命題p為真命題時,m≤-1當命題q為真命題時,Δ=m2-4<所以p與q同時為真命題時有m≤-1-2<m故p與q不同時為真命題時,m的取值范圍是(-∞,-17.(本小題滿分15分)(1)設(shè)a,b,c∈R證明:a2+b(2)已知a,b都是正實數(shù),且a≠b,試比較a3+b【答案】見解析【解析】分別證明充分性與必要性即可.【詳解】（1）證明:(1)充分性:如果a=b=c,那么(a-b)2∴a(2)必要性:如果a2那么a2∴(a-b)2+由(1)(2)知,a2+b【點睛】本題主要考查了充分必要條件的證明,需要分別證明充分性與必要性,屬于中等題型.【詳解】解:(1)∵2x(2)a=∵a,b都是正實數(shù),且a≠b,∴∴a【點睛】此題考查利用作差法比較大小，關(guān)鍵在于對作差之后的代數(shù)式進行因式分解.18．已知命題p:對于?x∈R，x（1）求實數(shù)a的取值的集合A；（2）若?x∈{x|1≤x≤3}，使得x(mx-b)≤0(m≠0)成立，記實數(shù)b的范圍為集合B，若A∩B【答案】（1）a|a≤3；（2）n|【分析】（1）根據(jù)命題為真轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用判別式Δ<0求解；（2）分類討論n的正負求出集合B,再根據(jù)A∩B中只有一個整數(shù)建立不等式求解.【詳解】（1）由條件知，x2只需不等式所對應(yīng)的二次方程x2+2ax+a∴解得a≤3，也即A=（2）若存在1≤x≤3，使得x(mx-b)≤0(m≠0)成立，由1≤x≤3可知，即使得mx-b≤0也即存在1≤x≤3，使得mx≤b當m>0，只需b≥m，此時B=b當m<0，只需b≥3m(3m<0)，此時因此，當m>0時，若使得A∩B有且只有三個整數(shù)，則只需解得0<m≤1當m<0，由于a因此A∩B必有整數(shù)0,1,2,3共四個整數(shù)，與條件不符，矛盾.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m|0<m≤1.19．法國數(shù)學家佛朗索瓦·韋達，在歐洲被尊稱為“現(xiàn)代數(shù)學之父”，他最重要的貢獻是對代數(shù)學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展，由于其最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的跟與系數(shù)之間的關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理.韋達定理有著廣泛的應(yīng)用，是高中階段非常重要的知識內(nèi)容，為了致敬前輩數(shù)學家，請同學們利用韋達定理完成以下問題.(1)關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個實數(shù)根為-2，求另一實數(shù)根及實數(shù)(2)關(guān)于x的方程